+= Re)15.01(Re24C Re24 = C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−= )1(. gsDD 34Re = DC −= )(21 gVSUC

(1)

Vitesse de Sédimentation particulaire

Pour des particules de masse m, de masse volumique ρP, de volume V tombant ou remontant à une vitesse constante U dans un fluide au repos de masse volumique ρF la force de traînée induite par la répartition de pression statique et les forces visqueuses contrebalance l’effet de la force de gravité (le poids mg) et de la poussée d’Archimède.

gV S

U

C

_D _F

(

_P _F

) 2

1 ρ

₂

= ρ − ρ

Pour une sphère de diamètre D : S= π.D²/4 et V = πD³/6

Et on définit alors un nombre de Reynolds sans dimension Re = U.D/ν , où ν est la viscosité cinématique du fluide

L’analyse dimensionnelle révèle que le coefficient de traînée CD ne dépend que du nombre de Reynolds Re.

On montre facilement que :

3

* 2

3 Re 4 D

C

_D

=

où

3 / 1 2

*

( 1 )

. ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ −

= ν

g D s

D

et un diamètre sans dimension et

F

s P

ρ

=

ρ

densité relative

Pour des particules de Stokes (Re «1):

Re

= 24 C

D

Un lissage empirique de Schiller and Naumann, 1933, (pour Re < 800) donne :

687 . 0

D

( 1 0 . 15 Re)

Re C = 24 +

Variables

CD = coefficient de traînée

U = vitesse de sédimentation (settling velocity) D = particle diameter

S = Surface projetée de la particule (particle projected area ) V = volume de la particule

g = acceleration due to gravity ν = viscosité cinématique du fluide References

Cheng, N.-S., 1997, A simplified settling velocity formula for sediment particles, ASCE J. Hydraulic Engineering, 123, 149

(2)

Cas des faibles nombres de Reynolds, particules à comportement Stokien Equation du mouvement d’une particule dans un fluide de vitesse

u

_f :

2

4 1 3

^D _r

p f p

f

p

u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ ⎟ ⎟ −

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

=

où

u

_r

= u

_p

− u

_f est la vitesse de glissement de la particule

Dans un fluide au repos

u

_f est nul.

A l’équilibre, dans un fluide au repos

u

_r

= u

_p

, u

_f

= 0

4 0

1 ⎟ ⎟ − 3

²

=

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

=

^D _r

p f p

f

p

u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ

Et la vitesse terminale U de la particule vaut :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= 1

3 4

f p

CD

g D

U

ρ

Pour des nombre de Reynolds particulaires faibles

Re = Du

_r

ρ

_f

/ μ < 1

Re

= 24

C

D et la force de traînée est F =3

πμ

Du_r traînée dite visqueuse, due à la couche limite laminaire et à la répartition de pression autour de la sphère :

) 18 (

2

f p

U gD

ρ ρ

μ

⁻

=

Exemple de vitesse de chute terminale d’une sphère de verre (ρ_p = 2500kg/m³) tombant dans de l’air (ρ_f = 1,2 kg/m³, μ = 1,7 10^-5 kg/ms) :

D = 50 μm → U = 0,20 m/s, Re = 0,71 dominance visqueuse D = 500 μm → U = 17,59 m/s, Re = 6209 dominance inertielle

(3)

Coefficient de traînée C_D

Pour les écoulements à grand nombre de Reynolds on introduit souvent le coefficient de traînée CD (sans dimension). La force de traînée est définit par

D

U SC

F

²

2 1 ρ

=

, CD = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et S = πR²

où S est la section de l’objet et FD la force de traînée (drag en anglais, d’où le sigle D). En identifiant le coefficient de traînée avec l’expression de la force de Stokes F_D =3

πμ

DU , on trouve :

Re

= 24 C

D

où le nombre de Reynolds Re est calculé sur le diamètre (D = 2R) de la sphère. La figure ci-dessous montre que l’expression de la force de Stokes est une bonne approximation de la force de traînée jusqu’à Re ~ 1.

Au delà, la correction analytique d’Oseen permet d’écrire à l’ordre suivant (Re ≤ 5) :

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= Re

16 1 3 Re 24 C

D

A plus haut nombre de Reynolds encore on peut trouver d’autres formules empiriques pour C^D.

(4)

Une sphère unique placée dans un fluide va sédimenter si sa densité est supérieure à la densité du fluide.

Après une phase initiale d’accélération, elle va ensuite sédimenter à sa vitesse limite de chute. La valeur du nombre de Reynolds calculé avec cette vitesse de chute va permettre de savoir si c’est un vitesse de chute visqueuse ou inertielle. Dans le premier cas il y a égalité entre le poids apparent (poids corrigée de la poussée d’Archimède) et la force de Stokes :

Stokes F

S

ρ g π R πμ RU

ρ 6

3 ) 4

( −

³

=

soit

.

²

9 2 g R

U

_Stokes

μ ρ

= Δ

avec

Δ ρ = ρ

_S

− ρ

_F . Cette vitesse limite de chute est dite vitesse limite de Stokes. Elle est proportionnelle au carré du rayon, donc les grosses particules sédimentent plus vite. Ce résultat reste vrai même si les particules ne sont pas parfaitement sphériques.

En réalité, les toutes petites particules (~ 1 μm) dites particules colloïdales ou particules browniennes ne sédimentent pratiquement pas à cause de l’agitation thermique (la vitesse aléatoire moyenne devient supérieure à la vitesse de sédimentation).

Pour que le nombre de Reynolds de chute soit petit et que l’on puisse utiliser la formule de la force de Stokes il faut :

1 .

9. 4

Re 2 ₂

3 <<

= Δ

=

ρ ν

RU_Stokes gR

soit ³

1 2

. 4 .

9 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

<< Δ

R ν g

ρ ρ

Si maintenant beaucoup de particules sédimentent ensemble, le calcul de la vitesse de sédimentation se complique nettement (il n’est d’ailleurs pas résolu à ce jour). En effet il existe des interactions collectives (à N corps) car le champ de vitesse autour d’une particule décroît lentement (en 1/r) et des effets dus à la taille finie du récipient (effet de paroi). De fait la sédimentation d’un grand nombre de particules crée un contre- écoulement du fluide vers le haut qui ralentit leur chute (une jolie démonstration en est l’effet Boycott observé lorsque l’on incline le récipient). La vitesse est alors une fonction de la concentration en particules : – A faible Reynolds, Albert Einstein (1905) a donné le premier terme correctif à la vitesse limite de chute dépendant de la concentration c en particules : Vlim ≈ VStokes [1 − 6, 55 c].

– Au-delà, on utilise la loi empirique de Richardson-Zaki, Vlim ≈ VStokes [1 − c/cmax]ⁿ où n ≈ 5, mais dépend du nombre de Reynolds et cmax est la compacité maximum, de l’ordre de 54 % pour un empilement aléatoire lâche de sphères identiques.

(5)

Extrait du projet Face de l’Institute of Energy Technology (Lasse Rosendahl, Aalborg University)

Dans un fluide au repos

2

4 1 3

^D _P

p f p

P f

u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ ⎟ ⎟ −

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

=

Si le nombre de Reynolds est faible,

f P

D u D

C

ρ

μ

24 Re

24 =

= et la force de traînée est F =3

πμ

Du_P,

(6)

Compléments sur la chute ‘libre’

· Le secret des longs drives / Balles de golfs

Aérodynamique des balles de sports (R. Mehta, NASA) http://widget.ecn.purdue.edu/~me610/balls.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Balle_de_golf

http://www.linternaute.com/imprimer/science/divers/pourquoi/06/balles-golf/balles-golf.shtml http://www.linternaute.com/science/divers/pourquoi/06/balle-rebond/balle-rebond.shtml

. Magnus et les balles qui tournent

Carlos 1.mov

http://physicsweb.org/article/world/11/6/8 http://www.real-page.de/videos.htm

· Stokes et la sédimentation

Une vidéo sympa issue de l’équipe d’Elisabeth Guazelli (dite Babette), Directrice de Recherches au CNRS, IUSTI Marseille, Responsable de l’équipe Ecoulements de Milieux Granulaires, équipe très performante

http://www.editions-belin.com/illus/2006/3557t_spheres.mp4

document E. Guazelli (IUSTI ; Marseille) t_spheres.mp4 (3464 ko)

Brady J.F. and Bossis G., « Stokesian dynamics Ann. Rev. », Fl.Dyn . 20 111 (1988) R. Blanc et E. Guyon, « La physique de la sédimentation », La Recherche 22, 866 (1991)

La chute tortueuse des feuilles mortes

http://dragonfly.tam.cornell.edu/

Site de Hans Herrmann (anciennement à Stuttgart, à présent au brésil) Un film numérique sur la chute de corps ovales (analogie avec une feuille) http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/filmOblate.mpg

Un excellent film d’expérience de sédimentation

http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/suspension_teil.mpa http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/sedimentation.html

Un excellent film d’expérience de sédimentation (Hans Herrmann) http://www.ica1.uni-stuttgart.de/~hans/suspension_teil.mpa