LE SYSTEME MASSE RESSORT
La force F exercée par le ressort sur le solide accroché au bout du ressort est appelée force de rappel. Elle est proportionnelle à l’allongement x du ressort :
i x k
F avec k la constante de raideur du ressort et s’exprime N.m1
Détermination de k :
On suspend le ressort verticalement.
A l’équilibre, d’après le principe d’inertie : P F 0, et on projette sur l’axe (Oz) : P F 0 d’où P F
Ainsi, mg kz d’où
z g m k
Equation différentielle du mouvement :
La 2ème loi de Newton permet d’écrire : P R F maG avec R la force de réaction du sol sur le solide accroché au bout du ressort.
Or P R 0 (dans la position d’équilibre du ressort) donc F maG
Projetons cette accélération sur l’axe Ox : 2
2 t d x d m x k
On obtient alors l’équation caractéristique d’un oscillateur non amorti : 2 0
2 x m k t d x d
Solution de la forme :
0 0 2 cos ) ( t T x t x mDérivons deux fois x(t) :
0 0 2 0 2 2 0 0 0 2 cos 2 ; 2 sin 2 T x T t d x d T x T t d x d m m
On réinjecte dans l’équation différentielle : 2 cos 2 cos 2 0 0
0 0 0 2 0 t T x m k T x T m m On factorise : cos 2 2 0 2 0 0 0 m k T t T xm
Ceci doit être vrai pour tout t, donc 2 0
2 0 m k T d’où k m T0 2
On détermine ensuite 0 et x avec les conditions initiales : A m
0 0 ) 0 ( ) 0 ( , 0 v x x x t …
