Théorie des nombres
Par Paul Cheqe
African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana
Note
Ce document est publié sous une licence Creative Commons.
http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution
http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.
I. Mathématiques 2, la théorie des nombres _______________________ 3 II. Pré requis ________________________________________________ 3 III. Temps ___________________________________________________ 3 IV. Matériels didactiques _______________________________________ 3 V. Justification_______________________________________________ 3 VI. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Résumé _______________________________________________ 4 6.2 Représentation graphique _________________________________ 5 VII. Objectifs généraux _________________________________________ 6 VIII. Objectifs spécifiques ________________________________________ 6 IX. Évaluation initiale __________________________________________ 7 X. Concepts-clé (glossaire) ____________________________________ 11 XI. Lectures obligatoires _______________________________________ 12 XII. Ressources nécessaires ____________________________________ 13 XIII. Liens utiles ______________________________________________ 14 XIV. Activités d’apprentissage ___________________________________ 16 XV. Synthèse du module _______________________________________ 80 XVI. Évaluation sommative ______________________________________ 81 XVII. Références bibliographiques _________________________________ 82 XVIII. Dossiers scolaires _______________________________________ 83 XIX. Auteur du module _________________________________________ 83 XX. Structure des fichiers ______________________________________ 83
Table des maTières
i. mathématiques 2, la théorie des nombres
Par Paul Cheqe, Université Amoud.
ii. Pré requis
Mathématiques de base.
iii. Temps
120 heures.
iV. matériels didactiques
- Manuel en ligne ou sur disque compact.
- Activités TIC en ligne ou sur disque compact.
- Références en ligne.
- Matériel pour l’évaluation initiale.
- Logiciel distribué gratuitement.
V. Justification
La théorie des nombres est un module essentiel qui offre un support aux en- seignants dans leur compréhension et leur interprétation de la propriété des nombres. Elle est un point de départ pour les nombreuses preuves et solutions de diverses équations. Elle forme la base de la théorie et est donc très importante dans l’enseignement des mathématiques à l’école secondaire, en plus d’être le tremplin vers l’étude des mathématiques avancées.
Par son appartenance au domaine de l’algèbre, la théorie des nombres offre un support inestimable pour enseigner et apprendre les modes de raisonnements logiques, notamment le raisonnement par l’absurde, le raisonnement par condi- tion nécessaire et le raisonnement par disjonction des cas. Notons en effet que ces deux derniers modes de raisonnement s’avèrent difficiles à être comprises par nombre d’apprenants dans le secondaire, alors ils sont très fréquemment demandés dans la vie active quotidienne : citons par exemple la recherche d’un gisement de pétrole, de saphir, d’or, etc, par des indices externes. L’arithmétique des entiers relatifs, rien que par les notions de diviseurs et de décomposition
d’un entier en un produit des facteurs premiers, peut être efficacement exploitée pour stimuler la capacité d’un calcul mental ou rapide, donc à l’argumentation pertinente spontanée, dans la résolution d’une équation polynomiale à coefficients entiers de degré supérieur ou égal à deux dès la quatrième ou la cinquième année du secondaire, avant même d’apprendre le discriminant d’un trinôme du second degré.
Vi. Contenu
Le module sur la théorie des nombres est constitué de deux unités. On présume que l’élève-maître est familier avec les mathématiques de base. La première unité présente les propriétés des entiers relatifs ainsi que les équations diophantiennes linéaires. Elle s’avance ensuite sur la division avec reste, les nombres premiers et leur répartition, le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers et, du même auteur, l’algorithme et son application pour résoudre les équations diophantiennes linéaires. L’unité se conclut avec le triplet pythagoricien et le dernier théorème de Fermat démontré par Andrew Wiles.
On présume aussi que l’élève-maître aura assimilé la matière de la première unité avant de passer à la seconde. Cette deuxième unité présente l’ensemble des entiers relatifs (mod p), les résidus quadratiques et carrés, le critère d’Euler, le symbole de Legendre, le lemme de Gauss et la loi de réciprocité quadratique, l’algorithme d’Euclide et l’anneau factoriel de l’entier de Gauss, l’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équations diophantiennes, et se conclut avec le dernier théorème de Fermat appliqué aux cubes, l’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.
6.1 Résumé
Unité 1 : Les propriétés des entiers relatifs et les équations diophantiennes linéaires.
Niveau 1. Priorité B. Les mathématiques de base 2 sont un prérequis.
- Les propriétés des entiers relatifs.
- La division avec reste.
- Les nombres premiers et leur répartition.
- Le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers.
- L’algorithme d’Euclide.
- Les conséquences, classes de résidus et entiers relatifs (mod n).
- Le cas du nombre premier n.
- Les racines primitives et leurs valeurs.
- L’utilisation de l’algorithme d’Euclide pour résoudre les équations dio- phantiennes linéaires.
- Le triplet pythagoricien et le dernier théorème de Fermat.
Unité 2 : La théorie des congruences et de l’entier quadratique.
Niveau 2 : Priorité B. L’unité 1 de ce module est un pré requis.
- L’ensemble des entiers relatifs (mod p).
- Résidus quadratiques et carrés.
- Le critère d’Euler. Le symbole de Legendre.
- Le lemme de Gauss et la loi de réciprocité quadratique.
- L’évaluation du caractère quadratique par la loi de réciprocité.
- L’entier quadratique.
- La norme et la trace.
- L’algorithme d’Euclide et l’anneau factoriel de l’entier de Gauss.
- L’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équations dio- phantiennes.
- Le dernier théorème de Fermat appliqué aux cubes.
- L’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.
6.2 Représentation graphique
Vii. Objectifs généraux
L’élève-maître aura acquis la connaissance nécessaire des propriétés des nombres (et leurs liens entre eux) afin d’enseigner efficacement les mathématiques dans les écoles secondaires.
Viii. Objectifs spécifiques
Unité 1 :
À la fin de cette unité, les apprenants devraient être capable de :
- Connaître et comprendre les propriétés des nombres et les concepts de base lié à ceux-ci.
- Connaître et comprendre les relations et les modèles récurrents parmi les nombres.
- Illustrer les propriétés des entiers relatifs et leur divisibilité avec reste.
- Calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple par factorisation.
- Calculer le plus grand commun diviseur avec l’algorithme d’Euclide - Illustrer les propriétés des nombres premiers et leur répartition.
- Illustrer le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers.
- Évaluer les entiers relatifs (mod p), le cas du nombre premier n, les raci- nes primitives et les exposants.
- Utiliser et appliquer l’algorithme d’Euclide pour résoudre les équations diophantiennes linéaires.
- Analyser et illustrer le triplet pythagoricien ainsi que le dernier théorème de Fermat.
Unité 2 :
À la fin de cette unité, les apprenants devraient être capables de :
- Illustrer l’ensemble des entiers relatifs (mod p), les résidus quadratiques et carrés.
- Identifier les grandes lignes du critère d’Euler.
- Utiliser le symbole de Legendre, le lemme de Gauss et la loi de récipro- cité quadratique.
- Évaluer le caractère quadratique par la loi de réciprocité quadratique.
- Définir la norme.
- Appliquer l’algorithme d’Euclide à l’anneau factoriel de l’entier de Gauss.
- Explorer l’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équa- tions diophantiennes.
- Examiner l’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.
iX. Évaluation initiale
Titre de l’évaluation initiale : Révision des mathématiques de base.
9.1 Justification : Les mathématiques de base sont un pré requis pour la théorie des nombres.
QUESTIONS
1. Trouvez la valeur de x dans 2(2x + 2) = 64.
a) 3 b) 5 c) 1 d) 2
2. Résolvez simultanément: 3x + 2y = 22
x + y = 9
a) 7, 2 b) 1, 8 c) 4, 5 d) 6, 2 3. Résolvez le quadratique : x2 – 3x – 10 = 0.
a) -5, 2 b) 5, -2 c) -5, -2 d) 5, 2
4. Trouvez l’inverse de la fonction : g(x) = 2x – 3.
a) g-1(x) = 2
) ( +x 3
b) g-1(x) = 2
) 3 2 ( x+
c) g-1(x) = 2
) ( -x 3
d) g-1(x) = 2
) 3 2 ( + x
5. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) de 986 et 289.
a) 17 b) 58 c) 9 d) 3
6. Résolvez cette équation:
4 6 2 3 2 1
2 - + -
- = x
x x
x .
a) -2 b) 4 c) 2 d) 3 7. Résolvez: (2 – í)(4 + 3í).
a) 8 + í b) 13 c) 11 + 2í d) 10í - 3í²
8. Trouvez:
∑
= 6
i 1
( 4i + 2).
a) 6 b) 26 c) 84 d) 97 9. Déterminez: 8C2.
a) 20 b) 28 c) 16 d) 4
10. Le 3e terme d’une séquence géométrique est égal à 1 et le 5e terme est égal à 16.
Trouvez la valeur du 7e terme.
a) 4 b) 128 c) 256 d) 4096
11. Si s = ut + ½ at², déterminez s lorsque u = –3, a = 10 et t = 5.
a) 30 b) 60 c) 110 d) 140
12. Considérant cette équation y = x2 + 5x – 14, trouvez le point de rebrous- sement.
a) -2, 7 b) -7, 2 c) -2½, 141/8 d) -2½, -201/4
13. Lorsque factorisé, 36j – 48 devient:
a) 12 (3j – 4) b) 12 (24j – 36) c) 9 (4j – 7) d) 8 (4j – 6)
14. La solution de 8
m - 11 = - 2 est:
a) 56 b) 64 c) 72 d) 96
15. Résoudre l’équation 6 (7+y) – 2 (5y-1) = 12 (3y+5) – 16 (y-5) produit : a) -2 b) -4 c) -3 d) 2
16. Une paille de 20 cm est l’objet le plus long pouvant être contenu dans un cylindre ayant un rayon de 6 cm. La hauteur en cm de ce cylindre se rapprocherait de:
a) 8 b) 15 c) 16 d) 9
17. Considérant cette équation y = - x² + 2x + 8, trouvez la valeur de x.
a) - 2, 4 b) 2, - 4 c) 2, 4 d) -2, - 4 18.
67 cm
73 cm P
p
Q R
-
65 cm
Le degré de l’angle - est de:
a) 0.570 b) 55.10
c) 430 d) 67.20
19. Pour cette séquence: 7, 16, 25, 34... le 56e terme est :
a) 495 b) 640 c) 55 d) 502
20. Chaque angle à l’intérieur d’un polygone régulier est de 1400. Combien de côté ce polygone possède-t’il?
a) 5 b) 9 c) 11 d) 7
9.2 Réponses aux questions
1. d 11. c
2. c 12. d
3. b 13. a
4. a 14. c
5. a 15. b
6. a 16. c
7. c 17. a
8. d 18. b
9. b 19. d
10. c 20. b
9.3 Commentaire pédagogique pour les apprenants
L’approche de l’apprenant envers les mathématiques déterminera s’il pourra bien saisir le module de la théorie des nombres. Ce module est fondé sur les mathéma- tiques de base. Cette évaluation initiale mesurera ainsi le degré de connaissance de l’apprenant et indiquera son niveau de disposition pour la suite. L’apprenant devrait réviser les mathématiques de base avant l’évaluation initiale, et après celle-ci s’il éprouve des difficultés, de manière à améliorer sa performance dans ce module.
La théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui utilise beaucoup de notations mathématiques. Avant de commencer le module, révisez toutes les notations mathématiques rencontrées à l’école secondaire et en ma- thématiques de base.
X. Concepts-clé (glossaire)
1. ALGORITHME :
Procédure pour résoudre un problème dans un nombre défini d’étapes.
2. ENTIER RELATIF :
Tout nombre entier positif ou négatif de cet ensemble : {…-3, -2, -1, 0, 1, 2,3…}.
3. NOMBRE PREMIER :
Tout nombre ne pouvant être divisé que par lui-même et 1.
4. NOMBRE PAIR :
Nombre qui peut être divisé par 2 sans reste.
5. NOMBRES IMPAIRS :
Nombre qui a 1 comme reste lorsque divisé par 2.
6. L’ALGORITHME D’EUCLIDE :
Procédure pour trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers. Cet al- gorithme a été développé par Euclide, un mathématicien grec ayant vécu dans les années 400 av. J.-C.
7. ÉQUATION DIOPHANTIENNE :
Équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres entiers et où les seules solutions possibles sont aussi entières. Par exemple : mx = k, où m et k sont des nombres entiers et m 0, est une équation linéaire diophantienne du premier degré. L’équation diophantienne doit son nom à Diophantus, un mathématicien grec ayant vécu dans les années 300 ap. J.-C.
8. LEMME, THÉORÈME, COROLLAIRE :
Signifie une proposition qui peut être mathématiquement démontrée.
9. L’ENTIER DE GAUSS :
Nombre complexe dont les parties, réelle et imaginaire, sont toutes deux des entiers relatifs. C’est à dire a + bi, où a et b sont des entiers relatifs.
10. LA NORME DES ENTIERS DE GAUSS : Entier naturel défini par : N(a + bí) = a² + b².
11. LE MODULE D’UN ENTIER DE GAUSS : Est simplement sa valeur absolue : | a + bí | = a +2 b2 . 12. LE CONJUGUÉ :
Le conjugué de : ( a + bí ) est ( a – bí).
Xi. lectures obligatoires
Lecture #1 Wolfram Mathworld (visité le 03.11.06)
Réréfence complète : http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html Résumé : Ce site contient une valeur inestimable de matériels sur la théorie des nom- bres. Il est conseillé aux apprenants d’avoir un regard critique et de suivre les preuves de lemmes amenées dans ce site. Il y a aussi beaucoup d’illustrations venant appuyer les données et permet à l’apprenant d’explorer différentes méthodes d’approche.
Justification : Cette référence permet à l’apprenant d’analyser la théorie des nombres à travers de multiples approches abstraites que beaucoup d’apprenants n’arrivent souvent pas à visualiser. En lisant de manière assidue, il pourra apprécier les conclusions techniques aux lemmes, corollaires, théorèmes et propositions qui sont utilisés dans plusieurs des démonstrations.
Lecture #2 Wikipédia (visité le 03.11.06)
Référence complète : http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory Référence complète : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_Nombres Résumé : Wikipédia devrait être la première source d’information sur la théorie des nombres. Elle est très complète et tout apprenant devrait s’y référer pour compren- dre les mathématiques pures. De plus, elle permet à l’apprenant un accès à des argu- ments variés ayant laissé perplexe les mathématiciens depuis des centaines d’années.
Justification : Ce site donne des définitions, explications et exemples que l’appre- nant n’aurait autrement pas accès ailleurs. Le fait que Wikipédia est souvent mis à jour donne à l’apprenant la possibilité d’avoir sous la main les toutes dernières informations et elles font souvent référence à d’autres sources qui permettront de découvrir différentes approches proposées sur la théorie des nombres.
Lecture #3 MacTutor History of Mathematics (visité le 03.11.06) Référence complète : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Num- ber_Theory.html
Résumé : MacTutor est une lecture essentielle sur l’histoire de la théorie des nombres. On y explique comment les théorèmes, propositions, corol- laires et lemmes ont su hanter les mathématiciens à travers les siècles. Le dernier théorème de Fermat y est très bien illustré comme un concept assez simple pouvant être compris facilement. Toutefois, la preuve de ce théorème a échappé aux mathématiciens sur plus de 300 ans (de 1637 jusqu’à 1995).
Justification : L’histoire des mathématiques telle qu’amenée dans MacTutor nous permet non seulement de voir différents aspects historiques de la théorie des
nombres, mais elle défie aussi les apprenants de prouver les théorèmes, proposi- tions, lemmes et corollaires qui, jusqu’ à ce jour, restent sans preuve. L’apprenant appréciera un tel défi en tentant plusieurs approches telles que l’induction et la contradiction. Cette référence est donc appropriée pour la variété de ses appro- ches mathématiques que tout apprenant se doit de connaître pour approfondir ses connaissances et comprendre les mathématiques pures.
Xii. ressources nécessaires
Ressource #1 Maxima
Référence complète : Une copie de Maxima sur disque compact est fournie avec ce cours.
Résumé : Les apprenants éloignés sont parfois confrontés à des mathéma- tiques compliquées et ce, sans ressource pour les comprendre. Le manque de pratique avec la présence d’un enseignant peut rendre l’apprenant com- plètement démuni s’il ne peut s’équiper de ressources pouvant l’aider à résoudre les problèmes mathématiques. C’est ici qu’entre en jeu Maxima.
Justification : Maxima est un logiciel en libre accès qui aide tout apprenant à résoudre les équations quadratiques et linéaires, les systèmes d’équations, l’inté- gration et la différentielle, à faire des manipulations algébriques : factorisation, simplification, expansion, etc. Cette ressource est essentielle pour tout ceux prenant le cours à distance, car elle leur permettra d’apprendre plus rapidement en utilisant les données TIC déjà acquises.
Ressource #2 Graph
Référence complète : Une copie de Graph sur disque compact est fournie avec ce cours.
Résumé : Il est difficile de dessiner des graphiques de fonctions, surtout quand elles sont compliquées et encore plus lorsqu’elles sont en trois di- mensions. L’apprenant, qui apprend à distance, rencontrera inévitablement des situations où il aura besoin de graphiques mathématiques. Le cours est justement accompagné du logiciel Graph afin de l’aider à les faire. Il faut tou- tefois se familiariser avec le logiciel avant de pouvoir l’utiliser efficacement.
Justification : Graph est un logiciel en libre accès disponible sur le disque com- pact accompagnant ce cours. Il aide tout apprenant mathématicien à constituer un graphique qui autrement serait un cauchemar à faire à la main. Il est facile d’utilisation lorsqu’on prend le temps d’apprendre à s’en servir. L’apprenant pourra ainsi profiter de ce logiciel, parce qu’il l’assistera non seulement durant ce cours, mais aussi après : il sera extrêmement pratique lorsque le temps sera venu d’enseigner les mathématiques du niveau secondaire.
Xiii. liens utiles
Lien utile #1 Le dernier théorème de Fermat
Adresse URL : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_
last_theorem.html
Résumé : Le dernier théorème de Fermat est simplement cette équation : x3 + y3 = z3. Malgré son apparence simple, la preuve de ce théorème a échappée aux mathématiciens sur plus de 300 ans (de 1637 jusqu’à 1995). Pourquoi une aussi simple équation cubique, pouvant être comprit par des enfants de l’école primaire, a pu ainsi échapper aux mathématiciens? Tout cela est expliqué sur le site web.
Justification : Le triplet pythagoricien fut utilisé par les anciennes civilisations de Babylone et d’Égypte pour leurs constructions. Le mathématicien Pythagore a documenté la théorie de ce triplet, mais il n’a toutefois jamais tenté l’équa- tion cubique. C’est ce qui a intrigué les mathématiciens après la proposition de Fermat. L’histoire derrière cette théorie est vraiment fascinante pour l’esprit mathématique et ce site est donc une lecture essentielle pour la compréhension de la théorie des nombres.
Lien utile #2 Wikipédia
Adresse URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory
Résumé : Wikipédia est le dictionnaire par excellence pour tout mathéma- ticien. Ce site gratuit est fréquemment mis à jour. La plupart des apprenants de la théorie des nombres risque de faire face à des problèmes de référence de temps à autre. La majeure partie des livres disponibles sur la théorie des nombres ne couvre que certaines parties ou sections de ce module. Le manque d’ouvrage de référence peut donc être remédié par l’utilisation de Wikipédia. Il est facilement accessible par une recherche sur Google.
Justification : Que Wikipédia soit aussi facile d’accès résout le problème d’avoir à chercher des ressources didactiques dans les multiples branches des mathémati- ques. L’apprenant devrait savoir l’utiliser à bon escient afin d’aider son apprentis- sage. C’est une ressource gratuite très utile qui non seulement résout le problème des élèves à trouver des sites de références, mais réfère aussi l’apprenant vers d’autres sites Internet en lien avec le sujet. Son utilité est inégalée.
Lien utile #3 Mathsguru
Adresse URL : http://www.bbc.co.uk/schools/websites/16/index.shtml Résumé : Mathsguru est un site Internet qui aide l’apprenant à comprendre les branches variées de la théorie des nombres. Il est facilement accessible par une recherche sur Google et offre de l’information très détaillée sur de nombreuses questions. Les exemples et les explications sont faciles d’approche.
Justification: Mathsguru est une bonne alternative pour avoir accès à d’autres sujets en lien avec la théorie des nombres, ainsi que de bons indices et solutions pouvant être très pratique pour l’apprenant. Il peut effectivement en venir à avoir des difficultés à trouver des livres pouvant l’assister lors de résolutions de problè- mes rencontrés, alors ce site peut être d’une grande aide.
Lien utile #4 Wolfram Mathworld
Adresse URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory
Résumé : Wolfram Mathworld est un site web qui se démarque pour sa multitude de solutions sur la théorie des nombres. Il aborde corollaires, lemmes et propo- sitions ainsi que leurs preuves. L’apprenant peut y avoir accès simplement par une recherche sur Google. Wolfram amène aussi le visiteur vers d’autres sites qui couvrent ces mêmes sujets et lui permet ainsi d’élargir ses connaissances.
Justification : Wolfram est un site utile offrant un bon aperçu de la théorie des nom- bres tout en fournissant une méthodologie et de nombreux défis. Il est surtout pratique pour la modélisation des mathématiques et est recommandé pour les apprenants voulant étudier la théorie des nombres et les autres branches des mathématiques. Il est une bonne source vers d’autres sites web tout aussi instructifs, leur permettant de bien comprendre la théorie des nombres.
Lien utile #5 Proof of Fermat’s last Theorem by Wiles Adresse URL : http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html
Résumé : Le dernier théorème de Fermat a intrigué les mathématiciens sur plus de 300 ans; de 1637 jusqu’à 1995. C’est lors de cette dernière année que le professeur Wiles a finalement réussi à le résoudre et c’est pour ce théorème que nombre de mathématiciens partout dans le monde ont tenté de trouver la réponse, mais sans succès. Wiles a abordé ce problème la première fois alors qu’il était à l’école primaire et a ensuite tenté à maintes reprises de prouver ce théorème, en vain. C’est en 1995, alors devenu professeur de mathématiques, qu’il réussit à réaliser son rêve d’enfant : prouver le dernier théorème de Fermat.
Justification : Ce site web souligne les étapes importantes vers les solutions de propositions mathématiques et décortique d’autres propositions qui restent encore à prouver. Tout apprenant peut donc essayer de les résoudre et ainsi contribuer au merveilleux monde des mathématiques, qui est toujours stimulant.
Il est important de savoir que tout n’est pas résolu dans le domaine des ma- thématiques et qu’il y a toujours place à l’amélioration en prouvant toutes ces propositions qui ne demandent, depuis bien des années, qu’à être solutionnées.
Activité # 1
XiV. activités d’apprentissage
Algorithmec d’Euclide et équations diophantiennes linéaires.
Unité 1 (60 heures) : Les propriétés des entiers relatifs et les équations dio- phantiennes linéaires.
Résumé de l’unité 1 (Activités multiples)
L’approche utilisée dans ce module relie la théorie des nombres à des situations de la vie courante. À cause du côté très abstrait de cette théorie, la référence aux lemmes, théorèmes et preuves est donnée à l’apprenant par matériel didactique.
L’apprenant peut être amené à écrire un simple programme d’ordinateur afin de faire des calculs de base pour démontrer ses capacités mathématiques et les for- mules. Il n’aura pas nécessairement à être très connaisseur en informatique pour réussir à faire les exercices. Les théorèmes sont soutenus, mais avec les preuves données pour les activités de groupe viennent les ressources nécessaires. Il faut noter que ce module se concentre sur les mathématiques pures et que les activités tournent autour de la théorie algorithmique des nombres, théorèmes, lemmes, propositions, corollaires et leurs preuves.
Lectures
Toutes les lectures pour ce module proviennent de livres en libre accès. Les auteurs les ont laissés disponibles pour tous et sont donc gratuits. Le disque compact accompagnant ce cours inclut les copies complètes de ces livres.
Vous serez référé à des sections spécifiques de ces livres lorsque nécessaire.
1. Elementary Number Theory, by W.Edwin Clark, University of South Florida, 2003.
(File name on CD: Elem_number_theory_Clarke)
2. Elementary Number Theory, by William Stein, Harvard University, 2005.
(File name on CD : Number_Theory_Stein)
3. MIT Open Courseware, Theory of Numbers, Spring 2003, Prof. Martin Olsson. (File name on CD : MIT_Theory_of_Numbers)
Ressources Internet
Ces ressources générales couvrent toute la matière vue dans ce module. Elles offrent l’opportunité d’approfondir ses connaissances en citant des lectures supplémentaires. Des sources plus spécifiques seront détaillées dans la section appropriée de ce guide.
Pré requis
Ce module nécessite que les apprenants soient familiers avec les nombres des mathématiques de base, comme les propriétés des nombres suivantes:
1. Loi commutative : p + q = q + r et pq = qp
2. Loi associative: p + (q + r) = (p + q) + r = p + q + r 3. Loi des exposants :
a) am x an = am+ n
b) am an = am - n
c) (am)n = amn où m et n 0
d) m =
a
1 a-m
e) a0 =1, a 0
f) a-n = n
a 1
g)
1 n n
a = a , n 0 h) a amn = n am ,n 0 i) am x bm = (ab)m
j) m
m
b a =
m
b a⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
4. La valeur absolue (ou module) de p = p si p est positif et p = -p si p est négatif.
La fonction valeur absolue donne la valeur numérique d’une entrée. Elle convertit les nombres négatifs en positifs et s’écrit comme suit : y= x et est lue comme « y égale mod x ».
Exemple : Donnez la valeur de |7 - x| où x = 15.
Solution: Lorsque x =15, |7 -15| = |-8| = 8
5. Solutions des équations quadratiques : vous devriez pouvoir résoudre les systèmes d’équations linéaires et quadratiques en utilisant une méthode algébrique.
Évaluation formative 1 Exercices : Exposants Trouvez la valeur de x : 1. 4x+2 = 82x
2. 22x+1 – 5(2x) + 2 = 0 3. Logx6 = ½
Évaluez :
4. 2
3
49 4 -
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
5. log10 0.001 Réponses 1. x = 1 2. x = 1, x = -1 3. x = 36
4.
3
2 7⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
5. x = -3 Notation
1) Si p est divisible par q, nous écrivons p q. Si p n’est pas divisible par q, nous écrivons p q
2) ∀ veut dire « pour tout »
3) ∍ veut dire « de telle sorte que » 4) ssi veut dire « si et seulement si » 5) veut dire « est un élément de »
6) Z veut dire « ensemble des entiers relatifs » 7) veut dire « implique »
8) $ veut dire « il existe » 9) ≡ veut dire « équivalent à »
10) veut dire « n’est pas un élément de »
Prenez p, q et r comme entiers relatifs. Alors : a) p|q, a>0,q>0 p q
b) p|q p|qr , ∀ entiers r
c) p|q, p|r p|( qx + ry) pour x,y Z d) p|q, q|p p = ± q
e) p|q , q|r p|r
Preuves mathématiques : par induction (ou récurrence) et absurde
Le module de la théorie des nombres utilise abondamment l’induction mathé- matique et la preuve indirecte (ou la preuve par absurde).
Exemple 1 : Preuve par induction
Prouvez par induction mathématique que :
1 + 2 + … + m = 2
) ( +m 1 m
Preuve:
Étape 1: Technique par récurrence
L’induction mathématique prouve en vérifiant si la proposition retient que m = 1 et m = k + 1. Lorsqu’elle retient que m = k, alors la proposition retient pour tout entier relatif positif m = 1, 2, 3…
Étape 2: Substituez m = 1 de cette équation:
1 = 2 ) 1 1 1 +(
= 1
Étape 3: Supposez que la formule retienne que m = k.
1 + 2 + … + k = 2
) ( +k 1 k
Étape 4: Preuve que la formule retient m = k + 1.
1 + 2 + … + k + ( k + 1 ) =
2
} 1 ) 1 ){(
1
( k + k + +
On écrit:1 + 2 + … + k = 2
) ( +k 1 k
Donc 2
) ( +k 1
k + ( k + 1) =
2
} 1 ) 1 ){(
1
( k + k + +
, donc
2
2 2 ) 1
(k+ + k+ k
= 2
) 2 ){(
1 (k+ k+
d’où
2 ) 2 ){(
1 (k+ k +
= 2
) 2 ){(
1 (k+ k+
{par factorisation} [ PROUVÉ ] Ceci est une preuve par récurrence.
Exemple 2 : Prouvez par récurrence que pour tout entier positif n, alors :
1² +2² + 3² + 4² +… + n² =
6 ) 1 2 )(
1 (n+ n+
n
Étape 1 : Technique par récurrence
L’induction mathématique prouve en vérifiant si la proposition retient que n = 1 et n = k + 1. Lorsqu’elle retient que n = k, alors la proposition retient pour tous entiers relatifs positifs n = 1, 2, 3…
Étape 2 : Substituez n = 1 de cette équation :
1= 6
} 1 ) 1 2 }{(
1 1 {
1 + × + = 1
Étape 3 : Assumez que la formule retient pour k :
1² +2² + 3² + 4² +… + k² =
6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k
Étape 4 : Prouvez que la formule retient que n = k + 1.
1² +2² + 3² + 4² +… + (k + 1)² =
6
} 1 ) 1 ( 2 ){
1 1 )(
1
( k + k + + k + +
On écrit
1² +2² + 3² + 4² +… + (k + 1)² = (1² + 2² + 3² + 4² +…………. + k²) + (k + 1)²
=
6
) 1 2 )(
1 (k+ k+
k + (k + 1)²
= 6
) 6 6 2
)(
1
(k+ k2 +k+ k+
=
6
) 3 2 )(
2 )(
1
( k + k + k +
{par factorisation} [ PROUVÉ ] Ceci est une preuve par récurrence.
* À lire : Preuve par induction
1. Elementary Number Theory, by W.Edwin Clark, 2003, pages 2-7.
Ressource Internet
http://www.bbc.co.uk/schools/websites/16/index.shtml
Lisez sur ce site les deux pages concernant la preuve par induction.
Évaluation formative 2
Exercices : Preuve par récurrence
1. Prouvez que 1 + 2 + 2_ +… + 2n = 2n+1 – 1 où n 1.
2. Prouvez que 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2.
3. Prouvez que a + ar + ar2 +… + arn =
r r
a n
- - + 1
) 1
( 1
, où n > 0.
4. Prouvez que 14 + 24 + 34 + 44 + … + n4 =
30
) 1 3 3 )(
1 2 )(
1
(n+ n+ n2 + n- n
. 5. Prouvez que pour n < 2n pour tous les entiers relatifs positifs n.
6. Prouvez que (ab)n = anbn.
7. Prouvez que 1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n -2) = (3n -1).
Nombres pairs et impairs
Activité sur les nombres pairs et impairs Cas 1
Que comprenez-vous des nombres pairs et impairs?
Donnez une façon simple de distinguer les nombres pairs des nombres impairs.
Combien de mois dans une année possèdent un nombre impair de journées?
Combien d’années en nombres pairs y a-t-il entre 1960 et 2010?
Réponse
Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et les nombres qui ne le sont pas sont appelés impairs.
Organigramme pour tester les nombres pairs et impairs.
Départ
Insérez un entier N
Calculez M = (N / 2) × 2 (Ignorez le reste)
? M = N
Écrit N « est pair »
Écrit N « est impair »
STOP
oui no
n
Procédures :
1. Insérez un entier N.
2. Calculez M comme indiqué.
3. Décidez si N est pair ou impair.
Cette activité est un organigramme qui représente le classement des nombres entiers pairs et impairs.
Classifiez vos résultats : Nombre, N
Pair Impair
Évaluation formative 3
Exercice
Modifiez l’organigramme pour tester si un nombre est divisible par 3.
Réponse
Changez la formule M = N/2 x 2 pour M = N/3 x 3. Aussi, changez le format de la formule afin d’écrire les messages appropriés.
Réflexions
1. En tant qu’élève-maître, comment enseigneriez-vous les exposants et entiers relatifs tout en les reflétant dans des situations de la vie courante? Pensez à des approches pratiques pour les inclure dans des expériences de la vie quotidienne des apprenants.
2. La droite numérique a été utilisée pour enseigner le calcul des entiers relatifs positifs ou négatifs. Comment l’enseignant peut-il l’utiliser sans perdre la signification réelle des opérations de base comme la division, l’addition, la soustraction et la multiplication telles qu’elles sont reliées à la vraie vie? Par exemple : - 2 × - 2 = 4.
Diviseur
Le diviseur d’un entier relatif n, aussi appelé facteur de n, est un entier relatif qui divise n de manière égale et ce, sans laisser de reste.
Exemple :
7 est un diviseur de 35 parce que 35/7 = 5. On dit aussi que 35 est divisible par 7 ou 35 est un multiple de 7 ou 7 divise 35 que l’on écrit habituellement : 7/35.
Généralement, on dit m|n (se lit: m divise n) pour les entiers relatifs différent de 0. S’il existe un entier k pour que n = km et par conséquent les diviseurs peuvent autant être négatif que positif. Par exemple les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 mais la plupart ne mentionnerait que les positifs. 1 et -1 divisent (sont diviseurs de) tous les entiers relatifs, tous les entiers relatifs s’auto-divisent et sont diviseurs de 0.
Un diviseur de n qui n’est pas 1, -1, n ou –n est reconnu comme diviseur non trivial, les nombres avec diviseur non trivial sont connus comme nombres com- posés alors que les nombres premiers ont des diviseurs non triviaux.
Si a|b=c, alors a est le dividende, b le diviseur et c le quotient.
Le reste des entiers naturels
Si a et d sont des entiers naturels, avec d différent de 0, il est possible de prouver qu’il existe des entiers uniques q et r, pour que a = qd + r et 0 r < d. L’entier q se nomme le quotient, alors que r est appelé le reste.
Exemple :
1) Lorsqu’on divise 17 par 10, 1 est le quotient et 7 le reste puisque 17 = 1 x 10 + 7.
2) 22 / 4 = 5 x 4 + 2 où 5 est le quotient et 2 le reste.
3) Lorsqu’on divise 42 par 7, 6 est le quotient et 0 est le reste puisque 42 = 7 x 6 + 0.
Cas général des entiers
Si a et d sont entiers, avec d différent de 0, alors le reste est un entier r pour que a = qd + r pour un entier q, et 0 <= |r| <= |d|.
Lorsque défini de la sorte, il y a deux possibilités de reste.
Exemple :
La division de -37 par 5 peut s’exprimer soit par -37 = 8 x (-5) + 3 ou par -37 = 7 x (-5) + (-2). Le reste est alors 3 ou -2.
Note: Lorsqu’on divise par d, si le reste positif est r1 et que le reste négatif est r2,
alors r1 = r2 + d.
Opération modulo
L’opération modulo calcule le reste par une division d’un nombre par un autre.
Considérant deux nombres a et n, a modulo n (en abrégé : a mod n) est le reste, par la division de a par n. Par exemple : 10 mod 3 s’évalue à 1 et 12 mod 3 s’évalue à 0 où 1 et 3 sont les restes après la division.
Divisibilité
Définition : Un entier p est divisible par un entier q ssi $ un entier r ∍ p = q r.
Le théorème de la division
Si m et n sont des entiers, où n est différent de 0, alors il existe des entiers uni- ques q et r,
0 ≤ r< I n I, ∍ m = qn + r.
Les entiers :
a) m est le dividende b) q est le quotient c) n est le diviseur d) r est le reste Cas 1
Divisez 11 hectares de terrain entre 5 personnes. Combien en auront-ils cha- cun?
Chaque personne a un nombre entier et une fraction.
Dans ce cas, identifiez le divisé (a), le quotient (q), le diviseur (b) et le reste (r).
Exemples :
Si m et n sont entiers où n est différent de 0, alors il existe des entiers uniques q et r.
0 ≤ r< I n I, ∍ m = qn + r. n q r m= qn + r
Les entiers 2 7 1 m=7(2) + 1
m est le dividende 5 6 3 m =5(6) + 3
q est le quotient - 10 2 1 m = -10(2) + 1
n est le diviseur -9 5 8 m = -9 (5) +8
Évaluation formative 4 Exercice : Facteurs 1. Remplissez ce tableau
m n q r Solution
7 2
7 -3
-7 3
-7 -3
Définition :
Un entier naturel qui se divise en un autre, et ce en un nombre exact de fois, s’appelle un facteur.
Exemples :
- Les facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
- Les facteurs de 15 sont 1, 3, 6 et 15.
Évaluation formative 5 Exercice : Facteurs Quels sont les facteurs de : 1. 20
2. 28 3. 36 4. 120 5. 169 6. 180
Communs multiples
Un entier qui est divisible par deux entiers p et q est appelé un multiple de p et q.
Les communs multiples de 2 et 3 sont 0, 6, 12, 18, 24… Les communs multiples de 4 et 5 sont 0, 20, 40, 60…
Évaluation formative 6
Exercice : Communs multiples
É n u m é r e z l e s 8 p r e m i e r s c o m m u n s m u l t i p l e s d e : 1) 3 2) 7 3) 11 4) 23 5) 61 6) 138
Le plus petit commun multiple (PPCM) Au marché
Madame Safia va faire ses courses au centre commercial le plus près de chez elle où tout est préservé dans des boîtes de conserves. Elle visite trois magasins qui utilisent trois formats différents de boîtes de conserves. Le magasin A utilise des 2 litres, le magasin B utilise des 4 litres et le magasin C utilise des 5 litres. Ayant besoin d’amener un récipient qui lui permettra d’acheter bon nombre de boîtes de conserves et ce, qu’importe le magasin où elle décidera d’aller, quel volume minimal devra avoir ce récipient?
Définition
Le plus petit commun multiple de p et q est défini comme étant le plus petit entier positif pouvant être divisé par p et q. Il peut être représenté comme [p, q].
Exemples : - [4, 9] = 36 - [-3, 4] = 12 - [7, 8] = 56
Calcul du PPCM en utilisant les facteurs premiers Exemple : Trouvez le PPCM de 16, 24 et 840.
Étape 1 : Exprimez chacun des chiffres comme facteurs premiers 16 = 24
24 = 23 x 3
840 = 23 x 3 x 5 x 7
Étape 2 : Trouvez le plus grand exposant de chacun des facteurs premiers qui ressortent. Le facteur n’a pas à être commun. Par exemple, les plus grands expo- sants de 2, 3, 5 et 7 sont 4, 1, 1, 1 et le PPCM devient 24 x 3 x 5 x 7 = 1680.
Exercice : Trouvez le PPCM Trouvez le PPCM de
1. 18, 20 et 24 2. 30, 45 et 50 3. 252, 990 et 3150 4. 450, 2100 et 900
Commun diviseur Définition :
Un entier p est un commun diviseur de q et r si p|q et p|r.
Plus grand commun diviseur
Considérant ces trois chiffres : 20, 24 et 28; quel est le plus grand nombre pouvant diviser chacun de ces chiffres? Comment calculez-vous ce nombre?
Définition :
N’importe quel des deux entiers p et q a au moins un diviseur positif en commun appelé le plus grand commun diviseur (PGCD). Si au moins un des deux entiers p et q est différent de 0, alors il existe un plus grand entier positif d qui divise p et q. Cet entier est appelé le plus grand commun diviseur (PGCD) de p et q et peut être représenté comme PGCD (p,q) ou (p,q).
Exemples : - PGCD (6,12) =3
- PGCD (0,18) = (0,-18) = 18 - PGCD (9,27) = 9
- PGCD (14,28) = 7
Calcul du PGCD en utilisant les facteurs premiers Exemple : Trouvez le PGCD de 60, 100 et 840.
Étape 1 : Exprimez chacun des nombres comme produit des facteurs premiers 60 = 22 x 3 x 5
100 = 22 x 52 840 = 23 x 3 x 5 x 7
Étape 2 : Trouvez le plus grand exposant commun de chacun des facteurs pre- miers. Le produit de ces plus grands exposants donne le PGCD. Par exemple, les facteurs premiers communs sont 2 et 5. Les plus grands exposants de 2 et 5, qui sont communs, sont 22 x 51 = 20 est le PGCD.
Évaluation formative 7 Exercice : Trouvez le PGCD Trouvez le PGCD de
1. 540, 72 et 378 2. 105, 546 et 231
3. 1125 et 675
* À lire :
1. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, p. 5 – 7.
2. Greatest Commun Divisor MIT : Units 1 & 2 Notes, p. 1 – 2 each.
3. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, p. 10 -14.
Évaluation formative 8 Exercice:
Prouvez les corollaires suivantes:
1. Pour chaque m > 0, m (b, c) = (mb, mc)
2. Si d|a, d|b, d> 0,alors ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ d b d
a , = 1 ( , ) b d a
Prouvez les propositions suivantes:
1. Si (a, m)= (b, m)= 1 alors (ab, m)=1 2. Si c|ab et (b,c) =1 alors c|a
Référence : MIT Notes 7 Feb 2003 (Common Divisor) page 1 & 2
Réflexions
1. Pensez à des exemples appropriés de la vie courante pour enseigner le PGCD et le PPCM afin que les apprenants puissent s’y identifier rapidement.
2. Une bonne méthode d’enseignement aide l’apprenant à assimiler la théorie par la pratique. Comment l’enseignant peut-il intégrer le PGCD et le PPCM dans les mathématiques d’usage courant?
L’algorithme euclidien
L’algorithme euclidien (ou l’algorithme d’Euclide) est un algorithme déterminant le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers en divisant de manière répétitive les deux nombres et le reste chacun leur tour.
Description de l’algorithme
Considérant deux entiers naturels m et n, vérifiez si n = 0. Si oui, m est le PGCD.
Si non, répétez le processus en utilisant n et le reste après la division des entiers m et n (s’écrit m modulo n).
Théorème: L’algorithme d’Euclide
Soit m est un multiple de n, soit il y a un entier positif k, et les entiers q1, q2….qk, r1, r2…… r k-1 (et r = 0) pour que :
m= q1 n + r1 (0 ≤ r1< I n I ) n= q2 r1 + r2 (0 ≤ r1 < r2 ) ……
rk-3=qk-1 rk-2 + rk-1 (0 ≤ rk-1< rk-2 ) rk-2 =qkrk-1 (0 ≤ rk )
Exemple: Calculez le PGCD de 1071 et 1029.
Euclid ( 400 av.J.-C.) a développé une procédure systématique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers: l’algorithme euclidien.
a b Expression Explication
1071 1029 Étape 1: Mettre le plus grand nombre à gauche et le plus petit à droite.
1071 1029 1071=1029 1+42 Étape 2: Le reste de 1071 -1029 est 42, que l’on met à la droite, et le diviseur 1029 est mis à la gauche.
1029 42 1029=42 24+21 Étape 3: Répétez l’étape 2, divisez 1029 par 42, il y a un reste de 21.
42 21 42=21 2+0 Étape 4: Répétez à nouveau l’étape 2, vu que 42 est divisible par 21, il reste 0 et c’est ici que se termine l’algorithme.
21 0 Le nombre 21 est le PGCD
Exemple: Calculez le PGCD de 5775 et 1008 et de 2261 et 1275.
Exemples: Illustration de l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD Exemple 1
Trouvez le PGCD de 5775 et 1008 Solution.
m = 5775 et n = 1008.
5775 = 5 x 1008 + 735 1008 = 1 x 735 + 273 735 = 2 x 273 + 189 189 = 2 x 84 + 21 84 = 4 x 21
Ainsi le PGCD = 21, c.-à-d. le plus grand entier divisant 5775 et 1008.
Exemple 2
Trouvez le PGCD de 2261 et 1275 Solution.
m = 2261 et n = 1275 2261 = 1 x1275 + 986 1275 = 1 x 986 + 289 986 = 3 x 289 +119 289 = 2 x 119 + 51 119 = 2 x 51 + 17 Ainsi le PGCD = 17.
Évaluation formative 9
Exercice : Trouvez le PGCD en utilisant l’algorithme d’Euclide
Trouvez le plus grand commun diviseur pour chacun en utilisant l’algorithme d’Euclide :
1. (276, 336, 396, 468, 972) 2. (1387, 1292, 722, 836) 3. (924, 798, 1358, 1827) 4. (60, 84)
5. (190, 72) Solutions:
1) 12 2) 19 3) 7 4) 12 5) 2
Évaluation formative 10 Exercice
Tâche : Utilisez « Elementary Number Theory » par William Stein et tentez de répondre à la question 2.1, exercice 2.6 à la page 38.
* À lire :
1. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, p. 8 – 10.
2. Euclidean Algorithm & Common Multiples MIT Unit 3, p. 1 & 2.
3. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark,p. 1 -33.
Réflexion
L’algorithme d’Euclide est simplement une division familière, mais version longue. En vous référant aux deux exemples d’algorithme, liez une signi- fication quantitative à chaque étape de cette longue division. Est-ce que le sens est mieux compris de cette façon? Expliquez bien chaque étape de la division afin de permettre à un collègue de bien comprendre l’algorithme.
Les nombres premiers et leur répartition Introduction
L’ensemble des entiers naturels est N = {1,2,3,4…}
L’ensemble des entiers relatifs est Z = {...-2, -1, 0, 1,2 …}
Définition : Nombre premier et composé
Un entier p > 1 est un nombre premier si et seulement s’il n’a pas de diviseur d avec 1< d< p. En d’autres mots, le seul diviseur positif de p sont 1 et p. On appelle p un nombre composé si p n’est pas un nombre premier
Le chiffre 1 n’est ni premier, ni composé. Les premiers nombres premiers de N sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 42, 43, 47… et les premiers nombres composés sont 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27…
Définition :
Deux entiers p et q sont relativement premiers si PGCD (p, q) = 1.
Théorème
Si p est composé, alors p a un facteur premier Exemple:
Le nombre composé 12 peut être décomposé en produit de facteurs premiers c.-à-d. 12 = 2 x 2 x 3, et 90 = 2 x 3 x 3 x 5
Théorème fondamental de l’arithmétique
Tous les entiers plus grands que 1 sont soit premiers, ou peuvent être considérés comme un produit de premiers.
Corollaire
Les énoncés suivants s’équivalent :
1. a et b n’ont aucun diviseur commun, c.-à-d. (n|a et n|b) n = ± 1.
2. (a, b) = 1 c.-à-d. le sous-groupe engendré par a et b est la totalité de Z.
3. $ m,n Z avec ma +nb = 1.
Définition
Si une seule de ces trois conditions est satisfaite, on dit que a et b sont des nom- bres premiers entre eux.
Théorème
Si a et b sont nombres premiers entre eux, où a est différent de 0, alors a|bc a|c.
Preuve
Supposons que a et b sont nombres premiers entre eux, c Z et a|bc, alors il existe m, n avec ma + nb = 1, et ainsi mac + nbc = c. Maintenant a|mac et a|nbc. Ainsi a|(mac + nbc) et donc a|c.
Théorème
Supposez que p est un nombre premier
1. Si a est un entier qui n’est pas un multiple de p, alors (p,a) = 1. En d’autres mots, si a est n’importe quel entier (p,a)=p ou (p,a)=1.
2. Si p|ab alors p|a ou p|b.
3. Si p|a1,a2,…. an alors p divise ai. Ainsi si chaque ai est premier, alors p est égal à certain ai.
Théorème de factorisation unique
Supposons que a est un entier différent de 0, 1 ou -1. Alors a peut être décomposé en produit de facteurs premiers et, excepté l’ordre, cette factorisation est unique.
Ceci dit, $ une collection unique de premiers distincts p1,p2,…….. , pk et d’entiers positifs s1,s2,….,sk afin que a=± p11
S ,p2S2,….pSkk . {E.H Connell, 2004}
Travail d’équipe
1. Étudiez la preuve de la théorie fondamentale de l’arithmétique. Assurez-vous de pouvoir prouver ce théorème pour les examens.
Référence : Euclid’s proof of intinitely many primes in Elementary Number Theory, by William Stein, 2005, pages 13 & 14.
2. Quel est le plus grand nombre premier connu?
3. Illustrez les nombres premiers des formules : a. ax + b
b. 4x – 1
4. Énoncez le théorème des nombres premiers
Référence : Elementary Number Theory, by William Stein, 2005, pages 15 & 18.
Résoudre les équations diophantiennes linéaires Définition
Une équation diophantienne est une équation polynomiale (p.ex. mx = k, mx + ny = k, etc.) dont les coefficients sont des nombres entiers (m et n) et pour laquelle seulement des solutions entières sont permises.
L’équation diophantienne linéaire du premier degré est une équation à une variable, par exemple : mx = k, où m et k sont entiers et m est différent de 0.
L’équation diophantienne linéaire a une solution entière, x = k/m.
Les équations diophantiennes à deux variables
Elles sont de la nature mx + ny = k (où m, n et k sont entiers et où m et n sont différents de 0).
Cette équation est résoluble si k est le PGCD (m, n), où m et n sont différents de 0.
Théorèmes
1. Considérant que les entiers m 0 et n 0, il existe les entiers x et y pour l’équation dio- phantienne mx + ny = gcd (m,n)
2. L’équation diophantienne mx+ny = k, est résoluble en entier ssi le PGCD (m, n) divise k.
Activité : Résoudre les équations diophantiennes
Exemple 1 :
Résolvez l’équation diophantienne.
2772x + 390y = (2772, 390) Solution :
Étape 1 : Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 2772 et 390.
Il vient :
2772 = 7 × 390 + 42……….(i) Puis 390 = 9 × 42 + 12……….(ii) et 42 = 3 × 12 + 6……….(iii) d’où PGCD = 6
Étape 2 : Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 2772x + 390y = 6.
Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), en- suite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation.
Comme 6 = 42 – 3 × 12
Donc 6 = 42 – 3 × (390 – 9 × 42) = 42 - 3(390) = 42 + 27(42) - 3(390)
= 28(42) - 3(390)
= 28(2772 – 7 × 390) – 3(390) = 28(2772) – 196(390) – 3(390) donc 6 = 28(2772) – 199(390)
Soit 6 = mx + ny, avec x = 28 et y = -199
Exemple 2 :
Résolvez l’équation diophantienne.
7472x + 2624y = (7472, 2624) Solution :
Étape 1 : Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 7472 et 2624.
Il vient 7472 = 3 × 2624 + 80……… (i) Puis 2624 = 30 × 80 + 64………... (ii) Ensuite 80 = 1 × 64 + 16………(iii) Or 64 = 4 x 16 + 0
D’où PGCD(7472, 2624) = 16
Étape 2 : Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 7472x + 2624y = 16.
Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), en- suite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation.
On a 16 = 80 – 1 × 64
Donc 16 = 80 – 1 (2624 – 30 × 80) = 80 - 1(2624) + 30 × 80 = (1)80 + 30(80) – 1(2624) = 31(80) – 1(2624)
= 31(7472 – 3 × 2624) – 1(2624) = 31(7472) – 93(2624) – 1(2624) Donc 16 = 31(7472) – 94(2624)
c.-à-d. 16 = mx + ny, avec x= 31et y = -94 Exemple 3:
Résolvez l’équation diophantienne.
803x + 154y = (803, 154) Solution :
Étape 1 : Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 803 et 154
Il vient 803 = 5 × 154 + 33…….……… (i) Puis 154 = 4 × 33 + 22……… (ii) Ensuite 33 = 1 × 22 + 11
Comme 22 = 2 x 11+0..……….…. (iii)
D’où PGCD(803, 154) = 11
Étape 2: Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 803x + 154y = 11.
Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), ensuite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation.
On a 11 = 33 – 1 × 22
= 33 – 1(154 – 4 × 33) = 33 -154 + 4(33) = 5(33) – 154
= 5(803 - 5(154)) – 154 = 5(803) – 25(154) – 154 = 5(803) - 26(154)
Soit 5(803) - 26(154) ≡ 803x + 154y D’où x = 5 et y = -26.
Évaluation formative 11
Résoudre les équations diophantiennes Exercice
Résolvez les équations diophantiennes : 1. mx + ny = (m, n) pour m = 5775, n = 1008 2. 18203x – 9077y = 17
3. 32x + 14y = 22 4. 35x + 61y = 1 Solutions
1. x = 11, y = -6
2. x = 17 x 742 = 12 597, y = 17 x 1486 = 25 262
3. Plusieurs solutions : x = -33, y = 77. Généralement la solution est : x = -33, y = 77 – 16i
(i = 0, ±1, ±2, ±3,± 4…) 4. x = 7, y = -4
(Kirch, 1974 & Clarke)
Travail d’équipe : Résoudre les équations diophantiennes
Trouvez toutes les solutions de x et y pour chacune de ces équations : 1. 64x + 108y = 4
2. 64x + 108y = 2 3. 64x + 108y = 1 Réflexions
1. Selon votre point de vue, quelles sont les étapes essentielles pour résoudre des équations diophantiennes? Quelle est la meilleure approche pour les résoudre?
2. Identifiez les zones sur lesquelles le professeur pourrait avoir à insister lors de l’enseignement des équations diophantiennes.
Évaluation formative 12
Congruences et entiers (Mod n)
Si deux nombres b et c ont la propriété que leur différence b - c est entièrement divisible par un nombre m {c.-à-d. (b - c)|m est un entier}, alors b et c sont appelés
« congrus modulo m ». Le nombre m est appelé modulo et l’énonciation « b est congru à c (modulo m) » est écrit de manière mathématique comme
b ≡ c (mod m)
Si b – c n’est pas entièrement divisible par m, on dit « b n’est pas congru à c (modulo m) », qui s’écrit :
b ≡ c (modm)
La quantité b est parfois appelée la « base », et la quantité c est appelée le « ré- sidu ou reste ».
(Wikipédia)
Définition : Si m qui est différent de 0 est un entier positif et a, b Z; alors on dit que a est congru à b modulo m, si m|a-b.
Notation : Dans a ≡ b (mod m), l’entier positif m est appelé le module.
Exemples :
45 ≡ 3 mod 6 p.ex. m|a-b 3 45
6 - =
7
1
72 ≡ 0 mod 12 p.ex. m|a-b 0 72
12 - =
6
1 -27 ≡ 0 mod 4
L’idée de congruence et la notation a ≡ b (mod m) sont dues à Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
PROPRIÉTÉS DES CONGRUENCES MODULO
Soient a ≡ a’(mod m) et b = b’(mod m), alors les propriétés importantes des congruences incluent :
1) Équivalence : a ≡ b (mod 0) ⇒ a ≡ b 2) Détermination : soit a ≡ b (mod m)
3) Réflexivité : a ≡ a (mod m) ou b ≡ c (mod m) 4) Symétrie : a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)
5) Transitivité : a ≡ b (mod m) et b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡c (mod m) 6) a + b ≡ a’ + b’ (mod m)
7) a - b ≡ a’ - b’ (mod m) 8) ab ≡ a’b’ (mod m)
9) a ≡ b (mod m) ⇒ ka ≡ kb (mod m) 10) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m)
11) a ≡ b (mod m1) et a ≡ b (mod m2) ⇒ a ≡ b (mod[m1,m2]), où [m1,m2] est le plus petit commun multiple (PPCM)
12) ak ≡ bk (mod m) ⇒ a ≡ b (mod ) , (k m
m ), où (k,m) est le plus grand commun diviseur (PGCD)
13) Si a ≡ b (mod m), alors p(a) ≡ p(b)(mod m), pour p(x) un polynome
Théorème
Si a,b,c et d ∈ Z, alors :
1) a ≡ b (mod m) ssi b ≡ a (mod m) ssi b – a ≡ 0 (mod m) 2) Si a ≡ b (mod m ) et b ≡ c, alors a ≡ c (mod m) 3) Si a ≡ b (mod m) et d|m, d ≡ 0, alors a ≡ b (mod d) 4) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ 0, alors ac ≡ bc (mod mc)
5) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ d (mod m), alors a + c ≡ b + d (mod m) 6) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ d (mod m), ac ≡ bd (mod m)
.
Théorème (La loi d’annulation)
Soit m un module fixé et supposez ab ≡ ac (mod m).
Alors b ≡ c (mod m/d), où d = (a, m).
Particulièrement, si a et m sont deux nombres premiers entre eux, alors ab ≡ ac (mod m) implique b
≡ c (mod m).
Propositions 1. Annulation
Si le PGCD (c, n) = 1 et ac ≡ bc (mod n), alors a ≡ b (mod n) 2. Unités
Si le PGCD (a, n) = 1, alors l’équation ax ≡ b (mod n) a une solution, et cette unique solution est modulo n.
3. Solvabilité
L’équation ax ≡ b (mod n) a une solution ssi le PGCD (a, n) divise b.
Algorithme (inversez modulo n)
Supposez que a et n sont entiers et le PGCD (a, n) = 1. L’algorithme trouve un x afin que ax ≡ 1 (mod n).
Procédure: Calculez le PGCD en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu afin de calculer les entiers x et y pour que ax + ny = 1
Exemple : Trouvez un entier 37x ≡ 1(mod 101) Solution : 37x ≡ 1(mod 101)
Étape 1 : Formez l’équation 37x + 101y = 1
Étape 2 : Trouvez le PGCD = 1 Utilisez l’algorithme d’Euclide étendu
101 = 2 x 37 + 27 ……… (i) 37 = 1 x 27 + 10 ……… (ii) 27 = 2 x 10 + 7 ……… (iii) 10 = 1 x 7 + 3 ……… (iv) 7 = 2 x 3 + 1 ……… (v) Ainsi le PGCD (101, 37) = 1
Étape 3 : Passez à travers les étapes suivantes (i), (ii), (iii), (iv) et finalement (v) dans le sens contraire.
i. 27 = 101 – 2 (37) ii. 10 = 37 – 1 (37)
= 37 – 1 [101 - 2 (37)] c.-à-d. substituez la valeur de 27 à l’étape (i) ci- dessus.
= 37 – 1 (101) + 2 (37) = -101 + 3 (37)
iii. 7 = 27 – 2 (10)
= 101 – 2 (37) – 2 [-101 + 3 (37)]
c.-à-d. substituez les valeurs finales de 27 et 10 aux étapes (i) et (ii) ci-des- sus.
iv. 3 = 10 – 1 (7)
= -101 + 3 (37) – 1 [3(101) - 8(37)]
c.-à-d. substituez les valeurs de 10 et 7 à l’étape (ii) et (iii) ci-dessus.
= -101 – 3 (101) + 3 (37) + 8 (37) = -4 (101) + 11 (37)
v. 1 = 7 – 2 x 3
= 3 (101) – 8 (37) – 2 [-4(101) + 11(37)]
= 3 (101) + 8 (101) – 8 (37) – 22 (37) = 11 (101) – 30 (37)
Donc 37x + 101y ≡ -30(37) + 11(101)
D’où x = -30 est la solution de 37x ≡ 1(mod 101)
Évaluation formative 13
Travail d’équipe: Équations linéaires modulo n 1. Allez voir la preuve de la loi d’annulation : Units and Solvability in Stein 2005, pages 21-26.
2. Comment résoudre ax ≡ 1 (mod n). Stein 2005, pages 29 – 31. Résolvez la question 2.9 de l’exercice 2.6 à la page 39.
Classes de résidus
Le nombre b dans la congruence a ≡ b (mod m) est appelé le résidu de a (mod m).
Résidu commun
La valeur de b, où a ≡ b (mod m) est convenue comme étant non négative et inférieure à m.
Résidu minimal
Le résidu minimal de a (mod m) est la valeur de b ou b – m, celui qui est plus petit dans sa valeur absolue, où a ≡ b (mod m). Si m = 2b 9 afin que b=|b-m|, alors le résidu minimal est convenu à –b. Le tableau ci-dessous illustre les résidus communs et minimaux de 0, 1, 2 et 3 (mod 4).
n Résidu commun n(mod 4) Résidu minimal n(mod 4)
0 0 0
1 1 1
2 2 - 2
3 3 - 1
Exemple
Trouvez 3713 (mod 17) Solution
37 ≡ 3
372 ≡ 32 ≡ 9 ≡ -8 374 ≡ 81 ≡ ≡ -4
Alors 3713 = 371+4+8 ≡ 3 (-4) (-1) ≡12 (mod 17)
Système modulaire de réduction
Tout système d’entiers f(n), où f(n) est l’indicatrice, représentant toutes les clas- ses de résidus nombres premiers entre eux de n est appelé un système modulaire de réduction.
Classe de résidu
Les classes de résidu de la fonction f (x) mod n sont toutes des valeurs possibles du résidu f (x) (mod n).
Exemple :
Les classes de résidus de x2 (mod 6) sont {0,1,3,4} puisque 0² ≡ 0 (mod 6)
1² ≡ 1 (mod 6) 2² ≡ 4 (mod 6) 3² ≡ 3 (mod 6) 4² ≡ 3 (mod 6)
5² ≡ 1 (mod 6), sont tous les résidus possibles.
Un système complet de résidus est un ensemble d’entiers contenant un élément de chaque classe, alors {0,1,9,16} serait un système complet de résidus pour x2 (mod 6).
(Wolfram Mathworld)
Définitions
1) Si a ≡ b (mod m), alors b est appelé résidu d’un mod m.
2) Un ensemble {x1, x2, x3,……….. xm} est appelé un système complet de résidus (mod m) si ∀ n, $ x ∍ n ≡ xi(mod m)
3) La classe de congruence (classe de résidu) de n (mod m) est l’ensemble {n + mx|x Z}.
4) Un système modulaire de réduction (mod m) est un ensemble d’entiers ri avec (ri, m) = 1 ∍ pour n’importe quel n avec (n,m)=1 $ ri ∍ n ≡ ri (mod m)
