Seconde : Correction Activité 3 p 163 2010-2011
1. Construction
2. Conjecture : Le pointM pour lequel−−→ M A+−−→
M B+−−→ M C=−→
0 semble être le centre de gravité du triangle. (point d’intersection des médianes)
3. Démonstration : on suppose que−−→ M A+−−→
M B+−−→ M C=−→
0 . On suppose queI est le milieu de [BC] donc−→
I B+−→ I C=−→
0
∗
−−→ M B+−−→
M C=−−→ M I+−→
I B+−−→ M I+−→
I C = 2−−→ M I+−→
I B+−→
I C = 2−−→ M I+−→
0 = 2−−→ M I Comme−−→
M A+−−→ M B+−−→
M C=−→ 0 ⇔
−−→ AM=−−→
M B+−−→
M C, on en déduit que−−→
AM= 2−−→
M Ice qui prouve que les vecteurs
−−→ AM et−−→
M I sont colinéaires et par suite les pointsA,M etIsont alignés. Le pointM est donc un point de la médiane (AI).
On suppose queJ est le milieu de [AC] donc−→ J A+−→
J C =−→ 0
∗
−−→ M A+−−→
M C=−−→ M J+−→
J A+−−→ M J+−→
J C = 2−−→ M J +−→
J A+−→
J C= 2−−→ M J+−→
0 = 2−−→ M J Comme−−→
M A+−−→ M B+−−→
M C=−→ 0 ⇔
−−→ BM =−−→
M A+−−→
M C, on en déduit que−−→
BM= 2−−→
M J ce qui prouve que les vecteurs
−−→ BMet−−→
M J sont colinéaires et par suite les pointsB,M etJsont alignés. Le pointM est donc un point de la médiane (BJ).
M est donc le point d’intersection des médianes (AI) et (BJ) : c’est le centre de gravité !
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