PS26 PRINTEMPS 2010 MEDIAN (première partie) :
Cours 40 mn
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Dans cette partie de cours vous devez rédiger par des phrases très claires et très précises. Sauf à la question 3 ou ce n’est pas nécessaire, on fera systématiquement un schéma. La notation tiendra grandement compte de la qualité et de la précision des explications et du schéma.
Question 1 : Rappeler l’expression de la loi de Coulomb donnant la force d’interaction entre deux charges ponctuelles en précisant bien la signification de tous les termes intervenant dans la formule notamment.
Question 2 : Définir ce qu’on appelle « ligne de champ électrostatique ». Dessiner l’allure des lignes de champ électrostatique dans un condensateur plan (on rappelle qu’un condensateur plan est formé par 2 plaques planes infinies uniformément chargées parallèle entre elles et chargées de signes contraires).
Question 3 : Quelle est l’énergie potentielle d’une particule ponctuelle de charge q placée dans un champ électrostatique ?
Question 4 : Définir de façon mathématique la densité linéique de charges pour un corps filiforme.
Question 5 : Enoncer très clairement le théorème de Gauss en précisant bien la signification de tous les termes intervenant dans la formule. Dans quel cas ce théorème est-il intéressant pour calculer un champ électrostatique ?
Question 6 : Donner le principe et l’intérêt pratique d’une cage de Faraday (on ne demande pas de démontrer les propriétés de la cage).
Question 7 :
1. Définir ce qu’est un dipôle électrostatique et donner la définition du moment dipolaire d’un dipôle électrostatique.
2. Expliquer pourquoi une boule métallique conductrice initialement neutre et placée dans un champ électrique extérieur uniforme va devenir équivalente à un dipôle électrostatique (faites des schémas).
3. Expliquer pourquoi une molécule de CO pourra être considérée comme un dipôle électrostatique mais pas une molécule N2.
Question 8 : Définir ce qu’on appelle la polarisation électronique d’un atome. Expliquer pourquoi si on applique un champ électrostatique très important à un atome, il va s’ioniser : donner des exemples naturels de tels phénomènes en précisant bien.
Question 9 : Donner l’expression de la force de Lorentz donnant la force exercée par un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement en précisant la signification des termes intervenant dans la formule.
Question 10 : Donner l’expression de la force de Laplace donnant la force exercée par un champ magnétique sur une portion de circuit électrique filiforme d’extrémités A et C placé dans un champ magnétique quelconque (pas forcément uniforme).
Question 11 : Enoncer la loi de Biot et Savart qui donne le champ magnétique créé par un fil électrique parcouru par un courant en un point de l’espace extérieur au fil.
PS26 PRINTEMPS 2010 MEDIAN (deuxième partie) :
Exercices 80 mn Polycopié autorisé
On traitera obligatoirement les exercices 1 et 2 et au choix
l’exercice 3 ou l’exercice 4
Exercice n°1 (obligatoire): Champ électrostatique d’une ligne électrique bifilaire.
On montre que le potentiel électrostatique V(x,y,z) créé en un point M de l’espace par un fil rectiligne infini uniformément chargé avec une densité (lambda) et confondu avec l’axe 0z d’un système de coordonnées cartésiennes classique est donné par la formule:
0
V(x, y, z) Ln(x² y²) Cste 4
1. Justifier le fait que le potentiel ne dépende pas de z.
2. Déterminer la forme des surfaces équipotentielles (rappel : on travaille en 3D !). Indication : que représente géométriquement x²+y² ?
3. Calculer le champ électrique en un point M quelconque en coordonnées cartésiennes.
4. Montrer que ce champ peut se mettre sous la forme E k HM où H est la projection orthogonale de M sur le fil et k une grandeur qu’on exprimera en fonction de , 0 et r, distance du point M au fil. En déduire que la direction de ce vecteur champ électrique passe par le fil.
5. Retrouver le résultat précédent en utilisant la question 2 et une propriété des équipotentielles.
6. Exprimer alors le champ électrique en coordonnées cylindropolaires mieux adaptées au problème. Faire un schéma très clair.
7. Une ligne électrique bifilaire est formée de deux fils infinis parallèles entre eux et distants de d. L’un des fils est chargé avec une densité linéique et l’autre avec une densité opposée - On se propose de déterminer le champ électrique en tout point du plan médiateur des deux fils.
a. Montrer qu’en tout point M de ce plan le champ est parallèle au plan formé par les deux fils. Faire un schéma très clair.
b. Exprimer la norme de ce champ électrique en fonction de , d, 0 et r (distance commune aux deux fils).
Exercice n°2 (obligatoire): On rappelle que le champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé est donné par la formule :
0
E n
2
, oùn est le vecteur unitaire normal fuyant le plan et la densité surfacique de charge. Dans un accélérateur de particules, on dispose l’une en face de l’autre, deux plaques de surfaces S, parallèles entre elles, séparées
d’une distance e. L’une des plaques porte une charge Q > 0 et l’autre une charge – Q. Des particules identiques de masse m et de charge q sont émises du point O centre de la première plaque avec une vitesse quasiment nulle. Accélérées par le champ électrique des deux plaques, les particules vont sortir du dispositif par le trou O’ situé au centre de la deuxième plaque avec une vitesse v. On admettra que le champ électrique créé par une plaque de dimension finie est le même que si la plaque était infinie pourvu que e ne soit pas trop grand.
L’axe OO’ servira d’axe des x d’un système de coordonnées cartésiennes.
1. Quel doit être le signe des particules émises en O pour que ces particules soient accélérées vers l’autre plaque.
2. Déterminer le champ électrique total entre les deux plaques en fonction de Q, S, o et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on précisera très clairement sur un schéma.
3. En déduire (à partir du gradient) le potentiel électrostatique entre les deux plaques en fonction de Q, S, o et x abscisse cartésienne d’un point M situé entre les deux plaques.
On prendra le potentiel arbitrairement nul sur la plaque x = 0.
4. En déduire la différence de potentiel U entre les deux plaques en fonction de Q, S, o
et e.
Pour la suite de l’exercice on cherche à calculer avec quelle vitesse et en combien de temps les particules vont sortir du dispositif accélérateur. On négligera le poids des particules devant la force électrostatique.
5.
a. En appliquant les lois de Newton en déduire l’accélération a d’une particule en fonction de Q, S, o , q, m (masse de la particule) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on précisera très clairement sur un schéma.
b. En intégrant l’équation précédente, déterminer la vitesse v d’une particule en fonction de Q, S, o, m, t (temps écoulé depuis l’émission de la particule) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on précisera très clairement sur un schéma.
c. En intégrant l’équation précédente, déterminer le vecteur position OM d’une particule en fonction de Q, S, o, m , t (temps écoulé depuis l’émission de la particule) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on précisera très clairement sur un schéma.
d. En déduire le temps que la particule met pour traverser le dispositif. On exprimera en fonction de e, o, m, S, Q et q.
e. En déduire la vitesse de la particule à la sortie du dispositif en fonction des mêmes variables puis en fonction de q, U et m.
6. On se propose de retrouver ce dernier résultat par une méthode utilisant l’énergie.
a. Exprimer l’énergie potentielle électrostatique de la particule quand elle est à l’abscisse x en fonction de q, Q, S, x et o.
b. Quelle est l’énergie mécanique de la particule quand elle est en O ?
c. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique et les questions précédentes, retrouver le résultat de la question 5.e.
7. Application numérique : les particules sont des protons de masse m = 1.7 10-27 kg, de charge q = 1.6 10-19 C. Ils sont accélérés sous une tension de 10 kV. Calculer la vitesse en sortie du dispositif.
Exercice n°3( au choix avec le n°4): Un condensateur sphérique est formé par une boule pleine métallique de rayon R1, portant une charge Q et une sphère creuse métallique de rayon R2 > R1 et de même centre que la précédente. Cette deuxième sphère porte une charge – Q et est reliée à la terre dont le potentiel est conventionnellement nul.
1. Déterminer par des considérations de symétrie la direction du champ électrostatique entre les deux armatures du condensateur ainsi formé.
2. En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrostatique entre les deux armatures en fonction de Q, o, r (distance du point d’étude au centre des sphères) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on placera sur un schéma. On détaillera clairement le calcul fait.
3. En déduire le potentiel entre les armatures en fonction de Q, o, r et R2 (on rappelle que par mise à la terre le potentiel est nul sur la sphère – Q.
4. En déduire la différence de potentiel entre les armatures en fonction de Q, o, R1 et R2.
5. En déduire la capacité C du condensateur ainsi formé en fonction des divers paramètres.
6. Comment se trouve modifiée cette capacité si l’espace entre les deux armatures est rempli d’un isolant dont la constante diélectrique relative est r ?
Exercice n°4 (au choix avec le n°3): On considère une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant électrique d’intensité i. Cette spire est placée dans un champ magnétique et subit donc les forces de Laplace. On demande de calculer la résultante des forces de Laplace dans les trois cas suivants. On commencera déjà par analyser la force qui s’exerce sur un petit élément dlde spire et on intégrera sur tous les éléments pour trouver la force totale. On donnera le résultat en fonction de i, B, R et d’un vecteur unitaire qu’on précisera très clairement.
O O’
Q e -Q
x
1. Le champ magnétique est uniforme dans tout l’espace et de norme B et est perpendiculaire au plan de la spire
2. Le champ magnétique est radial de norme B uniforme.
3. Le champ magnétique est nul sur une moitié de la spire et uniforme sur l’autre moitié de norme B.
B
B
B 0
