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TURBULENCE DANS LES TOKAMAKS
A. Samain
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TURBULENCE DANS LES
TOKAMAKS
A. SAMAIN
Association EURATOM-CEA sur la fusion
Département de Physique du Plasma et de la Fusion Contrôlée Centre d7Etudes Nucléaires, BP 6,92260 Fontenay aux Roses, France
Résumé. - Les coefficients de transport dans les Tokamaks ne peuvent pas être justifiés par le seul effet des collisions coulombiennes. Une turbulence capable de produire ces coefficients est donc présente dans le plasma. Une hypothèse plausible est qu'elle consiste en des modes de dérive. A de tels modes correspondent des fluctuations de densité, qui ont été effectivement détectées en mesurant la diffusion qu'elles apportent à un faisceau de microondes. Le flux de chaleur à travers les surfaces magnétiques induit par les modes semble cependant inférieur à la valeur réelle déduite du bilan énergétique du plasma. Un autre type de turbulence détecté expérimentalement consiste en des disruptions qui tendent à aplatir pendant un temps très court le profil de température de part et d'autre de certaines surfaces magnétiques et qui sont responsables d'une part notable du flux d'énergie anormal dans la région centrale du plasma. L'ensemble des faits expérimentaux tend à montrer que les disruptions consistent en une connection radiale transitoire des lignes de flux.
Abstract. - The transport coefficients in Tokamaks cannot be explained by Coulomb collisions only, and a turbulence must be present to produce these coefficients. Such a turbulence could consist of drift waves, which induce density fluctuations which have been effectively detected through the diffusion of microwaves. The heat flux which may be calculated from the experimental data seems however to be small compared to the flux wkiich results from the energy balance of the plasma. Another type of turbulence which has been observed experimentally consists of the disruptions which tend to flatten the temperature profile on each side of specific magnetic surfaces. These dis- ruptions are responsible for a significant part of the heat flux in the central region of the plasma. From the experimental data, the disruptions appear to be due to a transient radial connection of the flux lines.
1. Introduction.
-
Une ligne de recherche fonda- mentale en vue de réaliser la Fusion Contrôlée est de comprendre le mécanisme des pertes des plasmas confinés par des configurations magnétiques. Beau- coup d'efforts dans ce sens ont été consacrés aux configurations Tokamak. Il est reconnu depuis long- temps que dans ces configurations les coefficients de transport pour l'énergie des électrons diffèrent nota- blement de leur valeur classique due au simple effet des collisions coulombiennes. Le flux d'énergie électro- nique4,
à travers les surfaces magnétiques (Fig. l), tel qu'il ressort du bilan énergétique :4,
= Puissances Joule-
Puissance rayonnée-
Puissance cédée par les électrons aux ions, est environ 50 fois plus élevé que la valeur classique [l], [2]. Le bilan du nombre des particules indique que le flux
4
d'électrons, et le flux ambipolaire d'ions, est anormal d'un facteur analogue. La valeur classique du flux4,
est environ 50 fois plus faible que la valeur classique du flux +,i d'énergie ionique et une anomalie d'un fac-teur 50 pour le flux
4,
a la même signification au plan du bilan énergétique général du plasma qu'une anoma- lie d'un facteur 2 pour le flux4Ei.
Une telle anomalieplan
[xe magnétique
,surface magnétique plasma
1-
axe principalFIG. 1. - Géométrie de la configuration Tokamak.
est plausible, mais ne ressort pas de façon certaine du bilan énergétique des ions.
L'anomalie constatée pour le flux
4,
indique qu'une turbulence est présente dans le plasma. Un recours à la théorie est évidemment nécessaire pour chercher les modes d'oscillation instables du plasma qui pourraient en être la cause. Une première catégorie est constituée par les modes de dérive qui se traduisentC3- 172 A. SAMAIN
par l'existence d'un potentiel électrique t,b fluctuant et qui, par la dérive électrique qu'ils imposent aux élec- trons et aux ions, peuvent induire des flux de parti- cules et d'énergie anormaux. Ces modes font appa- raître des fluctuations 6n de la densité électronique n liées très simplement à t,b
où e et T sont la charge et la température électroniques. De telles fluctuations de densité ont été récemment mesurées, en particulier sur la machine TFR de Fonte- nay-aux-Roses, par la diffusion qu'elles apportent à un faisceau de microondes [2], [3] Elles correspondent
à peu près aux prédictions théoriques en ce qui concerne les fréquences, les nombres d'ondes et aussi la distribution de l'intensité des fluctuations sur les diverses surfaces magnétiques (calculées par un modèle non linéaire à Fontenay-aux-Roses par C. Renaud et
k.
Gravier). Cependant le flux de chaleur à travers les surfaces magnétiques que l'on peut calculer à partir du niveau mesuré des fluctuations semble nettement plus faible que le flux qui résulte du bilan thermique. Le premier objectif de cette note est une discussion de ce dernier point.D'autres modes instables théoriquement prévus sont les modes tearing qui peuvent prendre place au voisinage des surfaces magnétiques résonnantes (Fig. 1) où le facteur de sécurité q, c'est-à-dire le rapport du nombre de grands tours d'une ligne de flux au tour de l'axe principal au nombre de petits tours autour de l'axe magnétique a la valeur 1,2, 3,
.
..
Ces modes font apparaître des îlots magnétiques, c'est-à-dire des domaines où les lignes de flux, au lieu de s'enrouler autour de l'axe magnétique pour former une surface magnétique normale, s'enroulent autour d'une ligne de flux fermée de la surface magnétique résonnante. Ces îlots établissent ainsi une connection radiale des lignes de flux qui dégrade évidemment le confinement. Cependant leur extension radiale est le plus souvent faible par rapport au rayon du plasma et dans ces conditions leur influence, bien que localement très importante, est négligeable pour le confinement dans sa globalité. Récemment cependant [4], [5], [6], il a été constaté que ces îlots pouvaient brusquement entrer dans une phase d'activité qui produit, en un temps très court, un certain aplatissement du profil de. tempéra- ture électronique de part et d'autre de la surface réson- nante, sur une distance radiale de l'ordre du rayon de cette surface. Ces disruptions, comme on les appelle, influencent de façon notable le bilan énergétique dans la zone centrale du plasma. Nous nous proposons de les étudier dans le paragraphe 3 de cette note. Il existe peut-être dans le plasma, en plus des modes de dérive et des disruptions, d'autres formes de turbu- lence qui augmentent le transport d'énergie et de matière à travers les surfaces magnétiques. Dans les conditions normales d'existence des plasmas Toka-mak, cependant, de telles turbulences ne sont prévues
à ce jour par aucun schéma théorique et n'ont pas été détectées. Par contre, en présence d'une population importante d'électrons runaway (accélérés jusqu'à des énergies très importantes par effet bêtatron), des variations très anormales de la fonction de distri- bution des électrons suggèrent que des modes instables du type de Langmuir sont présents dans le plasma [7]. Des ondes à une fréquence de l'ordre de la fréquence cyclotronique des ions sont aussi rendues instables quand un chauffage par injection de particules énergiques est réalisé.
2. Modes de dérive. - L'analyse la plus simple des modes de dérive concerne un potentiel électrique de la forme
t,b = exp(- iot) exp(i(l8
+
mcp)) $,(r)+
Comp. Conj. (2) où 8 et cp sont des coordonnées angulaires autour de l'axe magnétique et de Saxe principal, respectivement (Fig. l), r est la distance à Saxe magnétique et 1, m sont des entiers. Le mode a un nombre d'ondes K, = l/r dans la direction transverse au champ magnétique B, sur les surfaces magnétiques. Compte tenu que le long d'une ligne de flux sur la surface magnétique spécifiée par r nous avons 8 = cp/q(r), où q(r) est le facteur de sécurité sur cette surface, le mode a un nombre d'ondes parallèlement au champment pas le processus d'échange que subissent les électrons piégés. Dans ces conditions, sur chaque surface magnétique, la population des particules piégées n'est pas en équilibre thermodynamique avec la population des particules non piégées. Les collisions rétablissent partiellement l'équilibre au prix d'une augmentation d'entropie. Le calcul montre que la puissance W cédée en moyenne par le mode aux électrons piégés d'énergie E sur une surface magné-
tique r est de la forme
est la vitesse diamagnétique pour ces particules,
et vC,, est le taux de collisions des électrons à la vitesse thermique. En fait si la longueur d'onde 2 n/K,, du mode le long des lignes de flux est inférieure à l'amplitude
-
2 nqR du mouvement longitudinal des électrons piégés, ces derniers intègrent eux-mêmes la dérive électrique et leur interaction irréversible avec le mode est diminuée : la quantité y(&, r) dans (4) prend alors la valeurjusqu'à ce que la puissance cédée par le mode à la population électronique rejoigne la valeur qui corres- pond à l'effet de résonance Landau. Dans les situations expérimentales, cette dernière est négligeable. La fonction w,(E, r) est donc localisée sur les surfaces magnétiques où KII qR
<
1, c'est-à-dire, compte tenu de (3), au voisinage de la surface de rayon r = r, tel quedans un intervalle
r
-
r, c A,r (Kg dq(r)/q 2r)- l wK;
.
Le mode transporte la puissance
-
W qu'il reçoit des électrons piégés dans cet intervalle jusqu'aux surfaces magnétiques où la condition w<
KII Vthi est réalisée et où les ions jouent un rôle absorbant. Il se propage ainsi dans un intervalle (r-
r,) < A,r où A2r (qR1
r) pthi et pthi est le rayon de Larmor moyen des ions [9]. Dans le cas où K, p,,,-
1, qui est celui des fluctuations mesurées dans la machine TFR, nous avonsFIG. 2 . - Structure de la fonction $ , ( r ) dans le cas où K, et,,
-
1. La figure 2 donne schématiquement la structure du mode dans ce cas.Les électrons piégés d'énergie E sur la surface
magnétique r reçoivent du mode, par unité de temps une quantité de mouvement p, dans la direction toroïdale cp, liée à la puissance W par la relation
Cette quantité de mouvement doit être équilibrée par la force de Laplace eB, Vr/c correspondant à un mouvement radial de ces particules à la vitesse moyenne VI à travers la composante Bo du champ magnétique dans la direction poloïdale 8. De l'égalité (eB,/c) VI -k pp, = O, on déduit V, et les flux moyens d'électrons $(r) et d'énergie électronique &(r) induits par le mode à travers la surface magnétique r
où &) d~ dr est le nombre d'électrons piégés dans le domaine d~ dr.
En réalité une turbulence de dérive n'est pas une superposition de modes indépendants de la forme (2) mais plutôt une superposition de modes indépendants de la forme
iI/
= exp( - iwt) exp imcp $,(r) exp(il8) (6)1
C3-174 A. SAMAIN de $,(r) par la translation r,,, - r,. Si Ko pthi
-
1, nous avons r,,, - r,-
p,,-
A1r. Il est possible de montrer que le flux4,
induit par le mode (6) a alors la formeD'autre part la fluctuation de potentiel ((
SI2
))i,l,2/,
observée au point r, û = z/2 est donnée par
Compte tenu de la relation (l), on peut en fait cal- culer le flux &(r) induit par une turbulence composée de modes de dérive, si on connaît la fluctuation de la densité ( 6n2 ),,/, au point r, 0 = 7112 et le nombre d'ondes moyen Ko. On trouve, pour K,pthi
-
1où pthe et Vthe sont le rayon de Larmor et la vitesse thermiques des électrons. Des valeurs expérimentales ( 6n2 ) et Ko dans la machine TFR, on déduit que la valeur de K(r) est maxima pour r = 10 cm et vaut alors 100-200 cm2/s. Cette valeur est nettement plus faible que la valeur 2-3 x IO3 cm2/s résultant du bilan thermique. Il est encore trop tôt pour décider si cet écart est définitif, mais les mesures donnent néanmoins un indice que les modes de dérive pour- raient dans ce cas ne pas jouer un rôle important dans le bilan thermique.
3. Disruptions. -La mesure du flux de rayons X mous émis par le plasma permet de suivre à chaque instant le profil de température électronique. On constate, dans la région centrale, que le signal a une forme en dents de scie (Fig. 3) qui indique que la température T, tout en restant constante en moyenne, subit des brusques variations (10
%
sur l'axe magnéti- que), pendant des intervalles de temps 6t-
100 ps et des variations lentes opposées pendant des inter- valles de temps At-
2 ms. Le signe des variations de T pendant le temps 6t des disruptions est < O pour r < r, et>
O pour r>
r,, où r, est approximative- ment le rayon de la surface magnétique où q = 1 (c'est-à-dire où les lignes de flux font un grand tour pour un petit tour). Le profil de température (qui bien entendu présente un maximum sur l'axe magnétique) s'aplatit donc un peu de part et d'autre de cette sur- face pendant les disruptions et se régénère pendant les intervalles At entre deux disruptions. Un tel apla- tissement implique évidemment qu'un flux de chaleur anormal $, prend place à travers les surfaces magnéti- ques. Les mesures montrent que le coefficient dedétecteurs
Lignes de visée
surface r.5 OU q=i
'"-;?%
FFIG. 3. - Signal en dents de scie du signal de rayons X mous émis
par la décharge.
transmission de chaleur K(4, =
-
Kn VT) pendant les disniptions est environ 30 fois plus élevé qu'en moyenne au cours du temps (c'est-à-dire environ IO3 fois plus élevé que la valeur classique due aux collisions). L'exaltation de K n'a cependant pas lieu dans tout le plasma mais seulement dans la zone r<
2 r,. Dans cette zone les disruptions sont respon- sables d'une perte notable (mais pas de la totalité) du flux moyen qui justifie le bilan énergétique des électrons.Des disruptions analogues peuvent être observées de part et d'autre de la surface résonnante r = r, où q = 2 (2 grands tours pour un petit tour). Elles apparaissent alors généralement de manière isolée dans le temps, de sorte qu'on ne peut pas leur associer un flux de chaleur radial en moyenne au cours du temps. A la fin de ces disruptions, c'est-à-dire quand l'aplatissement du profil de température est achevé, il apparaît au bord du plasma une violente impulsion de tension électrique autour de l'axe principal [IO]. Une telle impulsion n'est généralement pas observée à la fin des disruptions associées à la surface r = r,, dont l'effet n'atteint pas le bord du plasma. Dans le cas des disruptions de part et d'autre de la surface r = r,, qui sont plus lentes que celles associées à la surface r = r,, on peut détecter que l'aplatissement du prof3 de température est progressif à partir de la surface r = r,. Le lien entre les disruptions et les surfaces résonnantes r = r,,, est corroboré par le fait que les disruptions sont précédées par l'apparition d'îlots magnétiques sur ces surfaces (Fig. 4). Ces
région où Les surfaces magnétiques ont surface r =
5
topologie normale où q=l ilot r surf m e r où q = 2-
axe magnétique séparatrice 0 ) bFIG. 4. - Section par un plan méridien des surfaces magnétiques en présence d'îlots : a) au voisinage de la surface r = r , où q = 1 ;
îlots peuvent être détectés par leur effet magnétique a l'extérieur du plasma et par des anomalies sur le signal de rayons X mous. Ils peuvent exister longtemps avant la disruption, mais leur épaisseur est faible et ils ne dégradent pas le confinement du plasma. Il est plausible qu'ils constituent le germe des disruptions. L'impulsion de tension électrique au bord du plasma à la fin des disruptions associées à la surface
r = r , indique une brusque variation 6Y du flux poloïdal (du champ poloïdal Bo) embrassé par la surface magnétique qui limite le plasma. Il est plau- sible que le flux Y(x) au point x varie d'une quantité du même ordre dans la masse du plasma. On peut montrer que l'intégrale
dans un domaine où les lignes de flux sont fermées (éventuellement après une très longue excursion) est proportionnelle a l'intégrale
où E(x) est le champ électrique parallèle aux lignes de flux. Cette dernière intégrale est nulle à des effets de résistivité près, négligeables pendant le temps très court des disruptions. Les lignes de flux ne peuvent donc pas pendant les disruptions être enroulées exac- tement sur des surfaces magnétiques : elles doivent au contraire décrire ergodiquement un domaine ayant une extension radiale finie, à l'intérieur duquel la variation 6Y(x) prend des valeurs positives et néga- tives de façon que l'intégrale
soit nulle. Il est plausible que ce domaine encadre la surface magnétique r = r , ou r = r,, et en fait que la variation 6Y soit > O pour r > r , , , (comme l'indi- que le signe de la tension observée au bord du plasma) et < O pour r
< r,,,.
On peut montrer qu'en présence du profl habituel de densité de courant à l'équilibre (décroissant de l'axe magnétique au bord du plasma), une variation de ce type libère une partie de l'énergie magnétique initialement présente dans le plasma.Une connection radiale des lignes de flux et une variation 6Y(x) conformes à ce schéma seraient réa- lisées si les disruptions consistaient en une croissance des îlots magnétiques initialement présents, qui envahi- raient un domaine étendu de part et d'autre de la surface résonnante. Cette possibilité ne peut pas être retenue, cependant, en particulier parce qu'une telle
[l] EQUIPE TFR, Proceedings of the VIth European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Moscou (1973).
croissance des îlots est impossible pendant le temps très court des disruptions, du fait de la faible résis- tivité du plasma qui gèle presque complètement les lignes de flux. Cette contrainte impose en fait que la connection radiale des lignes de flux pendant ies disruptions est réalisée par une turbulence magné- tique (transverse au champ à l'équilibre B) ayant une échelle transverse de corrélation faible. Le flux de chaleur pendant les disruptions est alors dû au mou- vement thermique des électrons le long des lignes de flux connectées radialement.
La question se pose évidemment de savoir comment une telle turbulence peut prendre place dans une large zone du plasma à partir des îlots initialement pré- sents sur la surface résonnante. On peut montrer que la séparatrice de ces îlots pourrait être instable et devenir le siège de tourbillons magnétiques ayant une faible échelle transversale 6. Cette première génération de turbulence tendrait alors à aplatir le profil de densité de courant (prise en moyenne à l'échelle 6) comme indiqué sur la figure 5. La variation de la
1 initial
courants
domaine images
turbulent
FIG. 5. - Densité de courant 1 dans le plasma, variation
61 = 1 - Ii,,,i,, dans le domaine turbulent et courants images de la variation 61 à la frontière du domaine turbulent et du domaine
non perturbé.
densité de courant dans la zone turbulente créerait à la frontière de cette zone avec le plasma non perturbé (que l'on peut considérer comme un conducteur par- fait) des courants images très localisés sur cette frontière. Une telle configuration est violemment instable et pourrait engendrer une nouvelle généra- tion de tourbillons magnétiques. De proche en proche la zone turbulente pourrait ainsi envahir explosive- ment le plasma de part et d'autre de la surface réson- nante. Le phénomène doit cesser si la zone turbulente atteint l'axe magnétique ou le bord du plasma (dans ce dernier cas, le courant image apparaissant à la frontière du plasma se traduit par une impulsion de tension
< O
autour de l'axe principal). On peut cal- culer sur ces bases [Il] des durées pour le phénomène de disruption et des flux de chaleur associés compati- bles avec les données expérimentales.C3- 176 A. SAMAIN
[3] KOECHLIN, F., GLAUDE, V., HOW, J., J. Physique Colloq. 38 [7] EQUIPE TFR, Nucl. Fusion 16 (1976) 3.
(1977) C3. [SI KADOMTSEV, B. B., POGUTZE, O. P., SOV. Phys. JETP 24 (1967)
[4] VON GOELER, S., STODIEK, W., SAUTHOFF, N., Phys. Rev. Lett. 1172.
33 (1974) 201.. [9] PEARLSTEIN, L. D., BERK, H. L., Phys. Rev. Lett. 23 (1969)
[5] EQUIPE TFR, Proceedings of the VIth European Conference 220.
on Controlled Fusion and Plasma Physics, Lausanne [IO] HOSEA, J. C., BOBELDIJK, C., GROVE, D. T., Proceedings of the
(1975), Vol. 2, p. 1. IVth Conference on Plasma Physics and Controlled
[6] EQUIPE TFR, Note IAEA CN/35/B14, VIth Conference on - Nuclear Fusion Research, Madison (1971), IAEA, Vienne,
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion, Bert- Vol. 2, p. 425.
