24STMG ◦ Tauxd’accroissementsuccessifsDossierN

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(1)Taux d’accroissement successifs STMG. Dossier N◦ 24 Pour bien démarrer. Objectif du dossier Ce dossier va nous permettre de travailler sur les taux d’évolutions successifs. la problématique étant de déterminer le taux d’évolution global dans une série d’évolutions successives. Il sera nécessaire de passer par les coefficients multiplicateurs.. Pour bien démarrer Intro 1 : Problématique 1 : Débat Évariste Pythalès vient de recevoir son premier contrat de Évariste a un doute et pense qu’il va toucher une prime sutravail. Il le lit avec attention et s’intéresse à une clause intéressante : Si ses objectifs de productivité sont atteints : périeure à 650 e. n Une prime annuelle de 500 e sera attribuée la pren Qu’en pensez vous ? mière année . n La prime sera augmentée de 10% la seconde année . n La prime sera augmentée de 20% la troisième année . Évariste se demande quelle prime il touchera la troisième année . Jo La science son voisin de bureau, qui sait toujours tout, lui dit : "Ne te fatigues pas au bout du compte la prime aura augmenté de 30%" . "Tu n’as qu’ à calculer 500 × 1, 30" "ça fait 650 ". "Tu va toucher 650 e". n Si ça n’est pas 650 e, quel sera,selon vous, le montant de la prime ?. 1.

(2) Intro 2 : Problématique 2 Depuis 2012, L’évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage d’une année à l’autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année 2012 2013 2014 2015 2016 Subvention 1600 e Évolution en +17% +15% +10% +6% pourcentage Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2012 à 2013 est de +17%. La subvention en 2012 était de 1600 e .. Vérifier que le coefficient multiplicateur associé Cm est égal à 1, 57. 3 Calculer 1, 17 × 1, 15 × 1, 10 × 1, 06 Que constate-t-on ?. 1 Calculer les chiffres d’affaires des années 2013 , 2014 ,2015 et 2016 on arrondira les résultats à l’euro prés. Conclusion Cet exemple montre que l’on peut calculer directement le chiffre d’affaire de 2016, sans passer par les chiffres d’affaires des années intermédiaires . IL suffit d’utiliser les coefficients multiplicateurs successifs et de les multiplier entre eux.. 2 En déduire le taux d’évolution t du chiffre d’affaire entre 2012 et 2016. Intro 3 : Problématique 3 : QCM Une quantité augmente successivement de 10% puis de 30%. Au bout du compte,cette quantité. p p p. a augmenté de 40%. p. a augmenté. p. a diminué. a augmenté de 43% a augmenté de 56%. Intro 4 : Problématique 4 : QCM Une quantité augmente de 15% puis baisse de 15%. Au bout du compte,cette quantité p est revenue à la valeur de départ. 2.

(3) Boîte à outils mathématiques. Méthode Le coefficient multiplicateur global associé à une série de n évolutions successives de taux t1 ; t2 ; · · · · · · ; tn est égal Cglobal = (1 + t1 )(1 + t2 ) × · · · · · · × (1 + tn ) à Par conséquent,puisqu’on obtient le coefficient multiplicateur en ajoutant 1 au taux, on obtient de même le taux en retranchant 1 au coefficient multiplicateur. Par conséquent ; : Tglobal = Cglobal − 1 C’est à dire : Tglobal = (1 + t1 )(1 + t2 ) × · · · · · · × (1 + tn ) − 1 Exemple : Sur trois années le chiffre d’affaire d’une entreprise a augmenté de 7%, puis augmenté de 17%, puis diminué de 10% . Calcul du taux d’évolution global sur les trois années : Correction : Tglobal = (1 + 0.07)(1 + 0.17)(1 − 0.10) − 1 = 1, 07 × 1, 17 × 0, 90 − 1 ≈ 1, 13 − 1 ≈ +0, 13 On en déduit donc que le chiffre d’affaires a globalement augmenté de 13%. Entraînement et apprentissage. Exercice 5 : Un exemple détaillé Le nombre de commandes en ligne d’un livre a augmenté de 10% entre avril et mai, puis a encore augmenté de 40% entre mai et juin.. mai et juin est égal à : 2 Le coefficient multiplicateur Cglobal de l’évolution entre avril et juin est : Cglobal = Illustrez sur le schéma 1 ci-dessous :. 1 Compléter les phrases suivantes : • Le coefficient multiplicateur de l’évolution entre avril et mai est égal à :. 3 Le taux d’évolution global est donc :. • Le coefficient multiplicateur de l’évolution entre. Donc le nombre de commandes a augmenté de :. ×···. ×···. V1 (avril). V2 (mai). ×··· Schéma. 3. V3 (juin).

(4) Exercice 6 : Deuxième exemple Un commerçant pas très honnête augmente ses prix de 30% avant les soldes. Pendant les soldes il affiche sur la vitrine de son magasin :. Calculer le taux d’évolution global équivalent à ces deux évolutions successives. (On pourra illustrer la situation sur un schéma faisant apparaître les coefficients multiplicateurs) Le coefficient multiplicateur global est égal à : Le taux d’évolution global est donc :. .. Schéma. Méthode résumée Pour calculer un taux d’évolution global dans une série d’évolutions successives il suffit de :. • Multiplier entre eux les coefficients multiplicateurs successifs afin d’obtenir le coefficient multiplicateur global • Retrancher 1 à ce coefficient multiplicateur global. On obtient alors le taux d’évolution global. Exercice 7 : Avez vous bien compris ? 1 le nouveau commercial embauché par BricoMath augmente en trois mois son nombre de clients de 5% puis de 7% et enfin de 12%. Déterminer le taux d’évolution global du nombre de clients du commercial. 2. ces trois augmentations .. (b) Quels calculs faudrait-il faire si cette augmentation de 5% avait été effectuée 10 années de suite ?. (a) Le salaire d’un employé augmente trois années de suite de 5% Calculer le taux d’évolution global du salaire après. Exercice 8 : S’entraîner encore Déterminer le taux d’évolution global si une quantité : 1 augmente de 18%, puis de 12%. 3 baisse de 18%, puis baisse de 12%. 2 augmente de 12%, puis de 18%. 4 baisse de 8%, puis augmente de 6%. 4.

(5) Exercice 9 : On continue ! ! 1 Au moment des soldes, un magasin propose une baisse de 10 % sur un article, suivie d’une nouvelle baisse de 20 % sur ce même article. Ces deux diminutions peuvent être remplacées par une diminution unique. Déterminer le pourcentage de cette diminution.. hausse de 2 %. Quel est le pourcentage de variation final.. 4 Si le nombre de chômeurs dans une ville diminue de 2 % par mois pendant un an, quel sera le pourcentage de diminution du nombre de chômeurs sur l’année ?. 2 Le prix d’un article augmente de 22 % puis diminue de 15 %. Quel est le pourcentage d’évolution de cet article ?. 5 Un client veut acheter un véhicule qui coûtait 17 000 e le mois dernier mais qui, depuis, a augmenté de 4 %. Le vendeur consent une remise de 3,85 %. Le modèle coûte-t-il plus ou moins de 17 000 e ?. 3 Le prix d’un produit subit successivement une hausse de 12 %, une baisse de 5 %, une baisse de 8 % et une. Exercice 10 : Un petit dernier 1 Est-il pertinent de dire que 3 augmentations successives de 2 % sont approximativement équivalentes à une augmentation globale de 6 % ?. de 0 % ?. 3 Est-il pertinent de dire que 3 augmentations successives de 20 % sont approximativement équivalentes à une augmentation globales de 60 % ?. 2 Est-il pertinent de dire qu’une hausse de 1 % suivie d’une baisse de 3 % suivie d’une hausse de 2% sont approximativement équivalentes à une évolution globale. Approfondissement Exercice 11 : Et un, et deux et trois . . . démarques. Quelle formule obtient-on à la cellule D8 ?. Un commerçant réalise une feuille de calcul à l’aide d’un tableur en prévision de la période des soldes. Il prévoit une première démarque de 8%, puis une deuxième démarque de 12% sur les nouveaux prix et enfin une troisième et dernière démarque de 30% sur les prix obtenus après la deuxième démarque. 1. 2 Dans la cellule B10, le commerçant désire calculer le taux d’évolution global correspondant aux trois démarques successives. Déterminer une formule pour calculer le taux d’évolution global dans la cellule B10 à partir des cellules C2, D2 et E2 (remarque la cellule B10 est au format pourcentage avec une précision de 2 décimales). Donner une valeur approchée du taux d’évolution global correspondant aux trois démarques successives.. (a) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 pour calculer le prix après la première démarque et pouvoir l’étendre aux cellules de C4 à C8 à l’aide de la croix de recopie ? Quelle formule obtient-on à la cellule C8 ?. 3 Donner une formule que l’on peut saisir dans la cellule E3 pour calculer les prix des articles après la troisième démarque directement à partir des prix non soldés et pouvoir l’étendre aux cellules de E4 à E8 à l’aide de la croix de recopie ? Quelle formule obtient-on à la cellule E8 ?. (b) De même pour la deuxième démarque, quelle formule peut-on saisir dans la cellule D3 pour calculer le prix après la deuxième démarque à partir du prix après la première démarque et pouvoir l’étendre aux cellules de D4 à D8 à l’aide d’un « copier-glisser » ?. 4 Compléter les cellules de E4 à E8.. 5.

(6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. A Articles. B Prix en euro. Pull sans manche Ceinture Jean Pantalon lin Veste T-shirt. 24,95 12,9 59,9 42,9 79,9 9,99. C 1ere démarque 8%. D 2ième démarque 12%. E 3ième démarque 30%. Taux d’évolution global =. Exercice 12 : Avec un taux inconnu ! ! 1 Après une augmentation de 5 % suivie d’une hausse de t %, on obtient une hausse globale de 17,6 %. Combien vaut t ?. 4 Après une augmentation de t % suivie d’une baisse de t %, on obtient une baisse globale de 9 %. Combien vaut t?. 2 À la bourse de Paris, l’action Renault : n a augmenté de 1,45 % entre le 10 juin 2 000 et le 11 juin 2 000 ; n a baissé de 0,5 % entre le 11 juin 2 000 et le 12 juin 2 000. Quelle a été son évolution entre le 10 juin 2 000 et le 12 juin 2 000 ?. 5 Un article subit une augmentation de 10 %. Quel pourcentage de baisse doit-on appliquer pour compenser cette hausse ?. 3 Après deux augmentation successives de t % le prix d’un produit a globalement augmenté de 25 %. Combien vaut t?. 6.

(7) Outils numériques - Programmation. Activité 13 : Le PIB Le PIB produit intérieur brut, est ce que produit l’économie d’un pays en une année. le tableau ci-dessous indique le PIB de la France de 1997 à 2003 en milliards d’euros. 1. à l’année 1998. Cette formule sera construite de façon à être étirée vers la droite pour donner les taux évolutions du PIB d’une année à l’autre.. (a) Reproduire ce tableau à l’aide d’un tableur.. 2 En utilisant une formule de calcul afficher en cellule B5 la valeur du taux global d’évolution du PIB entre 1997 et 2003. (b) Écrire une formule de calcul en C4 permettant de calculer le taux d’évolution du PIB de l’année 1997. 1 2 4. A Année Revenu Taux d’évolution. B 1997 1 217,6. C 1998 1259,1. D 1999 1299,5. E 2000 1348,8. F 2001 1377,1. G 2002 1393,4. H 2003 1399,9. Activité 14 : Un peu de calcul financier Certains organismes financiers proposent une certaine somme d’argent appelée réserve de crédit. L’emprunteur choisit lui-même la somme fixe qu’il rembourse chaque mois. Un client décide d’emprunter 3000 e et de rembourser 100 e chaque mois. Le taux d’intérêt mensuel est de 1,28 %. L’intérêt est calculé chaque mois sur la somme qui reste à payer. Voici les calculs effectués les deux premiers mois Après le 1er mois : 1, 28 le client doit 3 000 × (1 + ) = 3 038, 40 e, 100 il rembourse 100e. Le mois suivant : 1, 28 il doit 2 938, 4 × (1 + ) = 2976, 01 e. 100 1 Analyser les calculs effectués ci-contre afin d’en comprendre les principes 2 En utilisant le tableur, compléter le tableau (On indiquera les formules utilisées) :. 1 2 3 .. . 49 50 51. A Mois 1 2 .. . 48 49 50. B Payé 0e 100 e .. .. C Reste à payer 3038,40 e 2976,01 e .. .. 3 Quelle sera la durée du crédit ? 4 En utilisant la fonction SOMME() du tableur calculer la somme totale remboursée par le client. Quel est le coût du crédit ? 5 Le client trouve le coût trop élévé, il décide de rembourser 150 e chaque mois. Modifier en conséquence la feuille de calculs des remboursements. Quelle sera la durée du crédit ? Quel est le coût du crédit ?. 7.

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