Corps de définition et points rationnels

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

EOFFROY

D

EROME

Corps de définition et points rationnels

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

15, n

o

_{1 (2003),}

p. 45-55

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_45_0>

© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Corps

de

définition

et

_points

rationnels

par GEOFFROY DEROME

RÉSUMÉ. Soit D un

_{objet algébrique}

(par

_exemple

une courbe ou

un

revêtement)

défini

sur Q

et de corps des modules un _corps de

nombres K. Il est bien connu _que D n’admet pas nécessairement

de K-modèle. En utilisant deux résultats récents dus à P.

Dèbes,

J.-C. Douai et M. Emsalem nous donnerons un

_majorant

_pour le

degré

d’un corps de définition de D sur K. Dans une deuxième

partie,

nous donnerons des conditions suffisantes sur l’ordre de

Aut(D)

pour

que D

admette un K-modèle.

ABSTRACT.

_Let

D be an

_algebraic

_object

_(e.g.

a curve or a

_cover)

defined

over Q

and of field of moduli an

_algebraic

number field K. It is well known that D does not

_necessarily

admit a

K-model.

_Using

two recent results due to P.

_Dèbes,

J.-C. Douai and M. Emsalem we shall

_give

a bound from above for the

_degree

of

a field of definition of D over K. In the second part, we shall

give

a sufficient condition on the order of

Aut(D)

for D to have a

K-model.

1. Introduction

Soient K un _corps de

caractéristique

0 et X une K-courbe

_projective

irréductible lisse de _genre

_g(X).

On dit

_{que K}

est le _corps des modules de X relativement à l’extension

_K/K

si

pour tout élément u

_appartenant

à

GalK

le groupe de Galois absolu de K.

Par définition X admet un K-modèle s’il existe

Xo

une K-courbe

projective

lisse

_{géométriquement}

irréductible telle que X ^J~

Xo x K K.

Il est clair que si X admet un K-modèle alors X a _{pour corps} des modules relativement

à l’extension De

_plus

si

_{g(X) =}

0 ou 1 alors la

réciproque

est vraie

(voir

[9,

Ch.III,

Prop.1.4]

pour le cas

g (X )

=

1).

En

_revanche,

dès que

g(X)

&#x3E; 2 la situation n’est

plus

aussi

simple.

Considérons par

exemple

le cas

_particulier

= R et choisissons

pour

X,

comme dans

_[8]

_(voir

en

_particulier

la fin du

_paragraphe

3 et le théorème

_3),

une C-courbe

_projective

irréductible lisse

_{hyperelliptique}

de genre

_{g(X) =}

m - 1 avec m

impair

dont un modèle affine est donné _par

_{l’équation}

où c

_désigne

la

_{conjugaison complexe}

et où an = 1 _{et ao E} llL On vérifie

([8,

page

177])

que X =c Xc

(ce

qui

signifie

que K est le corps des modules de X relativement à l’extension

_{K/K) .}

Si

_{Aut(X) =}

où i

_désigne

l’involution

_{hyperelliptique}

i.e.

_{i (x, ~) - (~, - y)}

alors =

ly, pi)

où li

est défini sur le modèle affine _par

y) -

(2013:r"B

et _{par suite}

_X’X,

= i

pour tout ~T e

_{Isomc (X, XT ),}

ce

_qui

_signifie

_que la

condition des

_cocycles

de Weil

_(voir

_[10])

ne

_peut

jamais

être

satisfaite,

et prouve

que X

n’admet pas de R-modèle

_(on

utilise ici

_uniquement

le

sens trivial du résultat de

[10]).

De

_plus

P. Dèbes et M. Emsalem

_(voir

_[5,

paragraphe

5]

pour les

détails)

ont montré que l’on

pouvait

choisir pour les

_{coefficients ai}

des nombres

_algébriques

tels _que

_{Aut((X) =}

Cela fournit un

_exemple

de

_{Q-courbe qui}

n’admet _pas de modèle sur son _corps

des modules.

Le but de cet article est double. D’une

_part

nous recherchons des

condi-tions suffisantes

_portant

sur

Card(Aut(X))

_{pour que} X admette un modèle sur son _corps des modules et d’autre

part

nous donnerons un

majorant

_pour

le

_degré

d’un corps de définition sur son _corps des modules.

Il est

_{également possible}

de s’intéresser à d’autres

_catégories

_d’objets

algébriques.

Par

_exemple

les revêtements

_{algébriques.}

Nous donnerons des

résultats

_analogues

_pour des

_{(G-)revêtements}

_algébriques

de courbes sans

frais

_{supplémentaires.}

Enfin l’auteur souhaite remercier P. Dèbes _pour ses _remarques et

com-mentaires.

2. Position du

_problème

et

_rappels

Soient

BK

une K-courbe

algébrique projective

lisse

_{géométriquement}

irréductible,

X une K-courbe

_projective

irréductible

lisse,

et

_{f :}

X - B un

K-revêtement

_algébrique

de K-base

BK,

où on a noté B =

Bx

x K K

(voir

[4,

paragraphe 2,

page

307]

pour la définition

précise

d’un

revêtement).

On dit que

f

est de corps de modules K relativement à l’extension

K/K

si et seulement si

_f

_f

pour tout a E

GalK.

On s’intéresse à l’existence d’un K-modèle ou d’un L-modèle avec

L/ K

extension

algébrique.

Le groupe

Aut ( f )

des

_{K-automorphismes}

du revêtement

_f

est fini. Notons Y la

K-courbe

_quotient

_{X /Aut ( f ) .}

Le théorème

_qui

va suivre

(dû

à P. Dèbes et à M.

_Emsalem)

est la clef

Théorème 2.1. Les notations et les

_hypothèses

étant celles du

_préambule,

il existe un K-modèle

YK - BK du

K-revêtement h : B

de K-base

_BK

_possédant

les

propriétés

suivantes. Le corps des modules

(relativement

à l’extension

_K/K)

du K-revêtement _{g :} X -

_{X/Aut( f )}

de .K-base

_YK

est

_égal

à K. De

_plus

une extension

_algébrique

_{E / K}

est un

corps de

definition

pour g si et seulement si elle est un _corps de

_définition

pour

f.

.Remarque.

Walter L.

_{Baily JR.,}

un

_pionnier

du

domaine,

établit dans son

article

_[1]

un certain nombre de résultats

précurseurs.

En

particulier,

il

avait

_remarqué

_que le K-revétement h

_possède

un K-modèle. P. Dèbes et M. Emsalem montrent en

_{plus qu’il}

existe un K-modèle

_remarquable

de h

(que

l’on

_appelle

K-modèle

_canonique)

et

_qui

vérifie la seconde

_partie

du théorème.

De la même

_manière,

au lieu de

_partir

d’un revêtement

_algébrique,

on

peut

partir

d’une courbe

_{algébrique projective}

irréductible lisse X _{de genre}

supérieur

ou

_égal

à 2 et se _{poser le même}

_type

de

_question.

Le groupe

Aut(X)

des

_{K-automorphismes}

de X est fini. Notons Y la K-courbe

quotient

X/Aut(X),

alors on

dispose

d’un résultat

_analogue

à celui du

théorème 2.1

_(voir

_[5,

théorème

_3.1]).

Théorème 2.2. Il existe un

YK

de Y dit .K-modéle

canon-ique

tel _que le _corps des modules

_{(relativement}

à l’extension du K-revêtement X - Y de K-base

_YK

soit K. De

_plus

une extension

algébrique

est un _corps de

définition pour la

courbe X si et seulement si elle est

corps de

definition

pour le

revêtement g :

X - Y de K-base

YK .

Nous sommes donc ramenés au

_problème

suivant: étant

_{donné g :}

Xi Y un K-revêtement

galoisien

de .K-base

YK

et de _corps des modules K relativement à l’extension

_K/K,

à

_{quelles conditions g}

admet-il un

K-modèle ? Une condition suffisante

_(qui

n’est _pas en

_général

nécessaire)

est fournie _par le théorème de Coombes-Harbater revisité _par P. Dèbes et J.-C. Douai à

_savoir,

il suffit _que

_YK

_possède

au moins un

_point

K-rationnel

(voir [4,

corollaire

_3.4,

_page

_320]).

Dans cet

_article,

nous allons

_contrôler,

en fonction de

f

ou de

_{X ,}

le

degré

d’une extension _pour

_laquelle

_{YK (L)}

soit non vide et d’autre

part

rechercher des conditions suffisantes

_portant

sur

f

ou X _{pour que}

YK(K)

soit non vide.

3. Borne _pour le

_degré

d’un _corps de définition

sur le _corps des modules

Théorème 3.1. Soit

_{f :}

X - B un K-revêtement de K-base

BK

et de corps des modules K relativement à l’extension

Supposons

que le genre

g(X)

de X soit

supérieur

ou

égal

à 2. Alors il existe une extension

L/K

de

_{degré inférieur}

ou

_égal

à

2g(X) - 2

tel _que le revêtements

_f

admette

un L-modèle.

Remarques.

1. Si K est un _corps local

_(extension

finie de ou un _corps

fini,

alors on sait

qu’il

existe

qu’un

nombre fini d’extension de K incluse

dans K et de

_{degré majoré}

_par une constante

_{préalablement}

fixée. Par

suite,

il est

_possible

de choisir l’extension

_L/K

du théorème

_précédent

indépendamment

de

_f.

2. Le théorème 3.1 fournit un

_{majorant explicite}

du

_degré

d’un _corps de

définition sur K. Dans un

_article,

dû à P. Dèbes et à l’auteur

_(voir

_[3]),

on

_montre,

dans le cas

_particulier

où K est un _corps de

_{nombres, qu’il}

est

également possible

de contrôler à fois la ramification et le

_degré

_(mais

cette fois ci _par une constante non

explicite)

d’un _corps de définition sur K.

Avant de donner la _preuve du théorème

_{3.1, énonçons}

le lemme évident

suivant

_qui

nous sera fort utile et dont la preuve est immédiate.

Lemme 3.2. Soit

_YK

une K-courbe

algébrique. Supposons qu’il

existe un

diviseur

_effectif

non trivial D de

YK

défini

sur K et de

_{degré inférieure}

ou

égal

à d. Alors pour tout P E

_Supp(D)

C

_YK(K),

on a

[K(P) :

K]

d.

Preuve du théorème 3.1.

SoitYK

le K-modèle

_canonique

de

_{Y=X/Aut( f ).}

Il est facile de vérifier

_grâce

à la formule de Riemann-Hurwitz _que

_g(Y)

g(X).

D’après

le théorème

_2.1,

il suffit de contrôler le

_degré

d’une extension

L/K

telle que

YK(L)

soit non vide.

Distinguons

deux cas:

1) g(Y)

= 0 _ou

g(Y) &#x3E;

2.

Soit

_KYK

un diviseur

_canonique

de

YK

défini sur K. Si

g(Y)

= 0 alors le

diviseur D =

-KYx

est effectif de

_degré

2 et défini sur K. Si maintenant

g(Y) &#x3E;

2,

alors comme =

g(Y),

on sait

qu’il

existe

D un diviseur effectif linéairement

équivalent

à

KyK

et défini sur K. En

particulier

deg(D)

=

2g(Y) -

2

_{2g(X) -}

2. Dans tous les _cas, le lemme 3.2

_permet

de conclure.

2)

= 1.

_

La formule de Riemann-Hurwitz

_appliquée

au

_{K-revêtement g : X -3}

Y

fournit

où

_RX

est le diviseur de ramification du

_{revêtement g}

sur

_X,

i.e.:

Soit D le diviseur de branchement du

_{K-revêtement g}

i.e. le diviseur réduit dont le

_support

coïncide avec celui de _ou, si l’on

préfère

D =

¿QEYK(K) EQ[Q]

où EQ

= 1

(resp.

eQ =

0)

s’il existe P _E X tel

que

g(P)

=

Q

avec

ep(g)

&#x3E; 1

_{(resp. sinon).}

Il est alors clair _que D est un

des modules

_{~) .}

De

_plus

_deg(D)

_deg(Rx)

=

2g(X) -

2. Le lemme 3.2

permet

une nouvelle fois de conclure. Il

En utilisant un

_argument

un _peu

_différents,

on

_peut

donner une autre borne _{valable même si le genre de X n’est pas}

_supérieur

où

_égal

à 2. C’est

l’objet

de la

_proposition

suivante.

Proposition

3.3. Soit

_{f :}

X -1&#x3E; B un K-revêtement de K-base

_BK

et de

corps des modules K relativement à l’extension

K/K.

Alors,

si

BK(K)

est

non

_vide,

le K-revêtement

_f

admet un

L-modèle,

où L est une extension de K incluse dans K

_vérifiant:

Remarque.

Ce résultat

peut

se voir comme une

_{généralisation}

du théorème

de Coombes-Harbater

_puisque

_par

_définition,

le revêtement

_f

est

_galoisien

si et seulement si

_{deg( f )}

=

Card(Aut( f )).

Preuve de la

_proposition

3.3. Soit

_{hK : YK -&#x3E; BK}

le K-modèle

_canonique

du K-revêtement

_{quotient h :}

_{X/ Aut(f)}

- B.

Par

_hypothèse,

_BK(K)

est non vide. Soit P E

_BK(K).

_{Le groupe} de Galois

_{GalK opère}

sur la fibre

_qui

_comporte

au

_plus

_deg(h)

éléments. Si

_Q

E

hK1(p)

C

_YK(K),

on déduit _que

[K(Q) : K]

deg(h).

Comme

deg (h) =

- on obtient bien le résultat souhaité. D

Card(Aut(f))’

Dans le cas

particulier

où le genre de la K-courbe Y =

X/Aut( f )

_est

nul,

on

dispose

de la

proposition

suivante:

Proposition

3.4. Soit

_{f :}

X --+ B un K-revêtement de K-base

_BK

et de _corps des modules K relativement à l’extension

_K/K.

_Supposons

que l’entier soit

_impair

_{et que} = 0.

Alors,

s’il existe

Card(Aut(f»

un

point

P E

_{BK (K)}

non

ramifié

de

f,

le K-revêtement

_f

admet un

K-modèle.

Preuve de la

_{proposition 3.l.}

Par

_hypothèse

_YK

est

_K-isomorphe

à une

K-conique

de

JP&#x3E;2.

Par

_suite,

il existe

_Q

E

_YK(K)

tel _que

_{[K (Q) : K]}

= 2.

No-tons

_Dl

=

[Q] + [Q’]

où _u est

l’unique

élément _non trivial de

Gal(K(Q)j K).

Il est alors clair que

Dl

est un diviseur K-rationnel de

YK

effectif.

D’autre

_part

la fibre est le

_support

d’un diviseur effectif K-rationnel

_D2

de

_YK

de

_degré

_D’après

le théorème de

_Bézout,

il existe rral et ~n2 deux entiers relatifs tel que D =

m,Dl

+

_7n2D2

soit un

diviseur

_{(K-rationnel)}

de

_YK

de

_degré

1.

Comme

_{deg(D) &#x3E; 2g(YK) -}

_1,

on sait

d’après

le théorème de

Riemann-Roch _que

_l(D)

=

deg(D) -

g(YK)

~- 1 = 2. Par

effectif K-rationnel de

_YK

de

_degré

1. Le

_support

d’un tel diviseur est donc

réduit à un

_point

K-rationnel de

_YK.

0

Remarques.

1.

_Supposons

_que l’on sache _que P ~

_BK(K)

soit un

point

totalement ramifié de

_f,

alors

_f

admet un modèle sur

K(P),

même si

BK(K)

est vide. En

_effet,

le

_point

P est

_également

un

_point

totalement

ramifié pour le revêtement

hK.

Par

suite,

il n’existe

qu’un

seul

point Q

E

YK(K)

dans la fibre du revêtement

hK

au dessus du

_point

P. D’où

K(P)

et le K-revêtement

_f

admet un

K(P)-modèle.

2. Dans le cas

_particulier

où

BK

=

Pk

_on

_peut

faire la _remarque suivante.

Soit

_{f :}

X - un K-revêtement de K-base

Pl

et de corps des modules

K relativement à l’extension

_K/K.

Notons D le diviseur de branchement

de

_{f .}

Si

_{deg( f )}

=

2Card(Aut( f )),

alors il existe P _e

Supp(D)

tel

que le K-revêtement

_f

soit défini sur

K(P).

Ainsi le K-revêtement

_f

admet

un modèle sur une extension de K de

_degré

inférieur ou

_égal

au

_degré

du

diviseur D.

En

_effet,

on sait d’une

part

qu’il

n’existe _pas de revêtement étale de

Pl K

et _que d’autre

part

hK

est de

_degré

2. Par

_suite,

si P

_appartient

au

support

du diviseur de branchement de

hK,

la fibre de

h,K

au dessus de P est constituée d’un

_unique

_{point Q,}

et on a

K(P)

=

K(Q).

4. Conditions suffisantes trivialisant l’obstruction

Les idées

_{développées}

dans ce

_paragraphe

sont essentiellement celles habituellement utilisées _pour montrer

_qu’une

K-courbe

_projective

irréduc-tible lisse X de genre

g(X) &#x3E;

2

possède

un _groupe

d’automorphisme

de

cardinal inférieur ou

égal

à la borne d’Hurwitz à savoir

84(g(X) - 1).

Le

lecteur est

_prié

de se référer à

_[6,

_page

_128]

_pour les détails.

Soit g :

X - Y un K-revêtement de

degré

deg(g).

La formule de

Riemann-Hurwitz

_{appliquée à g}

fournit

où

_eP(g)

_désigne

l’indice de ramification du

_{revêtement g}

au

_point

P E X.

Supposons

que le revêtement g soit

galoisien.

On a alors

Card(Aut(g)) _

deg(g)

et

où

_GP

est le stabilisateur du

_point

P e X sous l’action de

_Aut(g),

i.e.

Comme le

_{revêtement g}

est

_galoisien,

la classe de

_conjugaison

du groupe

on _pose

eQ(g)

=

ep(g),

où P _E X _est tel

que

g(P)

=

Q.

La formule de

Riemann-Hurwitz

se réécrit de la

_façon

suivante

[Bien

entendu

_{eQ (g)}

= 1 pour _tout

Q

_E

Y,

sauf éventuellement _pour un

nombre fini de

_{point Q}

e

_Y.]

Théorème 4.1. Soit

_{f :}

X --~ B un K-revétement de K-base

_BK

et de corps des modules K relativement à l’extension

_K/K.

Supposons

que le genre

g(X)

de X soit

supérieure

ou

égal

à 2.

Alors,

si

Card(Aut(f))

&#x3E;

8(g(X) - 1),

le K-revêtement

_f

admet un K-modèle.

Preuve du Théorème

_4.1.

_Désignons

_{par g} et

_hK

les revêtements construits à

_partir

de

_f

comme dans le théorème 2.1.

On sait _que

_{Aut( f) ri Aut(g).}

Par suite on

_dispose

de

_{l’inégalité}

0 t

4 où

en

appliquant

la formule de Riemann-Hurwitz au revêtement

galoisien

_g.

Tout d’abord il est clair _que

_g(YK)

= 0

(en

effet,

si

g(YK)

_2::

1,

alors _ou

bien t =

0,

ou bien t &#x3E;

2).

D’autre

_part,

puisque 1

1 - 1

_ - 2 2 - Q

(gi

-pour tout

_Q

E

_YK(K)

_{tel que}

_eQ(g)

₂

_2,

on a

Card(E)

= 3 _ou

4,

où E =

{Q

e

_{YK(K); eQ(g) &#x3E;}

_2}.

_Ensuite,

on vérifie

_qu’il

existe

_Q

E

_YK(K)

tel _que

_{eQ (g)}

soit différent de

_eQ,(g)

_{pour tout}

_Q’

E

_YK(K)

différent

de

Q.

En

_effet,

_{supposons dans} un

_{premier temps}

_que

Card(E)

= 4 _et

que

E = _avec =

eQ2(g)

= _x et

eQ3(g)

=

eQ4(g) ==

y. On

_dispose

alors de

_{l’inégalité 1}

8 x

+ t

_y 1

_qui

n’admet pas de

solutions

en nombres entiers

_{x, y &#x3E;}

2. Le cas où

_Card(E)

=

3,

E =

{Q1, Q2, Q3}

et eQl

(g)

=

eQ2

(g)

=

eQ3

(g) = x

est lui aussi à exclure à l’aide d’un argument similaire. Il ne reste

_{plus qu’à}

_{remarquer que} nécessairement

_Q

E

_YK(K)

puisque

pour tout Q E

_GalK

on a d’une

_part

E E et d’autre

_part

=

eQ(g).

0

On

_{dispose également}

du corollaire suivant:

Corollaire 4.2. Soit X une K-courbe

_{algébrique projective}

irréductible

lisse de _genre

_g(X)

_supérieur

ou

_égal

à 2 et de _corps des modules K rel-avivement à l’extension

_K/K.

_Alors,

si

_Card(Aut(X))

&#x3E;

_{8(g(X) -}

_1),

la K-courbe X admet un K--modèle.

Faisons maintenant le lien entre la notion "admettre

_beaucoup

d’automorphisme

"grand" .

On commence tout d’abord par

rappeler

la

première

notion.

Définition 4.3. On dit

_qu’une

C-courbe

_projective

irréductible lisse X de genre g =

g (X ) &#x3E;

2

_{possède beaucoup d’automorphismes}

si le

_point

x(X )

E

_{Mg (C)}

_{correspondant}

à X dans

_l’espace

de module

_Mg

_possède

_(au

sens de la

_topologie

_complexe)

un

_voisinage

vérifiant la

_propriété

suivante: _pour tout

_{y E U B ~x(X ) ~}

_{le groupe}

_{d’automorphisme}

de la C-courbe

_projective

irréductible lisse associée

_{à y}

est d’ordre strictement

inférieur à

_{Card(Aut (X) ) .}

On

_rappelle

_également

la définition suivante:

Définition 4.4. Soient X une C-courbe

_projective

irréductible lisse

_{et /3 :}

X --t

PIC

un C-revêtement. On dit alors

_{que /3}

est une

_fonction

de

_Belyi

si le

_support

de son diviseur de branchement est de cardinal inférieur ou

égal

à 3. Un résultat

_remarquable,

dû à G.

_Belyi

_(voir

_[2]),

affirme _{que X}

admet une fonction de

Belyi

si et seulement si X admet un

Q-modèle.

Remarque. Quitte

à _composer

₆

avec une

_homographie

de

PIC,

on

_peut

même supposer que le

support

du diviseur de branchement d’une fonction

de

_Belyi

est incluse dans

_{f 0, 1, ool.}

J. Wolfart

_{(voir [11,}

théorème

_6,

_page

_107])

démontre le résultat suivant: Théorème 4.5. Une C-courbe

_projective

irréductible lisse X de _genre

g(X)

&#x3E; 2

_{possède beaucoup d’automorphismes}

si et seulement si il existe

une

_fonction

de

définissant

un C-revêtement

galoisien

Il était

_déjà

connu

(voir

[11,

_remarque

_4,

_page

108])

_qu’une

C-courbe

projective

irréductible lisse X de genre

g (X ) &#x3E;

2

_qui

admet

_beaucoup

d’automorphismes possède

un modèle sur son _corps des modules

(qui

est

un _corps de

nombres).

D’autre

_part,

il n’existe

qu’un

nombre fini de classes

de

_{C-isomorphisme}

de C-courbes

_projectives

irréductibles _{lisses de genre}

g &#x3E;

2

_{possédant beaucoup d’automorphismes.}

On

_peut

donc se demander

si le cardinal de l’ensemble des classes de

_{C-isomorphismes}

de C-courbes

projectives

irréductibles lisses X de

_{genre g &#x3E;}

_2,

vérifiant

_Card(Aut(X)

&#x3E;

8(g - 1)

est fini ou non.

_{Déjà, lorsque g -}

_3,

un élément de

_réponse

est donné _par le faisceau de

_quartique

de

I~2

_engendré

par la

quartique

de Fermat

_{(d’équation}

_{-~- y4}

+

z~ )

et la courbe de Klein

(d’équation

S(x,y,z) =

+

y2z 2+ z 2x2).

Plus

_{précisément}

_(voir

_[7,

alors,

pour une infinité de t E

_Q,

la

_Q-courbe

_Ct

est

_projective

irréductible

lisse,

et il existe un

morphisme

de _groupe

injectif

Inversement,

on

_dispose

du résultat suivant.

Théorème 4.6. Soit X une C-courbe

Projective

irréductible lisse de _genre

g(X) &#x3E;

2. Si

_Card(Aut(X))

&#x3E;

_{12(g(X) - 1),}

alors X adrnet

_beaucoup

d’automorphismes.

Esquisse

de la _preuve du théorèrrae

_4.6.

_{On sait déjà que g(X/Aut(X))}

= 0

et que 0 t )

où

Posons E =

{Q

_E

YK(K);eQ(g)

_2::

2}.

D’après

ce

_qui

_précède

on sait

également

que nécessairement

Card(E)

vaut 3 ou 4. Raisonnons _par

l’ab-surde et supposons que

Card(E)

= 4. Il est clair

que le cas où

_{eQ (g)}

= 2

pour tout

Q

E E est à exclure: il fournit en effet t = 0.

Ainsi,

il existe _au

moins un

point Q

E E tel _que

eQ(g)

&#x3E;

_3,

d’où

ce

_qui

est absurde. Ainsi

_{Card(E) =}

3 et le C-revêtement

_galoisien

X --~

X/Aut (X)

définit une fonction de

_Belyi.

0

5. Cas des G-revêtements

On

_peut

facilement

_adapter

le théorème 2.1 i.e. le théorème 3.3

figu-rant dans

_[5]

au cas des G-revêtements de la manière suivante. Soit donc

f :

X -7 B un K-G-revêtement de

BK.

On sait _que le groupe des

automorphismes

de

,f

en _{tant que} G-revêtement est

isomorphe

à

Z(G),

le

centre _{du groupe} G.

_Supposons

_que

_f

soit de _corps des modules K rela-tivement à l’extension

_{K / K.}

Alors il existe un K-modèle

hK : YK - BK

du K-revêtement h :

_{X/Z(G) - B de}

K-base

_Bx

_possédant

les

_propriétés

suivantes. Le _corps de modules du

_{K-Z(G)-revêtement}

_{g :} X -+

_X/Z(G)

de K-base

_Yx

est

_égal

à K. De

_plus

une extension

_algébrique

est un

corps de définition du

K-Z(G)-revêtement

X -

X/Z(G)

de K-base

YK

si et seulement s’il est _corps de définition du K-G-revêtement X - B de K-base

_BK.

Grâce à

_[4,

corollaire

_3.4],

on déduit _que les enoncés établis

_{précédemment}

pour les revêtements purs se reécrivent mutatis-mutandis de la

_façon

sui-vante :

Théorème 5.1.

_Supposons

2.

_Alors,

t e K-G-revêtement

_f

admet un modèle sur une extension L de K

_vérifiant

Théorème 5.2.

_Supposons

_que le _genre

_g(X)

de X soit

_supérieur

ou

égal

à 2. Alors si

_Card(Z(G))

&#x3E;

_{8(g(X) - 1),}

le K-G-revêtement

_f

admet un

K-rrtodèle.

Preuve du théorème 5.2. En

_effet,

on sait dans ce cas _que la K-courbe

YK

admet un

_point

K-rationnel. 0

On _suppose maintenant

_jusqu’à

la fin de cet article que

BK

=

PlK*

Si _{le groupe} G est

_abélien,

on sait

(voir

[4,

corollaire

3.4])

_que le

K-G-revêtement

_f

admet un K-modèle.

_Supposons

donc _que le groupe G ne

soit _pas abélien et

_désignons

par p le

plus petit

nombre

premier

inter-venant dans la

_{décomposition}

en

_produit

de facteurs

premiers

de l’entier

°

On

_dispose

du résultat suivant:

Proposition

5.3. Notons D le diviseur de branchement de

_{f .}

Le

K-G-revêtements

_f

est

_définit

sur une extension L de K

vérifiant

Preuve de la

_proposition

5.3. Tout d’abord il convient de _{noter que} le

K-revêtement h : Y -

_PL

est

_galoisien

de _groupe de Galois

_a

Comme d’autre

_part,

il n’existe _pas de revêtements étales de

_Pk,

on déduit _que

Supp(D(hK))

le

_support

du diviseur de branchement de

_hK

est non vide.

Soit donc P E

_Supp(D(hK))

et

_Q

E On a d’une

_part

[K(P)(Q) :

1

K~p~~ ~

d’autre

_part

_{(K(P) : K]}

Card(Supp(D)).

D’où la

_proposition.

D

Rernarque.

Le résultat de cette

_proposition

n’a d’intérêt _que dans le cas

où _p &#x3E;

_{Card(Supp(D))}

_puisque

P. Dèbes et J.-C. Douai

_{(voir [4,}

corollaire

"

3.5])

ont démontré _que l’on

_dispose

de la borne

Bibliographie

’

[1] W. L. BAILY JR., On the _{theory of} theta _functions, the moduli _of abelian varieties, and the moduli of curves. Ann. of Math. 75 _(1962), 342-381.

[2] G. BELYI, On the Galois extensions of the maximal _{cyclotomic field.} Math. USSR Izv. 14

(1980), 247-256.

[3] P. DÈBES, G. DEROME, Finiteness results in descent _theory. J. London Math. Soc., à paraître.

[4] P. _DÈBES, J.-C. _{DOUAI, Algebraic} covers, field of moduli versus _{field of definition.} Ann. Sci.

École Norm. _{Sup. (4)} 30 _(1997), 303-338.

[5] P. _DÈBES, M. EMSALEM, On _{fields of} moduli of curves. J. Algebra 211 _(1999), 42-56.

[6] E. _REYSSAT, Quelques aspects des _surfaces de Riemann. _Progress in _Mathematics, 77. Birkhäuser _{Boston, Inc., Boston, MA,} 1989.

[7] R. E. RODRIGUEZ, V. GONZALEZ-AGUILERA, Fermat’s quartic curve and the tetrahedron. Extremal Riemann surfaces _(San Francisco, CA, 1995), 43-62, Contemp. Math., 201, Amer. Math. _{Soc., Providence, RI,} 1997.

[8] G. SHIMUR.A, On the _{field of rationality for} an abelian _variety. Nagoya Math. J. 45 _(1971), 167-178.

[9] J. _SILVERMAN, The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in _Mathematics, 106.

Springer-Verlag, New _York, 1986.

[10] A. WEIL, The field of definition of a _variety. Amer. J. Math. 78 _(1956), 509-524.

[11] J. WOLFART, The "obvious" part of Belyi’s theorem and Riemann _surfaces with many

au-tomorphisms. Geometric Galois actions, 1, 97-112, London Math. Soc. Lecture Note _Ser.,

242, Cambridge Univ. _{Press, Cambridge,} 1997. Geoffroy DEROME

Université des Sciences et _Technologies de Lille 59655 Villeneuve _d’Ascq

France