1 Probl` eme 1 : une relation entre processus stochastiques

Universit´ es Paris 6 & Paris-Sud, ´ Ecole Normale Sup´ erieure, ´ Ecole Polytechnique.

M2 – Parcours de Physique Quantique

Int´ egrale de chemin et applications en physique statistique Examen

Mercredi 16 d´ ecembre 2009

1 Probl` eme 1 : une relation entre processus stochastiques

On consid` ere l’´ equation de Langevin dx(t)

dt = ξ(t) o` u

ξ(t)ξ(t

)

= 2D δ(t − t

) (1)

d´ ecrivant un processus de Wiener.

1/ On introduit le processus y(T) reli´ e au processus de Wiener par y(T ) = x(t)

√

2Dt avec t = t

e

. (2)

Montrer que le processus y(T ) ob´ eit ` a une ´ equation diff´ erentielle stochastique de la forme dy(T)

dT = − 1

2 y(T) + η(T ) . (3)

2/ Montrer que hη(T )η(T

)i = δ(T − T

).

3/ Quel est le processus stochastique associ´ e ` a la variable y(T) ?

4/ Rappeler l’expression de la probabilit´ e conditionnelle p(x, t|x

, t

) pour le processus x(t).

En d´ eduire la probabilit´ e conditionnelle P (y, T |y

, 0) pour le processus y(T ). Discuter la limite T → ∞.

2 Probl` eme 2 : Accrochage d’un polym` ere et distribution du temps local d’un processus de Wiener

La partie A est utile pour les parties B et C, cependant ces deux derni` eres sont ind´ ependantes.

A. Calculs pr´ eliminaires.– Consid´ erons les deux hamiltoniens unidimensionnels H

= −

et H

= −

+ p δ(x) agissant sur des fonctions d´ efinies sur R . On introduit les fonctions de Green G

(x, x

)

= h x |

0

|x

i et G(x, x

)

= h x |

1

| x

i.

1. Posons H

= H

+V . Montrer que

1

=

0

−

0

V

1

, o` u γ ∈ C est un param` etre.

D´ eduire une ´ equation int´ egrale pour G(x, x

) pour un potentiel V (x) quelconque (G

´ etant suppos´ ee connue).

1

2. On donne G

(x, x

) =

e

. Montrer que G(x, x

) = 1

2 √ γ

e

− p 2 √

γ + p e

(4) 3. Si nous consid´ erons G(x, x

) comme une fonction analytique de la variable complexe γ,

comment interpr´ eter la coupure pour γ ∈ R

?

4. Pour quelle valeur r´ eelle positive de γ (autre que 0) G(x, x

) diverge-t-elle ? Interpr´ etation ? Dans ce cas, analyser le r´ esidu de G(x, x

) au pˆ ole et en donner l’interpr´ etation.

B. Accrochage d’un polym` ere.– Nous ´ etudions le probl` eme de l’accrochage d’un polym` ere gaussien fix´ e ` a ses deux extr´ emit´ es. Nous nous int´ eressons ` a la situation unidimensionnelle

. Une configuration du polym` ere est d´ ecrite par une fonction x(τ ), τ ∈ [0, t], rep´ erant les posi- tions des monom` eres

. Le polym` ere est soumis ` a un potentiel V (x) = p δ(x). La mesure d’une configuration est donn´ ee par

Dx(τ ) e

(5) 1. Montrer que la probabilit´ e pour que les extr´ emit´ es du polym` ere soient en x(0) = x

et

x(t) = x est de la forme

q

(x|x

) = 1 Z

h x | e

|x

i (6) On donnera l’expression de l’op´ erateur H. Pr´ eciser Z

(sans la calculer).

2. Relier h x | e

| x

i ` a la fonction de Green G(x, x

) de la section A, ´ eq. (4). Par la suite on s’int´ eresse au cas x

= 0.

3. En utilisant l’annexe, calculer h x | e

|0 i.

4. D´ eduire le comportement de q

(x|x

) dans la limite t → ∞. On distinguera les cas d’un potentiel attractif et r´ epulsif.

5. Estimer l’extension du polym` ere dans ces deux situations ; on pourra ´ etudier hx(t)

i. Dis- cuter en particulier la d´ ependance en temp´ erature.

C. Distribution du temps local.– Dans cette section nous donnons un autre ´ eclairage au probl` eme analys´ e ci-dessus. Nous changeons de langage et traitons maintenant le param` etre τ comme un temps par commodit´ e.

Soit x(τ ), τ ∈ [0, t] un processus de Wiener (un mouvement brownien libre) issu de x

: (x(τ ), τ ∈ [0, t] | x(0) = x

). L’objet de la section est de calculer la distribution du temps local pass´ e ` a l’origine :

T

[x(τ )]

= Z

0

dτ δ(x(τ )) . (7)

1. Quelle est la dimension de T

[x(τ )] ? (nous nous pla¸ cons dans un syst` eme d’unit´ es t.q.

la constante de diffusion est D = 1, i.e. [Temps]=[Longueur]

).

2. Distribution.– Justifier qu’on peut ´ ecrire la distribution du temps local comme

P

(T ) = Z

dx

Z

x(0)=x0

Dx(τ ) δ

T − Z

0

dτ δ(x(τ ))

e

Z dx

Z

x(0)=x0

Dx(τ ) e

. (8)

1. Notons que le probl`eme de l’accrochage pr´esente des propri´et´es diff´erentes suivant la dimension.

2. τ n’est pas un temps ; nous ´etudions ici un probl`eme de physique statistique `a l’´equilibre.

2

3. Fonction caract´ eristique.– Exprimer la fonction caract´ eristique Q

(p; t)

=

Z

0

dT e

P

(T) (9)

comme une int´ egrale de chemin puis ` a l’aide des propagateurs h x | e

|x

i et h x | e

| x

i.

4. On introduit la transform´ ee de Laplace de la fonction caract´ eristique, par rapport au param` etre t. Exprimer

G

(p; γ)

= Z

0

dt e

Q

(p; t) (10)

`

a l’aide de la fonction de Green G(x, x

). D´ eduire l’expression explicite de G

(p; γ).

5. Temps pass´ e ` a l’origine : x

= 0.– Calculer la distribution P

(T ). La tracer soigneu- sement.

Indication : Il est conseill´ e de calculer les transform´ ees de Laplace inverses (cf. annexe) en proc´ edant dans l’ordre P

(T ) = L

L

[G

(p; γ )]

.

6. Temps pass´ e en x

6= 0.– Montrer que la distribution est de la forme

P

(T ) = δ(T ) f (t, x

) + ϕ(T; t, x

) (11) o` u ϕ et f sont deux fonctions r´ eguli` eres. Donner l’expression des deux fonctions. Interpr´ eter physiquement les deux termes. V´ erifier que la distribution est normalis´ ee et la tracer soigneusement.

Annexe :

• Fonctions erf et erfc : erf(x)

= 2

√ π Z

0

dt e

et erfc(x)

= 2

√ π Z

x

dt e

= 1 − erf(x) (12) On a

erfc(x) '

x→−∞

2 et erfc(x) '

x→+∞

1 x √

π e

(13)

• On note la transformation de Laplace F (γ) = L

[f] = R

0

dt f(t) e

et la transform´ ee inverse f (t) = L

[F ] = R

c−i∞

dγ

2iπ

e

F (γ ) (o` u c est ` a droite de toutes les singularit´ es de F(p)).

On donne quelques transform´ ees de Laplace : Z

0

dt e

√ ¹

4πt e

= 1 2 √

γ e

(14)

dont on d´ eduit

Z

0

dt e

erf |x|

2 √ t

= 1 − e

γ (15)

On donne ´ egalement Z

0

dt e

1

√ πt e

− λ e

erfc |x|

2 √

t + λ √ t

= 1

λ + √

γ e

(16)

3