Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

EOFFROY

D

EROME

Transcendance des valeurs des fonctions

automorphes sur

H

×

H

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, n

o

3 (2003),

p. 683-696.

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_3_683_0>

© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.

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Transcendance des valeurs des fonctions

automorphes

sur x

par GEOFFROY DEROME

RÉSUMÉ. Soit 0393 un _groupe

arithmétique agissant

_proprement

dis-continument sur x de covolume fini. On sait que

l’espace

est

_isomorphe

à l’ensemble des

_{points complexes}

d’une variété

_algébrique

quasi-projective

V0393 définie sur

_Q.

Soit _{Jr :}

~

_{V0393 (C)}

une

application

holomorphe

invariante par l’action

de 0393 et correctement normalisée. Grâce au résultats obtenus _par

P.

_Cohen,

H.

_Shiga

et J.

Wolfart,

on sait que

J0393(z1, z2) ~

si z =

(z1, z2)

est un

_point

_algébrique

non

_spécial

de Dans cet

article,

nous allons montrer _que nous avons

_{J0393(z1,z2) ~}

si

z1 et z2 sont deux éléments de l’un étant

_algébrique

et l’autre transcendant.

ABSTRACT. Let 0393 be an arithmetic _group

_acting

_properly

discon-tinuously

on the

_product

of two

_copies

of the

_poincaré

_{upper space}

with finite covolume. One knows that the _space

is

_isomorphic

to the set of

_{complex points}

of a

_{quasi-projective}

variety

Vr defined over

Q.

Let _{J0393 :} x ~

_{V0393 (C)}

be an

ho-lomorphic mapping

invariant under 0393 and

_properly

normalized. Thanks to P.

_Cohen,

H.

_Shiga

and J. Wolfart’s

_results,

one knows

that

_{J0393 (z1, z2) ~}

if z =

_(z1,z2)

is an

_algebraic

non

_special

point

the _present

_article,

we shall

show,

that we have

J0393

(z1 , z2) ~

V0393

_(Q)

if z1 and z2 are two elements of one of which

is

_algebraic,

the other transcendental.

1. Introduction

Soit G un _groupe

algébrique

réductif connexe défini

sur Q

tel _que la par-tie abélienne de

_G(R)

soit

_compacte.

_Désignons

_par

_G(R)+

la

_composante

connexe de l’identité de et

_{par K}

un _sous-groupe

_compact

maxi-mal de

_{G(II8)+ .}

_Supposons

_que le

_quotient

_{G(IIg + /K}

_possède

une structure

complexe

invariante et _par

_conséquent

soit

_isomorphe

en _{tant que} variété

analytique complexe

à un domaine

symétrique

borné M C cm _pour un cer-tain entier m &#x3E; 1. On dit

_{qu’un point z}

E 33 est

_spécial

s’il est

_point

fixe

d’un tore maximal T C G défini

sur Q

pour

lequel

T(R)

est

compact.

Sup-posons que 1’&#x3E; soit réalisé dans cm de telle manière que les

points spéciaux

appartiennent

à m n

Wn.

Si r est un _sous-groupe

arithmétique

de

G,

il existe une

application

r-invariante

_holomorphe

J =

r)

de 33 à valeurs

dans induisant un

isomorphisme

entre

_FB3)

et l’ensemble des

_points

complexes

d’une variété

_{algébrique quasi-projective}

_Yr.

De

_{plus, Faltings}

[5]

a

prouvé

_que la variété

_algébrique

Vr

était définie

sur Q

et que de

_plus

Yr

était bien défini à

_{#ooisomorphisme}

_près

en

imposant

_{que tous} les

points

spéciaux z

aient _pour

_image

un

_{point algébrique}

de

Yr

_par J. On

appelle

un tel

triplet

(1’&#x3E;,

J,

Yr)

un modèle normalisé

sur Q

_pour

(G, r).

Dans

_(1J,

Paula Cohen fait la

_conjecture

suivante :

Conjecture

1.1. Soit

_(1’&#x3E;,

_J,

_Vr)

un modèle normalisé

sur Q

_pour

(G, r)

avec M C

_On,

alors z E 1’) et

_J(z)

E si et seulement si z est

un

points spécial.

Dans ce même article P. Cohen démontre _que la

_conjecture

1.1 est vraie dans le cas

particulier

suivant :

Théorème 1.2

_(P.

Cohen-H.

_Shiga-J.

_Wolfart).

Soit

_(1),

J,

Vr)

un modèle normalisé

_{sur Q}

_pour

_{(G, r)}

_pour

_lequed

_{(G, 1»)}

admet un

plongement

sym-plectique,

alors z E 1) fl

~

et

_J(z)

E

_Vr(Q)

si et seulement si z est un

point

spécial.

Références.

On

_peut

consulter l’article de

_[1]

ou celui de

[7].

En

effet,

dans ce _cas, 1:&#x3E; est un _espace de

paramètre

_pour des familles

analytiques

de variétés abéliennes

_polarisées

d’un certain

_type.

D’autre

_part,

un élément d’une famille est définie

_{sur Q}

si et seulement si cet élément est

_représenté

par z vérifiant

J(z)

E Ces remarques ont

permis

aux auteurs

d’utiliser avec

_profit

le théorème du _sous-groupe

_analytique

de Wüstholz. CI Dans le

_{présent article,}

nous nous

plaçons

dans le cas

_particulier

où le

groupe réductif G est tel que 1’) =

G(R)+ /K

s’identifie

à fj

_x

_J3.

Nous faisons la

_conjecture

suivante :

Conjecture

1.3. Les

_hypothèses

étant celles de la

_{conjecture 1.1,}

si 1)

s’identifie

à

_à

x

_Si,

alors étant donné z =

(zl, z2)

non

_spécial

tel _que au moins un des de2cx nombres _z, ou _z2 soit

algébrique,

on a

J(z) e Vr(Q).

Le but du

_présent

article est de montrer le résultat suivant :

Théorème 1.4. La

_conjecture

1.3 est vraie dans le cas

particulier

où

(G, D)

possède

un

plongement symplectique.

D’après

le théorème

_1.2,

on sait

_déjà

_qu’étant

donnés _{zl et z2} deux nombres

_algébriques

_appartenant

au

_{demi-plan supérieur}

de

_Poincaré,

si

z =

(Zl, z2)

n’est _pas un

_{point spécial}

alors

Vr (Q).

Ici,

nous

al-lons montrer

_qu’il

suoEt en fait

qu’un

seul des deux nombres _zl ou _z2 soit

algébrique

pour avoir le résultat

escompté.

Remarque.

Dans le cas

_particulier

où G =

S12,F

avec F un _corps

totale-ment réel de

_degré

_2,

le domaine 2) s’identifie

à ij x fj,

et on trouve dans

_[1]

(voir

aussi

_[2]

et

_[7])

une _preuve du fait _que si z =

(Zl, z2)

avec zi E =

1, 2

n’est _pas un

point spécial

et si au moins un

_{des zi}

est

algébrique. Ici,

nous allons nous intéresser à d’autres groupes réductifs G. Le

_plan

de cet article est le suivant. Dans le

_premier

_paragraphe

on _pose les notations et on effectue

quelques rappels.

Dans le second

paragraphe

on

montrera que les variétés abéliennes associées à z =

(zl, z2)

_{avec zi}

E ij

pour i = 1 et

2,

l’un étant

transcendant,

l’autre

algébrique

sont

simples.

Dans le

troisième

_paragraphe,

nous

rappellerons

un résultat de l’article de

[3]

qui

ne

_s’applique

_{que pour} les variétés abéliennes

_simples

et

_{qui s’appuie}

sur le théorème du sous-groupe

analytique.

Le dernier

_paragraphe

est consacré aux

applications

et résultats finaux.

2. Familles de variétés abéliennes

polarisées

de

_type

PEL. Nous allons dans ce

_{paragraphe rappeler}

la construction due à

_Siegel

(voir [10])

qui

a été

reprise

_par la suite _par Shimura

(voir [8]).

Soit

_LI

une

_algèbre

à division munie d’une involution

_positive

_pi. Notons

Kl

le centre de

_Li

et

_qi

=

[Li :

Ki],

_puis

On sait

_d’après

les travaux d’Albert

_(voir

_[8]

_pages

_150-153)

que

Fi

est un

corps de nombres totalement réel et on notera _gl son

degré.

De

plus

on

dispose

de la classification suivante :

. Type 1 : LI = FI.

~

_Type

II :

_Li

est une

_algèbre

de

_quaternions

totalement

indéfinie;

i.e. une

algèbre

centrale

simple

LI

sur

Fi

telle _que les

_composantes

simples

de

Li OQ

R soient

_isomorphes

à

_{M2 (R) .}

w

_Type

III :

_LI

est une

_algèbre

de

_quaternions

totalement

_définie;

i.e. une

algèbre

centrale

simple

Li

sur

Fi

telle _que les

_composantes

simples

de

Li

OQ

R soient

_isomorphes

à

_l’algèbre

H des

_quaternions

hamiltoniens.

~

Type

IV :

_LI

est une

_algèbre

centrale

_simple

sur

_Ki

et

_Ki

est une extension

_{quadratique imaginaire}

de

Fi.

Plus

_{précisément}

on a :

En

_plongeant

1HI de manière

_canonique

dans

_{M2 ((C),}

on obtient alors _g,

(resp.

représentations

matricielles irréductibles de

LI

dans le cas de

type

I,

II ou III

(resp.

dans le cas de

_type

IV),

_que l’on notera _{xl, ... , x91}

(resp.

Soit n un entier naturel tel _que 2n soit un

_multiple

de

[Li :

~~.

On _{pose :}

On se donne en

_plus,

dans lé cas où

_LI

est de

_type

_IV,

un

couple

d’entiers

(rÛ, s)

pour tout v

_compris

entre 1 « et _gl, vérifiant

v

On pose alors

pour tout v =

1, ... ,

_gl,

puis

On

_appellera

la

_{représentation complexe canonique}

admissible associée à

_LI,

_n, et aux _gl

couples

(ri 81)

si

Li

est de

_type

IV.

Soit A une variété abélienne de dimension n définie sur

C,

L =

End°(A).

On sait que

~4(C) ~ en / D

où D est un réseau de et

_qu’un

élément de L s’identifie à un

endomorphisme

C-linéaire de en

préservant

D _Oz

Q.

D’où un

_morphisme

_{d’algèbres}

Supposons

maintenant que A soit

simple,

L est alors une

_algèbre

à divi-sion et D

_{0z Q}

est un

_{L-espace vectoriel,}

en

particulier

[L : Q]

divise 2n.

On notera

-Soit C une

polarisation

de la variété abélienne A. On sait

(voir

[8]

_page

154)

que la

polarisation

C induit une involution

_positive

_p sur L. Par

_suite,

nous sommes dans le cadre étudié au début de ce

paragraphe,

ce

qui

nous

permet d’introduire les _sous-corps K et

_F,

ainsi _que les entiers _q et _g. On vérifie en fait _{que q}

_{et g}

ne

dépendent

_que de la variété abélienne

A,

et non du choix

_particulier

de la

_polarisation

C.

Théorème 2.1. Soit tD une

_{représentatzon complexe analytiques}

de L =

End°(A),

et soit

_L1

une

sous-algèbre

de

L,

alors est

C-équivalente

à une et à une seule

représentation complexe

canonique

admissible associée à

_L1

et à n.

R é, f érence.

Voir

_[8]

_{pages 155-156.} D

Corollaire 2.2.

_Lorsque

L est de

_type

_IV,

la

_{représentation complexe}

ca-nonique

admissible ~ de L

_fournit

g

couples

d’entiers

(rv,

sv)

soumis à la

condition rv + s, = mq.

Ces g couples

d’entiers ne sont _pas

_uniquement

déterminés,

par contre le cardinal de l’ensemble

ne

dépend

_que de

A,

ce

qui permet

d’introduire la

définition

suivante. Définition. A la variété abélienne

_simple

A de dimension n on associe

si L est de

_type

I-II ou

III,

si L est de

_type

IV.

Remarque.

En fait l’entier c ne

dépend.

_que de la classe

d’isogénie

de la variété abélienne A. Cet entier c mesure la "tendance à la

_{multiplication}

complexe"

de A comme le montre le lemme suivant :

Lemme 2.3. Soit A une variété abélienne

simple

de dzmension n. Alors A est à

_{multiplication complexe}

si et seulement si c = _g.

Référence.

Voir le lemme 2.4 de

_[3].

0 Nous

_désignerons

_par l’ensemble des

_triplets

_{( A, C, 8 ) ,}

où A est une _{variété abélienne de dimension} n définie sur

cC, 8

un

_morphisme

d’algèbres injectif

de

_Li

dans vérifiant lll o 0

_{-c (Dl}

où lll est une

représentation complexe analytique

de

_End°(A),

et C une

polarisation

de A tel que la restriction de l’involution

positive

induite par C sur

A

_partir

d’un élément

_{(A, G, 8)}

_appartenant

à

_{S(L1, ~1, pl),}

Goro

Shimura construit une matrice

Ti

E

_{Gh.,zl (L1 )}

vérifiant

Tf1

i =

-Ti

_et

Mi

un sous-Z-module libre de

Li 1

de rang 2n

(voir

[8]

_{page 157} pour

les

_détails).

Le groupe

algébrique

réductif connexe défini

sur Q

associé est alors

Lemme 2.4. On a

G(T1)R

est

isorrzorphe

à

Sl2;R

x

_{S12,R (qui}

est le cas

qui

nous intéressera

par da

suite) si

et seulement si on se trouve dans l’un des irois cas suivants :

. n = 2 et

Li

_corps réel de

degré

2.

. n = 4 et

Li

algèbre

à division de

_type

II et de

degré

8.

~ n =

4, LI

_corps C.M. de

degré

4 et

ri

=

81

= 1.

Preuve du lemme

_2.4.

évident. Il

Notons

_S(Tl,

une famille

analytique

d’éléments de

S(Li,

pi)

comme dans

[8].

Le résultat

principal

de Shimura dit _que

E (Ti, Mi)

est

paramétré

par l’ensemble des

points

d’un domaine

symétrique

borné

com-plexe

où

Remarques.

1)

Dans le cas où rs =

0,

l’espace

Sj~,8

n’a aucune

significa-tion. On convient alors que est réduit à un

_point.

2)

Bien _que

_l’espace

ne

possède

_pas de

Q-structure,

on _posera

pour tout i =

1, 2

et

ce

qui

_permet

de définir de manière naïve

3)

Lorsque t

=

_1,

n’est autre

que %

=

BO(O, 1)

la boule ouverte de

C de centre

_l’origine

et de _{rayon 1.} On

_rappelle

que 23 est

Notez que cette transformation envoie les

points algébriques

sur les

_points

algébriques.

4)

On a

G(Ti )R = S12,R

x

_S12,R

si et seulement si 23 x 23. De

_plus,

il existe un _groupe

arithmétique

IP(TI, Mi)

de

G(Ti)

agissant

discontinument sur tel _que l’ensemble

quotient

soit en

bijection

avec l’ensemble des classes

d’isomorphisme

d’éléments de

Nous

_prions

le lecteur de se référer à l’article de

[8]

_pour les détails.

Indiquons

brièvement la construction de la variété abélienne

_sous-jacente

à un

triplet

_appartenant

à

E(T1,.M1)

et associé à un

point

z E

On commence par construire

r’(z,, Tl ), ... ,

rml

Tl )

des éléments de

n

C91 , puis

on _pose

On vérifie alors que les vecteurs

_(rl,...Irml)

sont

_{I(LI)-linéairement}

indépendants.

On pose alors

Si A

_désigne

la variété abélienne

_sous-jacente

à l’élément de

_{S(Tl, Ml)}

associée à z E alors

Notations. Si

Li

est de

_type

_{I, II,}

III on notera

_parfois

au lieu

de et au lieu de Bien

entendu lll

désigne

la

_{représentation canonique}

admissible

_associée

à

_LI

et à n. Si on ne désire

pas

préciser

une famille

analytique

incluse dans

S(Ll,

pl ) ,

on la notera

_plutôt

Si

Li

est de

_type

_IV,

étant donné pour tout v

compris

entre 1 et _g, un

couple

(r~, sÛ )

vérifiant

_{rl +si}

= _{ml ql ,} on notera

_parfois

_{Dn (L 1,}

_{ri , ... ,}

au lieu et

_{ri , ... ,}

_Pl)

au lieu de

S(Ll,

pi ) .

Ici encore

désigne

la

_{représentation complexe canonique}

admissible associée à

_LI,

n et aux

_couples

(r~, sl)

_pour tout

_{1 _ v _}

_gl. De

_même,

si on ne désire

pas

préciser

une famille

analytique

incluse dans

S(Ll,

pl),

on la notera

_plutôt

_{ri , ... ,}

_ri

_pi).

De

_{plus, lorsqu’il}

n’existe

_qu’une

seule involution

_positive

_pi sur

LI,

nous ne ferons _pas

_{toujours figurer}

_pi dans les notations.

Lemme 2.5. Soient

_{(A, C, 0)}

E et

_{(A’, C’, 8’)}

E

et _{supposons que} les variétés abéliennes A et

A’

soient

_{isogènes. Désignons}

par z E

_(resp.

par

z’

E

.fj(~I))

un

représentant

de l’élément de

(resp.

associé à la classe

d’isomor-phisme

de E

_{E(Ti,mi) (resp. (A’_, C’, 8’)}

E Alors

z~ E et seulement si

z~

E

Référence.

Bien _que ce résultat ne

_figure

_pas

_{explicitement}

dans l’article de

Shimura,

il est facile de le déduire à

_partir

_{des considérations faites page}

161-163 de

_[8].

Il

Le lemme

_précédent

nous

_permet

de _poser la définition suivante : Définition.

Étant

donné

_~A)

une C-classe

_{d’isogénie}

de variétés abéliennes

telle que

LI

s’injecte

dans

End°(A),

on associe

e(Li,

[A])

E

_(F2)-Qi

défini

de la manière suivante : étant donnée C une

polarisation

de A et 0 un

morphisme

d’algèbres injectif de

Li

dans

_{End°(A) ,}

le

_triplet

_{(A, C, 0)}

ap-partient

à une famille

analytique

S(Tl,

incluse dans

8(Ll,.pl,

pl)

et

paramétrée

par Si z E

_désigne

un

représentant

de la classe de

r(Tl,

associé à la classe

d’isomorphisme

de l’élément

_(A,

_C,

₈₎

E

on _{pose :}

pour tout v

_{=1, ... ,}

_gl.

3.

Étude

de la

_simplicité

de certaines variétés abéliennes.

Commençons

par la

proposition

suivante

qui

est la clef de voûte de ce

paragraphe.

Proposition

3.1. Soit

_(Al,

Cl,

01)

un

triplet

_appartenant

à une

_famille

analytiques

El

inclusse dans telle que x 93.

Suppo-sons _que

Ai

soit

isogène

à une

puissance

_pure d’une variété abélienne

simple

A2

z. e.

_A1

_isogène

à

_A2.

_Alors,

si

_{_~j(4D2) =}

_93,

où est la

_{représentation}

complexe canonique

admissible associée à

_A2,

on a

e(Ll,

[Al])l =

e(Li,

~Ai~)2.

Preuve de la

_proposition

3.1. Soit

C2

la

_polarisation

de

_A2

induite _par

_Cl

et

_{l’isogénie.}

Posons

_{L2 -}

Endo(A2),

_{02 =}

_IdL2

et i :

_LI

y.

_Mu(L2)

l’injection

déduite de

_{81 : Li}

y. et de

_{l’isomorphisme}

naturel

Mu(Endo(A2)).

°

Le

_triplet

_(A2,

_C2,

₀₂₎

_appartient

à une famille

analytique

disons

_E2

in-cluse dans

_S(L2,

_~2,

_p2).

Notons T _{E 93} un

représentant

de

(A2,

C2,

02)

E

S2

-Soit

_l’image

de

_(~2~2,~2)

_par

_{l’injection canonique}

_{E2 y.}

_~i

1.e.

_{A2 ,}

_{81 =}

_Mu(02)

o 1 et

_C~

la

_polarisation

de

_Ai

induite _par

_C2.

On sait

_(voir

_[6]

_page

₈₅₎

_qu’il

existe a’

et

ail

deux nombres

_complexes

ne

dépendant

que de

Ei

et

E2

tel que E

~i

soit

_représenté

_par

Je

_prétends

maintenant

_{que a’}

et

a"

sont des nombres

_{algébriques.}

En

effet,

si

_A2

est à

_{multiplication}

_complexe

alors

_Ai

est aussi à

_{multiplication}

complexe

et les nombres _T,

_{z’, z"}

sont

_algébriques

non nuls.

Par

_{suite z’,}

E ~

si et seulement si

_zï

E

Q.

Comme A’,

on a bien

e(LI’ [AI])1

=

e(Li,

[Al])2

d’après

le lemme 2.5. Il

Jusqu’à

la fin de

_l’article,

nous identifierons B avec

_.fj,

via le

biholo-morphisme

décrit

_{précédemment.}

Nous allons maintenant donner

_quelques

applications

de la

_proposition

3.1.

Lemme 3.2. Soit

_L1

un _corps totalement réel de

_degré

2. Notons

E2 (L1 )

une

famzlle analytiques

incluse dans

paramétrée

_par

D2(Li)

=

_{J3 x b.}

Soit z =

(Zl, z2)

_E .~ _x

Si

tel _que l’un des deux nombres

complexes

_{zl ou} z2 soit

algébriques

l’autre étant

transcendant,

alors la

sur, face

abélienne A

sous-jacente

au

_triplet

associé à z =

(Zl, z2)

_et

_appartenant

à

E2(Li)

_est

simple.

Preuve du lemme 3.2. Raisonnons par l’absurde et supposons

que A

soit

non

_{simple. D’après}

le théorème de réductibilité de

Poincaré,

la variété abélienne A est

_isogène

à

_Af

où

_A,

est une courbe

elliptique.

Comme la situation est redevable de la

_proposition

3.1 et on déduit _que les deux nombres

_complexes

zl et z2 sont soit simultanément

algébriques,

soit simultanément transcendants. Contradiction. 0

Lemme 3.3. Soient

_Ll

une

_algèbre

à division de

_type

II et de

_degré

_8,

et pi une involution

positive sur LI.

Notons

E4 (L1, pi )

une

famille analytique

incluse dans

_{S4 (L1, pl )}

_paramétrée

_par

_{D4 (L1 )}

=

,~ x à.

Soit _z =

(Zl, z2)

_E

Sj x Sj

tel _que l’un des deux nombres

_complexes

Zl ou _z2 est

_algébrique,

l’autre étant

_{transcendant,}

alors la variété abélienne

_sous-jacente

au

_triplet

associé à z =

(Zl,

z2)

_et

_appartenant

à

E4 (L1, pl )

est

simple.

Preuve du lemme 3.3. Raisonnons par l’absurde et supposons

que A

est

non

simple.

Par le théorème de réductibilité de Poincaré A est

nécessaire-ment

_isogène

à où

_A1

est une variété abélienne

simple

de dimension 1 ou 2.

On montre _que le cas

dimAi =

1 est à exclure à l’aide d’un

argu-ment similaire à celui donné au théorème

_précédent.

Ainsi nécessairement

dim A1

=

2,

_et A _est

Connaissant les différentes

_{possibilités}

_pour

_l’algèbre

des

endomor-phismes

d’une surface abélienne et tenant

_compte

du fait _que

Li

s’injecte

dans on déduit _que nécessairement ne

_peut

être

qu’un

corps C.M. de

degré

4 ou une

_algèbre

de

_type

II et de

_degré

4. En

_fait,

il est clair _que

_Endo(Al)

ne

_peut

être un _corps C.M. de

degré

4,

en effet

Ai

serait à

_{multiplication complexe}

et il en serait donc de même _pour la variété abélienne A ce

_qui

implique

en

particulier

_que les nombres

complexes

_zl et z2 sont tous les deux

algébriques.

Absurde.

Ainsi

_L’

= _{est une}

algèbre

à division de

_type

II et de

_degré

4. Comme

_D2(LÍ)

=

Si,

on déduit

_d’après

la

_proposition

3.1 _que les nombres

complexes

zl et z2 sont soit simultanément

algébriques,

soit simultanément

transcendants. Contradiction. 0

Lemme 3.4. Soit

_LI

un _corps C.M. de

_degré

4. Notons

E4(Ll, 1, 1)

une

famille analytiques

incluse dans

_S4(L1,1,1)

_paramétrée

par

D4(Li, 1, 1)

S’oit z =

(Zl, Z2)

_E

fj

tel _que l’un des deux nombres

complexes

zl ou z2 est

_algébrique,

l’autre transcendant. Alors la variété abélienne A

sous-jacente

au

_triplet

associé à z =

(Zl, z2)

et

appartenant

à

E4(L1,1,1)

est

_simple.

De

_plus

L =

End° (A)

_ne

_peut

pas être une

algèbre

à division non commutative de

_type

IV et de

degré

8.

Preuve du lemme

_{3.4. Commençons}

_par montrer _que A est

_simple.

Pour cela raisonnons _par l’absurde et _{supposons que} cela ne soit pas le cas. De la même manière _que

_{précédemment,}

on commence _par vérifier _que A est

isogène

à une

puissance

_pure d’une variété abélienne

simple Ai .

En

effet,

sinon A serait

_isogène

à un

_produit

de deux surfaces abéliennes

_simples

à

_{multiplication complexe,}

ce

_{qui impliquerait}

_que A est à

_{multiplication}

complexe

et les nombres

_complexes

z, et z2 seraient

algébriques.

Il est clair _que le cas

dim A,

= 1 _est à

exclure,

_en effet _et la

situation est redevable de la

_proposition

3.1.

Ainsi nécessairement

_{dim Ai =}

2 et

End’(Al)

ne

_peut

être

_qu’un

_corps totalement réel de

_{degré 2,}

un _corps C.M. de

_degré

2 ou

_4,

une

_algèbre

à division de

_type

II et de

_degré

4. En

_appliquant

une nouvelle fois la

pro-position 3.1,

on voit

qu’il

est

_impossible

_que soit un _corps C.M. de

_degré

2 ou même une

algèbre

à division de

_type

II et de

degré

4. Par

ailleurs,

si

Endo(Al)

est un _corps C.M. de

_degré

_4,

alors

A1

est à

multipli-cation

_complexe,

et il en est donc de _{même pour} A. D’où

_{l’algébricité}

de _zl

et de _z2, ce

qui

contredit les

hypothèses.

Ainsi ne

_peut

être

qu’un

corps totalement réel

Fi

de

degré

2,

et l’élément

(A, C, 0)

E

_1,

₁₎

est

isogène

au carré d’un élément

_appartenant

à

£2(Fi).

Vu le lemme

2.5,

on

peut

même _{supposer que} l’élément

_(A,

C,

o)

E

_{£4 (Li , 1 , 1 )}

est

_isomorphe

au carré d’un élément

_appartenant

à

_{E2 (Fl ).}

De

_plus,

on sait

d’après

[6]

_page 85

_qu’il

existe

(al,

_bl,

a2, b2)

un

par T =

(Ti, T2)

alors le carré de cet

élément,

vu comme un élément de

_E4(L1,1,1),

est

_représenté

_{par z} =

(z, (7-), z2(T))

_E

Si

x

_i)

où

Notons

La matrice M ne

_peut

_pas être inversible.

Sinon,

il existerait T

x fj

tel _que

_(Zl

_(T),

_z2

_(T))

E

ij

x

_Sj

soit un

_{point générique}

_pour les fonctions

fi, ... , fx

définies au théorème 3 de l’article de

[8]

_{page 169 relativement} à la famille

_analytique

_E4(Ll,1,1).

Par le

_préambule

du

_§4

_{page 176 de} l’article de

_[8],

l’élément

_{(A, C, 0)}

E

_E4(Ll,1,1)

associé à

_{(zl(r),z2(r))}

est

générique.

Or

_d’après

_{le théorème 5 page 176 de l’article de}

_[8],

on déduit

que

Ll.

Ce

qui

prouve en

particulier

_que la variété abélienne A est

_simple.

Contradiction. Ainsi la matrice M E

_M2(Q)

est

_singulière,

et par suite

Les

_quatre

nombres

_algébriques

_{al, a2,}

_bl

et

_b2

ne

_peuvent

être tous nuls. D’où les nombres

_complexes

zl et z2 sont soit simultanément

algébriques,

soit simultanément transcendants. Nous obtenons donc une nouvelle

contra-diction.

_Ainsi,

la variété abélienne A est

_simple.

Supposons

maintenant que L =

End° (A)

soit _une

algèbre

à division _non

commutative de

_type

IV et de

_degré

8. Alors comme on

déduit, d’après

la

_proposition

3.1 que les nombres

complexes

zl et z2 sont

soit simultanément

_{algébriques,}

soit simultanément transcendants. Ce

_qui

est

_impossible.

CI

4. Contrôle de

_{l’algébricité}

de z

Soit n un entier strictement

_positif,

A une variété abélienne de dimension

n définie sur C. Notons n E une matrice des

périodes

rationnelles de A

_(i.e.

obtenue à

_partir

d’une base du

_Qespace

vectoriel D _0~

_Q).

On

notera dans tout ce

qui

suit :

et

Alors

_Vn

est un

tGsous-espace

vectoriel de

Vc

de dimension n. Nous avons démontré dans

[3]

le résultat suivant :

Théorème 4.1. Si la vdriété abélienne

_simple

A de dimension n est

_définie

sur

_Q,

alors la codimension du

plus petit C-sous-espace

vectoriel de

Vc

contenant

_Vn

et

_{défini sur Q}

est

_égale

à

_en.

Référence.

Voir le théorème

_principal

2.2

_figurant

dans

_[3]

à _{la page 22. CI} Le corollaire

_qui

va suivre se trouve dans

_[4].

Par commodité _pour le

lecteur,

nous

reproduisons

une _preuve. Il convient d’autre

_part

de

rappeler

que tout

point

d’un domaine

symétrique complexe

de dimension nulle est

un

point algébrique

de ce domaine.

Corollaire 4.2. Les notations étant celles du

_préambule,

soit

_(A,

_C,

₀₎

un élément de

_{E(Ti, Mi)}

tel _que A soit une variété abélienne

simple définie

sur

Q. Alors,

si z =

(zl, ... ,

zl)

_E est un

_{représentant}

de la classe

(z~

E associée à

_{(A, Ci 0)}

E on a :

B~ /

où

_E(x)

_désigne

la

_partie

entière du nombre x.

En

_particulier,

si 0 réalise un

isomorphisme

entre

Ll

et

EnJ1(A),

alors

pour tout indice v

_compris

entre 1 et _g tel _que

_{dim v}

&#x3E; 0 on a

zv e

Preuve du corolldire

_l~.2.

Soit

_{(ll,..., l8)}

une base de

LI

sur

Q.

Posons

Notons 0

_{= t(SZ1, ... , SZ91) -}

E

_{Mn 2n (C)}

la matrice des

périodes

ainsi obtenue et I

_{= ~ v}

_{E ~ 1, ... ,}

ZII E

-5 (~&#x3E; 1 ) (U) 1.

On a

vn c W, où

De

_plus

le

_{C-sous-espace}

vectoriel

_Wl

de

_{M2n,1 (C)}

est défini

_sur

_(puisque

011

E

_{MA 2n(Q)}

pour tout v E

I )

et est de

codimension gn Card(I).

D’après

91 9

le théorème 4.1 on déduit

9 n,

i.e.

Card(I)

0

5.

_Applications

Théorème 5.1. Soient

_Ll

une

algèbre

à division de

_type

II et de

degré

8,

et pi une involution

_positive

sur

Ll.

Désignons

_par

S4 (Li, pi)

une

fa-mille

_analytique

d’éléments de

_{S4(L1, pl)}

_paramétrée

_par

_Si

x

_si.

Soit z =

(zi, z2) e Sj

x Sj

tel _que l’un des deux nombres

_complexes

zl ou z2 soit

algébrique,

l’autre transcendant. Alors le

_triplet

_(~1,C,C)

associé à z et

appartenant

à

_E4(Li,pi)

n’est _pas

_défini

sur

Q,

ou ce

_qui

revient au même

Avant de démontrer ce théorème nous avons besoin du résultat suivant :

Lemme 5.2. Soit A une variété abélienne

simple

de dimension n

définie

sur C. S’il existe une

sous-algèbre

Ll

de L =

End° (A)

de

degré

2n alors

Li

= L.

Preuve du lemme 5.2. Ce résultat résulte du fait _que d’une

_part

_DQ

est un

L-espace

vectoriel,

et que d’autre

part

_dimo

DQ

= 2n. D

Preuve du théorème 5.1. On

_sait,

d’une

_part

_que A est

_{simple d’après}

les résultats du

_paragraphe

3 et d’autre

_part

que

O(Li) =

par le

lemme 5.2.

_

Il est clair _que le

_triplet

_{(A, C, 8)}

E

_E4

_(Li,

_pi)

ne

_peut

être défini sur

_~.

En

_effet,

si tel était le cas la variété abélienne A serait définie sur

_Q,

et le corollaire 4.2 fournirait la transcendance des nombres

_complexes

_{z, et z2.}

D’où le résultat annoncé. Il

Théorème 5.3. Soit

_Li

un _corps de nombres totalement réel de

degré

2.

Désignons

par

S2 (Ll)

une

famille anal ytique

d’éléments de

S’2 (L1 )

paramé-trée x

_Sj.

Etant donné z =

(zl, z2)

_E

3j

_x

Sj

tel _que l’un des deux

nombres zl ou _z2 soit

_algébrique

et l’autre

_{transcendant,}

le

_triplet

_(A,

_C,

₀₎

associé à z et

_appartenant

à n’est _pas

_{d éfini}

sur

Q,

ou ce

_qui

revient au même

Preuve du théorème 5.3.

_D’après

les résultats du

_paragraphe

_3,

on sait que

la variété abélienne A est

_simple.

Raisonnons _par l’absurde _{et supposons}

que le

triplet

(A,

C,

0)

est défini sur

Q.

Par le corollaire

4.2,

on sait _que

_{0 (Ll)}

s’injecte

strictement dans

_End°(A).

D’où _pour des raisons de dimension le

degré

de

_End°(A)

est

_égal

à 4. En

_appliquant

une nouvelle fois le corol-laire 4.2 on déduit _que nécessairement c &#x3E; 0 et donc que

End°(A)

est une

algèbre

de

_type

IV. Ainsi

_{[EndO(A) : Z(End(A»]}

= 1 _ou 2. Mais _comme la

dimension d’un corps

gauche

sur son centre est un carré

_parfait,

on déduit

que

[End° (A) : Z(End’(A»]

=

1,

i.e.

End°(A)

=

Z(Endo(A)).

Par suite A est une variété abélienne de

_type

_{C.M., z}

est un

_{point spécial}

du domaine

à

x

_Sj

et les nombres

_complexes

_{zl et z2 sont tous} les deux

_{algébriques,}

ce

qui

fournit une contradiction et prouve le résultat annoncé. c

Théorème 5.4. Soient

Ll

un _corps C.M. de

degré

4 et

E4(L1,1,1)

une

famille analytique

de

_triplets

incluse dans

_S4(Ll,1,1).

Etcant donné z =

(zl, z2) E

fj

x

_J3

tel _que l’un des deux nombres

_complexes

_zl ou _{z2 est}

algébrique

et l’autre

_{transcendant,}

le

_triplet

_(A,

_C,

₀₎

associé à z et

appar-tenant à

_{E4 (L1,1,1)}

n’est _pas

_défini

sur

Q,

ou ce

qui

revient au même

Preuve du théorème

_5.4.

_D’après

le

_paragraphe

_3,

on sait que la variété

abélienne A est

_simple.

Raisonnons _par l’absurde et _{supposons que} le

_triplet

(A,

C,

9)

soit défini sur

Q.

Par une double

_application

du corollaire

4.2,

on sait _que

_End°(A)

est une

_algèbre

à division de

_type

IV et de

_degré

8 sur

Q.

L’algèbre

End°(A)

est alors nécessairement commutative

_d’après

le lemme 3.4. Par suite la variété abélienne A est à

_{multiplication complexe}

et les nombres

_complexes

z, et z2 seraient tous les deux

_{algébriques.}

Ceci fournit

une contradiction et _prouve le résultat annoncé. Il

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Geonroy DEROME

Université des Sciences et _Technologies

Bâtiment M2

59655 Villeneuve d’Ascq, France E-mail : _{deromeGagat.univ-lille1.fr}