ANALYSE À BANDE RELATIVE CONSTANTE EN ACOUSTIQUE, SPHÈRES D'HELMHOLTZ ET ONDELETTES "MORLET"

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ANALYSE À BANDE RELATIVE CONSTANTE EN ACOUSTIQUE, SPHÈRES D’HELMHOLTZ ET

ONDELETTES ”MORLET”

B. Escudie, A. Grossmann

To cite this version:

B. Escudie, A. Grossmann. ANALYSE À BANDE RELATIVE CONSTANTE EN ACOUSTIQUE,

SPHÈRES D’HELMHOLTZ ET ONDELETTES ”MORLET”. Journal de Physique Colloques, 1990,

51 (C2), pp.C2-717-C2-720. �10.1051/jphyscol:19902166�. �jpa-00230469�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n02, Tome 51, Février 1990

ler Congrès Français d'Acoustique 1990

ANALYSE

À

BANDE RELATIVE CONSTANTE EN ACOUSTIQUE, SPHÈRES D'HELMHOLTZ

ET

ONDELETTES "MORLET"

B. ESCUDIE et A. GROSSMANN*

p S T / U R A 346 CNRS, ICPI, 25,

Rue

du Plat, F-69288 Lyon Cedex 02, France CPT-CNRS, Case 907, Université Aix Marseille, Luminu, France

Résumé : La r e p r é s e n t a t i o n en o n d e l e t t e s apparue récemment f o r m a l i s e l ' a n a l y s e en bande d ' o c t a v e à s u r t e n s i o n c o n s t a n t e , i n s p i r é e de l ' é t u d e de l ' a u d i t i o n . L ' i n v a r i a n c e par changement d ' é c h e l l e e s t l a p r o p r i é t é fondamentale mise en oeuvre dans une t e l l e r e p r é - s e n t a t i o n . E l l e r e j o i n t c e r t a i n e s r e p r é s e n t a t i o n s en temps e t fréquence.

Abstract

: . g a v e l e t r e p r e s e n t a t i o n d e r i v e d a few y e a r s ago d e a l s w i t h r e l a t i v e band- width a n a l y s i s r e l a t e d w i t h a u d i t o r y models. S c a l i n g I n v a r i a n c e i s t h e main p r o p e r t y used t o d e f i n e such r e p r e s e n t a t i o n s r e l a t e d w i t h v a r i o u s time andfrequency

r e p r e s e n t a t i o n s .

INTRODUCTION :

~ ' a n a l ~ s e a c o u s t i q u e à s u r t e n s i o n c o n s t a n t e , ou bande r e l a t i v e c o n s t a n t e e t l ' a n a l y s e d i t e en o n d e l e t t e r e l è v e n t t o u t e s deux d'un même s o u c i :

-

l o c a l i s e r d e s composants en temps d e fréquence

-

m e t t r e en évidence d e s m o t i f s homothétiques

Leurs b u t s communs l e s o n t f a i t a p p a r a i t r e en réponseà d e s q u e s t i o n s d i v e r s e s mais dont l ' o r i - g i n e a v a i t c e t t e double appartenance. Leur l i e n avec l e s r e p r é s e n t a t i o n s en temps e t f r é - quence en découle p a r v o i e de conséquence. Le p o i n t d e d é p a r t h i s t o r i q u e l i é à l ' a n a l y s e d e l ' a u d i t i o n c o n d u i t à d e s modèles a c o u s t i q u e s . Les i n v a r i a n c e s par changement d ' é c h e l l e e t dé- c a l a g e a p p a r u r e n t n a t u r e l l e m e n t en l i a i s o n avec l e s temps d e propagation e t l ' a n a l y s e de l ' e f f e t DOPPLER.

1

-

PREHISTOIRE ET O R I G I N E DE SES REPRESENTATIONS :

L'analyse d e l ' a u d i t i o n p a r HELMHOLTZ l e c o n d u i s i t au modèle d e r é c e p t e u r à c a v i t é s accordées.

Selon l u i c e t y p e de r é c e p t e u r p o u v a i t e x p l i q u e r l e phénomène de l ' a u d i t i o n compte tenu des p r o p r i é t é s observées. De t e l l e s c a v i t é s du type s u i v a n t pouvaient ê t r e r e p r é s e n t é e s par mo- d è l e é l e c t r i q u e d e c i r c u i t résonnant à s u r t e n s i o n c o n s t a n t e . Divers a p p a r e i l s dont ceux dus à KONIG p e r m e t t a i e n t une r e p r é s e n t a t i o n v i s u e l l e s u r é c r a n d e s composantes p r é s e n t e s à d a t e e t f r é q u e n c e donnée.

(3

⁾

(2);

9

f i g u r e 1 : Système résonnant a c o u s t i q u e e t é l e c t r i q u e 2 - ANALYSEUR A SURTENSION CONSTANTE, ANALYSE TEMPS

-

FREQUENCE : a ) F i l t r e RLC r é s o n n a n t , s u r t e n s i o n :

La f i g u r e 1 précédente i l l u s t r e l e c i r c u i t fondamental permettant une t e l l e a n a l y s e . I l f u t m i s en oeuvre p a r b i e n d e s s p é c i a l i s t e s p r a t i q u a n t l ' a n a l y s e à l a r g e u r d e bande r e l a t i v e pour

l e s é t u d e s de l a p a r o l e

( 4 ) .

La f i g u r e 2 p r é s e n t e l e g a i n complexe h(V) e t l a réponse i m p u l s i o n n e l l e H(t):

Q

s i e n i i i e Tranformée de FOURIER f i g u r e 2 : Réseau accordé R L C ~ s é r i e

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902166

C2-718 COLLOQUE

DE

PHYSIQUE

Q d é t e r m i n e l e temps d ' é t a b l i s s e m e n t d e l a s o r t i e Y ( t ) r e l a t i v e m e n t à l ' e n t r é e X ( t ) = A m ( t ) s i n 2 n v o t . Imposer Q = c t e i n d i q u e q u e t o u s l e s c i r c u i t s a u r o n t m ê m e temps d e r é p o n s e

(1)T

C e t t e c o n t r a i n t e s e t r a d u i t p a r l ' a n a l y s e à bande d ' o c t a v e , ou à f r a c t i o n d q o n d e . ( l ) . E l l e p e r m e t t a i t d e s i m u l e r les e f f e t s d i f f é r e n t i e l s d a n s l ' a u d i t i o n

(1

⁾

.

b) D i s p e r s i o n e t l o c a l i s a t i o n en temps e t f r é q u e n c e d a n s l ' a u d i t i o n :

Les é t u d e s d e l ' a u d i t i o n r é v é l è r e n t r a p i d e m e n t d e s e f f e t s d e p r o p a g a t i o n d i s p e r s i v e d a n s l a c o c h l é e

(4).

Parmi d ' a u t r e s l e modèle dû à J.C. LICKLIDER e n e s t une i l l u s t r a t i o n m o n t r a n t l a d i s p e r s i o n f r é q u e n t i e l l e

d e v i t e s s e

mm

à l a f i g u r e 3 a e t l a l o c a l i s a t i o n d ' u n e composante f r é q u e n t i e l l e d a n s l a g é o m é t r i e du r é c e p - t e u r f i g u r e 3b. La f i g u r e 3 c p r o p o s e un modèle é q u i v a l e n t à d e t e l s e f f e t s , où l e r e t a r d d e g r o u p e ' t g ( 9 ) d e l a l i g n e à r e t a r d t r a d u i t l a d i s p e r s i o n o b s e r v é e . A chaque s o r t i e Z k ( t ) e s t a s s o c i é e u n e mesure d e p u i s s a n c e p e r m e t t a n t d e l o c a l i s e r l ' é n e r g i e en temps e t f r é q u e n c e

(1) (3).

Des e f f e t s e n c o r e p l u s marqués f u r e n t c o n s t a t é s pour l e s c h a u v e s s o u r i s é q u i p é s d e s y s - tème Sonar à d i v e r s i t é . Emettant un s i g n a l c o m p o s i t e l a c o c h l é e s e s p é c i a l i s e d a n s c e do- maine f r é q u e n t i e l pour p e r m e t t r e l a mesure d ' e f f e t s DOPPLER f i n e à l ' a i d e d e l ' é m i s s i o n à

f i g . 4

b ) l o i s d e modula- t i o n du s i g n a l a ) l o c a l i s a t i o n en f r é q u e n c e d e l a c o c h l é e Sonar émis

c ) L o c a l i s a t i o n d a n s l e p l a n temps f r é q u e n c e , l i e n a v e c l e s spectrogrammes :

Mesurer l a p u i s s a n c e i n s t a n t a n é e en s o r t i e d e s f i l t r e s h k ( v ) c o n s i s t e à é t u d i e r l a q u a n t i t é :

~,(k) = J ^a H ~ L ~ - u ) s ( u ) ~ - + I Y ~ ~ ~ = ( J,H.(~~zIu)

^S(U)

q 2 . , ~ ~ t ) = H~ (t -

Qu

)

pour e x p r i m e r l e c a r a c t è r e h o m o t h é t i q u e d e s r é p o n s e s d e f equence c e n t r a l e

Vk

e t d e l a r g e u r d e b a n d e h V K :

Q = %

^.

, ^{s i} HL(+) ^{= H, ( L ) e}

aJK

^Uk

C e c i r e v i e n t à n o r m a l i s e r s i b e s o i n l e s composants l o c a l i s é s d a n s l e p l a n temps f r é q u e n c e . La f i g u r e 5 r e p r é s e n t e une t e l l e s i t u a t i o n pour un s i g n a l a s y m p t o t i q u e à m o d u l a t i o n d e f r é - quence h y p e r b o l i q u e

( 4 ) .

Une t e l l e r e p r é s e n t a t i o n c o n j o i n t e à s u r t e n s i o n c t e e s t d i r e c t e m e n t

l i é e à l a r e p e é s e n t a t i o n e n o n d e l e t t e e t a p e r m i s un modèle d e r é c e p t e u r co- f i e . 5 h é r e n t pour l e s y s t è m e Sonar d e l a

3

chauve s o u r i s

6).

l o c a l i s a t i o n d a n s l e p l a n temps f r é q u e n c e

3

-

DEVELOPPEMENT DE GABOR : INVARIANCE PAR TRANSLATION : (6)

Tenant compte d e l ' i n v a r i a n c e p a r t r a n s l a t i o n en temps e t f r é q u e n c e D. GABOR p r o p o s a u n e r e p r é - s e n t a t i o n u t i l i s a n t l e s s i g n a u x é l é m e n t a i r e s a t t e i g n a n t s l a b o r n e i n f é r i e u r e d e l ' i n é g a l i t é

temps f r é q u e n c e : (6).

-lrh2

s ( ~ ) P C Z C ~ ~ ~ ~ ~ - O A ~ , V - & )

n ta > i T ( k ) = e

développement peu facile à manipuler vu la non orthogonalité de la b a s e p

.

Divers auteurs ont généralisé ce type de développement

(Y)a(g).

Un procédé intéressant utffisant une base or- thogonale est celui dû à R.M. LERNER (40).

-at

L M ~

sik)= TpKV~it)

lc

, q = e e euct)

⁾

l'orth~~onalisation réalisée avec le poidse peut être reliée

2at

à une base avec surtension cte dans le cas de signaux à bande étroite (40).

4

-

SPECTROGRAMMES ACOUSTIQUES OU AUTRES A INVARIANCE D'ECHELLE :

a) Spectrogrammes à surtension constante : La contrainte de surtension constante traduit l'in- variance en forme des ré onses impulsionnelles des filtres analyseurs à une homothétie tempo- relle donnée

k-

7b=~~.Utilisant les données ~récédentes divers auteurs mirent en place de tels procédés d'analyse : (Ii'

&b,\))= Jtbly0(t -4

^Z(U)

e -2inYu

d ( ~

, ^{Hye= (%t)}

²

^{a -vob u(W}

- M

Ce procédé dû à G.GAMBARDELLAmet en oeuvre l'invariance par changement d'échelle pour explo-

--

rer l'axe des fréquences

3

par le changement

9-

k?/n=Ja. De même A.L. LEVSHIN a décrit un procédé analogue : -

~ ( t & j ' ~ h ( ~ + ) ~ t n ) e M n t

où le gain du filtre accor- dé h est exprimé en coordonnées réduites. Dans le cadre de l'analyse de la parole (13)

S.E. YOUNGBERG a défini une représentation permettant la reconstitution du signal Z à partir

de la quantité suivante :

-

^2hVU

Yq(q~)=J ^P ~ ( v - ) H ( ( & - u ) $ ) ~ du.

Toutes ces grandeurs considérées,quant à leur module earré,définissent des spectrogrammes ré- partissant l'énergie du signal dans le plan (t,v) ou dans le plan temps échelle (t,7 )

puisque

3 ~ = 7 k $

où vo est une fréquence de référence. La contrainte de surtension constante traduit une invariance forme de la réponse Hk du kième filtre obtenu par le changement d'échelle

t -t/ljk : 3k

b) Invariance par décalage et changement d'échelle :

La suite de toutes ces tentatives est apparue quand on prit en compte dans l'analyse de si- gnaux les invariances par changement d'échelle et décalage temporel. Ceci était dû d'une part aux études sur la phonation et l'audition, et d'autre part sur l'étude de la formation d'écho en acoustique par des cibles mobiles. L'étude des systèmes Sonar biologiques fut relativement décisive à ce point de vue. Prendre en compte l'invariance par changement d'échelle n6cessite d'utiliser la transformée de MELLIN adaptée à ce type de transformation. Pour tenir compte des

de MELLIN

-

^FOURJER (14) 05).

,t .+

^&tk)

⁼ J>w e ' z ~ 7 - C ~ d P &

b-c+

2 n J

sous la transformation'! +

e %

dont la synthhse est peu commode. _vo

c) Signaux acoustiques invaraints par changement d'échelle : Une autre solution conduisant aux mêmes invariances est due à R.A. ALTES et M. ZAKHARIA 66)

(ln.

Leur approche est analogue à celle du modèle de cible acoustique proposé par FRIEDMANN (la. Ce modèle représenté à la figure 6 définit un "ensemble de points brillants" Jsources équivalentes associées au centre de courbure des ondes) définis à partir d'intégrales et des dérivées de S(t). La contrainte de surtension constante, ou de changement d'échelle se manifeste par une contrainte de

a an de

utile constante" pour S(t) et ses dérivées sln)(t). La contrainte ramenant dn'(t) à S(17t) manifeste de l'invariance traduite à l'aide de la transformée de MELLIN-FOURIER :

. . .

W . .

S . .

Ett)

modèle h o i n t s brillants co1ori.s dû à PREEDMANN

C2-720 COLLOQUE DE PHYSIQUE

L ' i n c o n v é n i e n t d'un t e l p r o c é d é e s t l ' e m p l o i d ' u n développement s u r u n e b a s e non o r t h o g o n a l e . Les i n t é g r a t i o n s e t l e s d é r i v a t i o n s s e ramènent à d e s changements d ' é c h e l l e f o u r n i s s a n t l e dé- veloppement à p a r t i r d e l a f o n c t i o n dTAmbigu'ité e n compression.

5 - ANALYSE ET REPRESENTATIOF EN ONDELETTES : (18)

La r e p r é s e n t a t i o n e n o n d e l e t t e n a i t d e s b e s o i n s d ' a n a l y s e d e s s i g n a u x en géophysique. La r e - p r é s e n t a t i o n d e FOURIER n ' o f f r a n t p a s t o u t e s l e s p r o p r i é t é s r e q u i s e s , J. MORLET p r o p o s e une r e p r é s e n t a t i o n p o s s é d a n t l ' i n v a r i a n c e p a r changement d ' é c h e l l e . La d é f i n i t i o n d e l a r e p r é s e n - t a t i o n e s t l a s u i v a n t e

ttj4,t,)=&

: ( l m

Ls(u.)c * (AL$)&= G ./a~(rn@*hwe ^Srnb&

e t l ' o n d e l e t t e d ' a n a l y s e G e s t d ' é n e r g i e f i n i e . Pour d e s r a i s o n s d e commodité d e r e p r é s e n t a - t i o n s &!(])) e s t supposée a n a l y t i q u e e t g ( o ) = O. C e t t e c o n t r a i n t e p o r t a n t s u r g ( V ) amène :

Ces 2 c o n t r a i n t e s u t i l i s a n t d e s p r o p r i é t é s d e l a t r a n s f o r m é e d e MELLIN FOURIER t r a d u i s e n t l a c o n t r a i n t e d e r e c o n s t i t u t i o n de S ( t ) à p a r t i r d e , û ( a , b ) . L ' i n t e r p r é t a t i o n p o s s i b l e d e l a r e - p r é s e n t a t i o n S ( a , b ) s e f a i t avec l a f o n c t i o n d ' i n t e r a m b i g u i t é d e S e t G :

Les p r o p r i é t é s d e s f o n c t i o n s d'Ambiguïté r e j o i n g n e n t d i r e c t e m e n t l ' i n t e r p r é t a t i o n f a i t e p a r Y . MEYER de l ' e f f e t d'analyse du s i g n a l S p a r l a f o n c t i o n a n a l y s a n t e G . (19).

La d é f i n i t i o n d e l a r e p r é s e n t a t i o n d{a,b)permet l ' a n a l y s e d e s s i g n a u x a c o u s t i q u e s ; e l l e r e - fond d a n s un même c a d r e l ' a n a l y s e p a r bande d ' o c t a v e , les modèles d e r é c e p t e u r s a c o u s t i q u e s , e t l ' a n a l y s e p a r f o n c t i o n dlAmbiguité. Dans l e c a s d e s s i g n a u x a 6 y m p t o t i q u e s l e s p r o p r i é t é s d e

4 _&/dlo

p e r m e t t e n t d ' e x t r a i r e l e s composantes Z e t a r g Z t r a d u i s a n t l e s l o i s d e modula- t i o n du s i g n a l a n a l y t i q u e Z l i é à S

(&).

Un modèle p o s s i b l e d e r é c e p t e u r c o h é r e n t (ou semi co- h é r e n t ) s ' e n d é d u i t pour l ' é t u d e d e s s y s t è m e s SONARS b i o l o g i q u e s (20). Des t r a v a u x r é c e n t s o n t montré l e l i e n e n t r e l a r e p r é s e n t a t i o n en o n d e l e t t e (31).

CONCLUSION :

La r e p r é s e n t a t i o n e n o n d e l e t t e p r o f i t e d e s p r o p r i é t é s l i é e s à l ' i n v a r i a n c e p a r changement d ' é c h e l l e . E l l e s ' i d e n t i f i e formellement avec l a f o n c t i o n d1ArnbiguTté, e t p o s s è d e d e S . l i e n s a v e c l e s r e p r é s e n t a t i o n s en temps e t f r é q u e n c e . Sa mise e n p l a c e a p r o f i t é d e s s u g g e s t i o n s f a i t e s p a r l ' a n a l y s e à bande r e l a t i v e c o n s t a n t e d u e à l ' a c o u s t i q u e e t l ' é t u d e d e l ' a u d i t i o n , e t d e p r o p r i é t é s t h é o r i q u e s é t a b l i e s au c o u r s d ' é t u d e s mathématiques r é c e n t e s .

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