5+20 = 25%

De l'utilisation de la moyenne géométrique.

Problématique

L'inationd'unpaysestde5%lapremièreannéeetde20%lasuivante,quelleest l'augmentationmoyenneen

%desprixdurantette période?

Sivousrépondez

12,5

^{alorsvousfaitesuneerreur...}

Un exemple

Eneet,l'augmentationglobaleenpourentagedesprixsurettepériodededeuxansn'estpasde

5+20 = 25%

^.

Et'estlàquesesituevotreerreur...

Partant d'unobjetoûtant

100

^{¿audébut delapériode,avel'ination, le prixpasse à}

105

^¿àlandela

premièreannée,puisà

105 + 100 ²⁰ × 105 = 126

^{¿ .}

L'augmentationdes prix estdon de

26%

^{sur lesdeux années.Cela orrespondàune} augmentationmoyenne de

12 , 25%

^{paransurlapériodededeuxans.Eneet,}

(1 , 1225) ² ≃ 1 , 26

^.

Maislaquestionest :ommenttrouvet-onehirede12,25%?Commentgénéraliser?

Cas général...

Onsesouvientqu'enlassedepremière,l'étuded'évolutionssuessivesenpourentagesétaitétudiéegrâeaux

oeientsmultipliateurs.

En eet,onsidéronsunesuited'augmentations(oudiminutions)suessivesenpourentagesde

t 1 %

^,puisde

t 2 %

^,puisde

t 3 %

^{,... ,,puisde}

t N %

^{.L'objetifest dealulerlepourentage}d'augmentationmoyensures

N

^années.

Onaluled'abordlesoeientsmultipliateursliésàhaqueévolution:

CM 1 = 1 + t 1

^enasd'augmentation ou

CM 1 = 1 − t 1

^enasdediminution.

Alorsleoeientmultipliateurglobalest

CM = CM 1 × CM 2 × CM 3 × . . . × CM N

^.

Si

CM > 1

^ilyaaugmentation,si

CM < 1

^ilyadiminution.

Sionappelle

T

^letauxd'augmentationmoyen,alorsleoeientmultipliateurpourhaqueannée est

1 + T

^,

etdonleoeientmultipliateurglobal(pourles

N

^années)est

(1 + T ) ^N

^.

Ontrouvedonque

(1 + T ) ^N = CM 1 × CM 2 × CM 3 × . . . × CM N

Ondoitdonaluler

N √

CM 1 × CM 2 × CM 3 × . . . × CM N

^{.C'estenombrequ'onappellelamoyennegéomé-}

triquedesnombres

(CM 1 , CM 2 , . . . , CM N )

^.

Appliation 1

Un salairesubit suessivement une hausse de

10%

^{, une hausse de}

20%

^{, une hausse de}

40%

^{, une hausse de}

30%

^{. Quelleest}l'évolutionmoyennesurette période?

Lesoeientsmultipliateurssuessifssont

1, 1

^,puis

1, 2

^,puis

1, 4

^puis

1, 3

^.

Leoeientmultipliateurglobalest don

CM Global = 1, 1 × 1, 2 × 1, 4 × 1, 3 = 2, 4024

^.

CM Global > 1

^dononauneaugmentationglobalede

140, 24%

^.

L'augmentation moyenne de

T %

^{est telle que}

(1 + T ) ⁴ = CM Global

^{. Don}

1 + T = √ ⁴

2 , 4024 ≃ 1 , 244977004

donunehaussemoyennede

24 , 5%

^environ.

Remarque :Sionalulait

10 + 20 + 40 + 30

^{,alorsonaurait}

100

^{,e quiesttrèsloin des}

140 , 24%

^trouvés.

Appliation 2

Unsalairesubitsuessivementunehaussede

10%

^,unebaissede

20%

^,unehaussede

40%

^,unebaissede

30%

^.

Quelleestl'évolutionmoyennesurettepériode?

Lesoeientsmultipliateurssuessifssont

1, 1

^,puis

0, 8

^,puis

1, 4

^puis

0, 7

^.

Leoeientmultipliateurglobalest don

CM Global = 1, 1 × 0, 8 × 1, 4 × 0, 7 = 0, 8624

^.

CM Global < 1

^dononaunediminution.

Ladiminutionmoyennede

T %

^esttelleque

(1 − T ) ⁴ = CM Global

^.Don

1 − T = √ ⁴

0, 8624 ≃ 0, 9636674433

^don

unebaissemoyennede

3, 64%

^environ.