Contribution à l'étude de l'influence des conditions de surface sur les transferts thermo-hydriques dans les milieux poreux

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

Faculté des sciences de l’ingénieur

Département de Génie Climatique

Mémoire

Présenté pour obtenir le diplôme de magister

en Génie climatique

THEME

____________________________

CONTRIBUTION A L’ETUDE DE L’INFLUENCE DES

CONDITIONS DE SURFACE SUR LES TRANSFERTS

THERMO-HYDRIQUES DANS LES MILIEUX POREUX

____________________________

Par

KAHLERRAS LOUBNA

Soutenue le………….……….

Devant le jury d'examen :

Président :

A. KAABI Professeur Univ. Constantine

Rapporteur :

A. BELHAMRI Professeur Univ. Constantine

Membres :

M.S ROUABAH M.C Univ. Constantine

T. BOUFENDI M.C Univ. Constantine

2

A la mémoire de mon père,

3

Nomenclature

U, u, v : vitesse, [m/s] 𝑇 : Température, [°C ou K]

Cv : Concentration en vapeur d’eau, [kg/m3] L : longueur de la plaque, [m]

e : moitié de l’épaisseur, [m] S : saturation

D : coefficient de diffusion, [m2/s] t : temps, [s]

𝐶_𝑃 : Chaleur spécifique massique, [kJ/kg.k]

M : masse molaire, [kg/mole] P : pression, [Pa]

𝐷_𝑣 : Coefficient de diffusion de la vapeur dans l’air, [m2/s] 𝑚_𝑣𝑥 : Flux massique d’évaporation, [kg/m2

.s] 𝑕_𝑚𝑥 : Coefficient de transfert massique local, [m/s]

𝑕_𝑡𝑥 : Coefficient de transfert thermique local, [w/m2.k] ∆𝑕_𝑣 : Chaleur latente de vaporisation, [kJ/kg]

𝑎 : Diffusivité thermique, [m2

/s] V : volume, [m3]

m : masse, [kg]

R : constante des gaz parfaits 𝑝_𝑐 : Pression capillaire, [Pa] r : rayon capillaire, [m] g : accélération de la pesanteur, [m/s2] Alphabet Latin ρ : masse volumique, [kg/m3 ] λ : conductivité thermique, [w/m.k] 𝜑_𝑡𝑥 : Flux de chaleur, [w/m2.s] 𝜀 : Porosité 𝜈 : viscosité cinématique, [m2 /s] Ø : humidité relative de l’air, [%]

4 𝑤 : Teneur en eau massique, [kg d’eau/kg solide]

𝜃 : Teneur en eau volumique, [m3

d’eau/m3 solide] π : la perméabilité, [g/h.m2

.mm hg] µ : viscosité dynamique, [kg/m.s] ζ : Tension superficielle, [N/m] θ : Angle de contact, mouillabilité, [°] 𝛹 : Succion [m d’eau]

𝜏 : Tortuosité

δ: épaisseur de la couche limite

Indices : a : air sec v : vapeur pure g : gaz 𝑠𝑢𝑟𝑓 : Surface 𝑒𝑓𝑓 : effectif. + : Adimensionnel. i : Interface vs : vapeur saturante. l : liquide s : solide.

∞ : concerne l’écoulement hors de la couche limite

Nombres adimensionnels : 𝑅𝑒 = 𝑈_∞𝐿 𝜈 𝑃𝑟 = 𝜈 𝑎= 𝜈𝜌𝐶_𝑝 𝜆𝑓 𝑆𝑐 = 𝜈 𝐷_𝑣 𝑁𝑢 𝑥 =𝑕𝑡 𝑥 𝐿 𝜆_𝑔 𝑆𝑕 𝑥 =𝑕𝑚 𝑥 𝐿 𝐷_𝑣

5

Sommaire

Page Nomenclature

Introduction générale……….………..1

Chapitre I : Concepts de base I.1 Définition des milieux poreux.. ………...4

I.2. La porosité……….5

I.3 La teneur en eau ……….5

I.4. la pression partielle de la vapeur d’eau……….6

I.5. La masse volumique de la vapeur d’eau………....6

I.6. Fixation de l’humidité dans une structure poreuse ………...7

I.6.1 Adsorption physique : ……….………...7

I.6.2. Condensation :……….………..8

I.6.3. Capillarité :……….………....8

I.7. Tension superficielle ……….8

I.8. Mouillabilité, Equation de Young-Dupré ……….…………..10

I.9. La loi de Young-Laplace (calcul de la pression capillaire en milieu poreux)………...… 11

I.10. La succion……… 11

I.11. Tortuosité et connectivité………..…12

I.12. La perméabilité ………...12

I.13. L’hygroscopicité ………...13

I.14. Isothermes de sorption ………..13

Chapitre II: Le séchage II.1. Définition………15

II.2. Le séchage convectif………. .15

II.3. Cinétique de séchage ……….15

II.3.1 Phase d’initialisation………...16

II.3.2 Phase à vitesse constante………... 17

II.3.3 Phase de ralentissement de la vitesse de séchage………. 17

II.4. Modélisation du séchage………... 17

II.4.1. Les différentes approches proposées de la littérature ……….…17

II.4.1.1. Modèle de Sherwood……….…18

II.4.1-2. Théorie de Krisher ……….20

II.4.1-3. Modèle de Luikov ……….20

II.4.1-4. Modèle de Phlip et De Vries ……….21

II.4.2 Evolutions récentes………23

II.4.2.1. Concept de (V.E.R) volume élémentaire représentatif………..23

II.4.2.2. Modèle de Whitaker (1980)………24

II.5. Théorie de la diffusion………...26

II.6. Identification du coefficient de diffusion……….27

II.6.1. Les différentes méthodes analytiques proposées dans la littérature……….. 27

II.6.2. Mesures expérimentales……….30

II.6.2.1. Expérience de Crausse ……….31

II.6.2.2. Expérience d’Ohtani et al………32

II.7. Transferts thermiques……….34

II.8. La conductivité thermique dans les milieux poreux………..35

6

II.8.2. Variation de la conductivité thermique en fonction de la teneur en eau…………...37

Chapitre III : Travaux de surface Problème des transferts à la surface des milieux poreux………...42

Chapitre IV : Formulation mathématique du problème IV.1. Position du problème………52

IV.2 Formulation mathématique du problème………...53

IV.2.1 Formulation dans l’air………..53

IV.2.1 a Hypothèses………53

IV.2.1 b équations de conservation……….54

IV.2.2 Formulation du problème dans la paroi poreuse………..54

IV.2.2 a Hypothèses……….54

IV.2.2 b système d’équations………55

IV.3 Conditions initiales et aux limites………..56

IV.3.1 Dans la couche limite………...56

IV.3.2 Dans la paroi………57

IV.4 Mise sous forme adimensionnelle des équations de la couche limite………58

IV.5 Calcul des coefficients de transfert………60

IV.5.1 Coefficient local de transfert thermique………...60

IV.5.2 Coefficient local de transfert massique………61

IV.6 Coefficients de transferts adimensionnels……….62

IV.6.1 Le nombre de Nusselt local………..62

IV.6.2 Le nombre de Sherwood local………..62

Chapitre V : Discrétisation des équations de transfert V.1 Méthode numérique de résolution. Schéma aux volumes finis………..63

V.2 Discrétisation des équations de la couche limite……….63

V.2 .1 Discrétisation de l’équation de continuité………..65

V.2 .2 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement………...….65

V.2 .3 Discrétisation de l’équation de l’énergie………....66

V.2 .4 Discrétisation de l’équation de transfert de l’humidité………...67

V.3 Détermination des composantes 𝑢_𝑗 𝑒_{, 𝑣} 𝑗 𝑒, 𝑇𝑗 𝑒, 𝐶𝑗 𝑒………..67

V.3.1 La composante de la vitesse verticale V ………67

V.3.2 la composante de la vitesse horizontale u………...68

V.3.3 La composante T……….72

V.3.4 La composante Cv………..74

V.4 Discrétisation des équations dans le milieu poreux………75

V.4.1Principe de la méthode………75

V.4.2 Discrétisation de l’équation de transfert d’humidité……….79

V.4.2.1Conditions initiales et aux limites ………80

V.4 .3 Discrétisation de l’équation de transfert de la chaleur……….81

V.4 .3.1Conditions initiales et aux limites………82

V.5 Résolution du système d’équations algébriques……….83

V.5 .1 Résolution dans la couche limite………83

7

V.6 Algorithme………86

V.6 .1 Programme Principal de la Première partie………..86

V.6 .2 Programme de la deuxième partie……….88

V.6 .3 Sous programmes………90

V.7 Organigramme………92

Chapitre VI : Résultats et discussions VI.1 Les conditions de simulation………96

VI.2. Discutions des résultats dans la couche limite……….97

VI.2.1 : Résultats relatifs aux champs de vitesses……….……..97

VI.2.2 Résultats relatifs aux champs de la Température et de la concentration en eau….…100 VI.2.3 : Résultats relatifs aux flux thermique et massique ………...105

VI.2.4 Evolution du coefficient de transfert thermique……….………106

VI.2.5 Evolution du coefficient de transfert massique………..107

VI.2.6 Evolution du coefficient de transfert thermique adimensionnel Nux………108

VI.2.7 Evolution du coefficient de transfert massique adimensionnel Shx………..109

VI.3 Transfert de chaleur et de masse dans le milieu poreux………..110

VI.3.1 Variation de la diffusivité massique avec la saturation au cours du séchage…….…110

VI.3.2.Variation de la conductivité thermique avec la saturation au cours du séchage……110

VI.3.3.Evolution de la température T(y,t) selon l’épaisseur de la paroi au cours du temps..112

VI.3.4. Evolution de la saturation S (y,t) selon l’épaisseur de la paroi au cours du temps...113

VI.3.5. Evolution de la température T(x,t) selon la longueur de la paroi au cours du temps de séchage……….114

VI.3.6. Evolution de la saturation S(x,t) selon la longueur de la paroi au cours du temps de séchage……….115

VI.3.7. Distribution de la température T(x,y) à l’intérieur de la paroi à différents instants de séchage……….116

VI.3.8. Distribution de la saturation S(x,y) à l’intérieur de la paroi à différents instants de séchage……….119

VI.3.9. Comparaison avec d’autres travaux………..122

VI.3.10. Etude paramétrique……….128

A. Influence des conditions initiales du matériau, (gradient de température et de saturation) sur le profil de la température et de la saturation dans le milieu poreux………128

A.1 Influence de la température initiale du matériau………128

A.1.1. Gradient de la température initiale ΔT=20°C………...128

A.1.2 Gradient de la température initiale ΔT=5°C……….130

A.2. Influence de la saturation initiale du matériau………131

A.2.1. Gradient de la saturation initiale ΔS=5%...132

A.2.2. Gradient de la saturation initiale ΔS=15%...134

B. Influence de la porosité du matériau sur le temps de séchage………136

C. Influence de l’épaisseur de la paroi sur le temps de séchage………...137

VI.3.11. Effet des couches limites dynamique thermique et massique sur les transferts de chaleur et de masse au sein du milieu poreux……….……….139

VI.3.12. Comparaison de l’évolution de la température dans le milieu poreux avec et sans couche limite………139

VI.3.13. Comparaison de l’évolution de la saturation dans le milieu poreux avec et sans couche limite………143

8

Annexe……….149

Références bibliographiques……….154

Liste des figures et des tableaux ……….…..160

9

INTRODUCTION GENERALE

La compréhension du transfert couplé de chaleur et de masse dans les milieux poreux soumis à la convection thermique forcée a été le sujet d’études théoriques et expérimentales de plusieurs scientifiques, motivés dans plus d'applications et dans des domaines divers comme le séchage thermique, l’extraction d'huile, le stockage d'énergie, etc.…

Les procédés de séchage interviennent dans divers secteurs d’activités comme les industries du bois, minière, papetière, de l’alimentation, de l’agriculture, de l’industrie pharmaceutique, de la construction de bâtiments, etc.

Selon le type de produits séchés et le type de procédé de séchage, les problématiques rencontrées peuvent être d’ordre énergétique (consommation d’énergie, choix de sources d’énergie, coût énergétique…), d’ordre purement financier (coût de stockage, coût de transport…) et/ou d’ordre qualité du produit séché. L’obtention d’une bonne qualité du produit séché ainsi que l’optimisation des procédés employés sont, même si le coût énergétique reste une préoccupation, les deux principaux objectifs que les utilisateurs de procédés de séchage cherchent généralement à atteindre.

Plusieurs problématiques spécifiques et qui sont généralement très couplées, se présentent habituellement dans le processus de séchage :

1. La cinétique de séchage (et au travers de celle-ci, le temps du séchage). Par exemple, dans l’industrie quand la demande d’un produit est trop élevée, la tendance immédiate est d’accélérer le processus de séchage, pour pouvoir la satisfaire dans le temps imparti.

Il est alors indispensable de connaître le temps optimal du séchage afin d'obtenir un milieu avec des caractéristiques souhaitées telles que, sa teneur en eau finale, par exemple, dans l’alimentaire l'excès d'eau peut favoriser la dégradation biologique de tout le produit. Aussi, lors du séchage du béton, la diminution de la teneur en eau dans le matériau engendre des effets capillaires importants. Ces derniers peuvent induire des fortes contraintes dans le matériau et des risques de fissuration.

2. Dans beaucoup d'études sur le séchage convectif l'influence de l'écoulement externe est prise en considération seulement au moyen de coefficients de transfert de chaleur et de masse par convection qui sont déterminés de plus ou moins de mode empirique. L’utilisation par défaut de ces formules empiriques ne peut pas permettre une idée précise du vrai mécanisme

10 de séchage dans le temps et dans l'espace. donc il faut maîtriser les différents mécanismes complexes des transferts de chaleur et de masse à l’intérieur du milieu poreux et dans le fluide asséchant à l’intérieur de la couche limite dynamique, thermique et massique au cours de l’opération de séchage.

L’objectif de ce travail est l’étude du séchage des milieux poreux non saturés. Il a pour but la mise en place d’une description physique du fort couplage hygrothermique qui se produit au sein de ces milieux. Et à étudier l’influence des différentes couches limites thermiques, dynamiques et massiques sur l’évolution des grandeurs physiques dans le fluide asséchant qui est l’air en écoulement laminaire, à l’interface et dans le milieu poreux.

Nous nous sommes focalisés surtout sur les effets de la variabilité spatiale des coefficients d’échanges thermique et massique et ceux de la température et de l’humidité de l’air sur le transfert couplé de chaleur et de masse à l’intérieur de ces milieux.

Pour cela, nous proposons une méthode qui est basée sur l’étude du couplage des équations de la couche limite laminaire avec celles qui décrivent les transferts dans un milieu poreux non saturé sans avoir recours aux coefficients globaux de transfert entre le solide et l’air de séchage.

L'interface est complètement incluse dans le domaine d'étude. Les valeurs des variables d'état ne sont plus prise en compte comme entrées (état de frontière) mais comme résultats de calcul. Ainsi nous obtenons, une détermination complète des transferts entre le matériau et l'écoulement externe, et de l'information très intéressante au sujet de l'évolution des variables d'état pendant le séchage.

Le mémoire se structure en six chapitres :

 Le premier chapitre donne des généralités sur les principales caractéristiques thermophysiques et hydriques de la structure poreuse, on présente les mécanismes élémentaires qui sont à l’origine de la fixation de l’eau dans ces matériaux.

 Le deuxième chapitre aborde le séchage thermique des milieux poreux, ceci nécessite essentiellement la connaissance des données de base, en l’occurrence les isothermes de sorption et les courbes de cinétique de séchage. Dans cette section, le développement historique des différents modèles de migration d'humidité pendant le séchage des milieux poreux aussi bien que leurs limitations et applications seront discutés

11  Le troisième chapitre, présente une revue bibliographique des travaux engagés dans le domaine du séchage convectif les anciens et les plus récents, en tenant compte des phénomènes de surface pendant le processus et de l’interaction milieu poreux couche- limite.

 Le quatrième chapitre propose une formulation mathématique générale du problème, il s’intéresse plus particulièrement ;

1- A la position du problème, des hypothèses de travail, la présentation du système d’équations qui décrivent l’écoulement dans la couche limite, à savoir, l’équation de conservation de masse, l’équation de la quantité de mouvement, l’équation d’énergie et l’équation de transfert d’humidité. Ainsi que l’adimensionnallisation des équations, position des conditions initiales et aux limites.

2- A décrir les phénomènes physiques qui se déroulent au sein d’un matériau poreux lors de son séchage, par un modèle de diffusion.

Le phénomène de transfert de chaleur au sein du matériau se produit par conduction, et par convection à l’interface due au passage de l’air chaud de séchage.

On abouti à un système de deux équations à dérivées partielles couplées.

 Le cinquième chapitre est réservé à la discrétisation des équations adimensionnelles de la couche limite et les équations qui régissent l’écoulement à l’intérieur du milieu poreux. Cette discrétisation est effectuée par la méthode des volumes finis. La résolution du système d’équations algébriques non linéaires obtenu est faite par l’algorithme de Thomas appelée aussi la méthode T.D.M.A (Tri Diagonal-Matrix Algorithme) ou encore la méthode de Newton. La résolution numérique consiste à l’élaboration d’un code en FORTRAN 90 stable et convergent.

 Enfin, le sixième et dernier chapitre est consacré à la présentation, l’analyse et l’interprétation de tous les résultats issus, et leur comparaison avec d’autres expérimentaux et théoriques.

12

Chapitre I : Concepts de base I.1 Définition des milieux poreux :

On désigne communément par milieu poreux un solide de forme compliquée délimitant et englobant des espaces vides interconnectés remplis avec un ou plusieurs fluides. [1] [2],

On distingue deux catégories de milieux poreux :

-Les milieux hétérogènes poreux alvéolaires ou cellulaires considérés comme des espaces solides pleins de trous.

-Les milieux hétérogènes poreux granulaires ou pulvérulents considérés comme des espaces vides remplis de grains solides.

D’un point de vue général, un matériau poreux, à l’état naturel, est un milieu hétérogène tri phasique constitué d’une phase solide, d’une phase liquide et d’une phase gazeuse : voir schéma (FIG.I-1)

FIG(I-1) : Phase liquide, solide et gazeuse dans le VER (Volume élémentaire représentatif) D’un milieu poreux.

Au niveau macroscopique, la description complète d’un tel milieu suppose donc la description de chacune de ces phases et de leurs proportions relatives.

13 Les paramètres suivants peuvent être définis :

I.2. La porosité On distingue :

1.2.1. Porosité totale :

Elle tient compte des cavités occluses au sein du solide (pores fermés).

𝜀 = Volume apparent −Volume du solide

Volume apparent =vg + vl v = v − v_s v 1.2.2. Porosité accessible :

C’est l’espace poreux connecté à travers lequel s’effectue l’écoulement des masses fluides : 𝜀 =Volume des pores accessibles

Volume apparent

I.3 La teneur en eau :

1.3.1. La teneur en eau massique: 𝑤

𝑤 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑′𝑒𝑎𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑕𝑢𝑚𝑖𝑑𝑒 − 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠è𝑐𝑕𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠è𝑐𝑕𝑒 = 𝑚 − 𝜌_𝑠𝑉_𝑠 𝜌𝑠𝑉𝑠

1.3.2. La teneur en eau volumique : θ

𝜃 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′_{𝑒𝑎𝑢 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑒} 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡 𝜃 =

𝑤

_𝜌𝜌 𝑙

14 1.3. 3. Le taux de saturation en eau des pores : S

S =Volume d′eau dans les pores

Volume des pores ouverts

1.4.4. La concentration en humidité : CV

𝐶𝑉= 𝜃. 𝜌𝑙 [kg/m3]

La phase gazeuse peut être caractérisée par sa pression (généralement considérée comme égale à la pression atmosphérique) et un paramètre définissant la teneur en vapeur d’eau qu’elle contient. Ce dernier pourra être, par exemple la masse volumique de la vapeur d’eau

I.4. la pression partielle de la vapeur d’eau : 𝒑𝒗

En considérant la vapeur d’eau comme un gaz parfait

𝑝_𝑣 = ∅𝑝_𝑣𝑠 𝑇 [𝑃𝑎]

Où ∅ est l’humidité relative, elle est donnée par la relation de KELVIN [1] ∅ = 𝑝𝑣

𝑝𝑣𝑠 = 𝑒 −2𝜍𝑀𝑣

𝜌𝑙𝑟𝑅𝑇 (𝐸𝑄. 𝐼. 1)

r rayon du capillaire, 𝜍 : tension interfaciale eau-vapeur, 𝜌𝑙 : masse volumique de l’eau liquide

𝑀𝑣 : masse molaire de la vapeur, T : température, R : constante des gaz parfaits.

Pvs; la pression de vapeur à saturation à la température T considérée.

I.5. La masse volumique de la vapeur d’eau : 𝝆_𝒗

𝜌𝑣 =_𝑅𝑇𝑀 𝑃𝑉 =_𝑅𝑇𝑀 ∅𝑃𝑣𝑠 𝑇 (𝐸𝑄. 𝐼. 2)

Par l’intermédiaire de pvs, ces deux paramètres (pression partielle et masse volumique de la

vapeur d’eau) sont très dépendants de la température

15 Si l’on admet qu’il n’y a pas de réaction chimique entre le matériau solide constituant la structure poreuse et l’eau (vapeur ou liquide) avec laquelle cette structure est mise en contact. Trois mécanismes peuvent intervenir pour contribuer à la fixation d’humidité au sein du milieu poreux. Il s’agit respectivement de l’adsorption physique, de la condensation et de la capillarité.

I.6.1 Adsorption physique :

FIG (I.2) : Eau liée ou adsorbée dans les pores. [7]

C’est le mode de transfert de l’eau liée à travers les parois cellulaires. L’interprétation des courbes de sorption du milieu poreux, traduisant l’accroissement de la teneur en eau en fonction de l’humidité relative, a conduit à distinguer différentes étapes dans le processus de fixation de l’humidité [3] :

 L’adsorption monomoléculaire :

Caractérisée par la fixation d’une couche de molécules d’eau sur la surface des pores.  L’adsorption plurimoléculaire :

Caractérisée par la fixation de plusieurs couches de molécules d’eau sur la première couche adsorbée.

 Et enfin, lorsque les diamètres des pores sont suffisamment petits, se produit la condensation capillaire sur les ménisques formés par la jonction des couches pluriomoléculaires.

16 Sous certaines conditions, l’eau vapeur contenue dans l’air présent dans le réseau poreux peut se condenser sous forme liquide. Elle est alors fixée par capillarité dans les pores dont le rayon le permet.

I.6.3. Capillarité :

L’eau piégée dans les pores circule sous l’effet de la température en suivant les lignes du champ de gradient de pression capillaire. L’eau qui se trouve dans les gros capillaires est transportée d’abord avant celle présente dans les plus petits.

L’écoulement capillaire est régi par une relation phénoménologique qui n’est autre que la loi de Darcy liant le flux liquide au gradient de pression par l’intermédiaire d’un coefficient appelé coefficient de perméabilité. La force motrice de cette migration est donc le gradient de pression capillaire, qui est la différence des pressions qui règnent à l’interface entre la vapeur d’eau et l’eau libre dans un pore [4].

La loi de Darcy (Henry Darcy, 1856) s’exprime (voir annex II):

𝑄 =𝜋 𝜇𝐴

∆𝑃

∆𝑥 𝐸𝑄. (𝐼. 3)

Où Q est le débit volumique, A est la section de passage, π est la perméabilité, µ est la viscosité dynamique du fluide, et ∆𝑃/∆𝑥 : le gradient de pression.

I.7. Tension superficielle ″σ″

A l’interface entre deux fluides non miscibles, les molécules possèdent une Energie différente de celle qu’elles ont en masse. Ceci se traduit par la formation d’un ménisque qui se comporte comme une membrane élastique. La tension de cette membrane, appelée

tension superficielle (notée ζ), est caractéristique du couple de fluides considérées. Elle a la dimension d’une force par unité de longueur et elle est donc exprimée en N/m. [1]

17 interface ζ [N/m] Air-eau 0.072 Huile-eau 0.048 Air-huile 0.024 Air-mercure 0.480

Tableau I-1 : Tensions superficielles pour Quelques interfaces [1]

Considérons l’équilibre mécanique de ce ménisque en prenant, le cas d’une interface eau/air :

FIG(I.3) : interface air-eau dans un pore[1]

L’action de la tension superficielle a pour effet de comprimer la phase air et l’équilibre peut donc s’écrire :

2𝜋𝑟𝜍 = 𝜋𝑟2_(𝑝′ _{− 𝑝)}

𝑝′ _{− 𝑝 = ∆𝑝 = 2𝜍/𝑟 𝐸𝑄. (𝐼. 4) « La loi de LAPLACE »}

I.8. mouillabilité ″θ″ l’équation de Young-Dupré

Lorsqu’une goutte de liquide est en contact avec une surface solide, il se forme un ménisque dont la configuration finale permet l’équilibre des forces ayant pour origine les tensions superficielles 𝜍𝑠𝑔, 𝜍𝑠𝑙 𝑒𝑡 𝜍𝑙𝑔 existant aux différentes interfaces [1]:

18 FIG(I.4) : Angle de contact entre différentes interfaces [1]

L’équilibre de ces forces sur la ligne de contact est traduit par l’équation de Young-Dupré :

𝜍𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜍𝑠𝑔+ 𝜍𝑠𝑙 𝐸𝑄. (𝐼. 5)

Où θ est l’angle de contact caractérisant le caractère de mouillabilité du solide par rapport au couple liquide/gaz considéré :

- si θ ≤ 90° le liquide est mouillant (θ = 0 : fluide parfaitement mouillant).

- si θ > 90° le liquide est non-mouillant.

Le Tableau (I.2) donne quelques valeurs de l’angle de contact.

interface θ Cos θ

Air-eau 0° 1

Huile-eau 30° 0.866

Air-huile 0° 1

Air-mercure 140° -0.745

Tableau I.2 : Angle de contact pour quelques interfaces [1]

I.9. La loi de Young-Laplace (calcul de la pression capillaire en milieu poreux) :

D’après ce que nous venons de présenter, la présence d’un liquide dans un milieu poreux implique la formation de ménisques à l’interface gaz-liquide.

La pression capillaire est définie comme la différence de pression générée à l’interface gaz-liquide. Cette différence de pression est positive car par convention la pression du fluide

19 mouillant est soustraite de la pression du fluide non mouillant qui doit être supérieure pour permettre son entrée dans le milieu poreux. La pression capillaire peut être exprimée en fonction de la tension interfaciale, de l’angle de contact et du rayon capillaire, d’après la loi de Young-Laplace [5] ;

Si l’on considère le cas d’un pore cylindrique et d’un mouillage imparfait : 𝑝_𝑐 = 2𝜍𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟 Pa 𝐸𝑄. (𝐼. 6)

La pression capillaire peut aussi être dérivée de la remontée du fluide mouillant dans le pore « h » et de la différence de densité « Δρ » entre les fluides immiscibles, où g est l’accélération gravitationnelle ;

𝑃_𝐶 = ∆𝜌 𝑔 𝑕 𝑝𝑎 𝐸𝑄. (𝐼. 7)

I.10. La succion

La succion correspondant à l’énergie libre provoquée par les forces d’adhésion (absorption), des forces capillaires et des forces osmotiques, exprimée sous forme de pression soit en (m d’eau), soit en (Pa) [6] :

𝛹 = − 𝑝𝑐

𝜌𝑙𝑔 = −2𝜍

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜌𝑙𝑔𝑟 𝑚 𝐸𝑄. (𝐼. 8)

I.11. Tortuosité et connectivité

Dans le but de mieux appréhender les chemins d’écoulement, il convient de préciser les notions de tortuosité et connectivité : [1].

La tortuosité "

𝜏"

du milieu caractérise les obstacles au cheminement du fluide dans la structure poreuse ; elle est définie comme un rapport de la distance effective du déplacement ″Le″ sur la distance parcourue par le fluide″L″, ou bien par le carré de ce rapport donnée par ″Quenard″ (1991).

𝜏 =

𝐿𝑒

𝐿 2

20 Le : longueur effective du déplacement du fluide, c’est à dire la longueur moyenne des lignes de courant du fluide traversant l’échantillon.

L : longueur de l’échantillon poreux ou distance parcourue par le fluide, dans la direction de l’écoulement.

La connectivité « C » est un paramètre microscopique qui caractérise le degré avec lequel une structure est connectée. Elle se définit par la relation suivante :

C = b – n + 1 𝐸𝑄. (𝐼. 10)

b nombre de branches (pores, bras, cavités),

n nombre de nœuds connectés aux différentes branches.

I.12. La perméabilité (π)

Elle correspond à la quantité d’eau en grammes sous forme de vapeur, traversant par heure un mètre d’épaisseur de matériau sur un mètre carré de surface, pour une différence de pression de 1 mm de mercure entre les deux ambiances (g/h.m2.mmHg)

Elle dépend fortement de l’humidité relative du milieu où le matériau est soumis.

I.13. L’hygroscopicité

L’hygroscopicité d’un matériau de construction est la conséquence de la diffusion de l’humidité présente dans l’air.

La teneur en humidité hygroscopique est la teneur en humidité minimale qui peut en pratique être présente dans un matériau poreux.

Les matériaux de construction ayant un pourcentage élevé de micropores, ce sont des matériaux fortement hygroscopiques.

21 Définition:

Les isothermes de sorption sont les courbes donnant les valeurs à l’équilibre thermodynamique de la teneur en eau (évaporable) du matériau en fonction de l’humidité relative de l’air ambiant pour une température fixée. [8] Si la courbe est obtenue par des humidités relatives croissantes, on parle d’isotherme d’adsorption (gain de poids par humidification), à l’inverse, pour des humidités relatives décroissantes, on parle d’isotherme de désorption (perte de poids par séchage).

FIG (I.5) : Isothermes de sorption :

Ces isothermes de sorption sont essentielles pour établir un modèle numérique décrivant les mécanismes de transferts de chaleur et d’humidité dans le matériau car elles fournissent une véritable carte d’identité « hygro-structurale » du matériau poreux à l’équilibre. La forme des courbes dépend de la géométrie et de la distribution des pores du matériau considéré. Les isothermes d’adsorption ne s’identifient pas, en général, avec les isothermes de désorption : les deux cycles présentent une hystérésis (voir Annexe I).

22

Chapitre II : Le séchage II.1. Définition :

″Sécher″ décrit généralement le processus d'enlever thermiquement les substances volatiles (humidité) pour rendre un produit sec [8].

Quand un corps humide est soumis au séchage thermique, deux processus se produisent simultanément :

1. Transfert d'énergie (la plupart du temps comme chaleur) du milieu environnant vers le solide pour évaporer l'humidité de la surface.

2. Transfert de l'humidité interne vers la surface du solide et son évaporation suite au processus 1.

Le séchage est un mécanisme complexe du fait que les transferts de chaleur et de masse sont étroitement imbriqués. L’apport d’énergie va servir à augmenter la température du produit et à évaporer l’eau. Il peut être généré par l’échange avec un gaz chaud, par contact avec une surface chauffée ou par rayonnement [9].

II.2. Le séchage convectif :

Le séchage par convection est le mode de transfert d’énergie le plus courant. Il consiste à mettre en contact un gaz (air) s’écoulant en régime laminaire ou turbulent autour du corps à sécher. L’eau migre de l’intérieur vers l’extérieur du produit où elle est évacuée par convection naturelle ou forcée vers le milieu ambiant [10].

II.3. Cinétique de séchage :

Plusieurs théories et modèles ont été élaborés pour rendre compte de la cinétique de séchage et appréhender les lois physiques qui contrôlent les transferts. La complexité des mécanismes mis en jeu et le caractère variable des produits (nature, forme, propriétés physiques) empêchent de trouver un modèle unique susceptible de représenter toutes les situations. Il n’est pas étonnant dans ces conditions que les courbes caractéristiques de la

23 cinétique de séchage présentent plusieurs étapes qui, individuellement et au cours d’une même opération, sont contrôlées par différents phénomènes de transfert [9].

Le suivi de la teneur en eau ″w″ du produit exprimée en fonction du temps permet d’obtenir la vitesse de séchage (dw/dt) en fonction du temps ou de la teneur en eau, et d’établir les courbes classiques de séchage. Habituellement on considère l’existence d’une succession d’étapes au cours de l’opération de séchage. Après une période de mise en régime dite période d’initialisation (période AB) on observe souvent une période de séchage à vitesse constante (période BC) puis une ou deux périodes à allure décroissante figure (II.1).

FIG. (II.1) Courbes typiques de séchage convectif.

II.3.1 Phase d’initialisation :

Cette phase est définie comme étant une phase de mise en régime des transferts de chaleur et de matière à la surface saturée du produit. La quantité de chaleur apportée durant cette période contribue à élever la température du produit tout en vaporisant une certaine quantité de soluté. Ce phénomène se poursuit jusqu’à ce que le transfert de chaleur compense exactement le transfert de matière. Cette période est généralement courte par rapport au temps global du séchage.

24 Pendant cette phase, l’humidité est acheminée en flux continu vers la surface du produit. Le liquide se déplace par capillarité ; de cette manière le fluide séchant en contact avec la surface du produit est à sa température humide. Pendant cette phase, la vitesse dépend uniquement des paramètres externes. Cette phase s’achève lorsque le matériau atteint une humidité moyenne wcr appelée humidité critique. Cette valeur correspond à la limite

supérieure du domaine hygroscopique.

II.3.3 Phase de ralentissement de la vitesse de séchage :

En dessous de wcr, les forces capillaires ne sont plus suffisantes pour acheminer l’eau

vers la surface du produit. C’est le début de la 1ère phase de ralentissement. La vitesse de séchage ne peut plus être maintenue constante et elle commence à décroître. Les propriétés physiques du corps à sécher influent de plus en plus le déroulement du séchage. Les mécanismes de déplacement mis en œuvre pendant cette phase, sous l’effet de la capillarité tout au long des parois des pores, sont l’évaporation et la condensation. Ces mécanismes reposent sur l’idée d’une diffusion de l’eau sous forme gazeuse à travers les pores du solide et d’une immobilisation partielle par adsorption (mécanismes de condensation).

II.4. Modélisation du séchage :

II.4.1. Les différentes approches proposées de la littérature :

Différentes approches ont été utilisées sur une grande variété de produits pour décrire les mécanismes de séchage. Ces approches théoriques, permettant la prédiction des transferts internes de la matière et de la chaleur dans un produit en cours du séchage, supposent généralement la prédominance d’un ou de plusieurs mécanismes de transfert. On peut proposer la classification suivante :

1- les modèles cinétiques, qui supposent que l’étape limitante est le transfert de l’eau liquide du cœur du produit vers la surface sans tenir compte de l’apport énergétique. Parmi ces modèles, nous pouvons citer le cas de la diffusion liquide isotherme et celui de la migration de l’eau par capillarité.

2- les modèles cinétiques, où interviennent simultanément les transferts de matière et de chaleur. L’humidité est transférée essentiellement par les mécanismes diffusionnels:

25 - diffusion limitée à la phase gazeuse.

- diffusion simultanée au sein de plusieurs phases.

3- les modèles prenant en compte les transferts de matière et de chaleur avec incidence réciproque de l’un sur l’autre selon le principe de thermodynamique des processus irréversibles.

II.4.1-1. Modèle de SHERWOOD :

Cette approche assimile le mécanisme de transfert interne à une diffusion moléculaire décrite par la loi de Fick (voir annex II) :

𝜕𝑐𝑣 𝜕𝑡

=

𝜕 𝜕𝑥

𝐷

𝜕𝑐𝑣 𝜕𝑥

𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 1)

Où D est le coefficient de diffusion.

Cette approche utilise la concentration en eau comme force motrice du processus. Ce modèle appliqué au séchage du bois et de l’argile donne des résultats plus ou moins satisfaisants, Les différences constatées pour certains matériaux sont attribuées à l’obligation de mener les calculs avec un coefficient de diffusion constant. De plus, Sherwood (1929) reconnaît que dans les milieux poreux non saturés, les forces capillaires peuvent jouer un rôle important. En 1934, Sherwood publie un nouvel article dans lequel, il discute du retrait des ménisques au dessous de la surface au cours du séchage et de la diffusion à travers la couche limite externe.

En 1937, Ceaglske et Hougen utilisent la théorie capillaire dans leurs études sur les matériaux granulaires, pour calculer le profil de la distribution d’humidité dans un lit de sable.ils démontreront plus tard, les limites du modèle diffusif, et le rôle joué par la capillarité en présentant des comparaisons mesures expérimentales (figure II.2).Ces travaux montrent que la théorie capillaire est bien plus adaptée pour modéliser le phénomène de séchage des milieux granulaires.

Les premiers formalismes sur le séchage sont, donc, posés mais avec un inconvénient majeur, c’est qu’ils négligent complètement l’effet de la chaleur.

26 FIG. (II.2) Profils d’humidité dans un lit de sable (d’après Hougen)

_ Valeurs expérimentales

--- calculés à partir de l’équation de diffusion

xxx calculés à partir de la courbe de pression capillaire

Couplage des transferts :

La mise en place des équations de couplage des différents transferts est essentiellement le fruit du travail de quatre chercheurs : Krisher et Kroll (1963), Luikov (1961) et Philip et De Vries (1957). Les formulations exprimant les différents bilans, proposés par ces équipes, présentent de nombreuses analogies. Ces trois théories supposent que le milieu poreux est continu et localement en équilibre thermodynamique.

II.4.1-2. Théorie de Krisher (1963) :

Cette théorie est basée sur l’analyse des transferts de chaleur et de masse d’une grande variété de milieux poreux. Elle suppose que, pendant le séchage, l’humidité peut se déplacer

27 sous forme liquide par capillarité, et sous forme vapeur sous l’action d’un gradient de concentration en vapeur.

Les flux de vapeur et de liquide ont pour expression :

Ј𝑙

= −𝐷𝑙𝜌𝑙𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤

Ј_𝑣

= −𝐷𝑣𝜌𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑃𝑣)

EQ. (II. 2)

Avec Dv et DL respectivement les valeurs des coefficients de diffusion de la vapeur et du

liquide. La valeur de Pv peut être déterminée à l’aide d’isothermes de sorption. Cette approche fut le point de départ de plusieurs théories, en particulier, celle de Berger et Pei, 1973. [20] Ces derniers acceptent les hypothèses émises par Krisher en ce qui concerne le transport de l’humidité en considérant également que le liquide peut se déplacer par diffusion.

II.4.1-3. Modèle de Luikov (1961) :

Luikov a met en évidence le phénomène de thermodiffusion et établit qu’un thermogradient provoque le déplacement de l’humidité à l’intérieur du matériau. Pour modéliser les transferts de chaleur et de masse dans les corps poreux, il propose la division des flux de liquide et de vapeur en deux parties, l’une induite par un gradient de concentration, et l’autre par un gradient thermique ; ce qui donne le système d’équations suivant :

Ј_𝑙

= −𝐷𝑙𝜌𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝐷𝑙𝑇𝜌𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇

Ј𝑣

= −𝐷𝑣𝜌𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝐷𝑣𝑇𝜌𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇

EQ. (II. 3)

Ce système d’équations est ensuite associé aux bilans d’énergie et de matière. Cependant il ne donne pas accès au taux de changement de phase m . C’est pourquoi Luikov fait intervenir un paramètre supplémentaire, le taux adimensionnel de changement de phase qu’il définit par :

𝑚 = 𝜏𝜌

_𝑠𝜕𝑤_𝜕𝑡

EQ. (II. 4)

Où

𝜏

représente un facteur adimensionnel caractérisant la résistance à la diffusion de vapeur dans le matériau. Au début du séchage, quand la migration d’humidité est essentiellement liquide,

𝜏

prend une valeur proche de zéro ; à la fin du séchage,

𝜏

tend vers 1, quand l’humidité se déplace à l’état vapeur.

28 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝛿𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝐶𝑏𝜌𝑠 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑇(𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 )] − 𝐿𝑣

𝜏

𝜌𝑠 𝜕𝑤 𝜕𝑡 EQ. (II. 5)

Avec Lv, la chaleur latente de vaporisation ; Dm=Dv+Dl, le coefficient de diffusion total et

𝛿

_𝑠

=

𝐷𝑣𝑇+𝐷𝑙𝑇

𝐷𝑣+𝐷𝑙

EQ. (II. 6) , le coefficient de thermomigration.

Ce modèle est assez puissant pour décrire les phénomènes de transfert simultanés de chaleur et de masse dans le milieu poreux, mais la principale difficulté qu’il pose, est la détermination du paramètre

𝜏,

qui varie au cours du séchage.

II.4.1-4. Modèle de Phlip et De Vries (1957) :

Ce modèle propose une description des transferts de chaleur et de masse dans les milieux poreux non saturés. Cette approche est basée sur l’étude des comportements thermique et hydrique des sols pour lesquels le mouvement de l’humidité est supposé s’effectuer par capillarité et diffusion ou sous l’action des gradients d’humidité et de température et également de gravité. Les flux de liquide et de vapeur sont calculés individuellement, ce qui permet d’obtenir le taux de changement de phase.

Les flux de liquide et de vapeur, en fonction des gradients d’humidité et de température ont pour expression :

Ј 𝑙 = −𝐷𝑙𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝐷𝑙𝑇𝜌𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 − 𝐷𝑖

Ј _𝑣 = −𝐷_𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝐷_𝑣𝑇𝜌_𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 EQ. (II. 7)

Les coefficients DL et DLT de migration de la phase liquide sont déterminés à partir de la

courbe de succion capillaire.

Le système d’équations gouvernant la migration de l’humidité et de chaleur est tel que: 𝜕𝑤

𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 + 𝐷𝑚𝑇𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝐶_𝑏𝜌_𝑠𝜕𝑇

𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑇(𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 )] + 𝐿𝑣𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 ]

29 Donc Luikov , De Vries et philip ont proposés une modélisation mathématique prenant en considération la coexistence des phases liquide et vapeur au sein du milieu poreux et faisant apparaitre les effets de couplage entre le transfert de masse et le transfert de chaleur. Parmi les travaux récents, basés sur ce modèle, nous citrons ceux de M.Giat et M.-C. Grouhel [11] et Bories et al [12] (figure II.3)

FIG.II.3. Simulations expérimentale et numérique, (a) schéma du dispositif expérimental [12]

II.4.2 Evolutions récentes :

Comme les milieux poreux se présentent généralement comme des matrices solides comportant un réseau de pores pouvant contenir plusieurs phases fluides, les écoulements et les transferts qui prennent place dans de tels milieux sont d’une approche difficile. En effet, la modélisation des transferts en milieu poreux à l’échelle du pore (microscopique) est pratiquement irréalisable.

Le passage de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique s’effectue selon plusieurs méthodes Citons par exemple les méthodes de réseau basées sur la notion de percolation, de gaz sur réseaux, et les méthodes d'homogénéisation.

L'approche que nous utilisons est l'approche dite « macroscopique », basée sur l'existence d'un Volume Elémentaire Représentatif (V.E.R)

30 II.4.2.1. Concept de (V.E.R) volume élémentaire représentatif:

Il permet la définition d’une grandeur macroscopique comme la moyenne sur ce V.E.R de la grandeur prise à l'échelle microscopique (ou échelle des pores). La taille de ce V.E.R doit être suffisamment grande pour que les hétérogénéités présentes à l'échelle microscopique ne soient plus apparentes à l'échelle macroscopique.

L’existence de ce V.E.R est admise lorsque la taille des pores est très petite devant les longueurs caractéristiques du solide poreux.

FIG. II.4 Volume élémentaire représentatif

II.4.2.2. Modèle de Whitaker (1980) :

L’utilisation de la démarche du VER, a permis, en particulier à Whitaker (1980), de mettre en place un modèle de transfert couplé de chaleur, de masse et de quantité de mouvement applicable au processus de séchage. Whitaker a émis des hypothèses et procédé à des simplifications conduisant à un système complet d’équations pouvant modéliser le déroulement du séchage des corps poreux. Le passage à la moyenne fait apparaître de nombreux termes supplémentaires qui, pour la majorité, sont uniquement accessibles du point de vue macroscopique.

Le modèle de Whitaker est basé sur les considérations suivantes : [13]

 La phase solide qui constitue le milieu poreux est rigide et isotropique dans le sens macroscopique.

 La pression totale de la phase gazeuse est uniforme et constante.

 Il n’y a pas de réaction chimique entre les phases solides, liquides et gazeuses.  Le transfert de chaleur par rayonnement est négligé.

Grandeur physique

31  Les effets de la dissipation dans l’écoulement sont négligeables.

 Le flux d’apport d’humidité est négligé. Mise en équation :

Elle est faite en faisant la moyenne des équations microscopiques.

Equation de l’énergie : 𝜌𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝑙𝑐𝑝𝑙 + 𝜌 𝑐𝑔𝑔 𝑝𝑔𝑔 𝑉𝑔𝑔 ∇𝑇 + ∆𝐿𝑣𝑚 = ∇ 𝜆𝑒𝑓𝑓∇𝑇 EQ. (II. 9)

Equation de continuité de la phase liquide :

𝜕𝜀𝑙

𝜕𝑡 + ∇𝑣𝑙 + 𝑚

𝜌𝑙 = 0 EQ. (II. 10)

Equation de la diffusion de la vapeur dans la phase gazeuse :

𝜕𝜀𝑔𝜌𝑣𝑔 𝜕𝑡 + ∇ 𝜌𝑣 𝑔_𝑣𝑔 _{= 𝑚 + ∇ 𝜌} 𝑔𝑔 𝐷𝑒𝑓𝑓∇ 𝜌_𝑣𝑔 𝜌_𝑔𝑔 EQ. (II. 11) Equation de Darcy de la phase liquide :

𝑉𝑙 =

− 𝑘𝑘_𝑙 𝜇𝑙 ∇ 𝑃𝑙

𝑙

− 𝜌 𝑔 EQ. (II. 12) 𝑙

Equation de Darcy de la phase gazeuse :

𝑉𝑔 =

− 𝑘𝑘𝑔

𝜇𝑔 ∇ 𝑃𝑔 𝑔

EQ. (II. 13) Contrainte sur le volume :

εs + εl + εg = 1 EQ. (II. 14)

Relation thermodynamiques :

32 𝑝_𝑔𝑔 = 𝑝 _𝑣𝑔 + 𝑝_𝑎𝑔 EQ. (II.15) 𝜌_𝑔𝑔 = 𝜌 + 𝜌_𝑣𝑔 _𝑎𝑔 𝑝_𝑣𝑔 = 𝑝𝑣𝑠𝑒𝑥𝑝 − 2𝜍 𝑟𝜌𝑙𝑅𝑣𝑇+ ∆𝐿_𝑣 𝑅𝑣 1 𝑇− 1 𝑇0

L'avantage du modèle de Whitaker est qu'il offre une représentation très bonne des phénomènes physiques se produisant dans des milieux poreux pendant le séchage. Cependant, le problème rencontré en employant le modèle de Whitaker est la difficulté de la détermination des coefficients de transferts qui sont compliqués, telles que la diffusivité et les perméabilités efficaces, qui dépendent fortement des propriétés et de la structure du matérielles (problème produit également dans tous les modèles ci-dessus). Ces paramètres sont en fonction de la teneure en d'humidité ou et de la température. En outre, les équations couplées de la chaleur et

de la masse, qui sont fortement non-linéaires, exigent une méthode numérique très compliquée pour les résoudre.

II.5. Théorie de la diffusion:

La théorie de la diffusion a été développée par Fick (1855). [14] Elle exprime une proportionnalité entre la densité de flux (J), traversant une unité de surface et le gradient de concentration(𝜕𝐶_𝜕𝑌), suivant une direction y normale à cette surface. L’équation mathématique s’écrit :𝑗 = −𝐷𝜕𝐶_𝜕𝑌 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 16)

D est le coefficient de diffusion en [m2/s] ; c’est une caractéristique du problème physique, et il varie souvent avec la concentration en eau C.

En établissant un bilan massique au milieu poreux, l’équation de diffusion est, alors, déduite (voir annexe II) :

𝜕𝑐

33 Différentes forces motrices peuvent être sélectionnées pour exprimer la loi de Fick. Parmi celles-ci, on peut citer : les gradients de concentration d’humidité C (kg/m3), de teneur en eau X (kg d’eau/kg de bois anhydre) et de pression partielle de vapeur (Pa)… Cependant, en régime isotherme, il est possible de passer d’une force motrice à une autre tout en changeant l’unité du coefficient de diffusion. [15].

L’expression de cette équation en fonction de la saturation s’écrit : 𝜕𝑠 𝜕𝑡 = ∂ ∂x 𝐷 ∂s ∂x 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 18)

II.6. Identification du coefficient de diffusion :

La diffusivité massique est la propriété d’un corps, qui permet de caractériser l’aptitude de l’eau d’y migrer sous l’influence d’un gradient de concentration de teneur en eau, de pression partielle de vapeur, etc. [16]

II.6.1. Les différentes méthodes analytiques proposées dans la littérature : [9]

Les méthodes analytiques dépendent du régime de diffusion et du type d’expérimentation. En effet, en régime permanent, la première loi de Fick est souvent utilisée alors que le régime transitoire nécessite l’emploi de la seconde loi de Fick

Le coefficient de diffusion D intervient dans l’expression de l’évolution spatio-temporelle de la teneur en eau ;𝜕𝑤_𝜕𝑡 = _𝜕𝑥𝜕 𝐷𝜕𝑤_𝜕𝑥 𝐸𝑄. (II. 19)

Dans de nombreux travaux [17], et dans le souci d’obtenir une solution analytique, la diffusivité de l’eau a souvent été supposée constante. Ainsi en partant d’une humidité initiale uniforme égale à 𝑤₀ et en supposant que la surface du produit reste à tout instant à son humidité d’équilibre𝑤_𝑒𝑞, l’équation (III.19) admet pour solution, la série suivante :

w − w_eq w0− weq = 8 π2 1 2n + 1 2 ∞ n=0 exp ⁡− 2n + 1 4 π2 Dt e2 EQ. (II. 20)

34 Cette résolution est obtenue dans le cas d’un séchage isotherme. Pour des temps suffisamment longs, la somme des termes d’ordre supérieur à 1 peut souvent être négligée devant le premier terme, et il en résulte alors, l’équation suivante :

w − w_eq w₀− w_eq = 8 π2exp − π2 4 Dt e2 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 21)

D’après cette dernière équation le coefficient D peut être obtenu en représentant l’humidité moyenne réduite en fonction du temps.

[18] propose une autre méthode, dite des "essais courts " pour déterminer D. Cette approche suppose que pendant un temps de séchage assez court, l’humidité de l’échantillon

varie peu et peut donc être supposée constante. Le coefficient de diffusion est alors déterminé à partir de la vitesse initiale de séchage par la relation suivante :

w0− w w0− weq = 2 e Dt π 1 2 EQ. (II. 22)

L’influence de la température sur la valeur du coefficient de diffusion peut ensuite être obtenue à partir d’expériences de séchage réalisées à différentes températures. Elle est souvent caractérisée par une loi de type Arrhenius :

𝐷 𝑇 = 𝐷₀𝑒𝑥𝑝 − 𝐸𝑎

𝑅𝑇 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 23)

Où D0 est une constante et Ea l’énergie d’activation.

L’impact de l’humidité sur D est souvent moins étudié expérimentalement. Grâce aux développements des outils informatiques et notamment des algorithmes d’optimisation, il est désormais possible de prendre en compte des évolutions plus au moins complexes de D avec la température (T) et l’humidité (w). [19] ont ainsi déterminé la diffusivité de l’eau dans les pâtes alimentaires en comparant des profils d’humidité expérimentaux calculés en supposant que la surface de l’échantillon restait à son humidité d’équilibre tout au long du séchage. Ils ont ensuite proposé pour D une évolution quadratique avec l’humidité et exponentielle avec la température.

35 𝐷 𝑤, 𝑇 = 𝑎_𝑠𝑤2_{+ 𝑏}

𝑠𝑤 + 𝑐𝑠 𝑒𝑥𝑝 −

𝑑𝑠

𝑇 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 24)

Où 𝑎𝑠, 𝑏𝑠, 𝑐𝑠, 𝑑𝑠sont des coefficients déterminés à partir de l’expérience.

Détermination à partir du modèle de Luikov

A partir de l’expression locale de la loi de conservation de la masse effectuée par Luikov et De Vries ; 𝜕𝑤

𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤 − 𝛿𝑠𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇

Le coefficient de diffusion massique globale isotherme est la somme des deux coefficients de la phase liquide et de la phase vapeur, leurs expressions sont données comme suit : [12]

𝐷𝐿 = 𝜌_𝑙 𝜌0𝜋(𝑆, 𝑇) 𝜕𝜓(𝑆, 𝑇) 𝜕𝑆 𝑇 𝐷𝑉 = 𝜏(𝑆)𝐷0 𝑀_𝑉2_𝑃 𝑉𝑆 𝜌0𝑅2𝑇2 𝑃 𝑃 − 𝑃𝑉𝑔 𝜕𝜓 𝜕𝑆 𝑇∅ 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 25)

La détermination de ses coefficients requiert la connaissance des paramètres D, PV, Mv, L, π, η

et ψ

D0, PVS, L étant des propriétés thermophysiques des fluides, aisément accessibles par les

tables.

L’expression de la perméabilité ″π″ des milieux poreux est donnée par la loi de Darcy 𝜋 𝑆 𝑇 = − 𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 ∅ 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 26) Où : 𝑉 : La vitesse de filtration. S : la saturation.

𝑉 𝑒𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 ∅ Sont déterminés expérimentalement dans des conditions isothermes. Connaissant la valeur de l’expression π(S), la dépendance de cette conductivité de la température est liée à la connaissance de la viscosité cinématique 𝜈 ; dont l’expression est ;

36 𝜋 𝑆, 𝑇 =𝜋(𝑆)𝑔 𝜈(𝑇) 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 27) 𝑝_𝑐 = 2𝜍𝑐𝑜𝑠𝜃_𝑟 𝛹 = − 𝑝𝑐 𝜌𝑙𝑔 = − 2𝜍𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟𝜌𝑙𝑔 , 𝑑 ′_{𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒}

ζ(S) tension interfaciale du couple air-eau tirée à partir des tables.

Détermination à partir de la mesure de la pression capillaire

La valeur du coefficient de diffusion massique peut être déterminée à partir de la mesure d’autres paramètres physiques dont il dépend.

Ce coefficient est exprimé dans certaines relations, en fonction de la pression capillaire qui se mesure par plusieurs méthodes, pour des pores de faibles dimensions, le prosimètre à mercure permet de fournir une représentation de la distribution des volumes et surfaces de pores en fonction de leurs dimensions.

L’expression du coefficient de diffusion en fonction de la pression capillaire est donnée comme suit ; [20] 𝐷𝑙 = 𝑘𝑘_𝑘 −𝑑𝑝𝑐 𝑑𝑠 𝜀𝜇 𝐷_𝑣 =𝐷𝑒𝑓𝑓𝑀𝑣𝑃𝑣𝑠 𝑑𝑓 𝑑𝑠 𝜌_𝑙𝑅𝑇𝜀 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 28) Avec : 𝑓 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑃𝑐𝑀𝑣 𝜌_𝑙𝑅𝑇 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 29) 𝐷𝑒𝑓𝑓 = 𝐷0 1 − 𝑆 2𝜀(1 − 𝑆)1.333333 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 30)

II.6.2. Mesures expérimentales :

La diffusivité massique est un paramètre phénoménologique. Sa détermination est basée sur deux étapes complémentaires : la collecte des données expérimentales et l’analyse de ces

37 données. On peut distinguer deux types de diffusivité massique, celle mesurée en régime permanent d’une part et celle mesurée en régime transitoire d’autre part. A chaque type, correspondent des protocoles expérimentaux bien spécifiques.

En régime permanent, la détermination de la diffusivité massique consiste à mesurer, jusqu’à l’équilibre, l’évolution de la masse d’un échantillon de bois soumis de part et d’autre de ses faces à deux valeurs d’humidité relative différentes. La technique du «vaporimètre» est généralement utilisée.

En régime transitoire, le principe repose sur le suivi, au cours du temps, de la teneur en eau d’un échantillon de bois, préalablement équilibré au sein d’un environnement à humidité relative contrôlée et qui subit une variation brusque de cette dernière. Généralement, la technique de pesée successive ou la gravimétrie est utilisée pour la collecte des données expérimentales.

II.6.2.1. Expérience de Crausse :

La méthode d’évaluation se fonde sur l’application de l’équation de diffusion isotherme, donnant l’expression de la densité de flux de masse, en l’absence d’effets gravitaires, lors de transferts unidirectionnels

𝐽 _𝑚 = −𝐷𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑆 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 31) 𝐷 = −𝐽 𝑚

𝑔𝑟𝑎𝑑

𝑆 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 32)

La connaissance du flux massique, et du gradient de teneur en eau permet donc la détermination du coefficient de diffusion global ″D″

Crausse [21] a établi des expériences sur un sable quartzeux, considéré comme milieu poreux, le dispositif expérimental est constitué de cellules métalliques cylindriques, de section droite circulaire, dans lesquelles le milieu poreux, préalablement humidifié est mis en place

La teneur en eau pondérale initiale du milieu poreux étudié (a été choisie de l’ordre de 5%), la plage des teneurs en eau est de 5% ≤ S ≤ 23%.

38 Les gradients de saturation (le profil de teneur en eau) relatifs à différents temps, sont obtenus par découpage des échantillons et pesées.

L’allure du coefficient de diffusion est représentée dans la figure (II.5);

FIG. (II.5) Diffusivité massique effective totale (gaz + liquide) d’après Crausse [22]

II.6.2.2. Expérience d’Ohtani et al

La valeur du coefficient de diffusion a été déterminée à partir d’un dispositif expérimental servant à mesurer la concentration d’humidité dans un lit granulaire, contenant soit un sable de mer ou de la brique en poudre [23].

Le dispositif expérimental est constitué de cellules exposée à un air chaud de température 60°C, l’humidité est maintenue constante grâce à une microseringue qui assure l’alimentation en eau à une très faible vitesse.

39 Ohtani et al, ont mesuré la variation de la quantité d’humidité durant toute la période de l’expérience, et ils ont pu établir des relations empiriques donnant l’expression du coefficient de diffusion en fonction de la concentration d’humidité.

Pour le sable de mer ;

𝐷 = 2.5. 10−5_{exp 0.032𝐶 , C ≤ 225 kg/m}3_{. 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 33)}

Pour la brique ;

𝐷 = 4.6. 10−6_{exp 0.04𝐶 , C ≤ 230 kg/m}3_{. 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 34)}

FIG (II.6) Résultat expérimental de la diffusion de l’humidité dans la brique par Ohtani

[23]

Pour notre étude nous nous servirons de la courbe de Crausse, précédemment citée, pour représenter sous forme empirique la variation du coefficient de diffusion massique isotherme avec la saturation.

Les courbes expérimentales obtenues par Crausse ont été mises sous forme mathématique grâce à un logiciel d’interpolation ″FITTING″, une expression polynomiale a été choisie, avec un coefficient de corrélation égale à 99%

40 Cette corrélation est donnée comme suit :

log 𝐷 = −8.14606 − 132.068𝑆 + 5097.55𝑆2_{− 57519.6𝑆}3_{+ 266822𝑆}4_{− 439586𝑆}5

+ 3944.53𝑆6 _{𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 35)}

II.7. Transferts thermiques: Généralité :

Le transfert thermique à travers un milieu s’effectue selon trois modes de transfert : conduction, convection, et rayonnement. Dans ce mémoire, nous nous intéresserons exclusivement au transfert thermique par conduction, ainsi nous négligerons les autres modes de transfert. Par définition, le transfert thermique par conduction au sein d’un milieu s’effectue sans déplacement de la matière sous la seule influence de la différence de température entre deux zones [2].

La théorie de la conduction repose sur la loi de Fourier : la densité du flux est proportionnelle au gradient de la température :

𝜑 = −𝜆𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 36)

L’équation générale de la conservation de l’énergie est donnée par la relation [24]: 𝐶𝑝𝜌𝑠 𝜕𝑇 𝜕𝑡 − 𝜕 𝜕𝑥 𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 + ∆𝑕𝑣 −𝜕𝑚_𝑣 𝜕𝑥 + 𝜀 (1 − 𝑠) 𝑅𝑇 𝑀𝑣 𝜕𝑃_𝑣 𝜕𝑡 − 𝑄 = 0 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 37) 0

 Le premier terme est la variation de la température du corps au cours du temps.  Le deuxième terme est la densité du flux de chaleur par conduction.

 Le troisième est le flux consommé par l’évaporation de l’eau dans le corps. Le terme : 𝜀(1−𝑠)_𝑅𝑇 𝑀_𝑣𝜕𝑃𝑣

𝜕𝑡 est souvent négligé.

 Le quatrième terme est la densité volumique du flux de chaleur apportée par rayonnement.

Le transfert de chaleur dans un solide opaque, homogène, sans terme de source (rayonnement), se traduit par l’équation suivante :

𝐶_𝑝𝜌_𝑠𝜕𝑇_𝜕𝑡 = _𝜕𝑥𝜕 𝜆 𝜕𝑇_𝜕𝑥 − ∆𝑕_𝑣𝜕𝑚𝑣

𝜕𝑥 𝐸𝑄. (𝐼𝐼. 38)

41 𝐶𝑝𝜌𝑠 : Lachaleur volumique.

∆𝑕𝑣 : La chaleur latente de vaporisation.

𝑚 : Flux massique d’évaporation. 𝑣

La conservation de l’énergie dépend étroitement des propriétés thermophysiques : la conductivité thermique, et la géométrie du milieu.

II.8. La conductivité thermique dans les milieux poreux

La conductivité thermique est une propriété caractérisant le transfert thermique des milieux.

La mesure de cette dernière est souvent complexe car elle dépend de plusieurs paramètres. La conductivité thermique apparente doit prendre en compte certains paramètres tels que la conductivité thermique de chaque phase, leurs fraction volumique, la structure de la matière solide, et les zones de contacts entre particules. Beaucoup de méthodes de mesures de la conductivité thermique apparente ont été développées faisant appel aux techniques de traitement de signal, mesure de flux injectés, et l’utilisation des sondes de mesures. Les modèles décrits dans la littérature sont des outils de prédictions développés afin d’appréhender les mécanismes de transfert thermique dans les solides. Ces modèles devraient permettre la prise en compte de petites échelles (forme de particules, zones de contact) et de grandes échelles (conditions aux limites, porosité) [2].

II.8.1. Variation de la conductivité thermique en fonction de la porosité.

42

Modèle Formules Remarques

Parallèle 𝜆_𝑎𝑝𝑝 = ∑𝜀_𝑖𝜆_𝑖 Milieu constitué en plusieurs

strates

parallèles entre elles

Série 𝜆_𝑎𝑝𝑝 = (∑𝜀_𝑖/𝜆_𝑖)−1 Milieu constitué en plusieurs strates en série entre elles

Maxwell

𝜆𝑎𝑝𝑝 =

𝜀𝜆_𝑓 2𝜆_𝑓+ 𝜆_𝑠 + 3𝛼𝜆_𝑠𝜆_𝑓 𝜀 2𝜆𝑓 + 𝜆𝑠 + 3𝛼𝜆𝑓

Particules sont sphériques, et aucune

interaction mutuelle entre les particules

De Vries

𝜆_𝑎𝑝𝑝 = 𝜀𝜆𝑓 + 𝛼𝜆𝑠𝐺 𝜀 + 𝛼𝐺

Extension du modèle de Maxwell à des particules ellipsoïdales

Krisher

𝜆_𝑎𝑝𝑝 = 𝜆𝑆é𝑟𝑖𝑒𝜆𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 è𝑙𝑒 𝑏𝜆_{𝑆é𝑟𝑖𝑒} + (1 − 𝑏)𝜆_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 è𝑙𝑒}

Combinaison du modèle série et parallèle

Tableau (II.1.) Modèles de mesure de la conductivité thermique à partir de la porosité [2].

𝜆_𝑠 : Conductivité thermique de la phase solide. 𝜆_𝑓 : Conductivité thermique du fluide.

𝜀𝑖 = 𝜀 ou 𝛼 qui représente respectivement la porosité de la phase fluide continue et la porosité

de la phase solide discontinue.

Le facteur G représente le rapport des gradients moyens de température dans la matrice fluide et dans les particules solides