Généralités sur les fonctions
Sens de variation d’une fonction
Soitfune fonction définie sur un intervalleI.
• fest croissante surIsi et seulement si pour tous réelsaetbdeI, sia≤balorsf(a)≤f(b).
fest décroissante surIsi et seulement si pour tous réelsaetbdeI, sia≤balorsf(a)≥f(b).
• fest strictement croissante surIsi et seulement si pour tous réelsaet bdeI, sia < balorsf(a)< f(b).
fest strictement décroissante surIsi et seulement si pour tous réelsaet bdeI, sia < balorsf(a)> f(b).
• fest monotone surIsi et seulement sifest croissante surIoufest décroissante surI.
fest strictement monotone surIsi et seulement sifest strictement croissante surIoufest strictement décroissante surI.
Extrema des fonctions
Soitf une fonction définie sur un intervalleIet x0un réel deI.
• On dit quefadmet un maximum global enx0(ou encore quef(x0)est le maximum de la fonctionfsur l’intervalleI) si et seulement si pour tout réelxdeI, on a f(x)≤f(x0).
On dit quefadmet un minimum global enx0(ou encore quef(x0)est le minimum de la fonctionf sur l’intervalleI) si et seulement si pour tout réelxdeI, on a f(x)≥f(x0).
• On dit quefadmet un maximum local enx0(ou encore quef(x0)est un maximum local de la fonctionfsur l’intervalleI) si et seulement si il existe un intervalle ouvertJcontenantx0tel que, pour tout réelxdeI∩J, on af(x)≤f(x0).
On dit quefadmet un minimum global enx0(ou encore quef(x0)est le minimum de la fonctionf sur l’intervalleI) si et seulement si il existe un intervalle ouvertJcontenantx0tel que, pour tout réelxdeI∩J, on af(x)≥f(x0).
Symétries, fonction paires et impaires
x=a
y=f(x) x
2a−x a
• La droite d’équationx=aest axe de symétrie deCf si et seule- ment siDf est symétrique par rapport àaet pour toutxdeDf
f(2a−x) =f(x).
f(2a−x)
= f(x)
•Le pointI(a, b)est
centre de symétrie deCfsi et seule- ment siDfest symétrique par rapport àaet pour tout xdeDf
f(2a−x) +f(x)
2 =b.
b b
b
x
2a−x I
Iest le milieu du segment h` x
f(x)
´` 2a−x f(2a−x)
´i
y
= f(x
)
•Il revient au même de dire que pour tout réelhtel que a+hest dansDf, on a
•Il revient au même de dire que pour tout réelhtel que a+hest dans Df, on a
f(a−h) =f(a+h) f(a−h) +f(a+h)
2 =b
•Quanda=0et que Df est symétrique par rapport à 0, on a pour tout réelxdeDf,f(−x) =f(x).fest alors ditepaireet l’axe(Oy)est axe de symétrie de Cf.
• Quand a = 0 et que Df est symétrique par rapport à 0, on a pour tout réelx deDf, f(−x) = −f(x). f est alors diteimpaire et le point Oest centre de symétrie deCf.
Positions relatives de courbes. Intersection de courbes
•Les solutions de l’équationf(x) =g(x)sont les abscisses des points d’intersection deCfet Cg.
•Le signe def−gfournit les positions relatives deCfet Cg :
• sif−g≥0 surICfest au-dessus deCg surI,
• sif−g≤0 surICfest au-dessous deCg surI.
f−g > 0
Cf f−g<0
Cg
f(x) =g(x)
