II Description de la machine

Machines ` a courant continu

I Rappels

Force de Lorentz et de Laplace Force de Lorentz

Ý

ÑF_L“qpÝÑE `~v^ÝÑBq Force de Laplace

Ý ÑF “

ż

C

Id~l^ÝÑB Couple des forces de Laplace

Ý ÑΓ “

ż

C

ÝÝÑOM^ pId~l^ÝÑ Bq Champ ´electromoteur de Lorentz

Soit~v_e la vitesse d’un circuit ´electrique en mouvement dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Soit Ý

ÑB le champ magn´etique dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Alors on appelle le champ ´electrique du `a ce champ dans le r´ef´erentiel du circuit lechamp ´electromoteur de Lorentz ÝÑ

Em

Ý

ÑEm “~ve^ÝÑ B

Ce champ a les mˆemes effets qu’un champ ´electrique existant. Sa circulation le long du circuit est la f´em de Lorentz

e_L“ ż

C

Ý ÑE_m¨d~l

Puissance des forces de Lorentz et de Laplace Dans le cas o`u le champ ÝÑE se r´eduit au champ

´

electromoteur de Lorentz

Ý

ÑF_L“qpÝÑ

E `~v^ÝÑ

Bq “qp~v_e`~vq ^ÝÑ B soit pour un ´el´ement de volume dτ

dÝÑ

F_L“ρp~v_e`~vq ^ÝÑ B dτ La puissance de cette force volumique

dP “dÝÑ

FL¨ p~ve`~vq “ pρp~ve`~vq ^ÝÑ

Bq ¨ p~ve`~vqdτ est nulle puisque la force est perpendiculaire `a la vitesse. On a donc

0 “ dτpρp~ve`~vq ^ÝÑ

Bq ¨ p~ve`~vq

“ dτ ρ~v_e^ÝÑ

B ¨~v` pdτ ρ~v^ÝÑ Bq ¨~v_e

“ dτÝÑ

Em¨~j` pdτ~j^ÝÑ Bq ¨~ve

Pour un circuit filiforme,~jdτ “~j¨dÝÑS d~l“Id~l Ý

ÑEm¨Id~l` pId~l^ÑÝ

Bq ¨~ve“0

Le premier terme peut s’´ecrireIde“IÝÑ

Em¨d~lo`u de est la f´em ´el´ementaire produite par le circuit dl, ce qui fait apparaitre la puissance ´el´ementaire fournie par la f´em induite.

Le deuxi`eme terme est l’expression de la puissance ´el´ementaire de la force de LaplacedPF. On peut donc finalement ´ecrire

dP_F `dP_e“0

ce qui montre que la puissance fournie par la f´em de Lorentz est ´egale `a la puissance de la force de Laplace.

II Description de la machine

Une machine est dite `a courant continu lorsque les grandeurs ´electriques gardent un signe constant au cours du temps, mˆeme si leurs valeurs peuvent changer. C’est un convertisseur ´electrom´ecanique rotatif fonctionnant en moteur ou en g´en´erateur.

II.1 Structure

Une machine `a courant continu est constitu´ee des ´el´ements principaux suivants : – le circuit magn´etique constitu´e lui mˆeme

– du stator, partie fixe, en mat´eriau ferromagn´etique, qui sert `a canaliser le champ,

– du rotor, partie mobile, solidaire, reli´e au circuit ´electrique par un collecteur et des balais, qui constituent un dispositif de commutation,

– d’un entrefer le plus ´etroit possible pour limiter les pertes de flux de champ magn´etique.

– le circuit ´electrique

– l’inducteur qui constitue la source de champ magn´etique permanent de la machine, constitu´e d’aimants permanents ou de bobinages,

– l’induit, soumis au champ magn´etique de l’inducteur et plac´e sur le rotor (parcouru par un courant i).

III Fonctionnement ` a une ou plusieurs spires

III.1 Fonctionnement `a une spire

On suppose le champ magn´etique dans l’entrefer radial Bpr, θq~u_r et tel qu’il soit antisym´etrique par rapport `a l’axe Ox soit ÝÑ

Bpr, θq “ Bpr, θq~urpθq “ ÝÑ

Bpr, θ`πq “ Bpr, θ`πq~urpr, θ`πq avec ~urpθq “

´~urpθ`πq, doncBpr, θq “ ´Bpr, θ`πq.

dz C

i

D N

S Ý ÑB

Ý ÑB Ý

ÑB

Ý ÑB Ý

ÑB

A C

i

D E

Ý ÑB

Ýb ÑF_L

Ý ÑB

Ýd ÑF_L z

x

On consid`ere une spire de largeur d“CD et de longueur l“AC.

III.1.1 Actions m´ecaniques

On peut calculer la r´esultante des forces de Laplace s’exer¸cant sur la spire. Le d´eplacement d~l est parral`ele au champ sur les trajetsCD etEA, il nous reste donc `a calculer

Ý ÑF_L“

ż_C

A

id~l^ÝÑBpd 2, θq `

ż_E

D

id~l^ÝÑBpd

2, θ`πq “ ż_l

0

idz~u_z^B~u_rpθq ` ż_l

0

p´qidz~u_z^ p´qB~u_rpθ`πq avec B “Bpd{2, θq, donc

Ý ÑF_L“

ż_l

0

idz~u_z^B~u_rpθq ` ż_l

0

idz~u_z^B~u_rpθ`πq “0

La r´esultante des forces est donc nulle. On peut alors calculer le moment de ces forces par rapport `a l’axe Oz `a partir du moment ´el´ementaire

dÝÑ

Γ “ÝÝÑ OM^dÝÑ

FL“ÝÝÑ

OM^ pid~l^ÝÑ Bq Sur le trajetAC

id~l^ÝÑB “idz~u_z^Bpd

2, θq~u_rpθq “iBdz~u_θpθq en posant B“Bpd{2, θq et sur le trajet DE

id~l^ÝÑ

B “ ´idz~uz^Bpd

2, θ`πq~urpθ`πq “iBdz~uθpθ`πq “ ´iBdz~uθpθq On doit donc calculer

Ý ÑΓ “

ż_l

0

ÝÝÑOM ^ piBdz~u_θpθqq ` ż_l

0

ÝÝÑOM ^ piBdz~u_θpθ`πqq o`u ÝÝÑ

OM “ ^d₂~u_rpθq `z~u_z. On obtient donc Ý

ÑΓ “ ż_l

0

pd

2~u_rpθq `z~u<sub>z</sub>q ^ piBdz~u<sub>θ</sub>pθqq ` ż_l

0

pd

2~u_rpθ`πq `z~u_zq ^ piBdz~u_θpθ`πqq

et donc

Ý ÑΓ “iB

„ld

2~u_z`l²

2~u_rpθq `ld

2~u_z`l²

2~u_rpθ`πq



soit ÝÑ

Γ “iBld~u_z “iBS~u_z “iφ~u_z Si la spire tourne `a une vitesseÝÑ

Ω “Ω~u_z, alors la puissance m´ecanique des forces de Laplace vaut PL“ÝÑ

Ω ¨ÝÑ

Γ “ΩΓ“iφΩ III.1.2 N´ecessit´e de la commutation

Si on regarde ce qui se passe le passage de la spire sur l’axe Ox

dz

D i C

N

S Ý ÑB

Ý ÑB Ý

ÑB

Ý ÑB Ý

ÑB

A C

i

D E

Ý ÑB Ýd ÑF_L

Ý ÑB Ýb ÑF_L z

x

on constate une inversion des forces de Laplace, ce qui va entrainer une inversion du couple Γ. Une commutation du courant est donc n´ecessaire. Cependant, la machine `a courant continu est aliment´ee par une intensit´e qui est toujours de mˆeme signe. L’ensemble collecteurs+balai assure le rˆole de commutation (voir http ://sitelec.org/applets walter fendt/electricmotor f/electricmotor f.htm)

III.1.3 Aspect ´electrique

On doit calculer la f´em induite sur chaque portion du conducteur avec eL“

ż

C

Ý ÑEm¨d~l avecÝÑ

Em“~v^ÝÑ

B “R{2Ω~u_θ^B~ur. Le produit vectoriel va donner un champ ´electromoteur sur~uz, donc la contribution des partiesCD etAE `a la f´em est nulle. Il reste sur AC

e_{L AC} “ ż_C

A

pR

2Ω~u_θ^B~u_rq ¨dz~u_z “ ´ ż_l

0

R

2ΩBdz “ ´RΩBl 2 et sur DE

e_{L DE}“ ż_E

D

pR

2Ω~u_θ^ p´qB~u_rq ¨ p´qdz~u_z “ ´ ż_l

0

R

2ΩBdz “ ´RΩBl 2 donc au final

eL“ ´RΩBl“ ´ΩBS “ ´Ωφ

En termes de puissance

P_elec“e_Li“ ´Ωφi et on retrouve bien la relation g´en´erale

P_elec`P_L“0

Remarques De la mˆeme mani`ere que pour les actions m´ecaniques, la commutation assure que la f´em est toujours de mˆeme sens.

La relation est valable en convention g´en´erateur qui est celle du chapitre de l’induction. En convention r´ecepteur, parfois utilis´ee

P_elec “P_L III.2 Fonctionnement `a plusieurs spires

L’objectif d’un enroulement `a plusieurs spires et d’obtenir une machine fournissant : – un couple plus important,

– une f´em plus importante.

Le traitement d’un syst`eme `a plusieurs spires est plus complexe mais on retiendra les comportements suivants, pour un induit parcouru par un courant iet un rotor tournant `a la vitesse Ω :

III.2.1 Actions m´ecaniques

Les actions m´ecaniques des forces de Laplace sont telles que Γ“iΦ₀

o`u Φ0 est une constante positive qui d´epend uniquement de la constitution de la machine. Ce couple est

`

a priori dirig´e selon ~u_z. III.2.2 f´em induite

Les f´em induites se traduisent par une f´em totale e“ ´ΩΦ₀

le signe ´ venant de la convention d’orientation des circuits. Une orientation en convention r´ecepteur donne le signe oppos´e.

IV Modes de fonctionnement

IV.1 Sch´ema ´electrique ´equivalent de l’induit

On doit en toute g´en´eralit´e tenir compte de la r´esistance R et de l’inductanceL de l’induit, donc

eptq

R L

i u

On n´egligera souvent L dans la suite.

IV.2 Mode de fonctionnement

On traitera ici d’un induit dont la r´esistance est n´egligeable pour ´etablir des d´efinitions utiles.

– fonctionnement moteur P_elec “ ui ą 0. On fournit de la puissance ´electrique `a la machine. Un g´en´erateur cr´ee un courant dans l’induit qui produit des forces de Laplace qui mettent en mouvement le rotor. Il apparait une f´em induite qui s’oppose `a celle du g´en´erateur initial (Loi de Lenz). On obtient ce comportement quand :

– on imposeuą0, doncią0 caruią0. Dans ce cas, Γ“iΦ₀ ą0 et Ω“ ´_Φ^e

0 ą0 caru“ ´eą0 donc ΓΩą0. Il apparait une f´em d’inductione“ ´ΩΦ0 n´egative

– on imposeuă0, donciă0 car uią0. Dans ce cas, Γ“iΦ₀ă0 et Ωă0 car u“ ´eă0 donc ΓΩą0. Il apparait une f´em d’induction e“ ´ΩΦ₀ positive

– fonctionnement g´en´erateur ΓΩ ă 0. On fournit de la puissance m´ecanique `a la machine. La mise en mouvement de l’induit produit l’apparition d’une f´em aux bornes de l’induit, donc d’un courant induit si le circuit est ferm´e, ce qui produit des forces de Laplace s’opposant au mouvement (Loi de Lenz). On obtient ce comportement quand :

– on impose Ωą0. Dans ce cas, il apparait une f´em d’inductione“ ´ΩΦ₀ n´egative, donc iă0.

Γ“iΦ₀ă0 donc un couple r´esistant qui fait diminuer Ω

– on impose Ω ă0. Dans ce cas, il apparait une f´em d’induction e“ ´ΩΦ0 positive, donc ią0.

Γ“iΦ₀ą0 donc un couple r´esistant qui fait diminuer Ω

V Moteur ` a excitation ind´ ependante

La machine `a excitation ind´ependante est une machine o`u le circuit de l’induit et de l’inducteur sont s´epar´es.

V.1 Mise en ´equation Equation ´´ electrique

eptq

R L

i u

On applique la loi des mailles

u“ ´e`Ri`Ldi

dt “Φ0Ω`Ri`Ldi dt

Equation m´´ ecanique On applique le th´eor`eme du moment cin´etique au rotor JdΩ

dt “

ÿΓi “Γ`Γr

o`u

– J est le moment d’inertie du rotor par rapport `a l’axeOz, – Γ“Φ0iest le moment des forces de Laplace (moteur),

– Γr“Γc`Γ<sub>f</sub> est l’ensemble des couples r´esistants dus `a la charge (Γc) et aux frottements (Γ_f).

On a donc

JdΩ

dt “Φ₀i`Γ_r

On suppose, pour des raisons de simplification, que l’induction propre de l’induit est n´egligeable.

V.2 Moteur `a vide Dans ce cas Γc“0.

Frottements n´eglig´es Si on n´eglige les frottements Γ_f “0. Les ´equations sont donc

"

u“Φ0Ω`Ri J^dΩ_dt “Φ₀i On obtient l’´equation du mouvement en ´eliminant i“ ^u´Φ_R^0Ω

JdΩ dt “Φ0

u´Φ₀Ω R

soit J R

Φ²₀ dΩ

dt `Ω“ u Φ₀

On a donc une solution avec un r´egime transitoire de temps caract´eristiqueτ “ ^{J R}_Φ2 0

et un r´egime permanent de vitesse de rotation Ω₈“ _Φ^u₀.

t Ω

Ω₈

L’effet de mod´eration de l’induction produit ce genre de comportement mˆeme sans frottements (loi de Lenz).

Prise en compte des frottements On peut assez facilement prendre en compte un terme de frotte- ment visqueux Γ_f “ ´fΩ, f ą0. On obtient alors

"

u“Φ₀Ω`Ri J^dΩ_dt “Φ₀i´fΩ On obtient l’´equation du mouvement en ´eliminant i“ ^u´Φ_R^0Ω

JdΩ

dt “Φ₀u´Φ₀Ω

R ´fΩ“ Φ₀u R ´

ˆΦ²₀ R `f

˙ Ω

soit J R

Φ²₀`f R dΩ

dt `Ω“ Φ0u Φ<sup>2</sup><sub>0</sub>`f R Le temps caract´eristique

τ “ J R Φ²₀`f R

est diminu´e par rapport `a la situation sans frottements. La vitesse en r´egime permanent Ω8 “ Φ0u

Φ²₀`f R diminue aussi.

On peut ´evaluer l’importance du terme Γ_f en lan¸cant le moteur `a vitesse constante, puis en coupant l’alimentation.

V.3 Moteur en charge

D´emarrage du moteur Au d´emarrage, Ω “ 0 et on souhaite que ^dΩ_dt ą 0 (on peut faire le mˆeme raisonnement dans le sens de rotation oppos´e, en pensant que la tension doit alors ˆetre n´egative cf IV.2.).

On a donc

"

uD “Ri J^dΩ_dt “Φ₀i`Γ_rp0q donc

JdΩ

dt “Φ₀u_D

R `Γ_rp0q Pour que ^dΩ_dt ą0, il faut donc

Φ₀u_D

R ą ´Γ_rp0q soit une tension de d´emarrage

u_D ą ´RΓ_rp0q Φ0

Il faut donc pour d´emarrer le moteur une tension sup´erieure `a la tension de d´emarrage.

En pratique, il ne faut pas une tension trop importante, sinon l’intensit´e est elle aussi tr`es importante.

On utilise alors une rampe de tension.

Point de fonctionnement Le moteur tourne `a la vitesse constante Ω. On a donc

"

u“Ri`Φ<sub>0</sub>Ω 0“Φ<sub>0</sub>i`Γ_rpΩq Le couple moteur Γ“Φ0ivaut donc

Γ“Φ0

u´Φ0Ω R “ Φ0

Ru´Φ²₀ RΩ

On peut tracer Γ en fonction de Ω pour diff´erente tensions d’alimentationu. Si l’on connait la d´ependance de Γr avec Ω, on peut trouver le point de fonctionnement du moteur.

Ω Γ

‚

u1 u2 u3 u4

|Γ_rpΩq|

V.4 Avantages et inconv´enients

L’avantage principal du moteur `a courant continu est la possibilit´e de faire varier sa vitesse en lui appliquant une tension plus ou moins grande. son principal inconv´enient est le syst`eme de commutation qui implique des frottements et des ph´enom`enes d’´etincelle qui tendent `a endommager les balais qui assurent le contact ´electrique avec le collecteur.

Table des mati` eres

I Rappels 1

II Description de la machine 2

II.1 Structure . . . 2

III Fonctionnement `a une ou plusieurs spires 2 III.1 Fonctionnement `a une spire . . . 2

III.1.1 Actions m´ecaniques . . . 3

III.1.2 N´ecessit´e de la commutation . . . 4

III.1.3 Aspect ´electrique . . . 4

III.2 Fonctionnement `a plusieurs spires . . . 5

III.2.1 Actions m´ecaniques . . . 5

III.2.2 f´em induite . . . 5

IV Modes de fonctionnement 5 IV.1 Sch´ema ´electrique ´equivalent de l’induit . . . 5

IV.2 Mode de fonctionnement . . . 6

V Moteur `a excitation ind´ependante 6 V.1 Mise en ´equation . . . 6

V.2 Moteur `a vide . . . 7

V.3 Moteur en charge . . . 8

V.4 Avantages et inconv´enients . . . 9