HAL Id: jpa-00235684
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235684
Submitted on 1 Jan 1957
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Méthode de calcul des niveaux énergétiques associés aux pièges profonds d’un cristal semiconducteur
Jacques Des Cloizeaux, Pierre André
To cite this version:
Jacques Des Cloizeaux, Pierre André. Méthode de calcul des niveaux énergétiques associés aux pièges
profonds d’un cristal semiconducteur. J. Phys. Radium, 1957, 18 (7), pp.441-446. �10.1051/jphys-
rad:01957001807044100�. �jpa-00235684�
MÉTHODE DE CALCUL DES NIVEAUX ÉNERGÉTIQUES
ASSOCIÉS AUX PIÈGES PROFONDS D’UN CRISTAL SEMICONDUCTEUR
Par JACQUES DES CLOIZEAUX et PIERRE ANDRÉ,
Laboratoire de Physique de l’École Normale Supérieure.
PHYSIQUE 18, 1957,
1. Niveaux de piege et d’impurete dans un cristal
semiconducteur.
-La presence, dans un cristal semiconducteur, d’atomes etrangers au reseau ou
de def auts, se traduit par la superposition’ d’un potentiel perturbateur v local, au potentiel perio- dique du cristal parfait. Le spectre d’énergie est
inodifi6 : des niveaux supplémentaires Ep apparais-
sent dans la bande interdite. Si le potentiel v est attractif, les niveaux pi6gent des electrons de la bande de conduction et sont dits donneurs. Si v est
repulsif, les niveaux sont nommes accepteurs.
Soit alors un centre accepteur. Si la profondeur
moyenne du potentiel associ6 est faible par rapport
h la largeur de la bande interdite, les niveaux de
piege ou d’impureté seront assez voisins de la bande de valence. Si, de plus, le potentiel varie lentement
sur une distance interatomique, les niveaux d’éner-
gie seront calcul6s avec une bonne precision au
moyen de 1’6quation de Wannier [1]. Repr6sentons
par la fonction E
=fv(K) les variations de 1’ener-
gie, en fonction du vecteur d’onde K, dans la bande
de valence, pour un cristal parfait. L’équation de
Wannier s’écrit alors :
p(r) est la fonction d’onde de Wannier, v(r) le potentiel perturbateur, Jes valeurs Ep de cette equation repr6sentent les niveaux d’énergie.
II faut maintenant expliciter 1,,(K) de façon
correcte. Deux cas sont a distinguer correspondant respectivement aux niveaux de pi6ges.
a) CENTRE D’IMPURETE. CAS D’UN POTENTIEL V
1’RÈS FAIBLE.
-Si le potentiel v est du à un atome etranger au r6seau, il est en general vraiment faible
par rapport a la largeur de la bande de valence.
L’état perturb6 ne fait intervenir que les 6tats non
perturb6s les plus proches, voisins du maximum de la bande de valence. II est alors raisonnable de
d6velopper fv(K) jusqu’au second ordre en K, au voisinage d’un maximum de la bande de valence et d’utiliser 1’expression obtenue pourresoudre 1’equa-
tion de Wannier [1]. D ans le cas ou il existe dans la bande un maximum non d6g6n6r6 et pour ce point
une masse effective isotrope nous 6crivons par
exemple :
II peut y avoir aussi plusieurs masses effectives : enfin s’il y a dégénérescence le developpement
de fv(K) est plus compliqu6 et 1’6quation de
Wannier doit etre g6n6ralis6e [2], cependant on peut toujours se contenter des termes du deuxi6me
ordre.
b) PITGES PROFONDS. CAS D’UN POTENTIEL U PLUS IMPORTANT.
-Les pi6ges profonds comme
ceux qui interviennent lors de la recombinaison par le processus de Shockley Read, correspondent en general a des d6fauts de r6seau, par exemple des lacunes, ces lacunes pouvant etre cr66es, entre
autres possibility par bombardement electronique
des cristaux. Les potentiels associ6s à ces défauts
sont relativement importants. L’équation de
Wannier toutefois peut rester une approximation
valable mais il n’est plus possible de se contenter
de l’approximation des masses effectives. Notons tout de suite que les pieges observes ont une possi-
bilit6 de capture plus grande vis-h-vis des trous que vis-a-vis des electrons. C’est pourquoi nous dis-
cutons plus particulierement dans cet article le cas
des niveaux accepteurs.
Pour calculer 1’energie des pieges profonds, nous
devons donc estimer fv(K) d’une façon plus precise.
Or, expérimentalement, l’on peut mesurer les
masses effectives au voisinage des minima de la bande de valence et des minima de la bande de conduction (par exemple par des experiences de
resonance cyclotron) ainsi que la largeur de la
bande interdite. L’objet de cet article est de
montrer que ces elements suffisent a d6ter- miner fv(K) de mani6re approch6e, ce qui permet
un calcul satisfaisant des niveaux de pieges profonds grace a 1’6quation de Wannier. Pour des raisons de simplicité, nous exposerons le principe
du calcul pour un cristal a une dimension ; un exemple num6rique simple nous permettra de tester
1’efficacit6 de la m6thode. La generalisation a trois
dimensions s’opère d’elle-meme.
2. M6thode de raccordement interbande pour un
cristal a une dimension.
-Dans un cristal a une
dimension de p6riode spatiale 1, les solutions de l’équation de Schrodinger relatives a l’énergie E
sont fonctions lin6aires de deux solutions parti-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001807044100
442
culi6res. Soit pa(x) et Yb(x) ces solutions. Nous pourrons en general choisir ces fonctions de telle
sorte que :
Or comme I’a montre Kramers [3],
et la quantite
est une fonction r6elle qui oscille de telle faqon que
.
tout maximum est sup6rieur a 2, tout minimum est
inférieur à 2 ( fig. I).
I
FIG. 1.
Par conséquent dans les régions où ),(E)[ 2
nous pourrons poser :
ou encore si l’on choisit une autre determination de oc
Ces regions correspondent aux bandes permises.
Par ailleurs, si u(E) > 2 nous poserons : si u(E) 2 nous poserons :
Les regions associ6es a ces deux derniers cas
correspondent aux bandes interdites. Dans une
bande permise, nous pourrons ecrire E
=f(oc) et
dans une bande interdite E
=g(B). Ces fonctions torment les branches d’une meme fonction a condi- tion de poser oc
=ip et de prolonger analytiquement
la fonction f(«). En effet, les solutions de 1’6quation
de Schr6dinger varient continument, si l’on fait
varier continûment le parametre E ; l’on peut ainsi
passer d’une bande permise a la suivante a travers
la bande interdite. Remarquons que les solutions de
l’équation de Schrodinger ne sont des fonctions
d’onde que si oc est reel, ce est alors le nombre d’onde (a condition de prendre pour unite, la longueur 1
d’une cellule du cristal lineaire) ; toutefois elles
sont mathématiquement définies pour toutes les valeurs de E (E reel).
Soit alors E1 le maximum de la bande de valence, Eo le minimum de la bande de conduction (voir fig. I). Les spectres des bandes de valence et de conduction seront repr6sent6s respectivement par les fonctions
Dans la bande interdite nous ecrivons :
Cette fonction est representee graphiquement par
FIG. II.
-Raccordement interbande.
une courbe en forme d’oeuf et poss6de deux déter- minations :
avec
Les limites Eo et E1 de la bande interdite sent donn6es par les valeurs ac = p
=0. Les fonctions f
et g satisfont aux relations suivantes :
Si p est petit P approximation des masses effec-
tives s’applique et compte tenu du fait que
«2
= -p2les 6galit6s (13) donnent :
Nous obtenons ainsi deux portions de la fonc-
tion g(p).
Supposons alors que nous ne connaissions de la
structure des bandes que les masses effectives me
et mt et la différence (Eo
-E 1)’ il est alors possible
d’approximer g(p) par une expression analytique qui permette de raccorder au mieux les deux por- tions connues de cette fonction. La fonction g(p)
etant connue, la seconde des relations (13) fournit 1’expression analytique approeh6e de f,,,(oc) pour toutes les valeurs de oc. L’expression de g(B) doit
etre choisie de façon que les fonctions fc(rx) et fv(rx) qui s’en d6duisent par prolongement analytique, poss6dent bien la periodicite du reseau r6ciproque.
La fonction fv(rx) ainsi explicit6e peut etre utilis6e
dans 1’6quation de Wannier pour calculer les pieges profonds associ6s a un modèle a une dimension (cette equation est l’analogue de l’équation (1)).
On remarque que le procédé utilise ne revient pas a faire intervenir les deux bandes dans l’équation
de Wannier mais a apporter a la description initiale
de la bande de valence au moyen d’une masse
effective mt, une correction issue de la connaissance de la masse effective me de la particule au bas de la
bande de conduction.
Naturellement, la methode se generalise au cas
d’un cristal reel a trois dimensions, dont on peut
mesurer experimentalement les masses effectives au
maximum de la bande de valence et au minimum de la bande de conduction, ainsi que la largeur de la
bande interdite. La situation est toutefois nette- nient plus complexe et fera l’objet d’un travail
ult6rieur.
Pour tester la valeur de notre methode, nous 1’appliquons a un cas simple : un modèle de Kronig
et Penney constitue par une suite de puits de Dirac
attractifs et perturbe par un potentiel r6pulsif v.
Dans le modèle de Kronig et Penney, nous
pourrons calculer exactement (a). Nous pourrons done tester la validite de notre methode de raccor-
dement interbande en ce qui concerne la repre-
sentation approch6e de f,(oc) et la repercussion de
cette approximation sur le calcul du niveau de
piège introduit par le potentiel perturbateur ?
3. Application au calcul d’un niveau de piège
pour un modele linéaire de Kronig et Penney.
-a) BANDES PERMISES ET BANDES INTERDITES DU
MODTLE CHOISI. NIVEAU DE PIEGE : : RÉSULTAT
RIGOUREUX.
-Le modele que nous consid6rons
sera constitue par des cellules de longueur unite ;
au centre X de chaque cellule se trouve un potentiel
en puits de Dirac donne par 1’expression
La bande de valence sera limitee par le
energies E1 et E2 avec E, > E2, Eo repr6sente Ie
bas de la bande de conduction. Les valeurs nume-
riques seront exprimees en unites atomiques (2mJh2 = 1).
Comme cas particulier, nous prendrons U
==2,4.
Nous trouvons ainsi : (voir appendice)
Le schema des bandes permises et interdites est donne par la figure IV.
Au potentiel p6riodique precedent on superpose
un potentiel r6pulsif carr6 qui couvre une cellule
FIG. III.
-Modele de Kronig et Penney.
FIG. IV.
-Modele de Kronig et Penney.
Structure des bandes.
FIG. V.
-Modele de Kronig et Penney.
et potentiel perturbateur.
particuli6re tres 6loign6e des extrémités du cristal.
L’origine des abscisses est choisie au centre de cette cellule
Le potentiel r6pulsif v sera choisi de telle façon
que le niveau de piege corresponde a 1’6nergie Ep
=0. Un calcul rigoureux (voir appendice b)
montre que nous devons alors prendre v
=4,88.
Maintenant en utilisant le meme potentiel pertur- bateur (avec v
=4,88) nous allons traiter le meme
probl6me de calcul de Ep, par la m6thode approch6e expos6e ci-dessus. Ce calcul servira de test a notre
procédé.
b) RACCORDEMENT INTERBANDE POUR LE
MODKLE DE KRONIG ET PENNEY. - Au voisinage
444
des energies Eo et. E1, F approximation des masses
effectives permet d’écrire :
yo et u1 peuvent etre calcul6s rigoureusement a partir du modele choisi (voir appendice c). L’équa-
tion E
=g(p) (équation de la courbe en forme d’ceuf) sera representee par 1’6quation implicite
suivante que nous avons choisie a priori en raison
de sa simplicite :
D6veloppons E au deuxi6me ordre en p au voisi-
nage des points (E
=Eo, B
=0) et (E
=Ei, p
=0). Par identification avec les formules (17),
on calcule 6 et
Ce qui permet d’expliciter g(B) sous la forme :
La détermination gv(B) correspondra au signe
-devant le radical et nous pourrons écrire :
Le bas de la bande de valence dans cette approxi-
mation est donne par l’équation :
Le calcul de ua et u1 donne en appendice, conduit
à la determination de E2.
E;
= --6,16 alors que, en toute rigueur on
obtient :
L’approximation conduit a une erreur d’envi-
ron 45 % sur la largeur de la bande de valence.
Cette erreur peut sembler importante. Neanmoins
pour le calcul des niveaux de piège, il nous importe
de connaitre fv(et.) pour des valeurs de cx assez
petites pour lesquelles la representation de fv(et.)
est plus exacte. Remarquons d’ailleurs que l’appro-
ximation des masses effectives suppose une bande de valence infiniment large.
C) CALCUL DU NIVEAU DE PIÈGE EN UTILISANT L’EQUATION DE WANNIER ET LA METHODE DE
RACCORDEMENT INTERBANDE.
L’équation de Wannier (15) s’ecrit :
avec
La fonction y(x) sera prise symetridue
-
pour x > 1/2 nous poserons y(x)
==C e-3’°’ (25)
-
pour -1 /2 G x 1/2 nous poserons y(x)
=D cos r:t.,"X.
La condition de continuite de la fonction cp(x) et
de sa d6riv6e au point x
=1/2 conduit a la rela-
tion :
Pour x >, 1/2 l’équation de Wannier donne :
d’ou
FIG. VI.
-Structure des différents niveaux d ’énergie.
Pour
-1/2 x 1/2 l’équation de WanDieI’
s’écrit :
d’où
Des trois relations (26), (27) et (28) nous pouvons tirer Ep. Avec les donn6es numeriques que nous
avons choisies on obtient :
445
Remarquons que le meme calcul effectu6 en
utilisant 1’6quation de Wannier et l’approximation
des masses effectives aurait conduit a une valeur nettement moins bonne :
4. Conelusion.
-Le piege profond d’6nergie Ep
trait6 dans notre exemple poss6de une énergie
d’attraction de 2,5 a partir du maximum de la bande de valence, notre m6thode determine cette
énergie avec une erreur de 10 %. Experiment- lement, dans le cas du germanium par exemple, 1’energie d’activation des pieges (environ 0,28 eV)
est connue avec une incertitude d’environ 10 %.
Notre m6thode parait done assez precise pour
permettre une interpretation convenable des faits
expérimentaux. Une generalisation au cas concret
de cristaux de germanium parait done souhaitable.
Appendice.
-a) BANDES PERMISES ET BANDE INTERDITE DU MODELE DE KRONIG ET PENNEY.- La particule consideree ob6it a 1’6quation de Schrodinger ;
(à condition de poser 2m Jh2
=1, m 6tant la masse
vraie de la particule). Le potentiel v(z) est perio- dique, lBe cristal a une dimension est formé de cellules se répétant indefiniment. Les valeurs de la fonction (x) et de sa d6riv6e §’(x) a l’entrée e et A
la sortie s d’une cellule quelconque C sont reli6es
par la relation matricielle suivante :
Car (x) est une combinaison lin6aire de deux
int6grales particuli6res de 1’6quation (29). On peut
montrer facilement [3] que le produit des valeurs propres de M est 6gal a l’unit6 et que leur somme est 6gale a la trace de M
La resolution de 1’6quation suivante, pour
-
