Table des matières
7 Diffusion thermique 2
7.1 Exercices d’application 2
7.1.1 Équation de la chaleur 1D en coordonnées cylindriques. . . 2
7.1.2 Équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques . . . 2
7.1.3 Résistance thermique d’un cylindre creux. . . 3
7.1.4 Résistance thermique en coordonnées sphériques. . . 3
7.1.5 Combinaison de résistances thermiques. . . 3
7.1.6 Résistances thermiques. . . 4
7.1.7 Application simple de la loi de Newton . . . 6
7.2 Problèmes 6 7.2.1 Source thermique sphérique. . . 6
7.2.2 Profil de température dans un crayon combustible. . . 7
7.2.3 Thermique simplifiée d’une plaque de combustible nucléaire. . . 7
7.2.4 Ailette soumise à un flux. . . 8
7.3 Oral Banque PT 9 7.3.1 Étude d’un mammifère. . . 9
7.3.2 Diffusion dans un mur . . . 9
7.4 Problèmes ouverts 10 7.4.1 Étude d’un fusible. . . 10
7.5 Annales 10 7.5.1 Autour de la maison. . . 10
7.5.2 Température dans le tunnel de Fréjus. . . 13
7.5.3 Conditionnement d’air d’une voiture. . . 14
7 Diffusion thermique
7.1 Exercices d’application
7.1.1 Équation de la chaleur 1D en coordonnées cylindriques
Soit une canalisation horizontale de longueur infinie, de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 séparant un milieu intérieur de température constante T1 du milieu extérieur àT2 < T1. Cette ca- nalisation a une conductivité thermiqueλ, une capacité thermique massiquecp et une masse volumiqueµ.
R1 R2
µ, cp, λ
T1
T2
O u# ”z
u#”r
Fig. 7.1 – Canalisation horizontale en coupe axiale et radiale
1. Représenter sur un schéma le vecteur densité de flux thermique.
2. À l’aide d’un bilan enthalpique sur un petit élément de canalisation d’épaisseur infinitésimale, établir l’équation de la chaleur dans le mur.
3. Comment se simplifie-t-elle en régime permanent ?
4. Établir dans ces conditions le profil de température dans la canalisation.
Données :
En coordonnées cylindriques :grad# ”A= ∂ A∂rθ,z
u#”r+ 1r ∂ A∂θr,z
u# ”θ+ ∂ A∂zr,θ u# ”z
7.1.2 Équation de la chaleur 1D en coordonnées sphériques
Soit une calotte sphérique de rayon intérieurR1 et de rayon extérieurR2 séparant un milieu intérieur de température constante T1 du milieu extérieur à T2 < T1. Cette calotte sphérique a une conductivité thermiqueλ, une capacité thermique massiquecp et une masse volumiqueµ.
R2 R1
µ, cp, λ
Fig. 7.2 – Calotte sphérique en coupe
7. Diffusion thermique 7.1. Exercices d’application
1. Représenter sur un schéma le vecteur densité de flux thermique.
2. À l’aide d’un bilan enthalpique sur un petit élément de calotte sphérique d’épaisseur infinitésimale, établir l’équation de la chaleur dans le mur.
3. Comment se simplifie-t-elle en régime permanent ?
4. Établir dans ces conditions le profil de température dans la calotte sphérique.
Données :
En coordonnées sphériques : grad# ”A= ∂ A∂rθ,ϕu#”r+1r ∂ A∂θr,ϕu# ”θ+rsin1 θ ∂ A∂ϕr,θu# ”ϕ
7.1.3 Résistance thermique d’un cylindre creux
On reprend l’exercice 7.1.1où une canalisation horizontale de longueur infinie, de rayon intérieurR1 et de rayon extérieur R2 sépare un milieu intérieur de température constante T1 du milieu extérieur à T2 < T1. Cette canalisation a une conductivité thermiqueλ, une capacité thermique massique cp et une masse volumiqueµ. On donne l’expression de la distribution de température
T(r) = T2−T2 lnRR21 ln r
R2 +T2
1. En déduire l’expression de la résistance thermique de la canalisation.
2. Quelle valeur trouve-t-on si la différence R2−R1 devient très faible devantR1? On donne en coordonnées cylindriques : grad# ”A= ∂ A∂rθ,z
u#”r+1r ∂ A∂θr,z
u# ”θ+ ∂ A∂zr,θ u# ”z.
3. Établir l’expression de la résistance thermique en utilisant le caractère conservatif du flux thermique Φ à travers toute surface de rayon R1 < r < R2.
7.1.4 Résistance thermique en coordonnées sphériques
On reprend l’exercice 7.1.2où une calotte sphérique de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 sépare un milieu intérieur de température constante T1 du milieu extérieur à T2 < T1. Cette calotte sphérique a une conductivité thermique λ, une capacité thermique massique cp et une masse volumique µ. On donne l’expression de la distribution de température
T(r) = T1−T2
1 R1 −R1
2
1 r − 1
R1
+T1
1. En déduire la résistance thermique de la calotte sphérique.
2. Quelle valeur trouve-t-on si la différence R2−R1 devient très faible devantR1? On donne en coordonnées sphériques : grad# ”A= ∂ A∂rθ,ϕ
u#”r+1r ∂ A∂θr,ϕ
u# ”θ+ rsinθ1 ∂ A∂ϕr,θ u# ”ϕ.
3. Établir l’expression de la résistance thermique en utilisant le caractère conservatif du flux thermique Φ à travers toute surface de rayon R1 < r < R2.
7.1.5 Combinaison de résistances thermiques
On considère une fenêtre à simple vitrage sur chassis en PVC telle que schématisée ci-dessous. Le verre a une épaisseur de` et le chassis en PVC a une épaisseur de 6`.
7. Diffusion thermique 7.1. Exercices d’application
H e
e
e L e
1. Exprimer la résistance thermique de la surface de verre.
2. Exprimer la résistance thermique du chassis en PVC.
3. En déduire l’expression et la valeur de la résistance thermique de la fenêtre complète.
On remplace la vitre par un double vitrage composé de deux vitres identiques à la première et d’une couche d’air de même dimensions que le verre.
4. En déduire la valeur de la nouvelle résistance thermique de la fenêtre complète.
Données :
– Vitre :H = 100 cm,L= 150 cm et une épaisseur`= 5 mm ; – PVC :e= 5 cm.
Matériaux Conductivité thermique (W·m−1·K−1)
PVC 0,17
Verre 1,2
Air 2,6×10−2
7.1.6 Résistances thermiques
On considère un studio de température Ts, d’une hauteur sous plafond de H = 2,5 m entouré de 4 appartements voisins chauffés (à sa droite, gauche, au dessus et en dessous). Ce studio donne sur une rue à température Tr, et s’ouvre sur un couloir à la température Tc(cf. figure7.3).
7. Diffusion thermique 7.1. Exercices d’application
Couloir à T =Tc Rue àT =Tr
Appartement Appartement
Studio àT =Ts
L= 8 m l= 5 m
Fig. 7.3 – Plan du studio
Les murs sont tous constitués d’une même épaisseur eb de béton. La porte d’entrée est en bois, de dimensions h×l×e, et le mur donnant sur la rue est agrémenté d’une fenêtre en double vitrage de dimensions totaleshf ×lf ×ef dont le schéma est donné en figure7.4.
PVC (λp)
Verre (λv) Verre (λv) Air (λa)
ep ep
ev
ea ev
Fig. 7.4 – Fenêtre vue en coupe horizontale
1. Calculez la valeur de la résistance équivalente du système {Mur+porte} donnant sur le couloir.
2. Calculez la valeur de la résistance équivalente de la fenêtre, puis du système {Mur+fenêtre}.
3. Le studio et les appartements voisins sont tous à la même température. Quelle est la valeur du flux reçu par le studio de la part des appartements ?
4. Calculez la puissance nécessaire pour maintenir le studio à la température voulue. Commenter.
Données :
– Ts= 20◦C ; Tr= 5◦C ; Tc= 15◦C.
– Épaisseur du béton :eb = 15 cm.
– Épaisseur de la laine de verre :ei= 5 cm.
– Dimensions de la porte :h= 215 cm, l= 90 cm et e= 5 cm.
– Dimensions extérieures de la fenêtre :hf = 115 cm,lf = 100 cm et une épaisseur ea=ev = 5 mm. Une largeur ep= 5 cm de PVC seul permettant le maintien des vitres.
7. Diffusion thermique 7.2. Problèmes
Matériaux Conductivité thermique (W·m−1·K−1)
Bois 0,15
PVC 0,17
Béton 0,92
Verre 1,2
Air 2,6×10−2
7.1.7 Application simple de la loi de Newton
On reprend le problème de la calotte sphérique de l’exercice 7.1.2placée en régime permanent. Cette calotte sphérique a sa température intérieure fixée àT =T1 sur sa paroi en r =R1. On prend mainte- nant en compte un transfert thermique conducto-convectif avec le milieu extérieur sur sa paroi enr =R2. Ce transfert thermique est modélisé par une puissance reçue par la calotte qui s’écrit selon la loi de Newton:P =hS(T∞−Tp) oùhest une constante,Sest la surface de la calotte en contact avec le fluide extérieur,T∞ est la température à l’infini du fluide extérieur et Tp la température de la paroi extérieure de la calotte.
1. En effectuant un bilan thermique sur le système {calotte}, exprimer la température de paroiTp en fonction deh, R2, de la résistance thermique de la calotte sphérique Rth calculée à l’exercice 7.1.4 et des températuresT1 etT∞.
2. On se place dans la situation oùR2−R1=eR1. ExprimerTp en fonction de T∞,T1,λ,h ete. Calculer sa valeur.
Données :
T∞= 15◦C T1 = 40◦C λ= 0,2 W·m−1·K−1 h= 25 W·K−1·m−2 e= 2 mm.
7.2 Problèmes
7.2.1 Source thermique sphérique
On considère une sphère solide de rayon R, de centre O, de conductivité thermique λet de capacité thermique massique c. Cette sphère est le siège d’une réaction chimique responsable d’une production d’énergie. On modélise cette production énergétique par une source de puissance volumique, notée s, uniforme et constante.
La sphère est alors placée dans un fluide illimité de conductivité thermique λf et de température à l’infini T∞ dans lequel on peut négliger tout phénomène convectif. On se place en régime permanent.
1. Justifier qualitativement que la distribution de température dans la sphère et en dehors est unique- ment dépendante der. Quelles base de projection est la plus adaptée à cette étude ?
2. A l’aide d’un bilan enthalpique sur un petit élément de calotte sphérique d’épaisseur infinitésimale dr, établir l’équation de la chaleur dans la sphère.
3. On note Tp la température à la surface de la sphère. En déduire l’expression de la distribution de température dans la sphèreT(r).
Faire ensuite de même pour la distribution de température à l’extérieur de la sphèreTf(r).
7. Diffusion thermique 7.2. Problèmes
4. Calculer la puissance totale produite dans la sphère, notée φth, et le flux thermique entrant dans le fluide, notéφth, f .
5. En déduire une relation entreTp,T∞,R,setλf.
6. Exprimer finalementT(r) et Tf(r) en fonction deTp,T∞,R,s,λetr en utilisantλλf. 7.2.2 Profil de température dans un crayon combustible
L’expression générale de l’équation de la chaleur avec terme source s’écrit : µc∂ T∂t = φv +λ∆T. On se place en régime permanent et on supposera que les transferts thermiques dans le crayon combustible schématisé ci-dessous se font uniquement par conduction radiale. Les conductivités thermiques du com- bustible et de la gaine sont respectivement :λc etλg.
Fig. 7.5– Crayon combustible et gaine
1. En remarquant que le système possède une symétrie de révolution autour de l’axe Oz, simplifier l’équation de la chaleur proposée.
2. En déduire, en régime permanent, l’expression de l’évolution de la température selon r dans le combustible en fonction de la température au centreT(r= 0) =T0.
3. Exprimer alors l’écart de température moyen ∆Tcomb =T0−Tc où Tc=T(r =rc).
4. Exprimer ensuite la températureT(r) dans la gaine en fonction de la température Tc et celle de la paroi de la gaine :T(r =rg) =Tg
5. Exprimer le flux thermique surfaciqueφS s’échappant de la paroi du crayon enr =rcen fonction deφv et de rc.
6. En déduire l’expression de ∆T =Tc−Tg en fonction deφv,rc,rg etλ.
Données :
En coordonnées cylindriques : ∆T = 1r∂r∂ r∂ T∂r+r12∂2T
∂θ2 +∂∂z2T2
7.2.3 Thermique simplifiée d’une plaque de combustible nucléaire
Soit une plaque de combustible nucléaire parallélépipédique schématisée ci-dessous qui dégage une puissance thermique volumique constanteφv = 500 W·cm−3.
7. Diffusion thermique 7.2. Problèmes
Ce combustible est un corps solide homogène, de masse volumiqueρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique λindépendants de la température. On se place en régime permanent et la plaque est réfrigérée par des fluides circulant à l’extérieur qui imposent :
(T(x=−e) =T1
T(x=e) =T2
1. Établir l’équation de la chaleur en 1D, la généraliser en 3D sans démonstration.
2. Exprimer la puissance thermiquePth produite dans le combustible.
3. On donne l’équation de la chaleur avec terme source suivante : µc∂ T∂t = φv +λ∆T. Après une simplification que vous justifierez, en déduire l’expression deT(x) et tracez l’allure de la courbe.
4. En déduire la valeurxmax dex pour laquelle la température est maximale.
5. Donner l’expression de cette température maximale en fonction de φv,T1,T2,eetλ. 7.2.4 Ailette soumise à un flux
On considère une tige cylindrique homogène, de longueur L et de rayon R L dont l’extrémité gauche est maintenue à la température T0 et l’extrémité droite à la température T1. On suppose de plus l’homogénéité de la température dans une section droite de la tige.
Cette tige est entourée d’un fluide à la tempéra- tureT∞qui fournit à la tige la puissance thermique P(z) = hS(T∞−T(z)) où h est une constante, S est la surface de la tige en contact avec le fluide extérieur et T(z) la température locale de la tige.
0 1 2 3 4 5 6
0 100 200 300 400
x
f(x)
Fig. 7.6– Fonction ex−e−x
R µ, cp, λ O u# ”z
u#”r
dz T(z) L
1. Á l’aide d’un bilan enthalpique sur un petit élément de tige de longueur infinitésimale, établir l’équation de la chaleur dans la tige. Comment se simplifie-t-elle en régime permanent ?
7. Diffusion thermique 7.3. Oral Banque PT
2. Établir dans ces conditions le profil général de température dans la tige. On établira le système permettant de trouver les éventuelles constantes associées aux conditions aux limites, sans chercher à le résoudre. On pourra poser δ2 = Rλ2h.
3. Résoudre le système pourT1 =T∞ et montrer que T(z) =T∞+ (T0−T∞)exp(z−Lδ )−exp(−z+Lδ )
exp(−Lδ )−exp(Lδ)
4. Quel est alors la puissance arraché au thermostat ?
5. On souhaite que le flux conductif résiduel enz=L soit égal à 1% du flux arraché au thermostat.
On donne la courbe7.6, en déduireL en fonction de δ.
7.3 Oral Banque PT
7.3.1 Étude d’un mammifère
Un mammifère est modélisé par une sphère de rayon R et de centre O. A l’intérieur de son corps, il produit une puissance thermique volumique ϕ0. La sphère est placée dans un fluide (eau ou air) de conductivité thermique λ. La température loin de la sphère est T0 = 293 K.
On suppose le transferts thermique radial : #”jth =jth(r)u#”r. 1. Rappeler la loi deFourier. Expliquer le signe négatif.
2. Quel est l’unité du système international de la conductivité thermique ? 3. Pouvez-vous citer des lois physiques analogues à la loi deFourier?
4. Exprimer le flux thermique φdans le fluide en fonction de ϕ0 etR, en régime permanent.
5. Exprimerjth(R).
6. Montrer que pourr > R, 4πr2jth(r) =A= cste. Expliciter A. 7. En déduire l’équation vérifiée parT(r) dans le fluide.
8. Établir que pourr > R,T(r) =T0+ar. Exprimer a. 9. Déterminer la température cutanéeTc.
10. On donne pour l’airλa= 5 USI, pour l’eauλe= 500 USI etR= 25 cm. Calculerϕ0pourTc= 303 K.
11. Pourquoi n’existe-t-il pas de petits mammifères marins ?
Données :
En coordonnées sphériques : grad# ”T = ∂ T∂ru#”r+1r∂ T∂θu# ”θ+rsinθ1 ∂ T∂ϕu# ”ϕ
7.3.2 Diffusion dans un mur
On s’intéresse à la diffusion thermique dans un mur unidimensionnel cartésien dont l’épaisseur eest repérée par un axeOx.
1. Établir l’équation différentielle de diffusion dans le mur ∂ T∂t = a∂∂x2T2. Exprimer a et donner son unité.
2. Un mur de béton d’épaisseur e = 20 cm, et de conductivité λb = 0,92 W·m−1·K−1 sépare un milieu intérieur thermostaté à 20° d’un milieu extérieur thermostaté à −5°. Établir l’allure de la fonctionT(x) dans le mur.
3. On accole au premier mur, un deuxième mur de polystyrène de conductivitéλp = 0,03 W·m−1·K−1 et d’épaisseur e0 = e2 = 10 cm. Établir l’allure de T(x). Quelle épaisseur de polystyrène doit-il y avoir pour diviser la consommation électrique de l’habitation par 10 ?
4. On place une fenêtre vitrée de surfaces= 1 m2 dans un mur de surfaceS= 20 m2. Calculer le flux thermique total à travers ce mur.
7. Diffusion thermique 7.4. Problèmes ouverts
7.4 Problèmes ouverts
7.4.1 Étude d’un fusible
Un fusible est un fin cylindre métallique conducteur de la chaleur et de l’électricité dont le rôle est de se rompre lorsqu’il est traversé par un courant d’intensité trop élevée. Un enrobage de céramique garantit sa solidité et l’isole du milieu extérieur sur toute sa longueur.
Fig. 7.7– Fusible
1. En modélisant ce problème physique de manière aussi fidèle que possible et en choisissant des valeurs numériques pertinentes pour les données manquantes, évaluer la position à laquelle le fusible va se rompre, ainsi que l’intensité de rupture.
Données :
– L×R= 2 cm×0,5 mm ; – σelec = 1×106m·Ω−1; – λther= 65 W·m−1·K−1, – Tfus= 120◦C,
– µfusible= 2500 kg·m−3.
7.5 Annales
7.5.1 Autour de la maison [2017 CCP TSI]
[...] Le sujet étudie différents dispositifs qui cherchent à améliorer le confort et la vie à l’intérieur d’une maison. Une première partie s’intéresse à l’optimisation thermique d’une maison grâce à l’installation de doubles vitrages, l’utilisation d’une pompe à chaleur ou encore d’un poêle à éthanol. [...]
Intérêt d’un double vitrage
Parmi les différents éléments constitutifs d’une habitation, les fenêtres jouent un rôle important dans le comportement thermique de l’habitation. On cherche ici à montrer l’intérêt d’utiliser un double vitrage en commençant par étudier l’effet d’un simple vitrage.
On s’intéresse d’abord à un simple vitrage. on considère une paroi vitrée de surfaceS, d’épaisseur e, homogène, de conductivité thermiqueλv, constante et uniforme dans la paroi (voir figure7.8).
On ne tient compte que des transferts thermiques par conduction. on considère la conduction comme unidimensionnelle selone#”xet en régime stationnaire. Ainsi, les grandeurs ne dépendent que dex. On note Φ(x) le flux thermique à travers une surfaceS constante etjth(x) la densité surfacique de flux thermique.
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
Fig. 7.8– Simple vitrage
1. Rappeler la loi deFourier tridimensionnelle, qui régit le transfert thermique par conduction ainsi que sa simplification dans le cas unidimensionnel selone#”x.
2. Donner la relation entre Φ(x) et jth(x).
Donner l’unité dans le Système International de Φ(x).
3. On rappelle que l’on se place en régime stationnaire. Justifier que le flux thermique est alors le même à travers toutes les sections de la paroi.
4. En déduire que la température varie suivant une fonction affine de la positionx à travers la paroi vitrée.
5. Déterminer cette fonction affine en fonction de T0, température à l’intérieur de la pièce et de T1, température à l’extérieur de la pièce.
6. Tracer l’allure de la courbe représentative deT(x) pour x∈[−e,2e].
Dans le cas présent, on peut définir la résistance thermique Rth d’une paroi de surfaceS (exemple : vitre, mur, ...) par la relationRth = ∆TΦ , avec ∆T la différence de température entre les deux extrémités de la paroi et Φ le flux thermique à travers la surfaceS de la paroi.
7. Rth étant défini positivement, donner l’expression de Rth pour la paroi vitrée de surface S en fonction dee,λv etS.
8. Faire l’application numérique avec les valeurs proposées dans les données pour une baie vitrée en simple vitrage.
On considère désormais une baie vitrée de même surface mais en double vitrage. Elle est composée de deux parois vitrées identiques de surface S, d’épaisseure, homogènes, de conductivité thermiqueλv, séparés par une couche d’air sec homogène, de surfaceS, d’épaisseur 3eet de conductivité thermiqueλair (voir figure7.9).
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
Fig. 7.9 – Double vitrage
On considère à nouveau qu’il n’y a que des transferts thermiques par conduction, sans mouvement fluide dans la couche d’air sec.
Comme en3, le flux, noté ici Φ0, est le même à travers toutes les sections de la paroi entre x= 0 et x= 5e. On noteRtot la résistance thermique totale de la paroi.
9. Quelle analogie peut-on faire avec les résistances électriques ?
10. ExprimerRtot pour la paroi double vitrage en fonction deS,e,λair etλv.
11. Calculer numériquementRtot pour une baie vitrée en double vitrage. Commenter.
Afin d’améliorer l’isolation thermique, il existe des fenêtres double vitrage à lame d’argon, de conduc- tivité thermique λar. L’isotope majoritaire de l’argon sur Terre est l’isotope 4018Ar.
12. Donner la composition de l’atome d’argon 4018Ar.
13. Écrire la configuration électronique de l’argon dans son état fondamental.
14. En déduire sa position dans la classification périodique des éléments (numéros de ligne et colonne).
15. A quelle famille appartient-il ?
16. Calculer numériquement la résistance thermique Rtot pour une baie vitrée double vitrage à lame d’argon.
17. Comparer les résistances thermiques des trois type de parois vitrées évoqués dans ce sujet. Com- menter.
Données :
– Surface au sol : 80 m2; largeur : 10,0 m ; longueur : 8,0 m ; hauteur sous plafond : 3,0 m.
– Tous les murs donnent sur l’extérieur.
– Température intérieure :T0 = 20,0◦C, supposée uniforme.
– Température extérieure :T1 = 5,0◦C, supposée uniforme.
– Surface vitrée : deux baies vitrées de 6,0 m2 chacune.
– Épaisseur de vitre :e= 4,0 mm.
– Conductivités thermiques en W·m−1·K−1 :λv = 1,0 ; λair= 0,033 ; λAr= 0,020.
– Capacité thermique de la pièce :C= 3,0×105J·K−1. – Puissance développée par la pompe à chaleur : P = 300 W.
– Masses molaires atomiques (en g·mol−1) : M(H) = 1,0 ; M(C) = 12,0 ; M(O) = 16,0.
– Numéros atomiques :Z(H) = 1 ; Z(C) = 6 ; Z(O) = 8.
– Masse volumique de l’éthanol : ρ= 0,80 g·mL−1.
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
Aides au calcul
46/11'4,2 52/2'17 11/46'0,24 3/52'5,8.10−2 5,0/46'0,11 52×3'1,6.102 46/5,0'9,2 ln(3/2)'0,41
7.5.2 Température dans le tunnel de Fréjus [2016 CCMP PC]
Ce sujet comporte deux parties indépendantes qui s’intéressent à divers aspects de la physique dans le tunnel de Fréjus. A l’exception deitel quei2=−1, les nombres complexes sont soulignés. La notation z désigne le nombre complexe conjugué de z. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d’une flèche, par exemple#”j pour un flux surfacique ; sauf s’ils sont unitaires et seront alors surmontés d’un cha- peau, par exempleebztel quekebzk= 1. Pour les applications numériques on utilisera 3 chiffres significatifs.
Le tunnel routier du Fréjus relie la vallée de l’Arc, en France, au val de Suse, en Italie. Long d’environ 13 km, le tunnel passe sous le col du Fréjus dans les Alpes cottiennes. La pointe Fréjus culmine à une altitude de 2934 m.
Fig. 7.10 – Tunnel de Fréjus Fig. 7.11 – Sol La roche environnante dans le tunnel a une température constante tout au long de l’année d’environ 30◦C. Dans un premier temps nous étudierons les évolutions saisonnières de la température dans le sol.
Puis nous tenterons d’expliquer cette température élevée par un modèle géophysique.
Évolution saisonnière de la température dans le sol
On se place au sommet de la pointe de Fréjus à une altitude de 2934 m. On assimile la roche à un milieu semi-infini de conductivité thermique κ, de masse volumique ρs et de capacité thermique mas- sique cs. Sa surface est plane et horizontale et est soumise à la variation de température extérieure T(z= 0, t) =θ0+T0cos(ωt) avecθ0 = 0◦C. (Voir figure 7.11).
1. Calculer la moyenne temporelle de la température extérieure en z = 0. Calculer la température maximale et minimale. Proposer une valeur numériqueT0 pour les évolutions annuelles de tempé- rature.
2. Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d’énergie traversant une surface élémentaire dSpendant dt, est noté dϕQ. Rappeler la définition du vecteur#”
jQ, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension ?
3. Rappeler la loi deFourier, ainsi que ses conditions d’application. En déduire les dimensions de la conductivité thermique κ.
4. On étudie une tranche mésoscopique de sol comprise entre z et z+ dz de surface S. Quelle est l’énergie thermiqueδQreçue par cette tranche entret ett+ dt?
5. Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ?
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
6. Établir l’expression de sa variation d’énergie interne dU en fonction de ∂ j∂zQ et S puis en fonction deρs,cs,S et ∂ T∂t.
7. En déduire l’équation de la chaleur à une dimension ∂ T∂t(z,t) =D∂2T∂z(z,t)2 dans laquelle on précisera l’expression et la dimension du coefficientD de diffusion thermique.
On cherche des solutions de la forme T(z, t) = θ0 +T0ei(ωt−kz) vérifiant la condition aux limites T(z= 0, t) =θ0+T0cos(ωt).
8. Interpréter cette forme de solution. Déterminer la relation de dispersion correspondante [NDLR : une relation de dispersion est une relation entre la pulsation ω et le vecteur d’onde k d’une onde monochromatique]. En déduire l’expression de k qu’on mettra sous la forme k = k0 +ik00 avec k0>0. Déterminer l’expression correspondante de la solution réelleT(z, t). Quelle est la signification physique dek0 etk00?
9. Calculer la profondeurze à partir de laquelle les oscillations annuelles de température ne s’écartent pas de θ0 de plus de 1 %. Que peut-on dire de la température dans le tunnel routier de Fré- jus ? Pour les roches granitiques constituant le Fréjus on donne ρs = 2,65×103kg·m−3, cs = 8,50×103J·K−1·kg−1 etκ= 3,00 SI. Que peut-on dire des variations quotidiennes de la tempé- rature à la profondeurze? En terme de filtrage fréquentiel, comment se comporte le sol ?
Température d’origine géophysique
La température moyenne de 30◦C relevée dans le tunnel de Fréjus peut être expliquée par un modèle géothermique simple de la croûte terrestre. On considère qu’au niveau des Alpes, l’épaisseur de la croûte terrestre continentale est Lc = 45,0 km. Les roches granitiques qui constituent une partie des Alpes contiennent des éléments radioactifs comme l’uranium, le thorium et le potassium. La chaleur produite par ces éléments radioactifs est directement proportionnelle à leur concentration.
Dans les modèles couramment utilisés, cette concentration décroît exponentiellement avec la profondeur, de sorte que la puissance volumique dégagée peut s’écrireP =P0e−Hz avec H = 10,0 km. On prendra P0 = 2,50 µW·m−3. La croûte terrestre repose sur le manteau terrestre, à la fois plus dense et plus chaud que la croûte. On admet enfin qu’au niveau de l’interface Ic/m entre la croûte et le manteau ce dernier génère un flux surfacique constant #”
jm =−jmebz avec jm = 35,0 mW·m−2.
Fig. 7.12
10. Effectuer,en régime stationnaire, le bilan thermique dans une tranche de croûte terrestre de surface S, comprise entrez etz+ dz.
11. En déduire la température T(z) en fonction de : H, Lc, P0, jm, κ et θ0 = 0◦C la température moyenne de surface enz= 0.
12. Exprimer le flux thermique total #”
js=jsebz au niveau de la surface en z= 0.
13. Comparer les deux termes proportionnels àz et simplifier l’expression deT(z). Calculer la tempé- rature au centre du tunnel de Fréjus (z= 1,70 km) puis js.
7.5.3 Conditionnement d’air d’une voiture [2017 E3A MP]
Modélisation du régime permanent
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
Pour le confort et la sécurité des passagers (la respiration des passagers changerait la composition de
« l’air » qui deviendrait moins riche en dioxygène, ce qui favorise l’endormissement du conducteur), on doit renouveler l’air de la voiture et empêcher aussi tout refroidissement ou réchauffement par rapport à une situation normale dans laquelle l’intérieur du véhicule reste à une température consigne uniforme et constante égale à TC = 293 K.
On assimile l’automobile (représentée schématiquement ci-dessous) à un parallélépipède creux de hau- teurH = 1,5 m, de largeur `= 1,75 m et de longueur L= 4,0 m, réalisée en partie avec un matériau (1) hybride d’épaisseure1= 10 cm, de conductivité thermiqueλ1= 0,10 SI et en partie en verre d’épaisseur e2 = 2,0 mm et de conductivité thermique λ2 = 1,2 SI.
On peut simplifier le modèle en supposant que les vitres occupent une hauteur d = 0,50 m des parois verticales. Le toit, le sol et les parties basses des parois verticales sont constitués du matériau (1). On néglige les effets de bord et/ou la conduction par les coins.
Fig. 7.13– Modèle schématique d’une voiture
14. Rappeler la loi deFourier en définissant les grandeurs utilisées. Par analyse dimensionnelle, pré- ciser quelle est l’unité de la conductivité thermiqueλi.
On considère un morceau de paroi de surface s, d’épaisseur e et de conductivité thermique λ. La température est supposée ne dépendre que de la variable position sur la normale à cette paroi notéeOz.
Fig. 7.14 – Modèle d’une paroi de voiture
15. Établir, en régime permanent, le lien entre la différence des températures de part et d’autre de la paroi ∆T =Text−Tint et le flux thermique (ou puissance thermique) Φ qui traverse, de l’extérieur vers l’intérieur, une surface s de paroi d’un matériau de conductivité thermique λ. En déduire la résistance thermique de cet élément de paroi en fonction des,eetλ.
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
16. A quelle situation physique correspond une association en série de résistances thermiques ? A quelle situation physique correspond une association en parallèle de résistances thermiques ?
17. Donner l’expression des résistances thermiques des parties suivantes du véhicule en fonction des données nécessaires :
(a) R1 résistance thermique du toit (le sol de la voiture possède la même résistance thermique), (b) R2 résistance thermique des parties latérales en matériau (1) (de hauteurH−d),
(c) R3 résistance thermique de toutes les vitres (partie latérale de hauteurd).
18. Faire un schéma électrique équivalent de la voiture et en déduire sa résistance thermique totaleRv. 19. Calculer la valeur numérique deRv et celle deR3 (partie vitrée). Comparer la puissance thermique
totale perdue par la voiture et celle traversant les vitres. Commenter.
20. En réalité, le rapport entre l’écart de température ∆T = Text−Tint et le flux thermique total Φ entrant dans la voiture par les parois est différent du résultat précédent. De quel autre phénomène de transfert fallait-il vraisemblablement tenir compte ? Exprimer, pour le plafond, la résistance qui doit être rajoutée à R1 en appelant h le coefficient de la loi de Newton entre le matériau (1) et l’air. Commenter. Faire le nouveau schéma électrique équivalent.
Par la suite, on prendraG= R1v = 150 W·K−1 pour le rapport ∆TΦ . On suppose que :
– l’appareil de conditionnement de l’air de la voiture permet de refroidir l’habitacle en été, de le réchauffer en hiver et de renouveler l’air en même temps,
– la pression est toujours la même à l’extérieur et à l’intérieur et est égale à la pression standard p=p◦ = 1,0×105Pa,
– et l’habitacle est maintenu à la température de consigne TC = 293 K.
21. Chacun des n passagers dégage une puissance thermique p = 75 W. Exprimer la puissance P1 fournie par le conditionneur en fonction de n,p,Get ∆T =Text−Tint.
22. Calculer les deux valeurs deP1 pourn= 4 passagers, en étéText= 303 K ou en hiverText= 263 K.
Commenter le signe. Pour quelle température extérieure n’y aurait-il pas besoin de conditionne- ment ? L’ordre de grandeur vous parait-il vraisemblable ?
Régime transitoire
Lorsque les passagers montent dans le véhicule, la température intérieure est égale à la température extérieureText = 263◦C (hiver). Dès leur installation dans le véhicule, les passagers règlent le condition- neur au maximum, ce dernier fournit alors une puissance P1,max dont on se propose de déterminer la valeur pour que la température de consigneTC soit atteinte en ∆t= 2,0 min.
On rappelle que les passagers fournissent une puissancep= 75 W par personne et que la conductance thermique de l’ensemble de la voiture vautG= R1v = 150 W·K−1.
L’atmosphère intérieure au véhicule est caractérisée par une capacité thermique totaleC. On se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).
23. Montrer que la température de l’air du véhicule vérifie l’équation différentielle suivante : dT
dt +T τ = T∞
τ
en explicitant les expressions deτ etT∞ en fonction de Rv,C,n,p,Text etP1,max. 24. Proposer un schéma électrique équivalent.
25. Représenter l’allure de l’évolution au cours du temps de la température de l’habitacle.
26. Résoudre l’équation de la question23 et déterminer l’expression littérale de P1,max en fonction de , , , , , et ∆ pour que la température de consigne soit atteinte en une durée ∆ .
7. Diffusion thermique 7.5. Annales
27. Évaluer l’ordre de grandeur de la quantité de matière (q en mol) de l’air contenu dans la voiture en supposant que l’air occupe 50 % du volume intérieur. L’air est considéré comme un gaz parfait de masse molaireM = 29 g·mol−1 et caractérisé par des capacités thermiques molaires isobaresCp et isochore Cv dont le rapport vaut γ = CCpv = 1,4. On fera l’application numérique à la température TC = 293 K.
28. Rappeler le lien entre énergie interne et enthalpie d’une mole de gaz parfait. En déduire la valeur deCp−Cv et l’expression de Cp en fonction de R etγ.
29. Evaluer la valeur numérique de la capacitéC des q moles d’air puis celle de P1,max. Commenter.
30. Déterminer, sans calculs excessifs et en réutilisant les résultats des questions précédentes, la puis- sanceP1,min <0 que devrait avoir un climatiseur pour queT atteigneTC en ∆t= 2,0 min également en été (Text= 303 K) avecn= 4 passagers.
31. Quelles critiques pourriez-vous faire à ce modèle simpliste et quelles améliorations du modèle proposeriez-vous ?
