Méthodes de Volumes Finis et Singularités

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Karim Djadel. Méthodes de Volumes Finis et Singularités. Mathématiques [math]. Université de

Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2005. Français. �tel-00010772�

(2)

(3)

Table des Matières

Table des Matières 1

Introdu tion générale 5

I Méthodes de Volumes Finis et singularités de oin bidimensionnelles 9

1 Introdu tion 11

1.1 Position duproblème. . . 11

1.2 Espa esdeSobolevàpoids-régularitédelasolution. . . 12

1.3 Plandelapremièrepartie . . . 15

Notationsimportantesdelapremièrepartie 16 2 Méthode de VolumesFinis entrée elluleranéeen présen e d'une singularité de oin 19 2.1 Notations-Dénitions. . . 19

2.2 S hémanumérique . . . 20

2.3 Majorationd'erreur . . . 22

2.4 Essaisnumériques . . . 30

3 Méthode d'Éléments-Volumes Finis basée sur des éléments nis onformes en présen e d'une singularité de oin 35 3.1 Notations-Dénitions. . . 35

3.3 Résultatspréliminaires . . . 39

4 Une méthode d'Éléments-Volumes Finis basée sur des éléments nis non onformes en présen ed'une singularité de oin 51 4.1 Notations . . . 51

4.3 Résultatspréliminaires . . . 54

5 Méthoded'Éléments-VolumesFinisnon onformeranéeen présen ed'unesingularitéde oinpour leproblèmede Stokes 67 5.1 Position duproblèmeet résultatsderégularité . . . 67

(4)

6 Dis rétisation de l'équation de Navier-Stokes par une méthode d'Éléments-Volumes non onforme sur un ouvertpolygonal non- onvexe de IR 2 87 6.1 Position duproblèmeet résultatsderégularité . . . 87

6.3 Existen eetuni itédelasolutionappro hée . . . 92

7 Appli ationdela méthode d'Éléments-VolumesFinisnon onformeà quelques astestsde la mé anique des uides 107 7.1 Premier astest:La avitéentraînée . . . 108

7.2 Se ond astest:Lamar hedes endante . . . 109

II Méthodes de Volumes Finis et anisotropie en dimension deux 113 1 Introdu tion 115 1.1 Position duproblème. . . 115

1.2 Maillagesanisotropes. . . 117

1.3 Comportementdelasolution . . . 118

1.4 Plandelase ondepartie . . . 120

Notationsimportantesdelase ondepartie 122 2 Méthode de Volumes Finis entrée ellulepour lesproblèmesde réa tion-diusion sur des maillages anisotropes 125 2.1 Notations-Dénitions. . . 125

3 Méthode d'Éléments-Volumes Finis basée sur des éléments onformes pour lesproblèmes de réa tion-diusionsur des maillagesanisotropes 145 3.1 Notations-Dénitions. . . 145

4 Méthode d'Éléments-Volumes Finis basée sur des éléments non onformes pour les pro-blèmesde réa tion-diusion sur des maillagesanisotropes: asdes triangles 155 4.1 Notations-Dénitions. . . 155

5 Méthode d'Éléments-Volumes Finis basée sur des éléments non onformes pour les pro-blèmesde réa tion-diusion sur des maillagesanisotropes: asdes quadrangles 165 5.1 Notations-Dénitions. . . 165

(5)

III Méthodes de Volumes Finis et singularités en dimension trois 179

1 Introdu tion 181

1.1 Position duproblème. . . 181

1.2 Espa esdeSobolevàpoids-régularitédelasolution. . . 182

1.3 Casparti uliers . . . 185

1.4 Plandelatroisièmepartie . . . 188

Notationsimportantesdelatroisièmepartie 189 2 Méthode de VolumesFinis entrée elluleetsingularitésen dimension trois 193 2.1 Notations-dénitions . . . 193

2.3 Rappeldelamajorationd'erreurdansle asrégulier(u2H 2 ()) . . . 195

3 Méthode d'Éléments-VolumesFinis onforme etsingularitésen dimensiontrois 203 3.1 Notations-Dénitions. . . 203

4 Méthode d'Éléments-VolumesFinisnon onformeet singularitésen dimension trois 213 4.1 Notations-Dénitions. . . 213

5 Estimateura-posteriori pourla méthode de VolumesFinis entrée ellule en 3D 219 5.1 Notations-Dénitions. . . 219

5.2 Introdu tiondel'estimateur . . . 221

Con lusion 232

(6)

Remer iements

Jeremer ietoutd'abordM.SergeNICAISEpourm'avoirpermisd'ee tuer ettethèsesoussadire tionet

d'avoirétési patientave moi, sanslui etravailn'auraitjamaisétépossible.

J'adresse aussi mes plus vifs remer iements au président du jury, le Professeur Thierry GOUDON, aux

rapporteurs, les Professeurs Raphaèle HERBIN et Fayssal BENKHALDOUN, ainsi qu'aux membres dujury,

les ProfesseursClaude BREZINSKIet Paul DEURING, pouravoira epté delire ette thèse et m'avoirfait

béné iédeleurpré ieusesremarquesetsuggestions.

Je souhaite égalementexprimer mare onnaissan eàtout euxqui, auseindes laboratoiresPaulPainlevé

de Lille et deMathématiquesAppliquées au Cal ulS ientique deValen iennes, ontsu m'aideret me guider

and'a omplir e travail,plusparti ulièrementMessieursEmmanuelCREUSÉ et DenisMERCIERave qui

j'aieudesdis ussionstrèsenri hissantes.

Jetiensaussiàadressermare onnaissan eàtoutmes ollèguesthésardsquim'ontmaintesfoisaidéeté lairé

de leurs lumières, plusspé ialementNadir SOUALEM, Delphine JENNEQUINet Ioannis KAPOPOULOSà

quije doisbeau oup.

(7)

Introdu tion générale

Depuisleurapparitiondanslesannéessoixanteet lespremierstravauxles on ernant[88,91℄,lesméthodes

de Volumes Finis n'ont essé de faire l'objet d'un vif intérêt dans plusieurs sous-dis iplines de la Physique

(Thermodynamique,Mé aniquedesFluides,...).Eneet,detellesméthodesbéné ientdedeux ara téristiques

fondamentales onstituant leuravantagesparrapportaux autresméthodestelles queles Diéren esFinieset

lesÉlémentsFinisentreautres:

leursimpli itéalgorithmique:lesméthodesdeVolumesFinisont,engénéral,un oûtenespa emémoire

et en temps de al ul peu élevéet sont ara tériséesparune ertainesimpli ité dans l'é riture des

pro-grammes,

elles obéissent au prin ipe du onservationdeux, e i expliquant que les méthodes de Volumes Finis

soientparti ulièrementemployéesdansledomainedelaMé aniquedesFluides.

Néanmoins, d'un point de vue mathématique, es méthodes sont longtempsrestées peu étudiées

ontrai-rementaux méthodes d'Éléments Finis ou de Diéren esFinies. Elles ont don ,depuis quelquesannées, fait

l'objet detravauxmathématiques de plusen plus onséquents(étude deproblèmes elliptiques [52, 8, 94, 63℄,

paraboliques[52, 22℄, hyperboliques[52, 27℄, équationsde Stokes[23, 54, 55℄et deNavier-Stokes[13, 42, 54℄,

...).ParmilesnombreusesméthodesdeVolumesFinis, itons:

laméthodedeVolumesFinis entrée ellule[52℄:Cetteméthodeestl'unedespremièresapparue

(initiale-mentsouslenomdeméthodedeVolumesFinis " ell- enter"ouFV4)et estparti ulièremente a esur

desmaillagesstru turés.Deplus,elleafaitl'objetdespremierstravauxmathématiquessurlesméthodes

deVolumesFinis[63,52℄.

les méthodes d'Éléments-Volumes Finis ( onforme et non onforme) [8, 19, 48℄: es méthodes ont été

introduites relativement ré emmentet fontl'objet denombreux travaux(appli ations auxéquations de

Navier-Stokes instationnaires, utilisation d'estimateur a-posteriori, ...). Ces méthodes révèlent une

vo-lonté de déstru turer les s hémas de Volumes Finis plus lassiques ( entrée ellulepar exemple) en les

rappro hantdes hémasd'ÉlémentsFinis.

laméthodedeVolumesFinis entréesommet[91℄:plus onnuesouslenomdeméthodedeVolumesFinis

" ell-vertex",elleesten orerelativementpeuétudiée mathématiquement.

laméthodedeVolumesFinisdiamant[12,27℄:tout ommepourlesméthodesd'Éléments-VolumesFinis,

(8)

utilisantdes approximationsparDiéren esFinies.Pré isons enoutre quelesestiméesétablies dansles

travauxenvigueurné essitentdesrégularitéslégèrementsupérieuresàleuréquivalentspourlaméthode

deVolumesFinis entrée ellule.

la méthodede VolumesFinis mixtes[76℄: nous itons ette méthode entant qu'undesnombreux

déve-loppementsré ents on ernantlesméthodesdeVolumesFinis; lebut re her héétant,enl'o urren e,de

serappro herdesméthodesd'ÉlémentsFinismixtestout endiminuantla omplexitéalgorithmique.

Pré isons qu'ilexiste bien d'autresméthodesde VolumesFinis et quenous ne prétendonsdon nullement

êtreexhaustifsdanslalistedonnéepré édemment.

Dans ette thèse, nous traiteronsles deuxpremièresméthodes.Leur étudesemble eneet ouvrirlaporte

à l'analyse de beau oup d'autres méthodes de Volumes Finis pour lesquelles leste hniques développées sont

relativementpro hes.En outre, esdeuxméthodessemblentêtre elles quitrouventleplusd'é hos,aussibien

dans le domaine de la Physique, que dans elui des Mathématiques. Par ailleurs, nous ne nous intéresserons

i iqu'aux problèmeselliptiqueset pluspré isément,pour haquepartie,nousn'étudierons quedesproblèmes

modèlestoutensa hantqu'unegénéralisationà ertainsopérateurselliptiquesneposeau unproblèmemajeur.

Lessujetsabordésdans ette thèseserontdon lessuivants:

Première partie: nous traiteronsle as des singularitésde oinbidimensionnelles. En eet, lathéorie

montre que, si où nous nous plaçons sur un domaine non onvexe de IR

2

, la solution d'un problème

elliptiqueperdsarégularitéoptimale[31,32,46℄.Par onséquent,touteslesestiméesd'erreurétabliesdans

le adre d'unerégularitéoptimalene sontplusvalables. Nousnousproposonsdon de rétablir et ordre

de onvergen eoptimaldansle asd'unesolutionnonrégulièreenutilisant,entreautres,desranements

de maillage lo aux omme pour les méthodes d'Éléments Finis [38, 41, 62, 68℄ et de Diéren es Finies

[44℄. Dans une ourte introdu tion, nous présenterons plus en détails le problème et nous introduirons

quelques notations et dénitions de base on ernant ette partie. Pour le problème de Lapla e, le as

d'unedis rétisationparVolumesFinis entrée elluleseratraitédansle hapitre2(pour ette méthode,

nousattironsl'attentiondule teursurdestravauxantérieurs[63,64℄donttoutefoislesrésultatsontdes

appli ations assezrestri tives),le asd'unedis rétisation parÉléments-Volumes Finis sera,quantàlui,

traitéense tion3pourlaméthode onformeetense tion4pourlaméthodenon onforme(signalonsà e

sujet[21℄oùl'auteurtraitedeladis rétisationpardesméthodesd'Éléments-VolumesFinisd'unproblème

à singularités de oin bidimensionnelles mais il n'introduit pasles ranements de maillage lo aux an

de restaurer l'ordre de onvergen e optimal des méthodes). Nous nous intéresserons ensuite, dans les

hapitres 5 et 6, aux problèmes de Stokes et de Navier-Stokes onsidérés sur un ouvert non onvexe

de IR

2

et dis rétisés par une méthode d'Éléments-Volumes Finis non onforme (préférée à la méthode

d'Éléments-VolumesFinis onformepourson oût algorithmiquemoinsélevé).Pré isonsquel'utilisation

d'un s héma deVolumes Finis entrée ellulepour lesystème de Stokesaété traitée dans [84℄ et afait

l'objet detravauxextérieursà ette thèse.Nous proposeronsenn ense tion6quelquesappli ations de

(9)

Se ondepartie:nousnousintéresseronsau asdesproblèmesderéa tion-diusionperturbésdis rétisés

sur des maillages anisotropes [2, 75, 74℄. Ces maillages vérientle ritère deDelaunay, 'est àdire que

les triangles ne sont pas trop "dégénérés" ou "plats" mais de manière ritique, ependant ils tiennent

ompte des spé i ités de la solution du problème onsidéré. De la même manière que pour e qui a

été fait dans lapremièrepartie, nous dé rirons tout d'abordle problèmeet introduirons des dénitions

de base.Nous utiliseronsen parti ulier lesrésultatsthéoriques de [2,49, 74℄ qui quantient demanière

pré ise le omportementde lasolutionde tels problèmes.Les se tions2-4 serontalorsdédiées àl'étude

de la onvergen e desméthodesdeVolumes Finis entrée ellule,d'Éléments-VolumesFinis onformeet

d'Éléments-VolumesFinis non onformeappliquéesàunproblèmede réa tion-diusionperturbémodèle

surdesmaillagesanisotropes.Nousétablironsalorsla onvergen everslasolutionexa tedesméthodesde

Volumes Finis entrée elluleet d'Éléments-VolumesFinis onformeet expliqueronslesraisons du

mau-vais omportementdelaméthoded'Éléments-VolumesFinisnon onforme(etaussid'ÉlémentsFinisnon

onformedu même oup). Ande résoudre e problèmed'instabilité de laméthode, nouspré oniserons

l'emploid'élémentsnon onformesplusstablesetpluspré isémentlerempla ementdeséléments

triangu-lairespardesélémentsquadrangulaires.Nousdémontreronsalorsla onvergen edelasolutionappro hée

verslasolutionexa te.

Troisièmepartie: ettepartieseradavantagenumériquequethéoriqueettraiteradeladis rétisationde

problèmes elliptiquespar desméthodes deVolumesFinis en présen ede singularitéstridimensionnelles.

En eet, tout omme pour le as bidimensionnel, la solution d'un problème elliptique sur un domaine

non onvexede IR

3

présente des singularités[2, 92, 70℄. Cependant,parrapport au as bidimensionnel,

l'expression de es singularités s'avère plus omplexe et leur nature plus variée (singularités de oinet

d'arêtes). Nous introduirons dans unpremier temps quelquesnotations et dénitions inhérentes à ette

partie. La se tion 2 présentera la méthode de Volumes Finis entrée ellule en dimension trois. Nous

mettronsalorsenéviden e,àl'aidedequelquesessaisnumériques,lemeilleurordrede onvergen eobtenu

sur les maillagesranés lo alementpar rapport auxmaillages uniformes. Nous développerons la même

stratégiepourlesméthodesd'Éléments-VolumesFinis onformeetnon onformedansles hapitres3et4.

Lase tion5présentera,quantàelle,unestimateura-posterioripourlaméthodedeVolumesFinis entrée

ellule.Lesrésultatsde ettese tionétantutilisésdanslase tion2,nousavonsjugéutiled'in lure eux- i

dans ette partiedelathèse.

Signalonsenoutreque,pour haque hapitre,desessaisnumériquesillustrentlesrésultatsthéoriquesobtenus.

Par ailleurs, nous avons her hé à rendre les diérentes parties le plus indépendantes possible les unes des

autres, le le teurne s'étonnera don pas de voir ertaines dénitions serépéter d'une partie àl'autre. Enn,

pour haqueméthodeétudiée,nousavonsadoptélesnotationsdesréféren esdebaseutilisées( 'estàdire[52℄

(10)

(11)

Première partie

Méthodes de Volumes Finis et singularités

(12)

(13)

Chapitre 1

Introdu tion

1.1 Position du problème

Soitunouvertpolygonal onnexedeIR

2

debord ,où estl'unionniedeN segments

j

;j=1;:::;N.

Notonsalors,pourj 2f1;:::;Ng,

O j l'interse tionentre j et j+1 ,en onvenantque 1 = N+1 , ! j l'angleintérieuràenO j (voirgure1.1). O j ! j j j+1 Fig.1.1 Domaine NousintroduisonsW :=fj2[[1;N℄℄ : ! j > g. Soitf 2L 2 () etg2H 3 2

( ).Nous onsidéronsalorsleproblèmeelliptiquesuivant:

8 > > < > > : L(u) = f dans ; u = gsur ; (1.1.1)

(14)

L(:) := 2 X i;j=1 D i a ij D j : + a 0 :

telqu'ilexisteune onstante >0telleque:

a 0 2C 1 ( ) et8 M2 ;a 0 (M) ; 8 i;j2f1;2g;a ij 2C 1 ( ) et8 M2 ;a ij (M)=a ji (M); 8 i;j2f1;2g;8 M2 ;8 :=( 1 ; 2 )2IR 2 ; 2 X i;j=1 a ij (M) i j jj 2 :

Leproblème(1:1:1)admetuneuniquesolutionu2H

1

().Enoutre,ilest bien onnuquedansle asoù

est onvexe( 'estàdireW =;), u2H

2

()(voirlethéorème3.2.1.2de[46℄).

En revan he,dans le as où W 6=;, u62 H

2

() (sauf si f vérie ertainesrelations d'orthogonalité [46℄)

à ausede laprésen ede singularitésde oinenO

j

pourj 2W. Ilfaut alorsintroduire denouveauxespa es

pourdé rirele omportementdeuprèsdessommetsO

j

;j 2W.

1.2 Espa es de Sobolev à poids - régularité de la solution

Dénissons,pourj2W: r j : ! IR + M 7 ! r j (M)=d(M;O j );

etintroduisonslesespa esdeSobolevàpoidsdénis,pourl'ensembleW,m2IN

et 2[0;1[,par H m; W ():= fu2H m 1 () : juj 2 m;; := Z j min j2W r j (x) D u(x)j 2 dx<+1;82IN 2 : jj=mg;

munidelanormekuk

m;; :=(kuk 2 m 1; +juj 2 m;; ) 1 2 :

Ilpeutêtrealorsprouvéque,dansle asoùW 6=;,lasolutionude(1:1:1)appartientàH

2;

W

(), pourtout

telquemax

j2W f1 ! j g < < 1 2

,et qu'elleadmetdeplusladé omposition

u = u~ + X j2W j u j ;

où, pour toutj 2W;

j

2IR et u,~ resp. u

j

, onstitue lapartie régulière, resp.lapartie singulièrerelativeau

sommetO

j

,duproblème(1:1:1).Plus dedétailssur etaspe tsontdisponiblesdans[31℄ et[46℄.

Donnonsàprésentquelquespropositionsintéressantespourlasuitedenotretravail.Nous onvenonsquepour

lesquelquespropositionsquenousallonsénon er,nousomettronsl'indi eW deH

2;

W

(15)

Proposition 1.2.1. Soit u2H 2;

() la solution de (1.1.1) ave max

j2W f1 ! j g< < 1 2

. Il existe alors une

onstanteC2IR + telleque juj 2;; C kfk 0; : Preuve: voir[46℄

Proposition 1.2.2. SoientunouvertpolygonaldeIR

2

,m2IN

et2[0;1[.Nousavonsalorsleplongement

de Sobolev suivant: H m; (),! H m 1 (); : Preuve: voir[38℄

Proposition 1.2.3. Soient unouvertpolygonal de IR

2 , m2INnf0;1get 2[0;1[.Nous avons: H m; (),!C m 1 ( ): Preuve: voir[38℄

2 , m2IN et 2[0;1[.Nousavons: H m; (),!W m;p () ; 8p< 2 1+ :

Preuve:Sedéduitparl'inégalitédeHölder(voirlelemme 8.4.1.2de[46℄).

2 , m2IN et 2[0;1=2[.Nousavons: H m; (),!H m 1 ():

Preuve:Un théorèmedetra estandard(voirlethéorème3del'appendi e[IM℄ de[50℄) fournit

W m;p (),!H m 1 ();8p 4 3 :

Le résultat de la proposition 1.2.4vient alorspar omposition duplongementpré édent et de elui de la

proposition1.2.4.

Proposition 1.2.6. (Lemme de Bramble-Hilbert) Soit un ouvert polygonal de IR

2

et f : H

1;

() ! IR

une forme linéaire ontinue s'annulantsurIP

0

().Nousavonsalors:

jf(v)j C(f;)jvj ; 8v 2H

1;

(16)

Preuve: Enutilisantdesargumentsidentiquesà euxdulemme8.4.1.3de[46℄, nousobtenonsque inf p2IP 0 () kv pk 1;; . jvj 1;; ;8 v2H 1; ():

Nouspouvonsalorsé rirequejf(v)j = inf

p2IP 0 () jf(v+p)j . inf p2IP 0 () kv pk 1;; . jvj 1;; equinous

permetde on lurelapreuvedelaproposition.

Pournon onvexe,diversesméthodesd'ÉlémentsFinisranéesontétéétudiéesdanslebutde ompenser

leseetsdessingularitésdeuenO

j

;j 2W ([38, 89℄).Cependant,ànotre onnaissan e, ette démar heaété

très peu onsidéréepourles méthodesdeVolumes Finis[63, 64℄. Notrebut est don dedis rétiser(1:1:1)par

diversesméthodesdeVolumesFinis ranées.

La première méthode traitée sera laméthode deVolumes Finis entrée ellule,qui relèved'une appro he

pluttmé aniqueduproblème(voir[52,51,88℄).Noustraiteronsensuitedeuxautresméthodesdites

d'Éléments-VolumesFinis dontlalignedire tri e onsisteà ombinerlesméthodesd'ÉlémentsFinis etde Volumes Finis

[8,19,20℄.

Dans toutela suitede ette partie, nous onviendrons,sanspertede généralité,que W =fOg,ave O :=

1 \ N ,où 1

est situésurl'axe(Ox)(voirgure1.2).Deplus,nousappellerons! l'angleintérieuràsitué

enO desenstrigonométriquedire t,vériant! >. Poursimplierl'é riture, nous désigneronsH

2; W () par H 2; ();82[0;1[. 1 2 N (Ox) (Oy) ! O Fig.1.2 Domaine

(17)

1.3 Plan de la première partie

Dansles hapitres2-4,nousn'étudieronsqueleproblèmedeDiri hlethomogène,nousdémontreronsen

par-ti ulierqu'unranementdemaillagejudi ieuxpermetderétablirl'ordrede onvergen eoptimaldesméthodes

étudiées(méthodesdeVolumesFinis entrée ellule,d'Éléments-VolumesFinis onformeetd'Éléments-Volumes

Finisnon onforme).Cependant,nouspré isonsqueleste hniquesutiliséesautorisentunegénéralisationàdes

opérateurselliptiquesplusgénéraux, omme eluide(1.1.1),ouàdestypesdesingularitésdiérentes, omme

elleintervenantparexempleàl'interse tiondedeuxbordsdudomainede onditionsdiérentes(larégularité

des solutions et les fon tions singulièresde tels problèmes étant donné dans [46, 31℄). Dans les se tions 5et

6,nous étudierons la dis rétisationdes systèmes deStokeset de Navier-Stokesparles méthodes

d'Éléments-Volumes Finis. Nous dé rirons dans un premier temps les singularités de la solutionde tels problèmes, nous

montreronsensuite ommentdesranementsidentiquesà euxopérésdanslesse tionspré édentespermettent

de restaurerl'ordrede onvergen einitial de laméthode. Lase tion 7présenteraquantàellequelques essais

numériquesde ette mêmeméthode surquelques astestsdelamé anique( asdela avité entrainéeet dela

mar hedes endante) e quiillustrera defaçon on rète notreexposé surlessingularités de oinendimension

deux.

Rappelonsendernierlieuque,pour haqueméthodedeVolumesFinistraitée,nousadopteronslesnotations

(18)

Notations importantes de la première partie

Domaine

:=OuvertpolygonaldeIR

2

présentantun oinnon onvexeenO

:=Bordde

!:=OuvertureangulairedudomaineenO (!>)

Normes Gouvert borné deIR 2 ,m2IN,p>1, 2[0;1) j: j m;p;G := X 2IN 2 jj=m Z G jD :j p dx 1=p k:k m;p;G := X 2IN 2 jjm Z G jD :j p dx 1=p j: j m;G := X 2IN 2 jj=m Z G jD :j 2 dx 1=2 k:k m;G := X 2IN 2 jjm Z G jD :j 2 dx 1=2 j: j m;;G := X 2IN 2 jj=m Z G jd(O;x) D :j 2 dx 1=2 k:j m;;G := k:k 2 m 1;G + j:j 2 m;;G Espa es fon tionnels 2

(19)

C m (G) := fv:G !IR : D v ontinuesurG;82IN 2 telquejj=mg W m;p (G) := fv:G !IR : kvk m;p;G < 1g H m (G) := fv:G !IR : kvk s;G < 1g H m 0 (G) := fv2H m (G) : D vj G 0;82IN 2 telquejj=m 1g H m; (G) := fv2H m 1 (G) : jvj m;;G < 1g IP k

(G):=Espa edespolynmesdedegréauplusk2IN

X h := fv h 2IP 1 (T h ) : v h 2C 0 ( )g(T h désignantunmaillagede) X 0 h := fv h 2X h : v h j 0g S h := fv h 2IP 1 (T h ) : Z e v h j K ds = Z e v h j L ds;8e2E h ave e= K\ Lg (E h

désignantl'ensembledesarêtesdumaillageT

h ) S 0 h := fv h 2S h : Z e v h j K ds = 0;8 e2E h ave e K\g ( ^ S 0 h ) 2 := fv h 2(S 0 h ) 2 : divv h j K = 0;8K2T h g (T h désignantunmaillagede) Divers h K

:=Diamètred'unemailleK

K

:=Maximumdudiamètre des er lesins ritsdansunemailleK

h:=PasdumaillageT h (i.e. max K2T h h K ) jj := d X i=1 j i j;8 =( 1 ;:::; d );d2IN

div :=Opérateurdedivergen e(i.e.div

v 1 v 2 :=v 1 =x + v 2 =y)

r:=Opérateurdegradient(i.e.rv:=

v=x

(20)

H(v) := 2 v= 2 x 2 v=xy 2 v=xy 2 v= 2 y ,laHessiennedelafon tionv2C 2 1l G :=Indi atri edudomaineGIR 2

jGj:=LongueurouairedudomaineGIR

2

^

K:=Trianglederéféren e(i.e.desommets(0;0),(1;0)et (0;1))

M

0

G

(:):=OpérateurdeL

2

(G)-proje tion,Gouvertborné deIR

2

n

G

:=NormaleunitairesortanteàGIR

2

sursafrontière

(21)

Chapitre 2

Méthode de Volumes Finis entrée ellule

ranée en présen e d'une singularité de

oin

2.1 Notations-Dénitions

Considéronsleproblèmeelliptiquesuivant:

8 > > < > > : u = f dans; u=0 sur; (2.1.1) oùf 2L 2 ().

Danslebutdedis rétiser(2.1.1)parlaméthodedeVolumesFinis entrée ellule(oudite" ell- enter"),nous

donnons tout d'abordla dénition d'unmaillageadmissible (ausens delaméthode de Volumes Finis entrée

ellule).L'introdu tionde ettedénitionestmotivéeparlané essitéde onsistan edesdiversesapproximations

quenousallonsee tuer(voir[33℄).

Dénition2.1.1. Nousappelonsmaillageadmissible de,noté,tout triplet(V;P;E),où:

a. V désigneunensembled'ouvertspolygonaux onvexesdeappelés VolumesdeContrle,

b. P désigneunensembledepointsdetelque haqueVolume deContrle ontienneunet unseulpoint

(22)

Ce tripletvériant:

1. [

K2V

K=.

2. PourtousVolumesdeContrleKetL:

K\L= 8 > > > > < > > > > : ;; unsommet ommun,

unearête omplètedeKetdeL.

3. Soientx

K

2K ;x

L

2LdeuxélémentsdeP,oùK ; L 2V.

Si K\L=: 2E,alorslesegment[ x K ;x L ℄ oupeorthogonalement. 4. Si 2E,ave \ K;K2V etsinousposons D K;

:=demi droited'originex

K perpendi ulaireà,alors D K; \=:fx g6=;.

Remarque2.1.1. La ondition3garantitla onsistan edel'approximationquivaêtreintroduiteaupointsuivant

[33℄.

Avantd'allerplusloin,nousintroduisons diversesnotationsquiservironttoutaulongde e hapitre.

Posons h K :=diam(K);K2V ; h:=max K2V diam(K); E K :=f2E : K g;K2V ; n K;

:=lanormaleunitairesortante àK lelongde;2E

K ;K2V ; E int :=f2E : g; E ext :=f2E : g; ():=fv: !IR : 8K2V;vj K 2IP 0 (K)g: 2.2 S héma numérique

Donnons-nousunmaillageadmissiblede.Nousdésignonsparfu

K g

K2

uneapproximationdefu(x

K )g K2 . Posons,pourK 2 V;f K := 1 jKj Z K

f dxetdonnonslagure2.1pourplusde lartédansnotreexpli ation.

(23)

K L x L x K n K; n L; x

Fig.2.1 exemple d'interfa e 2E

u = f + Z K u dx = Z K f dx ; 8K 2 V + X 2E K Z ru:n K; ds = jKjf K ; 8K 2 V : (2.2.1)

Pourtout K 2V,nousappro honsru: n

K; par u u K d(x K ;x ) , oùu

est unevariable auxiliaireappro hant

u(x

)( e i onstitueenfaituneapproximationpardiéren esnis).

Si :=K\L 2 E (voirgure2.1),nousappro honsdelamêmemanièreru:n

L; par u u L d(x L ;x ) .

Nous utilisonsensuite la onservationduux,en exigeantquel'approximationduux sortantdeKsur

soitégale,ausigneprès,àl'approximationduuxsortantdeL sur,d'où:

u u L d(x L ;x ) = u u K d(x K ;x ) + u = d(x L ;x )u K + d(x K ;x )u L d(x ;x ) :

(24)

Nousreplaçonsalors ette expressiondeu

dansnotreapproximationduuxdeusortantdeKsur,pour

obtenir: Z ru :n K; ds jj u L u K d(x K ;x L ) :

Remarque2.2.1. Si2K\,nousnepouvonspasappliquerla onservationduux.Nousutilisons ependant

les onditionsdebordde(2.1.1) etappro honsru:n

K; par u u K d(x K ;x ) = u K d(x K ;x ) .

Grâ eauxapproximationsainsiee tuéesetà(2.2.1),nousaboutissonsausystèmelinéairesuivant:

X 2E K F K; = jKjf K ;8K2V ; (2.2.2) où: F K; := 8 > < > : jj u L u K d(x K ;x L ) si=K\L; jj u K d(x K ;x ) siK\:

Proposition 2.2.1. [52, 33 ℄Soit unmaillage admissiblede.Lesystème(2.2.2)admetuneuniquesolution

(u K

) K2V

.

Preuve:Commenoussommesendimensionnie,ilsutdedémontrerquesif 0,alorsu

K

=0;8K2.

Pour e i,nousmultiplions(2.2.2)paru

K

etsommonssurK2.Nousobtenonsainsi

X 2E int = K\ L jj ju L u K j 2 d(x K ;x L ) + X 2Eext = K\ jj ju K j 2 d(x K ;) = 0;

equi impliquequeu

K

=0;8K2.

2.3 Majoration d'erreur

Dans le as oùlasolutionude(2.1.1) est dansC

2 (

;IR ), il peutêtredémontré unemajoration ennorme

L 2

del'erreurenO(h)(voir[52,33℄).

Si lasolutionde(2.1.1)appartientàH

2

(),une majorationd'erreursimilairepeutêtreétabliemoyennant

unehypothèsesupplémentairesurlemaillage (voirthéorème9.4de[52℄).

Cependant,dansle as quenous traitonsu2H

2; (), où1 ! < < 1 2

,à ausedelaprésen ed'une

singularitéenO.L'idéegénéraleestdon des'inspirerdeladémonstrationduthéorème9.4de[52℄(enajoutant

notammentune onditionsurlemaillage)et,and'obtenirunordrede onvergen eoptimal,d'y in lureun

ranementdemaillageenO ommepourlesméthodesd'ÉlémentsFinis([46,89℄).

Dans e but, ilest né essaire d'imposer denouvelles onditionssurle maillage. Nousallonsdon dénir

unmaillageadmissible restreintrané([46,89℄).

(25)

(H1) h K d(x K ;);82E K , (H2) h K h 1 1 siO2K , (H3) h K h minf1;inf K r g siO62K, où, dans (H3), r=r(M):=d(M;0);8 M 2

.Nous soulignonslefait quela ondition(H3) ne porte en

faitquesurlesVolumesde Contrle"relativementpro hes"deO.En eet,sinous noussituonsloindupoint

desingularité,iln'estpasutiled'imposerdes onditionsderanement,lasingularitén'ayantqu'uneetlo al.

Donnonsàprésentlethéorèmedemajorationd'erreursuivant:

Théorème 2.3.1. Soitu2H 2; () la solutionde (2.1.1), où1 ! < < 1 2 .

Soit un maillage admissible restreint -rané de et (u

K ) K2V la solution de (2.2.2). Introduisons en outre u : ! IR ; M 7 ! u := 8 > > > > < > > > > : u K

siil existe K2V telqueM2K ;

0ailleurs ; e : ! IR ; M 7 ! e := 8 > > > > < > > > > : e K := u(x K ) u K

siil existe K2V telqueM2K ;

0ailleurs; j:j ; : () ! IR + ; v 7 ! X 2E = K\ L jj jvj K vj L j 2 d(x K ;x L ) + X 2E K\ jj jvj K j 2 d(x K ;) 1 2 :

Nous avonsalors:

ke k 0; + je j ; . hjuj 2;; : (2.3.1) Remarque2.3.1. j:j ;

dénitune normesur()(voir[33℄).

Preuve:

Posons,pourK2V;2E

K :

(26)

Dénissons alors: := 8 > > < > > : K; [ L;

siilsexistentK ;L2V telsque=K\L;

K;

siilexisteK2V telque K\:

Premièreétape:Montronsque:

jR K; j. h (jjd ) 1 2 juj 2;;K ;82E K ;8K2V ; (2.3.2) oùR K; := 8 > > > > < > > > > : u(x L ) u(x K ) d 1 jj Z ru:n K;

dssiilsexistentK ; L2V tels que=K\L;

u(x K ) d 1 jj Z ru:n K;

dssiil existeK2V telqueK\;

etd := 8 > > < > > : d(x K ;x L

)siilsexistentK ;L2V telsque=K\L;

d(x K

;)siil existeK2V telque K\:

Cette1

ere

étape onstitueenfaitunesortedelemmequinousserviradansl'étapesuivantedelapreuveoù

nousmontreronslamajorationd'erreuràproprementparler.

Soit 2 E. Nous supposons queu 2 C

2 (

).En eet, vu que, par le théorème3.2.2 de [99℄, nous avons

C 1

(

)quiestdensedansW

2 2 (;r ),où W 2 2 (;r ):=fv2D 0 () : r D v2L 2 ();8 jj2g;

étantdonnéque

H 2; (),!W 2 2 (;r );

et vu que les membres de droite et de gau he de (2.3.2) sont ontinus par rapport à la norme standard de

W 2 2 (;r )(vuqueW 2 2 (;r ),!W 2;p ();8p2℄1; 2 1+

[),nouspouvonsdon démontrer(2.3.2)pouru2C

2 ( ) etledéduirepouru2H 2; ():

Nousdistinguonslesdiérents assuivants:

1 o

as 2E

int

ave =K\L;K ;L2V

Nous supposons, sans perte de généralité, que = fag

0

, où

0

est un segment de IR , et que x

K := (a ;b) T ; x L :=(a+ ;b) T , oùb2 0 et ; >0(voirgure2.2).

(27)

0 x K x L K L b -a Fig.2.2 illustration du1 o as 8 > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > : u(x L ) u(s)= ru(s):(x L s) + Z 1 0 H(u)(ts+(1 t)x L )(x L s):(x L s)tdt;8 s2 ; u(x K ) u(s)= ru(s):(x K s) + Z 1 0 H(u)(ts+(1 t)x K )(x K s):(x K s)t dt;8s2 : (2.3.3)

Nous soustrayonsmembre àmembre lesdeux égalités de (2.3.3),en notantque x

L x K =n K; d , puis

intégronssur, d'où:

R K; B K; +B L; ; (2.3.4) où: B K; := 1 jjd Z Z 1 0 kjH(u)(ts+(1 t)x K )kjks x K k 2 t dtds (2.3.5) etB L;

estdénieenremplaçantx

K

parx

L

(kj:kjdésignantlanormematri ielleasso iéeàlanormeve torielle

(28)

D K; : [0;1℄ ! K; (x;y) 7 ! x y = (1 t)x K;1 + ta (1 t) x K;2 + ts :

Le al ulduja obiende e hangementdevariablenousfournitquedz:=dxdy=t(a x

K;1 )dtds=tdtds. Enremarquantquejx K sjh K

;8s2,nousendéduisons que

B K; h 2 K jjd Z K; kjH(u)(z)kjdz: (2.3.6)

A partir de maintenant, et dans le but d'alléger les notations, nous remplaçons la notation de la norme

matri ielle kj:kjpar j:j.Pro édons à l' étude de2 sous- as,selon queO, le point de singularité,soit situé ou

nondans

K.Nousnousaideronsalorsde(2.3.4)(l'estiméequenousallonsprouverpourB

K;

étantaussivraie

pourB L; )pourdémontrer(2.3.2). 1 o sous- as: O62K

Nous appliquons l'inégalité de Cau hy-S hwarzsuivi de l'hypothèse (H3) au membre dedroite de (2.3.6)

pourobtenir: B K; h 2 K jjd Z K; r(z) 2 dz 1 2 Z K; jr(z) H(u)(z)j 2 dz 1 2 hyp.(H3) hh K jjd Z K; inf x2K r(x) 2 r(z) 2 dz 1 2 juj 2;; K; K; K hh K jjd Z K; inf x2 K; r(x) 2 r(z) 2 dz 1 2 juj 2;; K; hh K jjd Z K; r(z) 2 r(z) 2 dz 1 2 juj 2;;K; = hh K jjd j K; j 1 2 juj 2;;K = hh K jjd jj 2 1 2 juj 2;;K; hh K (jjd ) 1 2 d juj 2;;K; h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; ;

étantdonnéqued

:=d(x K ;x L ) 1 h K

(29)

B K; . h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; : (2.3.7) 2 o sous- as:O2K.

Nousrenvoyonsàl'appendi eA,oùnousdémontronsque,grâ eàl'hypothèse(H2), nousavons:

B K; . h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; : (2.3.8)

Pro édonsàprésentaubilandesdeuxsous- as.Grâ eà(2.3.7)et à(2.3.8),quenousutilisonsdans(2.3.4),

nousarrivonsà R K; . h (jjd ) 1 2 (juj 2;; K; +juj 2;; L; );8 2E : = K\ L;K ;L2V : D' où: R K; . h (jjd ) 1 2 juj 2;; ;82E K : = K\ L;K ;L2V ; 'estàdire(2.3.2). 2 o as: 2E ext ave K\;K2V

Nousnousdonnonslesmêmes onventionsqu'au1

o

asàsavoirque :=fag

0 ,où 0 estunsegmentde IR .Deplus,x K :=x (2;0) T ,oùx

aété introduit àladénition2.1.1et>0(voirgure2.3).

Posons: ~:=f 1 2 x K + 1 2 x : x2g; I := 1 jj Z ru: n K; ds; I ~ := 1 j~j Z ~ ru: n K;~ ds; 1 ~ :=f(1 t)x K +tx~ : x~2~;t2[0;1℄g; 2 ~ :=f(1 t)x +t~x : x~2;~ t2[0;1℄g: Introduisons àprésentR K;~ := u(x ) u(x K ) 2 I ~ ,

Nous faisons remarquer au le teur que nous tenons ompte de u(x

) ar nous ne pouvons pas dire que

e terme vaut0, l'argument dedensité utiliséne susantpas pour ledire. Nousraisonnons alors demanière

identiqueau1

o

asmisàpartquenousnenousplaçons,nonpassur,maissur.~ Nousobtenonsalors:

R K;~ . h K j~j | Z 1 H(u)(z)dz| + | Z 2 H(u)(z)dz| : (2.3.9)

(30)

x x K ~ 2 1 ~ 2 ~ Fig.2.3

De plus, en faisant un développement de Taylor d'ordre 1 de ru : n

K;

(:) sur , puis en appliquant un

hangementdevariable,nousavons:

jI I ~ j . h K jj Z E H(u)(z)dz; (2.3.10) oùE :=f(1 t)x K +tx : x2;t2[ 1 2 ;1℄g .

Ilnousfautdistinguermaintenantle asoùOappartientà du asoùOn'appartientpasà.

1 o

sous- as:O62

Nousappliquons l'inégalitédeCau hy-S hwarzauxmembresdedroitede(2.3.9)et de(2.3.10),d'où:

8 > > > > > > > < > > > > > > > : jR K;~ j . h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; ; jI I ~ j . h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; : (2.3.11) 2 o sous- as:O2

(31)

8 > > > > > < > > > > > : jR K;~ j . h K jjd Z K; r 2 dz 1 2 juj 2;;K; ; jI I ~ j. h K jjd Z K; r 2 dz 1 2 juj 2;; K; : (2.3.12)

En menantun al ulsimilaireà eluiee tuédansl'appendi eA, nousavons:

Z K; r 2 dz. jjh 2 K : (2.3.13)

Enutilisant(2.3.13)dans(2.3.12)etentenant omptedel'hypothèsederanementdemaillage(H2),nous

arrivonsà: 8 > > > > > < > > > > > : jR K;~j . h (jjd ) 1 2 juj 2;; K; ; jI I ~ j . h K (jjd ) 1 2 juj 2;;K; : (2.3.14)

En on lusionde es2sous- as( 'estàdirelesrésultats(2.3.11)et(2.3.14))etenremarquantque

jR K; j jR K;~ j + jI I ~ j;

nousavonsque

jR K; j . h (jjd ) 1 2 juj 2;;K; ;82E ext :

En on lusion,nouspouvonsdireque(2.3.2)estvraipourtout2E.

2 eme étape:Introdu tiondeke k 0; .

Montronsdansunpremiertempsque

je j ; . hjuj 2;; : (2.3.15)

Noussoustrayons(2.2.2)à(2.2.1),d'où:

X 2EK (F K; Z ru:n K; ds)=0;8K2V : (2.3.16) PosonsF K; := 8 > > > > < > > > > : jj d (u(x L ) u(x K ))pour = K\ L;K ;L2V ; jj d ( u(x K ))pour K\ ;K2V :

(32)

Grâ eà(2.3.16),nousavons: X 2E K ( F K; +F K; ) = X 2E K ( F K; + Z ru:n K; ds);8 K2V (2.3.17)

Notonsalorsque F

K; +F K; := 8 > > > > < > > > > : jj d (e L e K )pour= K\ L;K ;L2V ; jj d ( e K )pour K\ K2V ;

oùnousrappelonsque,pourtout K2,e

K

:= u(x

K

) u

K

. Nousmultiplions(2.3.17)pare

K et sommons surK2V,d' où: je j 2 ; = X K2V X 2EK jjR K; e K : Parsuite: je j ; .hjuj 2;; ; 'estàdire(2.3.15).

Nousutilisons alorsl'inégalitédePoin arédis rète(voirlelemme 9.1de[52℄ quiest valablemême dansle

asoùn'estpas onvexe),pluspré isément:

ke k 0; diam()je j ; : (2.3.18)

(2.3.15)et (2.3.18)fournissentalorsaisément(2.3.1).

2.4 Essais numériques

Posons:=℄ 1;1[℄ 1;1[n[0;1[[0; 1[.

Ave lesnotationsdel'introdu tion,nousavons!:=

3

2

.Introduisonsalorsleproblèmesuivant

8 > > > < > > > : u=0dans; u=r 2 3 sin( 2 3 )sur; (2.4.1)

où(r;) onstitueles oordonnéespolairesd'origineO.Nousdémontrons aisémentqueu(r;):=r

2 3 sin( 2 3 )est

lasolutionde(2.4.1)d'unepart,etqueu2H

1

()maisqueu62H

2

() d'autrepart.Cependantu2H

2; (), pour >1 ! = 1 3 .

Nous implémentonsalors(2.2.2) lorsque est unmaillageuniformeet lorsque est unmaillage rané

pour=

1