Chapitre : Fonction exponentielle

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Chapitre :

Fonction exponentielle

1. La fonction exponentielle :

1.1. Définition et notation :

Définition :

La fonction exponentielle est l’unique fonction 𝑓 définie et dérivable sur  telle que :

• Pour tout réel 𝑥, 𝑓’(𝑥) = 𝑓(𝑥)

• 𝑓(0) = 1

La fonction exponentielle est notée 𝑒𝑥𝑝.

Remarque :

Avec la notation 𝑒𝑥𝑝 : Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝’(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥) et 𝑒𝑥𝑝(0) = 1

Preuve : Unicité de la fonction exponentielle

L'existence de cette fonction est admise, mais l'unicité est un approfondissement possible proposé dans le programme.

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur  vérifiant les deux propriétés :

Pour tout réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) et 𝑓(0) = 1

• Pour montrer qu'une telle fonction est unique, nous allons d'abord démontrer qu'elle ne peut s'annuler sur . (c'est à dire : pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) ≠ 0)

On pose pour tout réel 𝑥, 𝑘(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥)

𝑘 est dérivable sur  en tant que produit de fonctions dérivables sur  et pour tout réel 𝑥, 𝑘′(𝑥) = 𝑓′(𝑥). 𝑓(−𝑥) + 𝑓(𝑥). (−𝑓′(−𝑥))

= 𝑓′(𝑥). 𝑓(−𝑥)– 𝑓(𝑥). 𝑓′(−𝑥)

= 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥)– 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥) car 𝑓′ = 𝑓 = 0

Donc 𝑘 est une fonction constante sur 

Or 𝑓(0) = 1

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Donc 𝑘(0) = 𝑓(0). 𝑓(−0)

= 1 × 1

= 1

donc pour tout réel 𝑥, 𝑘(𝑥) = 1 donc pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥) = 1 donc pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) ≠ 0

• Nous allons maintenant montrer qu'une telle fonction est unique.

On suppose qu'une telle fonction n'est pas unique. On en choisit donc une deuxième qu'on notera 𝑔 qui vérifie les mêmes propriétés.

Alors pour tout réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) et 𝑓(0) = 1 et pour tout réel 𝑥, 𝑔′(𝑥) = 𝑔(𝑥) et 𝑔(0) = 1

Or nous avons montré qu'une telle fonction ne pouvait s'annuler sur

Donc on pose pour tout réel 𝑥, ℎ(𝑥) =^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Or ℎ est dérivable sur  en tant que quotient de fonctions dérivables sur  et pour tout réel 𝑥, ℎ′(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)–𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))²

=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)–𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑔(𝑥))² car 𝑓′ = 𝑓 et 𝑔′ = 𝑔

= 0

donc ℎ est constante sur  or ℎ(0) =^𝑓(0)_𝑔(0)=¹₁= 1 donc pour tout réel 𝑥, ℎ(𝑥) = 1 donc pour tout réel 𝑥, ^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 1 donc pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

donc les fonctions 𝑓 et 𝑔 sont donc une seule et même fonction.

▀

1.2. Signe :

Propriété : [Signe]

La fonction exponentielle est strictement positive sur 

Preuve : Approfondissement proposé par le programme Méthode 1 :

Raisonnement par l'absurde : On suppose qu'une fonction 𝑓 vérifie les deux propriétés : 𝑓′ = 𝑓 et 𝑓(0) = 1 et qu'il existe un réel 𝑥₀ tel que 𝑓(𝑥₀) < 0

• 𝑓est dérivable sur 

• 𝑓(0) = 1 et 𝑓(𝑥₀) < 0

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donc il existe un réel 𝛼 tel que𝑓(𝛼) = 0

Ce qui est absurde car dans la démonstration précédente, nous avons prouvé que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur .

Donc la fonction exponentielle est strictement positive sur .

Méthode 2 :

Proposée plus loin en exemple d’utilisation de la relation fonctionnelle.

▀

1.3. Sens de variation :

Propriété : [Sens de variation]

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Preuve :

Par définition : Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝’(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥) Or Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) > 0

Donc pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝’(𝑥) > 0

Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur .

▀

2. Propriétés algébriques et notation 𝒆

^𝒙

:

Relation fonctionnelle :

Pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦 : 𝑒𝑥𝑝(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥) × 𝑒𝑥𝑝(𝑦)

Preuve : Approfondissement proposé par le programme On pose pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦 : 𝑓(𝑥) =^{𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦)}

𝑒𝑥𝑝(𝑥)

𝑓 est dérivable sur  en tant que quotient de fonctions dérivables sur (dénominateur non nul) et pour tout réel 𝑥, 𝑓^′(𝑥) =1.𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦).𝑒𝑥𝑝(𝑥)–𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦).𝑒𝑥𝑝(𝑥)

(𝑒𝑥𝑝(𝑥))²

= 0

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donc la fonction 𝑓 est constante sur  et égale à 𝑓(0) =^{𝑒𝑥𝑝(0+𝑦)}

𝑒𝑥𝑝(0) =^{𝑒𝑥𝑝(𝑦)}

1 = 𝑒𝑥𝑝(𝑦) donc pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑦)

donc pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦, ^{𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦)}

𝑒𝑥𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑦)

donc pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦, 𝑒𝑥𝑝(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥). 𝑒𝑥𝑝(𝑦)

▀ Exemple d’utilisation :

Montrons que la fonction 𝑒𝑥𝑝 est strictement positive sur . (Méthode 2) Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 (^𝑥

2+^𝑥

2) = 𝑒𝑥𝑝 (^𝑥

2) 𝑒𝑥𝑝 (^𝑥

2) = (𝑒𝑥𝑝 (^𝑥

2))

2

Donc pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) ≥ 0

Or on a déjà montré que la fonction 𝑒𝑥𝑝 ne s’annule pas sur  Donc pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(𝑥) > 0.

Propriétés :

Pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦 :

• 𝑒𝑥𝑝(−𝑥) = ¹

𝑒𝑥𝑝(𝑥)

• 𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 𝑦) =^{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}

𝑒𝑥𝑝(𝑦)

• 𝑒𝑥𝑝(𝑛𝑥) = (𝑒𝑥𝑝(𝑥))^𝑛 avec 𝑛 ∈ ℕ

Preuve :

• Pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(𝑥). 𝑒𝑥𝑝(−𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(0) = 1 Donc pour tout réel 𝑥, 𝑒𝑥𝑝(−𝑥) = ¹

𝑒𝑥𝑝(𝑥)

• Pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦, 𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 𝑦) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥). 𝑒𝑥𝑝(−𝑦) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥). ¹

𝑒𝑥𝑝(𝑦)

= ^{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}

𝑒𝑥𝑝(𝑦)

• La troisième propriété est admise en classe de première.

▀

Définition et notation :

• On note 𝑒 le nombre réel égal à 𝑒𝑥𝑝(1)

• Pour tout réel 𝑥, on note 𝑒^𝑥 le nombre réel égal à 𝑒𝑥𝑝(𝑥)

Remarques :

• e ≈ 2,71828

• Cette notation est cohérente avec les propriétés algébriques vues précédemment, qui sont les propriétés déjà connues sur les puissances vues en seconde.

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Propriétés avec la notation 𝒆^𝒙 : Pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦 :

• 𝑒⁰= 1

• 𝑒^−𝑥 =_𝑒¹_𝑥

• 𝑒^𝑥> 0

• 𝑒^𝑥−𝑦=^𝑒^𝑥

𝑒^𝑦

• 𝑒^𝑥+𝑦= 𝑒^𝑥× 𝑒^𝑦

• 𝑒^𝑛𝑥= (𝑒^𝑥)^𝑛 𝑛 ∈ 

3. Résolution d’équations et d’inéquations :

Propriétés : Conséquences de la stricte croissance de 𝒆𝒙𝒑 sur  Pour tout réel 𝑥 et pour tout réel 𝑦 :

• 𝑒^𝑥= 𝑒^𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 • 𝑒^𝑥 < 𝑒^𝑦 ⇔ 𝑥 < 𝑦

Exemple de résolution :

Résolution dans  de l’inéquation : 𝑒^3𝑥+6− 1 > 0

𝑒^3𝑥+6− 1 > 0 ⇔ 𝑒^3𝑥+6> 1 ⇔ 𝑒^3𝑥+6> 𝑒⁰

⇔ 3𝑥 + 6 > 0 car 𝑒𝑥𝑝 est strict croissante sur  ⇔ 3𝑥 > −6

⇔ 𝑥 > −2

4. Dérivation d’une fonction de la forme 𝒙 ⟼ 𝒆

^{𝒂𝒙+𝒃}

:

Théorème :

Soient 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels, et 𝐼 un intervalle inclus dans .

Soit 𝐽 un intervalle inclus dans  tel que 𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ 𝐽 pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.

Si 𝑔 une fonction définie et dérivable sur un intervalle 𝐽 de ,

alors 𝑔 est dérivable sur 𝐼, et pour tout réel 𝑥 ∈ 𝐼 : 𝑔’(𝑥) = 𝑎 × 𝑔’(𝑎𝑥 + 𝑏)

Théorème : Cas particulier du précédent Soient 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels.

Soit 𝑓 la fonction définie pour tout réel 𝑥 par 𝑓(𝑥) = 𝑒^{𝑎𝑥+𝑏}. 𝑓 est dérivable sur  et pour tout réel 𝑥, 𝑓^′(𝑥) = 𝑎 × 𝑒^{𝑎𝑥+𝑏}

Exemple 1 :

Soit 𝑓 la fonction définie pour tout réel 𝑥 par : 𝑓(𝑥) = 𝑒^5𝑥+4

La fonction 𝑓 est dérivable sur , et pour tout réel 𝑥 : 𝑓’(𝑥) = 5 × 𝑒^5𝑥+4 = 5𝑒^5𝑥+4

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Exemple 2 :

Soit 𝑓 la fonction définie pour tout réel 𝑥 par : 𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑒^8𝑥−4

La fonction  est dérivable sur  en tant que produit de fonctions dérivables sur , On pose pour tout réel 𝑥 : 𝑢(𝑥) = 𝑥² et 𝑣(𝑥) = 𝑒^8𝑥−4

𝑢^′(𝑥) = 2𝑥 et 𝑣^′(𝑥) = 8𝑒^8𝑥−4 Et pour tout réel 𝑥 : 𝑓’(𝑥) = 2𝑥 × 𝑒^8𝑥−4+ 𝑥²× 8𝑒^8𝑥−4

= 2𝑥𝑒^8𝑥−4+ 8𝑥²𝑒^8𝑥−4 = (8𝑥²+ 2𝑥)𝑒^8𝑥−4

5. Courbes représentatives des fonctions 𝒙 ⟼ 𝒆

^𝒌𝒙

et 𝒙 ⟼ 𝒆

^−𝒌𝒙

avec 𝒌 > 𝟎 :

Représentations graphiques des fonctions de la forme : 𝒙 ⟼ 𝒆^𝒌𝒙 avec 𝒌 > 𝟎

Représentations graphiques des fonctions de la forme : 𝒙 ⟼ 𝒆^−𝒌𝒙 avec 𝒌 > 𝟎 :