Sur une formule d'analyse

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

F. G OMES T EIXEIRA Sur une formule d’analyse

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 5 (1886), p. 36-39

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SUR UNE FORMULE D'ANALYSE;

PAR M. F. GOMES TEIXEIRA,

Professeur à l'École polytechnique de Porto, ancien professeur a l'Universilé de Coimbra.

Le but de celte Note est de démontrer le théorème suivant, que je crois nouveau :

Si les fonctions f(x) et F(x)et leurs dérivées fr (x), F(*), f"(x), F'(x), . . . . ƒ»(*), F»(x) sont finies et déterminées pour toutes les valeurs de x qui sont compîises dans Vintervalle (xin jr), nous avons la for- mule

? r - r \k-\-\ ( r ( X- — i ) î r w — i ) ï OÙ

0 étant compris entre o et i.

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Pour démontrer ce théorème, considérons la fonc- tion

o U ) = ƒ ( t f⁰) - M * - * o ) ƒ ' ( * ) + * ^

— ƒ(*) _ L -ƒ'(*) - . . . - {— tL—

- V(z) - (ar- z) V\z) - . . ._l-^

X

En lui appliquant la formule connue

(2) ©O) = o(x0) -+- (x — XO)<Ï'[XQ-\- 0

on trouve le résultat o = ƒ(*.) + (ar- «•.)/'

- ƒ (ar,) - (a? - a-,)

- / ( a - , ) - . . . -( y l \

x

f(x)-f(xt)-. •—

il X ;

¥*(*»>

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( •*« )

De cette formule, on tire la formule (i) que nous vou- lions démontrer, en supposant

m~i — i, nr, k -h i.

I. Si l'on pose, dans la formule (1),

V(x) = {x— xo)n, k = n—i, i = m—i,

et, par conséquent,

F ( . r0) = o , F ' ( a ?0) — o , . . . , Fn"I(a 7o ) = o ,

on a

= ( /i — i)! (a? — a?0)^(i — 0)'"-*ƒ"» p p -r- 0 (3

et, par conséquent,

On obtient ainsi donc la formule de Taylor avec l'ex- pression du reste de MM. Sclilomich et Roche.

II. Si l'on pose, dans la formule (1), i = k = n— 1, on trouve

J\X)— j (XO ) — . . . -

O-i)!

On peut voir cette formule dans le Cours de Calcul infinitésimal de M. Hoüel, où elle est démontrée au moyen d'intégrations.

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III. Si l'on a

F'(rro) = o, F"(r0) = o, il \ient la formule bien connue