http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la1-ws07.html Prof. St. Schwede
Wintersemester 2007/08 Dr. Ch. Ausoni
UBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I ¨
Blatt 5 ∗ , 09.11.2007
Aufgabe 5.1. Zeige, dass die Kommutativit¨ at der Addition aus den ¨ ubrigen Axiomen f¨ ur einen Vektorraum folgt.
Aufgabe 5.2. Gegeben seien die folgenden Mengen von Spaltenvektoren : M 1 =
4 2 1
,
2 6 3
,
3 2 1
, M 2 =
1 0 0
,
0 1 0
,
1 0 1
,
0 1 1
,
M 3 =
3 5 4
,
2 5 3
,
1 6 5
, M 4 =
4 1 4
,
5 2 4
,
3 1 4
.
(a) Man fasse M 1 , M 2 , M 3 und M 4 als Untermengen von Q 3 auf. Welche der Mengen M i sind linear abh¨ angig ?
(b) Man fasse M 1 , M 2 , M 3 und M 4 als Untermengen von ( F 7 ) 3 auf, wobei F 7 der Primk¨ orper mit sieben Elementen ist. Welche der Mengen M i sind linear abh¨ angig ?
Aufgabe 5.3. Sei K ein K¨ orper und V ein K-Vektorraum. Beweise die folgenden Aussagen : (a) Seien u, v ∈ V r {0}. Dann ist die Untermenge
{u, u − v, u + v} ⊂ V
linear abh¨ angig, wenn Char(K) 6= 2 (also wenn 1 + 1 6= 0 in K ).
(b) Es sei {u 1 , . . . , u n } ein linear unabh¨ angiges System von Vektoren in V . F¨ ur u = P n
i=1 a i u i ∈ V
ist das System {u 1 −u, u 2 −u, . . . , u n −u} genau dann linear abh¨ angig, wenn P n
i=1 a i = 1.
Aufgabe 5.4. Sei K ein K¨ orper, V ein K -Vektorraum und M = {v 1 , . . . , v n } ⊂ V eine Teil- menge mit 0 6∈ M. Zeige, dass M genau dann linear unabh¨ angig ist, wenn
hv 1 , . . . , v i i ∩ hv i+1 , . . . , v n i = {0}
f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n − 1} gilt.
Aufgabe 5.5. Sei K ein K¨ orper und M eine unendliche Menge.
(a) Zeige, dass der K-Vektorraum K M nicht endlich erzeugt ist.
(b) Zeige, dass der K-Vektorraum K (M ) nicht endlich erzeugt ist.
(c) Kann der K-Vektorraum K N ein abz¨ ahlbares Erzeugendensystem besitzen ?
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