I. Ruissellement d’eau sur une stalactite

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

Centrale Physique 2 PC 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Le sujet aborde différents phénomènes à l’origine de la formation et de la croissance des stalactites, et donne une explication aux ondulations observées sur celles-ci.

Il se compose de cinq parties indépendantes.

• Dans la première partie, on étudie le phénomène de ruissellement d’eau sur une surface plane ; il s’agit d’un exercice proche du cours de mécanique des fluides.

• Les résultats obtenus sont appliqués dans la deuxième partie à un modèle qui prend aussi en compte le phénomène chimique sous-jacent. Cette partie utilise le cours de diffusion de particules à une dimension.

• La troisième partie traite de la formation d’un germe de stalactite, grâce à des bilans macroscopiques. Le cours sur les bilans en mécanique des fluides suffit pour l’appréhender.

• On étudie la croissance des stalactites dans la quatrième partie grâce à un modèle plus élaboré où l’on introduit les changements d’état puis la diffusion thermique.

• La dernière partie s’intéresse à la description des ondulations constatées à la surface des stalactites en étudiant une instabilité hydrodynamique. On n’y aborde pas de nouveau thème et les raisonnements y sont essentiellement qualitatifs.

Ce sujet porte exclusivement sur le programme de deuxième année ; il est de surcroît entièrement abordable par un élève de la filière PSI. Des résultats inter- médiaires sont donnés ou rappelés tout au long de l’énoncé. Il ne comporte aucune difficulté calculatoire, les questions de mécanique des fluides restant très proches du cours ; la résolution des questions plus difficiles passe par l’écriture correcte de bilans macroscopiques.

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Indications

Partie I I.A.4 Appliquer la seconde loi de Newton.

I.A.6 Le débit volumiqueqs’exprime comme l’intégrale du champ de vitesse sur une section plane de largeurb.

I.B.1 La formule du débit est valable pour un écoulement plan.

I.B.2 Utiliser la conservation du débit pour en déduireh.

Partie II

II.A.3 Calculer la masse de calcium qui s’est écoulée le long de la stalactite, et faire le rapport avec celle qui a précipité pendant la même durée. Attention notamment à l’erreur qui s’est glissée dans le sujet, la masse volumique ρCaCO3 donnée est en effet mille fois trop faible (2,7 kg.m⁻³ au lieu de 2 700 kg.m⁻³).

II.A.4 Effectuer un bilan de matière sur le système entre les instantstett+ dt.

II.B.1 Calculer la variation élémentaire de volume de deux façons différentes.

II.B.3 Intégrer l’équation en séparant les variablesRetZ.

Partie III

III.A.2 L’eau est contrainte à rester sur la main courante pourα > π/2.

III.B.2.a Exprimer les différentes masses reçues pendantdtpar le système pour abou- tir à l’enthalpie de(S^∗).

III.B.2.c Appliquer le premier principe au système(S^∗).

III.B.3.c Le métal augmente la conductivité thermique de la main courante.

Partie IV

IV.A.1 Relier l’enthalpie massique de fusion de la glaceℓFà la variation d’enthalpie du système pendant la durée dt.

IV.A.3 Le raisonnement est le même que pour la question III.B.2.a.

IV.B.4 Établir un bilan enthalpique mettant explicitement en jeu la croissance ver- ticale de la stalactite, et considérer le transfert thermique avec l’atmosphère à travers la demi-sphère modélisant la pointe.

IV.B.6 Même démarche qu’à la question IV.B.4, mais en considérant la solidifica- tion radiale sur une épaisseure.

Partie V

V.A.1 Écrire un bilan thermique en symétrie cylindrique et en régime permanent pour en déduire −→

, connaissant les conditions limites de température.

V.A.3 Utiliser le fait queh⁺₋≪R⁺₋ pour exprimerG⁺₋.

V.B.2 Comparer les distances caractéristiques d’évolution des deux membres de l’équation afin de faire le bon choix.

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I. Ruissellement d’eau sur une stalactite

I.A Étude d’un écoulement modèle I.A.1 L’incompressibilité de l’écoulement impose

div−→

u = 0 =∂u^x

∂x +∂u^z

∂z Comme−→

u est orienté seulement selon−→

e^x, il reste

∂ux

∂x = 0

Ainsi, une dépend pas dex.

En régime permanent on a de plus ∂−→

u /∂t=−→

0, et comme une dépend que de la variablez,

D−→ u

Dt = ∂−→ u

∂t + (−→ u ·

−−→grad )−→ u

=−→ 0 + (−→

u ·

−−→

grad )−→ u

=

u∂u

∂x −→

e^x

D−→ u Dt =−→

0

Finalement, −→

∆u=∂²u

∂z²

−

→e^x

I.A.2 Projetons l’équation de Navier-Stokes sur−→

e^z pour obtenir 0 =−∂p

∂z−µgcosθ

Ainsi, en notantf la fonction ne dépendant que de xrésultant de l’intégration de l’équation par rapport à la variablez, il vient

p(x, z) =−µgzcosθ + f(x) Or, par hypothèse p(x, h) =p0

On en déduit f(x) =p0+µghcosθ donc p(z) =p0−µg(z−h) cosθ

On néglige tout phénomène de tension de surface en admettant la continuité de la pression à l’interface liquide-air. De plus, la forme obtenue pourp(z) correspond à une répartition hydrostatique de pression dans la direction or- thogonale à l’écoulement.

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I.A.3 De même, la projection sur−→ e^xfournit

−∂p

∂x+µ g sinθ+η ∂²u

∂z² = 0

d’où ∂²u

∂z² =−1 η

∂p

∂x −µ g η sinθ

Or,∂p/∂x= 0, et avecν =η/µ la viscosité cinématique, il vient

∂u

∂z =−gsinθ ν z+ C

oùC est une première constante d’intégration. On déduit l’expression de la vitesse de l’écoulement par une seconde intégration

u(z) =−gsinθ

2ν z²+ Cz+ D oùD est la seconde constante demandée.

I.A.4 Le support est fixe dans le référentiel d’étude, et le fluide est visqueux donc la vitesse tangentielle s’annule enz= 0, soit

u(0) = 0

Considérons une tranche de fluide sans masse (dm → 0) à l’interface eau-air.

En notanta^z la projection sur −→

e^z de l’accélération de ce système, la seconde loi de Newton s’écrit

0×a^z=η ∂u

∂z

(z=h⁻)−ηair

∂u

∂z

(z=h⁺)

Ainsi, en négligeant la viscosité de l’air, on obtient la condition limite voulue

∂u

∂z(z=h) = 0

L’énoncé demande de considérer un système sans masse. On peut justifier l’annulation de dm×−→

a lorsquedm→0 par la valeur finie de l’accélération.

I.A.5 La condition u(0) = 0imposeD = 0et l’annulation de la dérivée deuenh C = gsinθ

ν h

Finalement, l’expression complète deusous ces conditions s’écrit u(z) =gsinθ

2ν z(2h−z)

I.A.6 Intégrons le champ de vitesse sur une section de profondeurborthogonale à l’écoulement pour obtenir le débit volumiqueq

q =b Z ^h

0

u(z) dz

=b gsinθ 2ν

Z ^h

0

(2hz−z²) dz

= b gsinθ 2ν

h³−h³ 3

q = gsinθ h³b

3ν (1)