Module SIMULATION NUMERIQUE
Majeure MCube
Matthieu BIZEUL, Xavier CLAEYS, Jérôme LIMIDO, Michel SALAUN
4 juin 2010
Le but des sept séances (2h30) de B.E. est de toucher du doigt un certain nombre de méthodes utilisées lors de la résolution numérique de certaines équations aux dérivées partielles à l’aide de la méthode des éléments finis. Bien qu’associées à des problèmes de natures différentes (équation de la chaleur, membrane vibrante, optimisation et élasticité), tous les B.E. proposés reposent sur une modélisation analogue et donc sont fortement corrélés entre eux. De plus, dans tous les cas, on se placera en dimension 2 d’espace et on utilisera la méthode des éléments finis, pour laquelle on choisira des éléments de degré 1 de typeP1Lagrange sur un maillage triangulaire (cf. Chapitre
"Introduction à la méthode des éléments finis" du cours de Calcul Scientifique). Le plan des séances est le suivant :
– résolution de l’équation de la chaleur stationnaire et ouverture sur la modélisation d’un écoulement autour d’un obstacle (BE 1-BE 2) ;
– résolution de l’équation des ondes instationnaire et prise en compte de l’amortissement (BE 3) ;
– optimisation de la répartition de température dans un "four" par une méthode de moindres carrés (BE 4) ;
– exemple de résolution d’un sytème couplé d’équations aux dérivées partielles : cas de l’élasticité 2D, calcul des contraintes et effet du maillage (BE 5).
– propagation d’onde en milieu périodique (BE 6-BE 7).
Enfin, tous les développements informatiques se feront sur le logiciel MATLAB. Un certain nombre de données (trame de codes avec commandes de visualisation et maillages) doivent être téléchar-gés à l’adresse : http ://dmi.ensica.fr/sommaire.php3 (aller sur les onglets "Enseignements", puis "Enseignements en mathématiques appliquées" et enfin "BE Résolution numérique des EDP").
1
Exemples de problèmes stationnaires (BE 1-BE 2)
1.1
Equation de la chaleur
• On considère un corps occupant un domaine Ω de R2. La température, notéeu(x) en un point x
deΩ , de coordonnées x1 etx2 , est solution de l’équation aux dérivées partielles suivante :
−div (k ∇u) = f sur Ω ,
où k est la conductivité thermique du matériau constituant le corps et f la puissance surfacique
fournie. Pour simplifier, nous supposerons dans toute la suite quek est constant et égal à 1, ce qui
permet de réécrire l’équation précédente sous la forme :
−∆u = −∂ 2u ∂x2 1 − ∂ 2u ∂x2 2 = f sur Ω . (1)
• Pour que ce problème soit bien posé, on adjoint à cette équation des conditions aux limites,
posées sur la frontière Γ de Ω . Pour fixer les idées, nous supposerons Γ partitionnée en deux
partiesΓ1 ∪ Γ2 sur lesquelles on impose respectivement :
– une condition de Dirichlet. La température est fixée sur une partie de la frontière :
u = 0 sur Γ1 ; (2)
– une condition de Neumann. Le flux thermique est donné sur une partie de la frontière :
∂u
∂n = g sur Γ2 . (3)
• On rappelle que la formulation variationnelle de l’équation de la chaleur (1)-(2)-(3) s’écrit : Trouver u ∈ V tel que pour tout v ∈ V : a(u, v) = l(v) , (4) où la forme bilinéaire notéea est définie par :
a(u, v) = Z
Ω
∇u . ∇v dx ,
et la forme linéaire notéel par : l(v) = Z Ω f v dx + Z Γ2 g v dγ .
Enfin, l’espaceV dans lequel il convient de travailler est ˜H1
– le domaineΩ est le rectangle ]0 , L1[ × ]0 , L2[ choisi ici égal à ]0 , 2[ × ]0 , 1[ ;
– la puissance surfacique fournief est donnée constante sur tout le domaine, cette constante
pouvant être éventuellement nulle ;
– le flux de températureg sera également supposé constant "par morceaux" de la frontière,
c’est-à-dire sur les segments x1 = 0, x1 = L1 , x2 = 0 ou x2 = L2 du bord. Ici
encore, l’une ou l’autre de ces constantes peut être nulle.
• Pour valider le programme, on calculera sur les trois maillages maillage01.mat, maillage02.mat
et maillage03.mat, la solution numérique associée à chacun des cas suivants :
(1) Chargement surfacique constant surΩ : −∆u = f sur Ω u = 0 sur le bord x1 = 0 ∂u ∂n = 0 sur le reste de Γ (5)
dont la solution exacte s’écrit :u(x1, x2) = −12f x21 + f L1x1.
(2) Chargement concentré sur une arête :
−∆u = 0 sur Ω u = 0 sur le bord x1 = 0 ∂u ∂n = g sur le bord x1 = L1 ∂u ∂n = 0 sur le reste de Γ (6)
dont la solution exacte s’écrit :u(x1, x2) = gx1 .
• Le travail demandé est alors le suivant :
◦ Construire et assembler la matrice de rigidité associée aux différents maillages proposés. En
par-ticulier, on "visualisera" la matrice obtenue après assemblage (commande "spy" sous Matlab).
◦ Construire et assembler le second membre associé aux deux termes de chargement f et g.
◦ Imposer les conditions aux limites en utilisant la méthodologie vue en cours.
◦ Enfin, résoudre le système linéaire obtenu, visualiser la solution et la comparer à la solution de
1.2
Ecoulement autour d’un profil
• On considère la modélisation de l’écoulement bidimensionnel résultant de la présence d’un corps
dans un écoulement stationnaire, de vitesseU . On suppose que le profil de l’obstacle est défini par
une courbe fermée régulière notée ΓP . On "enferme" ce profil dans un domaine borné Ω dont
la frontière est suffisamment éloignée de l’obstacle pour que l’on puisse considérer que, sur cette frontière, le champ de vitesse est celui de l’écoulement uniforme U . De façon plus précise, on
supposera que cette frontière est le rectangle ABCD, les deux faces AB et CD étant choisies
perpendiculaires au vecteurU , tandis que les deux autres lui sont parallèles (voir Figure 1).
• Le problème posé est de déterminer le champ de vitesse V à l’intérieur du domaine Ω de frontière Γ = ΓP ∪ ABCD. Pour ce faire, nous supposerons que l’écoulement est incompressible :
div V = 0 sur Ω , (7) et irrotationnel : rot V = ∂v2 ∂x1 − ∂v1 ∂x2 = 0 sur Ω .
Cette deuxième hypothèse permet d’affirmer qu’il existe une fonction scalaire appelée potentiel de vitesse, notéeφ, telle que :
V = ∇φ . (8)
On remarquera queφ est défini à une constante additive près.
FIGURE1 – Ecoulement autour d’un profil bidimensionnel.
• Les conditions aux limites associées à ce problème s’obtiennent de la façon suivante.
◦ Le long de la paroi ΓP de l’obstacle, le fluide ne pénètre pas, ce qui se traduit par la relation :
V . n = ∂φ
∂n = 0, où n est le vecteur normal sortant au profil. ◦ Sur la frontière extérieure ABCD, la vitesse V est égale à U .
- sur les bordsBC et DA, parallèles à U , on a U . n = 0 et donc :
V . n = U . n = ∂φ
∂n = 0 .
- sur les bords AB et CD, il est facile de vérifier que la dérivée tangentielle ∂φ
∂t est nulle :
on en déduit que ce sont des équipotentielles et que φ y est donc constant. Comme φ est
dé-fini à une constante additive près, on peut choisir : φ = 0 sur AB mais, dans ce cas, on aura φ = constante 6= 0 sur CD. Par contre, on a également : V = U sur CD, ce qui s’écrit : V . n = ∂φ
∂n = U . n = ||U ||.
Finalement, le potentielφ est solution du problème suivant, formellement identique à (6) : −∆φ = 0 sur Ω φ = 0 sur le bord x1 = 0 ∂φ
∂n = g ≡ ||U || sur le bord x1 = L1 ∂φ
∂n = 0 sur le reste de Γ
• Le travail demandé est alors le suivant :
◦ En utilisant le code développé pour résoudre l’équation de la chaleur stationnaire, résoudre le
problème proposé sur le maillage maillage_fluide01.mat.
2
Mouvement d’une membrane élastique amortie (BE 3)
• Dans cette partie, on s’intéresse à l’équation des ondes, qui permet de modéliser le déplacement
transverse d’une membrane élastique en mouvement. On rappelle que si la membrane occupe un domaine bornéΩ de R2, le déplacement normal, en tout pointx de Ω, de coordonnées x1 etx2, à
l’instantt, s’écrit u(x, t) et est solution de : ∂2u ∂t2 − c 2∆u = f sur Ω × [0 , T ] ,
u(x, t) = 0 pour tout x ∈ Γ et pour tout t , u(x, 0) = u0(x) pour tout x ∈ Ω ,
∂u
∂t(x, 0) = v0(x) pour tout x ∈ Ω .
On rappelle également quec désigne la vitesse des ondes, supposée constante dans la membrane, f la force surfacique appliquée, qui dépend du temps a priori, et ∂∂t2u2 l’accélération. Enfin, pour les
applications numériques, on prendrac = 1.
• Prise en compte de l’amortissement. pour modéliser celui-ci, on fait l’hypothèse de
l’amortis-sement visqueux ce qui conduit au système différentiel matriciel :
M ¨U + C ˙U + K U = F ,
oùC est la matrice d’amortissement, dont on suppose qu’elle peut se décomposer sur les matrices
de masse et de rigidité selon :C = ξ1M + ξ2 K , où ξ1etξ2sont deux réels strictement positifs
donnés. ξ1 M s’interprète comme l’amortissement lié à l’environnement extérieur de la structure
(structure plongée dans un fluide par exemple) tandis que ξ2 K représente l’amortissement
in-terne de la structure (jeux ou frottements inin-ternes par exemple). Notons enfin que ces coefficients peuvent être obtenus expérimentalement et/ou donnés au travers de règlements (règle Neige et Vents par exemple).
• Pour résoudre le système différentiel proposé, on utilisera les deux schémas numériques suivants :
- schéma aux différences centrées :
M U n+1 − 2 Un + Un−1 ∆t2 + C Un+1 − Un−1 2 ∆t + K U n = Fn ≡ F (n ∆t) ;
- schéma de Newmark à accélération moyenne : M U n+1 − 2 Un + Un−1 ∆t2 + C Un+1 − Un−1 2 ∆t + K U n+1 + 2 Un + Un−1 4 = Fn+1 + 2 Fn + Fn−1 4 .
• Le travail demandé est alors le suivant :
◦ Construire et assembler la matrice de masse associée à ce problème.
◦ Imposer les conditions aux limites en utilisant la méthodologie vue en cours.
◦ Résoudre numériquement le problème obtenu et visualiser la solution obtenue. On signale enfin
que le démarrage du schéma itératif en temps s’effectue de la façon suivante :
U0 = U (0) = U0 , U1 = U (0) + ∆t ˙U (0) + ∆t 2 2 U (0) = U¨ 0 + ∆t V0 + ∆t2 2 M −1 (F0 − K U 0) .
◦ Première étude : on prendra f = 0 d’une part, v0(x) ≡ 0 d’autre part. Enfin, pour avoir une
solution non identiquement nulle, on imposera un déplacement non nul en un noeud du maillage à l’instant initial, c’est-à-direu0(Si) = 0 pour tous les sommets du maillage, sauf l’un d’eux noté
Si0 pour lequel on prendra u0(Si0) = 0.1 L2 (= 0.1 ici). En pratique, on utilisera le maillage
maillage02.mat, pour lequel on choisira le noeud numéro 40. Enfin, on effectuera le calcul sur 200
pas de temps.
- Dans le cas du schéma aux différences centrées, on étudiera (expérimentalement c’est-à-dire en donnant au pas de temps∆t les valeurs 0.01, 0.02 et 0.025) la stabilité du schéma et on observera
l’effet du choix des coefficients d’amortissement, en prenant respectivement : – ξ1 = ξ2 = 0 ,
– ξ1 = 0.1 et ξ2 = 0 ,
- Dans le cas du schéma de Newmark, on fera les mêmes calculs avec des pas de temps∆t valant
0.01 et 0.1. Que peut-on remarquer en terme de stabilité ?
◦ Seconde étude : on se placera à nouveau dans le cas du problème (5), c’est-à-dire avec le même
chargement et les mêmes conditions aux limites. Pour fixer les idées, on prendraf = 1. De plus,
on prendra des conditions initiales nulles u0(x) ≡ 0 et v0(x) ≡ 0. Dans le cas sans
amortis-sement, le mouvement de la membrane se traduit par une oscillation autour d’une position qui est la solution du problème stationnaire (5). Et, dans le cas amorti, ces oscillations s’amortissent et la solution converge vers celle du problème stationnaire (5).
- En pratique, on utilisera à nouveau le maillage maillage02.mat et on effectuera le calcul sur 1000 pas de temps.
- On résoudra le problème proposé à l’aide des deux schémas numériques proposés et on mettra en évidence l’intérêt de pouvoir prendre des grands pas de temps pour observer la convergence de la solution dans le cas amorti. Enfin, on étudiera à nouveau l’effet du choix des coefficients d’amortissement, en prenant respectivement :
– ξ1 = 0.1 et ξ2 = 0 ,
– ξ1 = 0 et ξ2 = 0.002 ,
3
Optimisation de la répartition de température dans un "four"
(BE 4)
• Le but de cette partie est de trouver les flux de chaleur et le terme source à imposer
respecti-vement à la frontière du domaineΩ et sur le domaine, pour obtenir la température la plus proche
possible d’une température "cible"T0. Comme nous nous intéressons surtout à la démarche, nous
nous placerons pour simplifier (et utiliser ce qui a été développé dans les parties précédentes) dans le cas où le domaineΩ est le rectangle ]0 , L1[ × ]0 , L2[ .
• Rappelons que la température u(x) en un point x de Ω est solution de : −∆u = c4 sur Ω u = 0 sur le bord x1 = 0 ∂u ∂n = c1 sur le bord x1 = L1 ∂u ∂n = c2 sur le bord x2 = 0 ∂u ∂n = c3 sur le bord x2 = L2 (9)
La partie du bordx1 = 0 représente la "porte" du four, où la température est imposée à la
tem-pérature ambiante (par translation, on se ramène à 0). Sur les trois autres parties de la frontière
sont situées des résistances chauffantes qui génèrent un flux de chaleur constant égal àci . Enfin,
le terme source surfacique est supposé constant égal àc4 .
• Introduisons les 4 champs de température ui(x) solutions de :
−∆ui = δi4 sur Ω ui = 0 sur le bord x1 = 0 ∂ui ∂n = δi1 sur le bord x1 = L1 ∂ui ∂n = δi2 sur le bord x2 = 0 ∂ui ∂n = δi3 sur le bord x2 = L2 (10)
où δij est le symbole de Kronecker. Grâce au principe de superposition, le problème (9) étant
linéaire, il est facile de voir que la solution de (9) s’écrit :
u(x) =
4
X
i=1
ciui(x) .
• Le problème est de déterminer les 4 paramètres ci de telle sorte que la température dans le
par la méthodes des moindres carrés qui consiste à trouverc∗ i minimisant : J(c) = Z Ω (u(x) − T0)2 dx = Z Ω 4 X i=1 ci ui(x) − T0 !2 dx .
La condition nécessaire de minimum s’écrit dans ce cas :
∇J(c∗) = 0 ⇔ ∂J ∂ci (c∗) = 0 pour tout i , soit : 2 Z Ω 4 X j=1 c∗ j uj(x) − T0 ! ui(x) dx = 0 , ou encore : 4 X j=1 Z Ω uj(x) ui(x) dx c∗j = Z Ω T0 ui(x) dx , (11)
pour touti, qui est un système linéaire de 4 équations à 4 inconnues.
• Le travail demandé est alors le suivant :
◦ Calculer les 4 solutions élémentaires uide (10).
◦ Construire la matrice et le second membre associés au système (11) et résoudre le problème
d’optimisation avec une températureT0 = 100.
◦ Etudier l’influence du maillage en effectuant les calculs sur les trois maillages maillage01.mat,
maillage02.mat et maillage03.mat.
◦ Pour ceux qui ont le temps, adapter la démarche précédente en prenant comme variables
d’op-timisation une répartition de termes sources ponctuels en chacun des noeuds du bord du domaine, excepté les noeuds où la température est imposée (bordx1 = 0).
4
Elasticité bidimensionnelle (BE 5)
• Le but de cette partie est d’étudier certains aspects de l’utilisation de la méthode des éléments
finis pour la résolution numérique d’un problème de plaque en membrane. Les éléments finis choi-sis seront à nouveau les trianglesP1 Lagrange.
• On considère une plaque mince qui occupe dans l’espace (0 , x , y , z) le domaine Ω. On
noteω le plan moyen de la plaque et on suppose ω contenu dans le plan (0 , x , y). On désigne
parε la demi-épaisseur de la plaque et on suppose naturellement ε > 0 . Autrement dit, on a : Ω = ω × ] − ε , +ε[ . On suppose le matériau constituant la plaque homogène et isotrope et
on noteE son module d’Young et ν son coefficient de Poisson. Enfin, on suppose le chargement
appliqué à la plaque parallèle àω et invariant dans l’épaisseur. Il est alors facile de voir que toute
intégrale d’une fonction invariante suivant l’épaisseur, prise sur le volumeΩ se calcule selon : Z Ω φ(x , y) dx dy dz = Z ω Z +ε −ε φ(x , y) dx dy dz = 2 ε Z ω φ(x , y) dx dy .
Ceci permet donc "d’expliciter" l’influence de l’épaisseur et de "transformer" toute intégrale surΩ
en intégrale sur le plan moyenω.
• Par conséquent, on assimilera dans la suite la plaque à un domaine plan ω de R2 . Celle-ci est
supposée fixée sur une partie Γ1 de sa frontière. Sur la partie complémentaire, notéeΓ2 , elle est
soumise à un chargement concentré notég, de composantes gxetgy. On noteraf , de composantes
fx et fy , la densité des forces de surface (c’est-à-dire les résultantes sur l’épaisseur des forces
de volume...) qui s’appliquent à la plaque. On suppose le chargement tel que l’on reste dans le domaine élastique linéaire. Enfin, on adopte le modèle des contraintes planes.
• Le déplacement, noté u(x, y) en un point de coordonnées x et y de ω, est alors solution du
système d’équations aux dérivées partielles suivant :
div σ + f = 0 ⇐⇒ ( ∂σ xx ∂x + ∂σyx ∂y + fx = 0 ∂σxy ∂x + ∂σyy ∂y + fy = 0 sur ω , (12)
oùσ est le tenseur des contraintes, qui dépend du déplacement u par l’intermédiaire de la loi de
comportement. Dans le cas d’un matériau homogène et isotrope, et sous l’hypothèse des contraintes planes, on a : σxx = 1 − νE 2 (εxx(u) + ν εyy(u)) σyy = 1 − νE 2 (ν εxx(u) + εyy(u)) σxy = σyx = 1 + νE εxy(u) (13)
oùε(u) désigne le tenseur de déformation linéarisé, qui est défini par : εxx(u) ≡ ∂ux ∂x εxy(u) ≡ 1 2 ∂ux ∂y + ∂uy ∂x εyy(u) ≡ ∂uy ∂y .
Enfin, les conditions aux limites associées aux conditions de fixation et de chargement concentré indiquées plus haut, s’écrivent :
u = 0 ⇐⇒ ( ux = 0 uy = 0 sur Γ1 σ . n = g ⇐⇒ ( σxx nx + σyxny = gx σxy nx + σyy ny = gy sur Γ2 (14)
en notantnx etny les composantes de la normale unitaire sortante àω.
• Pour simplifier les écritures, on note les tenseurs (symétriques) de contraintes et de déformation
sous forme de vecteurs à 3 composantes. On pose :
σ = σxx σyy σxy ε(u) = εxx(u) εyy(u) 2 εxy(u)
Il est alors facile de voir que la loi de comportement (13) peut prendre la forme matricielle sui-vante :σ = D ε(u) avec :
D = E 1 − ν2 ν E 1 − ν2 0 ν E 1 − ν2 1 − νE 2 0 0 0 E 2 (1 + ν) = E 1 − ν2 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν2
• La formulation variationnelle du problème (12)-(14) s’obtient de la façon suivante. On multiplie
la première équation de (12) par vx nulle sur Γ1 , la seconde équation par vy nulle sur Γ1 , on
somme et on intègre surω. Il vient : Z ω ∂σxx ∂x + ∂σyx ∂y vx + ∂σxy ∂x + ∂σyy ∂y vy dx dy + Z ω (fx. vx + fy . vy) dx dy = 0
On intègre par parties le premier terme et on fait passer l’autre au second membre :
Z
où wT désigne le vecteur transposé du vecteur w, tandis que wT . z désigne le produit scalaire
euclidien des vecteursw et z. Puis, en prenant en compte les conditions aux limites, on obtient : Z ω σxx ∂vx ∂x + σyx ∂vx ∂y + σxy ∂vy ∂x + σyy ∂vy ∂y dx dy − Z Γ2 (gx vx + gy vy) dγ = Z ω fT . v dx dy
Enfin, la symétrie du tenseur des contraintes permet d’écrire :
σxx ∂vx ∂x + σyx ∂vx ∂y + σxy ∂vy ∂x + σyy ∂vy ∂y = σxx ∂vx ∂x + σxy ∂vx ∂y + ∂vy ∂x + σyy ∂vy ∂y = σxx εxx(v) + 2 σxy εxy(v) + σyyεyy(v) = σT . ε(v) = ε(u)T . D . ε(v) .
On en déduit la formulation variationnelle qui est donc :
Trouver u ∈ V tel que pour tout v ∈ V : a(u, v) = l(v) . (15)
où l’espace V s’écrit : V = ( w = wx wy ! ∈ [H1(ω)]2 / w = 0 sur Γ 1 ) . Par ailleurs, la forme bilinéairea vaut :
a(u, v) = Z ω σT . ε(v) dx dy = Z ω ε(u)T . D . ε(v) dx dy .
Enfin, la forme linéairel est définie par : l(v) = Z ω fT . v dx dy + Z Γ2 gT . v dγ .
On admettra que la formulation variationnelle (15) admet une solution unique siΓ1 est de mesure
non nulle.
• Construction de la matrice de rigidité
◦ On suppose le plan moyen de la plaque maillé à l’aide de triangles. On choisit d’approcher
chaque composante du déplacementu à l’aide de fonctions de l’espace Vhsuivant :
Vh = w ∈ C0(ω) / w ∈ P
1 pour tout triangle K ; w = 0 sur Γ1
.
Par conséquent, si N est le nombre de sommets du maillage, comme chaque sommet porte deux
◦ Soit K un triangle quelconque du maillage, de sommets notés S1 , S2 etS3 . Dans la suite, on
noteraxi etyi les coordonnées deSi etλ1 , λ2 et λ3 les trois fonctions de base P1 . Alors, sur le
triangleK, les composantes ux(x, y) et uy(x, y) du déplacement s’écrivent :
ux(x, y) = ux(S1) λ1(x, y) + ux(S2) λ2(x, y) + ux(S3) λ3(x, y) .
uy(x, y) = uy(S1) λ1(x, y) + uy(S2) λ2(x, y) + uy(S3) λ3(x, y) .
siux(Si) et uy(Si) sont les composantes des déplacements des sommets. Par conséquent, le vecteur
déplacementu s’exprime à l’aide des 6 fonctions de base suivantes :
w1 = λ1 0 ! , w2 = 0 λ1 ! , w3 = λ2 0 ! , w4 = 0 λ2 ! , w5 = λ3 0 ! , w6 = 0 λ3 !
Le tenseur de déformation linéarisée s’écrit alors :
εxx(u) = ∂ux ∂x = ux(S1) ∂λ1 ∂x + ux(S2) ∂λ2 ∂x + ux(S3) ∂λ3 ∂x . εyy(u) = ∂uy ∂y = uy(S1) ∂λ1 ∂y + uy(S2) ∂λ2 ∂y + uy(S3) ∂λ3 ∂y . 2 εxy(u) = ∂ux ∂y + ∂uy ∂x = ux(S1) ∂λ1 ∂y + ux(S2) ∂λ2 ∂y + ux(S3) ∂λ3 ∂y + uy(S1) ∂λ1 ∂x + uy(S2) ∂λ2 ∂x + uy(S3) ∂λ3 ∂x
Sous forme matricielle, ceci s’écritε(u) = B U où B est la matrice rectangulaire :
B = ∂λ1 ∂x 0 ∂λ2 ∂x 0 ∂λ3 ∂x 0 0 ∂λ1 ∂y 0 ∂λ2 ∂y 0 ∂λ3 ∂y ∂λ1 ∂y ∂λ1 ∂x ∂λ2 ∂y ∂λ2 ∂x ∂λ3 ∂y ∂λ3 ∂x
etU le vecteur défini par : UT = ( u
x(S1) , uy(S1) , ux(S2) , uy(S2) , ux(S3) , uy(S3) ) .
◦ L’expression de B en fonction des coordonnées des sommets et de la surface du triangle, notée |K|, s’écrit : B = 1 y2− y3 0 y3− y1 0 y1− y2 0 ≡ 1 B′ .
Les déplacements qui "vivent" surK sont associés aux 6 fonctions de base widu triangle, données
ci-dessus. La matrice élémentaire associée à la forme bilinéairea est donc une matrice symétrique 6 × 6, dont le terme général s’écrit :
AKij = Z
K
ε(wi)T . D . ε(wj) dx = |K| ε(wi)T . D . ε(wj) ,
car la matrice D est constante, de même que ε(wi) (dérivées de polynômes P1). Par conséquent,
avec les calculs faits plus haut, on a :
AK = |K| BT . D . B = 1 4 |K| B
′T . D . B′
.
• Algorithme d’assemblage utilisé pour construire la matrice de rigidité globale :
A chaque sommet du maillage numérotéi sont associées deux inconnues ux(i) et uy(i). Si N est
le nombre de sommets du maillage, le vecteur global des inconnues du problème s’écrit :
UT = ( ux(1) , uy(1) , ... , ux(N ) , uy(N ) ) .
Il est de taille2 N et on renumérote ux(i) en u2i−1, etuy(i) en u2i, pouri variant de 1 à N . La
boucle d’assemblage s’effectue alors de la façon suivante : Boucle sur les élémentsK du maillage :
– Lecture des numérosS1 ,S2 etS3 des trois sommets deK ;
– Calcul de la matrice élémentaireAK;
– Boucle d’assemblage : pouri et j variant de 1 à 3, faire : A2Si−1 , 2Sj−1 := A2Si−1 , 2Sj−1 + A K 2i−1 , 2j−1 A2Si−1 , 2Sj := A2Si−1 , 2Sj + A K 2i−1 , 2j A2Si, 2Sj−1 := A2Si, 2Sj−1 + A K 2i , 2j−1 A2Si, 2Sj := A2Si, 2Sj + A K 2i , 2j
• Le travail demandé est alors le suivant :
◦ Construire et assembler la matrice de rigidité associée aux différents maillages proposés.
◦ Construire et assembler le second membre associé à un chargement de type traction, c’est-à-dire f = 0, gx = 1 et gy = 0, appliqué sur le bord x = L1.
◦ Imposer les conditions aux limites en supposant le vecteur déplacement nul sur le bord x = 0. ◦ Résoudre le système linéaire obtenu et visualiser la solution. On étudiera les cas ν = 0 et ν 6= 0
(par exemple,ν = 0.3) pour mettre en évidence l’effet de Poisson.
◦ Calculer et visualiser le champ de contrainte de Von Mises obtenu, en particulier sur le maillage
maillage_fluide01.mat, qui représenterait dans ce cas une plaque trouée :
σV M = σxx2 + σyy2 + 3 σxy2 − σxx σyy
1/2 .
5
Propagation d’onde en milieu périodique (BE 6-BE 7)
• Modélisation. On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique dans un guide
d’onde périodique. Ce type de guide d’onde peut-être utilisé pour fabriquer des métamatériaux (des matériaux dont l’indice de réfraction effectif est négatif). Lors de la phase de dimensionne-ment, il peut être utile de procéder à des simulations numériques préliminaires.
Supposons que la géométrie du domaine de propagation soit invariante suivant la variable z, et
comme représenté sur le schéma ci-dessous (le domaineΩ étant le domaine défini au BE 1).
y = 0 y = L2
x = 0
(E, H)
L1
Sur ce schéma, les zones hachurées représentent des conducteurs parfaits. Le domaine 2-D ainsi représenté est notéΩ#. La structure périodique se traduit ici par :
Ω# = +∞ [ n=−∞ n L1xˆ+ ΩP avec ΩP = Ω \ D( x0, L2/4 ) et x0 = (L1/2, L2/2)
En considérant que les sources du champ sont également invariantes suivant z, le champ électro-magnétique(E, H) ne dépend plus que de x et y et se décompose alors de la manière suivante :
(E, H) = (E⊥, Hz· ˆz) + (Ez· ˆz, H⊥) avec ˆz = (0, 0, 1) et E⊥· ˆz = H⊥· ˆz = 0
où les couples(Ez, H⊥), appelé mode TE, et (E⊥, Hz), appelé mode TM, sont gouvernés chacun
par des équations découplées. En supposant les caractéristiques du milieu de propagation telles queǫ = 1 (permittivité) et µ = 1 (perméabilité), les équations du mode TE en régime harmonique
de pulsationω s’écrivent : ∂Ez ∂y − iωHx = 0 , − ∂Ez ∂x − iωHy = 0 et ∂Hy ∂x − ∂Hx
• Sources du champ. Le champ dans le guide est alimenté par un courant j · ˆz où j est une
constante. La prise en compte de la condition de conducteur parfait amène à imposer des conditions de Neumann (inhomogènes) sur les des parois du guide :
∂yEz = j en y = L2 et
∂Ez
∂n = 0 ailleurs sur le bord . (17) • Réduction du problème : condition de périodicité. Le problème (16)-(17) est posé dans le
domaine Ω# qui est non borné, ce qui soulève naturellement une difficulté pour une résolution
numérique puisque la boîte de calcul doit être bornée. On prend donc la périodicité en compte pour se ramener à un problème posé sur le domaineΩP représenté ci-dessous :
C D B A Γ−= [A, B] Γ+= [C, D]
Pour imposer variationellement la condition de périodicité, on procède dans le même esprit que pour une condition de Dirichlet, par un choix judicieux de l’espace variationnel qui sera dans notre cas : V# := n v ∈ H1(ΩP) v|Γ− = v|Γ+ o .
La formulation variationnelle s’écrit alors :
Trouver Ez ∈ V# tel que a(Ez, v) = l(v) ∀v ∈ V#
où a(u, v) = Z ΩP ∇u · ∇v dx − ω2 Z ΩP u v dx et l(v) = Z [B,C] j v dσ . (18)
• Description de l’espace d’approximation. Notons I = {1, . . . , N} un ensemble d’indices qui
servira à numéroter les noeuds du maillage, et N = {a1, . . . , aN} l’ensemble des noeuds du
maillage. On supposera que :
card(N ∩ Γ−) = card(N ∩ Γ+) := NΓ (19)
On supposera également, quitte à renuméroter, que les noeuds situés sur Γ+ sont N ∩ Γ+ =
{a1, . . . , aNΓ} et que les noeuds situés sur Γ− sont N∩ Γ− = {a1+NΓ, . . . , a2NΓ}. On supposera
enfin que :
ak= ak+NΓ+ L1· ˆx ∀k = 1 . . . NΓ . (20)
Rappelons que l’espace d’élements finisP1 Lagrange (associé à une condition de Neumann) est
défini par :
Vh = v ∈ C0(Ω) / v ∈ P
1 pour tout triangle K
.
L’espace d’approximation discret que l’on choisit pour résoudre (18) est défini par :
Vh# = { vh ∈ Vh | vh|Γ− = v
h| Γ+ } .
Imposer la périodicité à un élémentvh choisi dansVhrevient à imposerN
Γconditions :
Pourvh ∈ Vh , vh ∈ V#h ⇐⇒ v(ak) = vh(ak+NΓ) ∀k = 1 . . . NΓ.
• Assemblage de la matrice. Notons ϕh
i l’unique fonction de Vh qui vérifie ϕhi(aj) = δij. La
familleϕh
i constitue une base de l’espaceVh. La matrice éléments finisA = (Ai,j) associée à la
condition de Neumann sur tout le bord et le vecteur second membreF = (Fi) sont alors donnés
par :
Ai,j = a(ϕhi, ϕhj) et Fi = l(ϕhi) , i, j = 1 . . . N (21)
Si l’on note A# la matrice etF#le second membre associés à (18), alors ceux-ci sont obtenus à
partir deA et F par l’expression suivante (Idkdésigne la matrice identité de rangk) :
A# = " IdNΓ IdNΓ 0 0 0 IdN−2NΓ # · A · IdNΓ 0 IdNΓ 0 0 IdN−2NΓ F# = " IdNΓ IdNΓ 0 0 0 IdN−2NΓ # · F
• Le travail demandé est le suivant.
(1) Assemblage préliminaire
◦ En supposant dans un premier temps qu’on impose une condition de Neumann partout, ce
qui reviendrait à choisir H1(Ω
P) comme espace variationnel, assembler la matrice
asso-ciée au problème (18).
◦ A l’aide de la commande "find" de MATLAB, compter le nombre effectif Nad’arêtes
lo-calisées sur le bord [BC]. Créer un tableau d’entiers Ie de taille Na contenant le numéro
des arêtes localisées sur le bord[BC]. Assembler ensuite le second membre en suivant la
(2) Prise en compte de la condition de périodicité
◦ Dans la pratique, les noeuds situés sur N ∩ Γ+ ne sont pas forcément les NΓ premiers
noeuds du maillage, et la même remarque vaut pour N∩ Γ−. En vous aidant de la
com-mande "find" de MATLAB, compter le nombre de noeuds situés sur Γ+afin de déterminer
la valeur effective deNΓ. Vérifier que (19) est bien satisfait en faisant de même pourΓ−.
◦ Fabriquer un tableau Ip( ) de taille 1 × NΓtel que{ aIp(k) | k = 1 . . . NΓ } = N ∩ Γ+. Ceci
revient à établir une renumérotation de N∩ Γ+. Faire de même pour N∩ Γ−en créant un
tableauIm( ).
◦ Utiliser la commande "sort" de MATLAB afin de ranger les aIp(k) = (xk, yk), k = 1 . . . NΓ
de sorte quey1 < · · · < yNΓ. Faire de même avec les aIm(k). Ceci permet d’assurer que
aIp(k) = aIm(k)+ L1· ˆx pourk = 1 . . . NΓ.
◦ Imposer la condition de périodicité sur la matrice du problème ainsi que sur le second
membre en utilisant la méthodologie vue en cours.
◦ Résoudre le problème pour les maillages maill_périod_1.mat et maill_périod_2.mat en
prenantj = 2.
• Propagation dans un réseau bi-périodique. On considère le même problème que
précédem-ment sauf que cette fois-ci le domaine Ω# est supposé présenter une périodicité dans les deux
directions de l’espace. Ω# = [ n,m∈Z n L1xˆ+ m L2yˆ+ ΩP avec ΩP = Ω \ D( x0, L2/4 ) et x0 = (L1/2, L2/2)
On veut à nouveau caluler le mode TE du champ électromagnétique, et on suppose que la source provient d’un courantj·ˆz avec j ∈ R circulant dans les barres parfaitement condutrices représentées
par des cercles hachurés sur le dessin. L’équation à résoudre est donc :
∆Ez+ ω2Ez = 0 dans Ω# et
∂Ez
∂n = j sur ∂Ω#
Pour résoudre ces équations on se ramène à nouveau à un problème posé dans la cellule de pério-dicitéΩP. La formulation variationnelle correspondante est alors :
Trouver Ez ∈ W# tel que a(Ez, v) =
Z
ΓP
j v dσ ∀v ∈ W# (22)
On notera que, comparée à (18), la forme bilinéaire reste la même, seul l’espace variationnel change. Celui-ci est défini par :
W# = n v ∈ H1(ΩP) v|[A,B] = v|[C,D] et v|[B,C]= v|[A,D] o
• Le travail demandé est le suivant :
◦ Assembler la matrice et le second membre associés au problème (22) sans tenir compte,
dans un premier temps, des conditions de périodicité.
◦ Reprendre le travail de renumérotation précédent en prenant en compte les deux nouvelles
frontières périodiques. Imposer les conditions de périodicité.
