Erosion, transport et instabilités d'un lit de particules dans un tube

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Erosion, transport et instabilités d’un lit de particules

dans un tube

Malika Ouriemi

To cite this version:

Malika Ouriemi. Erosion, transport et instabilités d’un lit de particules dans un tube. Mécanique

[physics.med-ph]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2007. Français. �tel-00202496�

E ole Polyte hnique Universitaire de Marseille

IUSTI UMR CNRS 6595

THESE DE DOCTORAT

présentée par

Malika Ouriemi

pourobtenir legrade de

Do teur de l'Université de Proven e

E oledo toralePhysique,Modélisationet S ien es pour l'ingénieur

intitulée

Erosion, transport et instabilités

d'un lit de parti ules dans un tube

Soutenue le20 Septembre 2007devant lejury omposéde:

M.AlainPo heau Examinateur

MmeÉlisabeth Guazzelli Dire tri ede thèse

M.FrançoisCharru Rapporteur

M.John Hin h Rapporteur

MmePas aleAussillous Co-dire tri ede thèse

Jevoudrais ommen erparremer ierRogerMartinpourm'avoira ueillie

pen-dant es trois annéesde thèse dans son laboratoire.

Je remer ie également AlainPo heau pouravoir a epté de faire partie de mon

jury, ainsi que François Charru et John Hin h pour leur le ture attentive de mon

manus ritet la ri hesse deleurs remarques.

Jeremer iel'IFPpouravoirsubventionnémontravailainsiqueYanni kPeysson

monpromoteurIFP pour sa disponibilitéet l'aide qu'ilm a apporté toutau long de

ettethèse. Mer i Yanni k,j'ai beau oup appré iénotre ollaboration.

J'ai eut le plaisir de travailler pendant trois ans ave deux dire tri es de thèse

ex eptionnelles Elisabeth Guazzelli (babette) et Pas ale Aussillous qui m'ont guidée

et onseillée tout au long de ette thèse. Babette, mer i pour fait m'avoir toujours

remisedans la bonne dire tion etm'avoir appris à réaliser untravail de

profession-nel. Pas ale ou plutt Super Pas ale, mer i pour avoir patiemment répondu à mes

questions et surtout pour ta disponibilité, ta gentillesse et ton soutien. Travailler

ave toirestera sans doutesl'un demes meilleurs souvenirs de es trois ans.

Faire une thèse 'est aussi s'intégrer dans une équipe. Un grand mer i à toute

l'équipe duGEP pour leura ueil,leursympathieetleur soutientoutau longde es

trois ans. Cha un des membres de ette équipe a ontribué à sa manière à rendre

ettethèse siagréable,Olivier,YoeletMaximepar leurpatien e etsurtoutla grande

ompéten e ave laquelle ils ont répondu à mes nombreuses questions, Lauren e et

Blan he par leurs é lats de rire et leur bonne humeur quotidienne, Nathalie par sa gentillesse et ses soirées jeux, Fred par ses onnaissan es te hniques... Je n'oublie

pas nonplus lesthésards,partieintégrante del'équipe, les an iens, Pierre, Bloen et

Céline,mer ipourvos onseilsetvotre disponibilitéetles nouveaux, Mi kael,Lihua

et Florent, mer i pour votre soutien. Je voudrais faire deux dédi a es spé iales, la

première pour monpapa thésard, etnon Cyril, je net'ai pas oublié, mer i pour ton

amitié et ta présen e. Et puis la deuxième qui me tient parti ulièrement à oeur,

pour Daniel, mon point d'an rage à Marseille pendant es trois ans, mer i d'avoir

été là.

Mer i aussià tous les membresdu laboratoire pour leur a ueilet enparti ulier

àJérmepourm'avoirfaitdé ouvrirl'es aladedansles alanquesetaux thésardsde

l'IUSTIpourleursoutien,Guillaume,ErwinetNi olasàquandlapro hainepartie?

Ja keline,mer ipourtonamitié,notammentdanslesmomentsdi iles.Timmer i

pour ton amitié, les bons repas, lepetit restotunisien, la plage...

Et puis d'un point de vue plus personnel, il y a aussi toutes les personnes qui

tous esmomentspassésensembleque e soitenweàla mer,à la ampagne,auski,

déguisés ou non en mage ou en voleur, ou tout simplement autour d'un bon repas

oud'unetabledebillard... quim'ont permis denejamaisoublierqu'il ya une vieà

té de la thèse.

Et surtout ma famille toujours dèle au poste. Papa, maman, de la petite lle

qui n'aimait pas l'é oleau do teur,toute une histoire... mer i pourtout

Isma,mer i pourton soutien,mêmeà distan e il omptebeau ouppourmoi.Sonia

que dire que tu ne sa hes déjà, à part peut être rendez-vous dans un jour pro he

pour unnouveau do teur...Ahmed, mer i pour être venu spé ialementde Tunisieet

surtoutmer ipour es su ulentsgâteauxtunisiensqui resterontdansles mémoires.

Pour mes deux niè es d'amour Sara et Sana : par e qu'un jour vous serez grandes

etquevouslirez peut être es lignes,mer i d'être tellesquevous êtes.Tania,qui est

venue à mon se ours à haque fois que j'en ai eut besoin, mer i pour ton aide. Et

pour nir, le patriar he de la famille, papy, mer i pour avoir en ore ette forme et

ette énergie,surtout ne hange pas...

Il ne me reste plus qu'à remer ier la personne qui m'a portée à bout de bras

pendant es trois ans, David, mer i pour m'avoir soutenue et pour avoir toujours

1 État de l'art 9

1.1 Comment bougent les grains? . . . 9

1.1.1 Suspension. . . 10

1.1.2 Saltation . . . 10

1.1.3 Reptation . . . 10

1.1.4 Glissementou roulement . . . 10

1.2 Paramètresphysiques impliqués . . . 11

1.3 Miseen mouvement des grains . . . 13

1.3.1 Existen e d'unseuil? . . . 13

1.3.2 Mesures expérimentalesduseuil . . . 13

1.3.3 Existe-t-ilun uniqueseuil? . . . 13

1.3.4 Problèmes ren ontrés lors de la déterminationexpérimentale du seuil . . . 15

1.4 Stru turessédimentairessous-marines. . . 16

1.4.1 Formessédimentairesnaturelles . . . 16

1.4.2 Dunes de laboratoire . . . 19

1.5 Pourquoides stru tures apparaissent-elles? . . . 22

1.5.1 Peut-ondiéren ierleseuildedéstabilisationduseuildemise en mouvement des grains? . . . 22

1.5.2 Modélisation: deuxappro hes diérentes . . . 23

1.5.3 É oulement deuide audessus d'un fondsinusoïdal . . . 24

1.5.4 Transportde parti ules . . . 25

1.5.5 Étude delastabilité dulit . . . 28

2 Dispositif expérimental 33 2.1 Parti uleset uide . . . 33 2.1.1 Parti ules . . . 33 2.1.2 Fluide . . . 35 2.2 Dispositifs expérimentaux . . . 36 2.2.1 Montages expérimentaux . . . 36

2.2.2 Expérien es réaliséesà débitou àpression imposé? . . . 38

2.2.3 Proto oleexpérimental . . . 41

2.2.4 Réalisation d'un fondsinusoïdal . . . 41

2.3 Te hniquesexpérimentales . . . 42

2.3.1 PIV . . . 43

2.3.4 Calibration . . . 49

2.4 Zoologiedes dunes . . . 49

2.4.1 Paramètresexpérimentaux . . . 49

2.4.2 Diérentsrégimes . . . 50

2.4.3 Zone d'existen e de esdiérentsrégimes . . . 54

3 Seuil de mise en mouvement 57 3.1 Signi ationdu seuildemiseen mouvement . . . 57

3.2 Seuil d'arrêtde mouvement . . . 59

3.2.1 Correspondan eentreleseuild'arrêtdemouvementetleseuil de miseen mouvement . . . 60

3.2.2 Dépendan e de la ontrainte du uide appliquée à la surfa e du milieugranulaire . . . 61

3.3 Copiede lalettre . . . 62

4 Lit plat en mouvement 69 4.1 Évolutiondulitplatenmouvement: unemesureindire teduux de parti ules . . . 70

4.1.1 Du litplatidéalauxréalitésexpérimentales . . . 70

4.1.2 Evolutiondu litplat . . . 72

4.2 Intera tionuide/milieugranulaire . . . 74

4.2.1 Choix d'unemodélisation . . . 74

4.2.2 Choix des fermetures . . . 75

4.2.3 Résolution numérique : méthodedes diéren es nies . . . 82

4.3 Arti le . . . 84

4.4 Complémentsàl'arti le. . . 105

4.4.1 Seuil natureldans unmilieuporeux . . . 105

4.4.2 Confrontationave lesdiérentsmodèlesanalytiquesdela lit-térature . . . 107

4.5 Con lusion . . . 110

5 Formation des dunes 113 5.1 Seuil de formationdes petitesdunes . . . 113

5.1.1 Prin ipe de l'étude . . . 113

5.1.2 Arti le . . . 114

5.2 Complémentà l'arti le . . . 131

5.2.1 Évolutiontemporelledes dunes :instabilité onve tive ou ab-solue? . . . 132

5.2.2 Signi ationdes valeursmoyennées . . . 133

5.2.3 Dunes àvortex . . . 134

5.3 Con lusion . . . 140

A Obtention des équations diphasiques 143 A.1 Des ription statistiquedes milieuxdispersés . . . 143

lo al[Ja kson(1997)℄ . . . 145

A.2.1 Dénitions etthéorèmes . . . 145

A.3 Lienentre lesdiérentsmoyennage . . . 150

A.3.1 Intera tion uide/solide . . . 150

A.3.2 Intera tion solide/solide . . . 151

A.3.3 Lien entre

φ(x)

et

n(x)

. . . 151

A.3.4 Lien entre la moyenne sur la phase solide et la moyenne sur les parti ulesrigides . . . 152

A.3.5 Équations diphasiques . . . 155

A.4 Fermeturedes équations . . . 156

A.4.1 Déterminationdes termes

< u

i

u

j

>

f

et

< u

i

u

j

>

s

. . . 156 A.4.2 Expression de

n < f

f

i

>

p

. . . 156 A.4.3 Expression de

S

f

ij

. . . 160

A marée basse, la mer se retire sur plusieurs entaines de mètres, laissant une

immenseétendue de fonds marins dé ouverts.Ces fonds sont deformés par des

pe-titesstru turesplusoumoinsrégulièresdel'ordredequelques entimètres(gure1).

Il s'agit de rides de sable qui ont été formées sous l'a tion du mouvement de la

mer (vagues et ourantsmarins). Ces rides sont l'exemple typique des intera tions omplexes pouvant exister entreun uide et un milieugranulaire. Sous l'a tiondu

uide, le milieu granulaire se met en mouvement et peut se déformer entraînant

la réationde rides. Ces rides vont hanger les onditions auxbords du uide,

en-traînant en retour une perturbation de l'é oulement. Un autre exemple typique de

etteintera tion on ernel'évolutiondesvoiesuviales.L'é oulementdel'eausurle

fond entraîne laformationde dunes. En retour,l'é oulementva dissiper une partie

de son énergie à travers la for e de traînée qu'il exer e sur les dunes et les zones

de turbulen e réées par leur présen e.L'énergie de l'é oulement étant dire tement

reliée à la pente du euve, le niveau du euve va augmenter an de ompenser la

perted'énergiedueàlaprésen ededunes.Ilestdon trèsimportantde omprendre

l'intera tion existant entre l'é oulement et lesol granulairean de pouvoir prédire

l'évolutiondes rivières, anaux et estuaires.

Fig. 1 Rides desable surlaplage

Dansledomaineindustriel,lesdemandes on ernant unebonne modélisationde

e ouplage sontaussitrès fortes,notammentdansledomainepétrolieroù les

é ou-lements onstitués d'un mélange uide/parti ulessont ourant. Lors des phases de

produ tion,lespipe-linestransportentunmélangedepétrole,d'eauetde gaz.Pour

des onditionsdebassetempératureetdepressionélevée(o-shoresousgrande

pro-fondeurd'eau), les parti ules d'eauet de gaz vont réagirpour former des hydrates

de gaz (gure 2). Les hydrates de gaz ressemblent à de la neige sale et peuvent

oagulerentraînant l'obstru tiontotaledupipe-line.Pour ontrer e problème,une

des solutionsutilisée onsiste àinje ter des tensios-a tifs[Sinquin etal. (2004)℄qui

vont empê her la oagulationdes hydrates. Ceux- ivont don resteren suspension

duredémarragede l'é oulement.

Fig. 2  Bou hon d'hydrates (sour e : IFP) et ourbe d'existen e des hydrates en

fon tionde lapressionet de latempératured'après Sinquinet al. (2004).

C'est dans e ontexte que s'ins rit ette thèse. Elle a pour but lamodélisation

de la remise en mar he d'un é oulement sur un lit de parti ules déposées dans un

tubeàtraversuneappro heexpérimentale. Pour ela,nous avons dé idéd'aborder

le problème sous un angle simplié an de mieux appréhender les mé anismes de

baseexistantlorsdelaremiseené oulement.Lespremièresexpérien esqualitatives

réaliséesmontrent que sous l'a tionde l'é oulement,le litde parti ulesse déforme

entraînant l'apparitionde stru tures sédimentaires.An d'étudier le mé anismede

formationde esstru tures et leurrétroa tionsur l'é oulement, nous nous sommes

posés plusieursquestions :

Quelssont les paramètresinuant surlamiseenmouvementdes parti ules?

Comment peut-on modéliserle ouplage uide/milieugranulaire?

Pourquoide tellesstru tures sédimentaires apparaissent-elles?

Comment esstru tures évoluent-elles ave letemps?

Après une des riptionrapide de l'état des onnaissan es on ernant es diérentes

questions,nous présenterons en détaille dispositif expérimental utiliséau ours de

ette thèse puis dans les quatre derniers hapitres, nous apporterons des éléments

État de l'art

Dans e hapitrenous allonsfaire unpetit détourpar lalittérature an de

pré-senter brièvement l'état des onnaissan es dans le domainedes milieuxgranulaires

soumisàuné oulementdeuide.Nous ommen eronsparnouspla eràl'é helledes

grainsan d'étudier lesdiérentsmodes de transport, ainsiquele seuilde miseen

mouvement des parti ules. Ensuite nous nous intéresserons à l'évolution du milieu

granulaireàuneé hellepluslarge.Nousdé rironsainsilesdiérentesstru tures

exis-tantdanslanatureouenlaboratoireet nousprésenterons lesmé anismesphysiques

dé rits ommeétant à l'originede laformationde esstru tures.

1.1 Comment bougent les grains?

Sionsoumetunlitdegrainsinitialementaureposàuné oulementdeuide,ilse

meten mouvement.Suivantles ara téristiquesde l'é oulement,onpeut distinguer

quatre modes de transports prin ipaux (gure1.1).

PSfragrepla ements transportpar suspension transportpar saltation transportpar roulement

Il existe deux types de miseen suspension suivant la nature del'é oulement,la

resuspension visqueuseet laresuspension turbulente.

Laresuspension visqueusedé ritepar Leighton &A rivos (1986)résulted'un

équi-libreentrelafor edegravitéquieststabilisanteetladiusion auséeparle

isaille-ment.Fran is(1973)dé ritlatraje toired'ungrainensuspension ommelégèrement

ondulée. Elle se situe à une hauteur typique de dix diamètres de grains au dessus

dulitdeparti ules.Ungrainen suspensionee tue unedistan edel'ordredemille

diamètresdegrainsavant de retomber.

Dans l'air, la resuspension est du type turbulente. Seuls les grains de petite

taillepeuvent resteren suspensionsurdes grandesdistan es,leur poidsn'étant pas

susantpour ontrerlesu tuationsturbulentesdel'é oulementquileurredonnent

de l'altitude.Les grainsde plus grosse tailleretombent et entrent en ollision ave

lasurfa e,ee tuant unmouvement de saltation.

1.1.2 Saltation

Les grainsqui retombent entrent en ollision ave les grainssitués à lasurfa e.

L'énergieemmagasinéelorsde ette ollisionleurpermetderebondiretde ontinuer

à avan er. De tels grainssont appelés saltons. Lors de la ollision, ilsdélogent des

parti ulesdelasurfa edulit, réantainsidessaltonsoudesreptons.Bagnold(1956)

expliquelephénomènedesaltationparleseets ombinésdela omposantenormale

delafor ede onta texer ée surun grainpar sesvoisinset delafor edeportan e

hydrodynamiqueduuidesur egrain.Sousl'a tionde esfor es,legrainestsoulevé

à une hauteur de deuxou troisdiamètres et est emporté par l'é oulement sur une

distan edetrente diamètresavant deretomber pargravité[Fran is(1973)℄.

1.1.3 Reptation

Lesreptonsreprésententlesparti ulesquiaprèsavoirétédélogéespardessaltons

vont roulerà lasurfa edu litsur des distan esde l'ordrede plusieurs diamètres.

1.1.4 Glissement ou roulement

Il s'agit du prin ipalmode de transport dans un liquidequand il n'y a pas de

phénomène de suspension. Sous l'eet de la for e de traînée du uide, les grains,

ouramment appelés tra tons, roulent et/ou glissent à la surfa e du lit de grains,

ave laquelleilsrestent en permanen een onta t. Expérimentalement, on observe

que seules les ou hes supérieures sont en mouvement. Ce mode de transport est

prin ipalement ara térisépar le isaillementee tifexistant àlasurfa edulitetil

existeindépendammentde lanaturede l'é oulement.

Dansl'air,il n'yapasde tra tons.Lesgrainsquiroulentà lasurfa edulitsont

misenmouvement suite à la ollisionave un salton.Il s'agitdon de reptons.

La saltation et la reptation sont les prin ipaux modes de transport dans l'air.

trans-premières parti ules, puis au ours d'un mé anisme de saturation, la quantité de

saltons transportée par le vent augmente jusqu'à atteindre une valeur maximale

[Hersen (2004)℄. En rebondissant, les saltons augmentent leur vitesse, e qui leur

permet de déloger plus de saltons. Ave l'augmentation du nombre de saltons, la

vitesse du vent diminue et l'équilibre estatteint quand la vitesse des saltons avant

la ollisionleurpermetjustederebondirsansentraînerd'autressaltons.À ausede

leur inertie,lessaltons mettent une ertaine distan e

l

s

avant d'atteindrelavitesse de saturation [Andreotti(2004)℄. Cette distan e dépend du diamètre des grains,

d

, et durapportentreladensité duuide

ρ

f

et desparti ules

ρ

p

,

l

s

= d

ρ

p

ρ

f

.

(1.1)

Dans un liquide, à ause du ara tère dissipatif du uide, la quantité d'énergie

dissipéelorsdela ollisionestsouventtropimportantepourquelessaltonspuissent

rebondir ou entraîner la mise en mouvement d'un repton. D'après Gondret et al.

(2001), le nombre pertinent pour ara tériser le régime de ollision immergée est

le nombre de Stokes,

St = U

p

ρ

p

d/(9η)

, où

U

p

est la vitesse de la parti ule et

η

la vis ositédynamiqueduuide.LenombredeStokes omparel'inertiedelaparti ule

etlafor evisqueusedueauuide.Il existeunnombredeStokes ritiqueendessous

duquel onn'observe pas derebonds.

Danslalittérature,letransportde grainsestdivisé endeux atégories,le

trans-port par suspension qui in lut uniquement les grains en suspension et le

trans-portpar harriagequiin lutlesgrainsenroulement/glissement eten saltation

[Ba-gnold(1956)℄.L'apparitiondel'unoul'autrede esmodesdetransportdépend des

paramètres ara térisant l'é oulement et les parti ules. Le transport par saltation

étant souvent négligeable dans les liquides et nos onditions expérimentales étant

au-dessousdeslimitesdelamiseensuspension,nous nousintéresseronsuniquement

au asoulesgrainsenmouvementsonten onta tquasipermanent ave lesommet

dulitde parti ules, 'est-à-direau transportpar harriage.

1.2 Paramètres physiques impliqués

Letransportdeparti ulessousuné oulementdeuideestgouvernéparplusieurs

paramètresphysiques,

 lamassevolumiquedes parti ules

ρ

p

,  lamassevolumiqueduuide

ρ

f

,  lavis osité inématique duuide

ν

,  lediamètredes parti ules

d

,

 une longueur ara téristique de l'é oulement L, par exemple la hauteur de

uide

h

f

au dessusdu litdeparti ule,

 la ontrainte quele uideexer e surlesparti ules

τ

f

,

 lagravité

g

,

 lavitesse moyenne del'é oulement

U

m

.

Onpeut oupler esparamètressouslaformedeplusieurs nombressansdimension.

É oulement laminaire

Re =

U

m

L

ν

Cou he limite,é oulement turbulent

Re

∗

=

u

∗

d

ν

Parti ule

Re

p

=

˙γd

2

ν

Tab.1.1DiérentesexpressionsdunombredeReynolds,où

u

∗

représentelavitesse defrottement(

u

2

∗

= τ

f

/ρ

f

dansle asd'une ou he limitesurunesurfa erugueuse) et

˙γ

le isaillement duuideau niveau dulitde parti ules.

au rapport entre les for es d'inertie et les for es visqueuses. Il peut être déni à

diérentesé helles (table1.1).Dans lasuite nous travailleronsprin ipalement ave

lenombre de Reynolds onstruità l'é helledel'é oulement.

Pour ara tériser le milieugranulaire et le uide indépendamment de

l'é oule-ment,on utilisesouvent lenombre de Galilée,

Ga =

d

3

_ρ

f

∆ρg

η

2

,

(1.2)

où

∆ρ = ρ

p

− ρ

f

, qui orrespond à un nombre de Reynolds basé sur la vitesse de sédimentationdes parti uleset surlediamètre des parti ules.

L'intera tionuide/milieugranulaireauniveaudel'interfa eestenrèglegénérale

ara tériséepar lenombre de Shieldsqui aétédénipar Shieldsen 1936,

θ =

τ

f

∆ρgd

.

(1.3)

Le nombre de Shields orrespond au rapport de la for ede traînéedu uide surle

poids apparent des parti ules. La for ede traînée tend à mettre en mouvement les

parti ules,tandisquelepoidsapparents'opposeaumouvement.Ladénitionde

τ

f

dépend de la nature de l'é oulement. Pour un é oulement laminaire,

τ

f

est déni

par

τ

f

= η ˙γ,

(1.4)

où

η

estlavis osité inématiqueduuide eton peut relierle nombrede Shieldsau nombre deGaliléeet au nombre deReynoldsparti ulaireparl'égalité

θ = Re

p

/Ga

.

Tous es nombres adimensionnés permettent de dé rire le uide, le milieu

gra-nulaireet l'intera tionentrelesdeux. Onpeut se demander dansquelles onditions

1.3.1 Existen e d'un seuil?

Expérimentalement, on observe que pour des faibles vitesses de uide, les

par-ti ules ne bougent pas. On peut don dénir un seuil de mise en mouvement des

parti ules. Suite à des mesures expérimentales, Shields a déni e seuil en terme

de nombre de Shields ritique

θ

c

dans le as d'un é oulement turbulent. Depuis, le

nombredeShields ritiqueestgénéralementutilisépour ara tériserleseuildemise

enmouvement.Denombreuxauteurs ontessayédedéterminersavaleurdemanière

théoriqueouexpérimentale.Généralement,l'étudethéoriqueestabordéeenutilisant

un modèle simplié. On se pla e dans une onguration à deux dimensions et on

onsidèreungrainsituésurlelitdeparti ules.Laparti uleestsoumiseàlafor ede

traînéeduuidequivatendreàl'arra her dulitpour lamettreenmouvement età

lagravitéquis'opposeaumouvement.Le nombre deShields ritique

θ

c

orrespond

aurapport de esdeux for esau seuilde miseenmouvement.

Plusieurs expressions théoriques ont été proposées pour déterminer le nombre de

Shields ritiquedansle asdeparti ulesuniformes[White(1940)etVanoni(1966)℄.

Les diérentes expressions obtenues pour

θ

c

dépendent entreautres des

ara téris-tiquesgéométriquesdulitdegrainsetdeladénitiondelafor edetraînéeappliquée

sur une parti ule située sur d'autres parti ules. Ces paramètres étant mal onnus,

il est di ile d'obtenir une relation analytique vraiment exploitable pour

θ

c

. En

ontrepartie, de nombreuses études expérimentales utilisant divers sédiments ont

étéréaliséesan de déterminerleseuilde miseen mouvement.

1.3.2 Mesures expérimentales du seuil

Dans le adre de ses expérien es, Shields a démontré que pour un é oulement

turbulent,

θ

c

varie en fon tion du nombre de Reynolds turbulent

Re

∗

au seuil de mise en mouvement (gure 1.2). Depuis de nombreux auteurs ont mesuré

θ

c

pour

des é oulementsturbulents[Bungton&Montgomery(1997),Vanoni(1966),

Dan- eyet al. (2002) et Paintal(1971)℄. Malgré une grandedispersion, l'a ord ave les

résultats obtenus par Shields est relativement bon. Des études ont également été

réalisées pour des é oulements laminaires [White (1940), Yalin & Karahan (1979)

et Pilotti&Menduni(2001)℄. Ré emment,Loiseleuxetal. (2005)ont mesuré

expé-rimentalement les variations de

θ

c

en fon tion du nombre de Reynoldsparti ulaire

(table1.1).La gure1.3montrequepour

Re

p

> 1

,

θ

c

dé roîten

1/Re

p

, tandis que pour

Re

p

< 1

, lenombre deShields est onstant (

θ

c

_{= 0.140 ± 0.004}

).Cette valeur

est du même ordre de grandeur que la valeur

(θ

c

_{= 0.12)}

déterminée par Charru

et al.(2004).

1.3.3 Existe-t-il un unique seuil?

Mouilleron-Arnould (2002) et Charru et al. (2004) ont montré

expérimentale-ment l'existen ededeuxseuilsde miseenmouvement des parti ules.Pour mesurer

es deux seuils, ilsont étudié l'évolution du débit de grainsen fon tion du temps.

Fig. 1.3 Inuen e du nombre de Reynoldsparti ulaire,noté

Re

d0

, sur lenombre deShields ritique, noté

θ

c0

, d'après Doppler(2005).

temps,tandis quepourdes valeursplusimportantes,ledébitnitparatteindreune

valeur onstante. Ces observations indiquent l'existen e de deux seuils. Le premier

seuil orrespond à la mise en mouvement des premières parti ules et le deuxième

seuilàl'existen ed'undébitstationnaire.Àl'initiationdumouvement,lasurfa edu

litn'estpasfor émenthomogèneetlespremièresparti ulesmisesenmouvement

or-respondent auxparti ulesenéquilibre pré aire.Ellesvont ee tuerdes traje toires

de l'ordrede quelques diamètresde grainsavant de s'arrêterdans une nouvelle

po-sitiond'équilibre.Cephénomèneexpliqueladé roissan epuisl'annulationdudébit

degrains,lemouvementdesgrains orrespondantàuneréorganisationdulit.Après

mouvement des parti ules (

θ < θ

c

), ledébit s'arrête.Dans le as ontraire, ledébit

atteint une valeur stationnaire.Le premier seuilmesuré dépendant entre autres de

larugosité du lit,il en résulteune forte dispersiondes résultats. Le deuxième seuil

par ontreest beau oupplus intéressant arilne dépend pas del'état initialdulit

( ompa tion...).

1.3.4 Problèmes ren ontrés lors de la détermination

expéri-mentale du seuil

Les résultats expérimentaux on ernant la détermination du seuil de mise en

mouvement sont ara térisés par une forte dispersion. Bungton & Montgomery

(1997) expliquent ladispersionde es résultatspar diérents fa teurs. La méthode

expérimentale de détermination du seuil de mise en mouvement fait partie de es

fa teurs.Il existedeux méthodes prin ipalesdestinées àdéterminerleseuilde mise

en mouvement.

Lapremière méthode onsisteàdéterminerletauxdetransportdeparti ulesen

fon tiondu nombre deShieldsetà extrapolerlavaleur ritique orrespondant àun

taux detransportnulou à unevaleur de référen e susamment faible.Cette

te h-nique a deuxin onvénients majeurs. La variationdu taux detransporten fon tion

de

θ

peutentraînerdes erreursd'interpolation,tandisquelaprésen epossibled'une phase transitoire plus ou moins longue avant d'atteindre un régime permanent de

transportdegrainspeut fausserles résultats.

La deuxième méthode onsiste à réaliser une observation visuelle du lit de grains.

Le problèmeintrinsèque de ette méthoderésidedans ladénitionduseuilde mise

enmouvement.Suivantles auteurs e seuil orrespondà lamiseen mouvement des

premièresparti ulesouau ontraireàlamiseenmouvementde toutelasurfa edu

lit. Une telle diéren e de dénition explique aisément une partie de la dispersion

des résultatsexpérimentaux.

La dénition dudiamètre des grains peut aussi jouer unrle dans la dispersion

des résultats. Suivant les auteurs, l'origine de l'é hantillon mesuré (pris en surfa e

ou en profondeur) et la dénition utilisée (diamètre médian ou moyen) dièrent.

Pour uné hantillonde

n

billes,lediamètremoyen

d

M

est al ulésuivant laformule

d

M

= Σ

n

i

d

i

/n

où

d

i

représente le diamètrede la

i

eme

parti ule.Le diamètre médian

d

m

orrespond au diamètre de la bille située au entre de l'é hantillon lassé par diamètre. Pour des dispersions importantes de diamètres, es deux dénitions ne

sont pas équivalenteset l'utilisationde l'une ou de l'autre peut expliquer en partie

ladispersiondes résultats.

Enplusde esfa teursquisontliésauxte hniquesexpérimentalesdemesure,ilfaut

prendre en ompte les dépendan es naturelles du seuil de mise en mouvement qui

varieenfon tionde larugositérelativeet dela ompa tiondumatériaugranulaire,

de laformedu litet de lanaturelaminaire outurbulente de l'é oulement.

Nousavons vu dans ette partiequ'il n'existepas de te hnique universelle

dansdes onditionsbiendéniesanquelesrésultatsobtenuspuissentservirdebase

de omparaison. Au ours de notre étude, nous avons proposé une manière simple

et reprodu tible demesurer leseuilde miseen mouvement des parti ules ( hapitre

3).

1.4 Stru tures sédimentaires sous-marines

Dans ette se tionnous allonsnousintéresserauxdiérentes stru turesformées

quandunmilieugranulaireestsoumis àun é oulement de liquide.

1.4.1 Formes sédimentaires naturelles

Dans lanature, on observe une grande diversitéde formessédimentaires au

ni-veaudes fonds marinsoudes litsdesrivières.Dans ettepartie,nous allonsessayer

deprésenterunerevue rapidedes diérentes formesobservées. Lesformes

sédimen-tairesexistantesvarient suivant leurrépartition géographique.

Sur le bord des plages, on observe souvent des petits monti ules de sable qui

déforment lefond de la mer de manière périodique [Rousseaux (2003)℄. Il s'agit de

rides sous-marines. Elles sont formées sous l'a tion de l'é oulement périodique

gé-nérépar lesvaguesdans les régions tièresoù l'eau estpeuprofonde.

Pour diéren ier les rides des dunes, Ri hards (1980) propose une dénition

ba-séesurleurs dimensions. Lesdunes sont des stru tures dont les dimensionssont de

l'ordre de grandeur de l'é oulement du uide tandis que les dimensions des rides

sont del'ordre degrandeur des propriétés dumatériaugranulaire.

L'é oulementmarinsurleborddes tespeutaussidonnernaissan eàdes ban sde

sablequisontdesstru turessédimentairesbeau oupplusimposantes(gure1.4).Ils

peuventatteindredesdizainesdekilomètresdelongsurplusieurskilomètresdelarge

pour une hauteur pouvant aller jusqu'à trente mètres. Ces stru tures sont générées

parlemouvementos illatoiredelamaréeet leursommetsesitue parfoisàquelques

mètresseulementsouslasurfa edel'eau.Lesban sdesablesonttrèsétudiés arils

peuventdéformerlespipe-lines,les âblesdetélé ommuni ationsetfaireé houerles

bateaux. La plupart des ban s de sable sont re ouverts de stru tures super ielles

pluspetitesappeléesvaguesdesable.Cesvaguesontunehauteurmoyennededeux

à quatre mètres. Les stru tures super ielles des ban s sont d'autant plus petites

quelesban s desable sont pro hes de la te.

Dans les fonds marins situés à grandes profondeurs, on retrouve es diérents

motifs. Par exemple dans les fonds marins non- ohésifs, on observe régulièrement

des rides de sable forméessous l'a tiondes ourantsdus aux marées.Celles- i sont

ara térisées par une longueur d'onde d'une entaine de mètres, une amplitudede

inq à dix mètres et se dépla ent à une vitesse pouvant atteindre plusieurs mètres

la plupart des sols o éaniques. Elles se développent sur le sol si les onditions

né- essaires en termede quantité de sable, profondeur d'eau et ourants sont réunies.

Leurtailleet leurformerésultentd'uneintera tion entrelafor eet ladire tiondes

ourants,laprofondeurd'eauetlatailledessédiments.Dansles asoùlaprofondeur

d'eau est relativement faible, ladistan e entre les dunes peut être orrélée ave la

hauteurd'eau [Wienberg&Hebbeln (2005)℄.

Dans les environsde Vi toriaau Canada (gure 1.5),se situent des dunes faisant

partie des plus grandes jamais dé ouvertes sur la planète. Elles peuvent atteindre

25

mde haut,

300

mdelong,

1200

mdelargeet ontenir

26

millionsdem

3

desable

etdegraviersns.De tellesstru tures existentdansdiérentsendroits,parexemple

aumilieudu détroitduPas-de-Calais.Desmesuresréaliséeslorsdela ampagnede

mesuresPERMOD enMer duNord, ont montréla oexisten e dediérentes

stru -tures. Les dunes sous-marines existantes dans la région sont re ouvertes de mega

rides dont les dimensions augmentent du pieddu an doux vers la rête pour

at-teindreune hauteurde

2

met une longueur d'ondede

10

m.

Fig.1.5 Dunesprès deVi toria,Canada (

http : //geoscape.nrcan.gc.ca/

).

é oulement permanent unidire tionnel. Nous allons don nous intéresser plus

pré- isément aux stru tures observées dans un torrent, une rivière ou un euve. Sous

l'a tionde l'é oulement du uide, le litse déforme et peut donnernaissan e à

dif-férentsmotifs. Lesplus ourants sont les rides de sable, les dunes et les anti-dunes

(gure 1.6). On utilise généralement le paramètre de transport

T

, basé sur l'é art auseuil, pour prédireles diérentesstru tures pouvant se former,

T =

(θ − θ

c

₎

θ

c

.

(1.5)

Lesstru tures sédimentaires dièrent suivant les valeurs de

T

et du diamètre sédi-mentologique

D

∗

= Ga

1/3

. Lagure 1.6représente les diérentesstru tures dans le

plan

(T −D

∗

₎

.Pour

D

∗

< 10

,ilyaprésen ederidespourlespetitesvaleursde

T

.On appelleridesdesstru turestriangulairesquiontunehauteuretunelongueurd'onde

respe tivementinférieuresà60mmet60 m.Ladimensiondesridesdépend

notam-ment dutype desédimentsprésents maisestindépendante de lahauteurdu uide.

Pour qu'ilyaitformationderides,laprésen e d'une ou he visqueuseauniveaudu

solest né essaire.Quand lavitesse d'é oulement duuide augmente (T augmente)

ouquandon onsidèredessédimentsdetaillesplusimportantes(

D

∗

> 10

),lesrides sont rempla ées par des dunes. De formesplus ou moins régulières, les dunes sont

onstituéesd'unepentedou e etd'unefa ed'avalan hebeau ouppluspentue.

Der-rièrele sommet de ladune, au niveau de la fa e d'avalan he, l'é oulement devient

turbulent à ause de laforte re ir ulationdu uide. Lessédimentsse dépla ent de

lapente dou e vers lafa e d'avalan he. En se déposant en amont de lafa e

d'ava-lan he, ils font progressivement avan er la dune. Pour

T > 15

, on entre dans une zone detransition.Lesdunes disparaissentet lelits'aplatit.Si

T

augmente en ore, desanti-dunesapparaissent.Lesanti-dunesontuneformesymétriqueenphaseave

lesondesse déplaçant àlasurfa e del'eau. Ellesont une longueurà peu prèségale

à dix fois la hauteur d'eau. Elles avan ent à ontre ourant ar ontrairement aux

dunes,lemé anismed'érosion/dépositiona lieudelafa ed'avalan heverslafa eà

Fig. 1.6  Répartitiondes diérentes stru tures dans leplan

T − D

∗

d'après Rijn (1993).

1.4.2 Dunes de laboratoire

An de omprendreles mé anismespouvant entraînerlaformation de es

dié-rentesstru tures et pouvoirprédireleur évolutionà plusou moinslongterme,

plu-sieursexpérien esontétémontéesenlaboratoirepour reproduireàuneé helleplus

petite mais dans des onditions parfaitement maîtrisées les phénomènes observés.

Dans ette partie nous allons dé rire quelques unes de es expérien es en insistant

sur les diérentes stru tures sédimentaires qui ont pu être observées. Nous allons

diéren ier deux types d'expérien es, les expérien es réalisées ave un é oulement

os illant et ellesréaliséesave uné oulement permanent.

É oulement os illant

Parmi les premières expérien es réalisées pour visualiserla formation de

stru -turessédimentaires,onpeut iterentreautresCasimirdeCandolle(n

19

e

)etLady

Ayrton(1910)quidansune ongurationparti ulièrementsimple,une uvedesable

remplie d'eau au fond de laquelle une ou he de sable a été déposée, forment des

rides en faisant os illerla uve. Darwin(n

19

e

) qui s'estpla édans une géométrie

donner une lassi ation des rides générées par un é oulement os illant. Il dé rit

deuxtypes derides :

 Lesrides à grainroulant :

Il s'agit de stru tures de petitetaille qui sont ara térisées par les variations

delaformedela rêteà haquedemi-périodeetparunelongueurd'ondeassez

stable.

 Lesrides à tourbillon:

Cesstru turesontunehauteurplusimportanteetsont ara tériséesparla

pré-sen edetourbillonsdeuidequise déta hentdusommetà haqueos illation.

Ellesontuneformequasitriangulaireet peuventavoirunepentemaximalede

20

.

Ré emment,Rousseaux(2003)aréalisédesexpérien esen onguration ylindrique

os illante an de mieux omprendre lemé anisme de formation des rides. Grâ e à

esexpérien es,desridesàgrainos illantetdesridesàtourbillons,ainsiquela

tran-sitionentreles deuxont puêtre observées. Les ridesà grainsroulantsapparaissent

leplusrapidement[gure1.7(a)℄.Leurlongueurd'ondedépenddes os illations,du

diamètredes grainset del'épaisseur dela ou he deStokes.L'espa ement entreles

rides augmente en mêmetemps qu'elles roissent par oales en e.Silesos illations

ontinuentpendantuntempssusammentlong,desdunesàtourbillonapparaissent [gure 1.7 (b)℄. Celles- i roissent par oales en e jusqu'à atteindre un état de

sa-turation. Dans leur état nal, les rides à tourbillon ont une longueur d'onde qui

estproportionnelle àl'amplitudedes os illations touten étant indépendantes dela

fréquen e d'os illation.

Fig. 1.7  Photographies de rides à grainsroulant (a) et de rides à tourbillon (b)

d'après Rousseaux(2003).

Mouilleron-Arnould(2002)aaussiréalisédes expérien esdans une onguration

ylindriquemaisen onsidérant un é oulement visqueux. Elledivise entroisétapes

la roissan e des rides. La première étape orrespond à l'apparitiondes rides et à

leur roissan e initiale.Le système n'estpas séle tif audépart, maisilexistequand

même une longueur d'onde initiale dominante qui va se développer. La roissan e

de e mode. Enn, il y a une augmentation de la longueur d'onde par oales en e

des rides quis'a ompagned'unesaturation de l'amplitude.

É oulement permanent

Les stru tures observées enlaboratoiresuite à ladéformationd'un litde grains

soumis à un é oulement permanent sont asymétriques. Elles possèdent une fa e

à pente dou e située en amont et une fa e d'avalan he située en aval qui a une

pente pro he de l'angle maximal de stabilité. Sous un é oulement turbulent, elles

apparaissent ave une longueur d'ondeinitialepro he de 100à 300 tailledegrains.

Desexpérien esréaliséesdansun anallinéaireparColeman&Melville(1996)leurs

ont permis de noter que les rides roissent prin ipalement par oales en e, si bien

qu'après avoiratteint un maximum, lenombre derides dé roîtau ours dutemps.

Ilsont aussi trouvé une loi expérimentale

c ∝ A

−1.3

reliant lavitesse d'avan ée des

dunes

c

et l'amplitudedes dunes

A

.En étudiant l'initiationdeladestabilisationdu lit,ilsontproposéune loi empiriquereliant lalongueur d'ondeinitialedes rides

λ

i

, lediamètre des grains

d

et le nombre deReynolds parti ulaire,

λ

i

d

= 10

5/2

_Re

−0.2

p

.

(1.6)

Plusré emment,plusieursexpérien esont étéréaliséesave diérentstypes

d'é ou-lement. Pour uné oulement laminaire de Couette ylindrique, Mouilleron-Arnould

(2002) a miséviden e une loi on ernant la longueur d'ondenale des dunes assez

semblableà elleobtenue par Coleman & Melville (1996) pour la longueur d'onde

initiale,

λ

f

d

= 490Re

−0.36

p

.

(1.7)

Ellea onstatéquelesridesobservéesévoluenttrèsrapidementavantd'atteindreun

étatsaturé.

Doppler (2005) a observé expérimentalement la formation de stru tures

granu-laires sous l'eet d'un ourant ontinu d'eau et de la gravité dans une ellule de

Hele-shaw.En in linant lelitet enimposant un ontre-é oulement,elledé rit

l'ap-paritiondestru tures quisemblentn'avoirjamaisétéobservéesauparavant.Ils'agit

derides àtourbillonquisont ara térisées parlaprésen e d'un tourbillondegrains

en avalde la dune (gure1.8).Ces rides se propagent dans lesens de l'é oulement

d'eau.Ellespassent par unepériodede roissan e avantd'atteindreunétatnalou

ellesont unelongueur d'ondeet une vitesse dephase onstantes.

Langlois (2005) a observé la formation de rides sous l'a tion d'un é oulement

de isaillement dans un anal re tangulaire (gure 1.9). Il dé rit une variation de

la longueur d'onde initiale des rides en fon tion du diamètre des parti ules, mais

sansdonnerde relationpré ise.Desobservationsauxtempslongsluipermettentde

noter que la longueur d'onde des dunes augmente sans tendre de façon laire vers

lesdunes se déstabilisent pour devenir omplètement tridimensionnelles.

Fig. 1.9Rides observéespar Langlois(2005).

And'expliquerl'apparitiondestru turessédimentairesetleurévolutionspatiale

et temporelle,de nombreuxmodèlesthéoriquesont étéproposés.

1.5 Pourquoi des stru tures apparaissent-elles?

La formation de stru tures est liée à l'intera tion entre le uide et le milieu

granulaire. La présen e d'un uide en é oulement entraîne une perturbation de la

surfa e du litgranulairequi va à son tour perturber l'é oulement. La plus grande

di ulté onsistedon à proposerunemodélisation orre tedumilieugranulaireet

del'interfa euidepur/milieugranulaireimmergé.

1.5.1 Peut-on diéren ier le seuil de déstabilisation du seuil

de mise en mouvement des grains?

Mêmesilaplupartdesétudesexpérimentalesmontrentune on ordan eentrela

miseen mouvement delasurfa e dulitet sa destabilisation,il existedes asoù

au- unedéformationn'aétéobservée alorsqueles grainsbougent [Mouilleron-Arnould

(2002)℄. Ces as orrespondent à des é oulements parti ulièrement visqueux. Des

étudesthéoriquesdé rites dans leparagraphe 1.5.5 ontmisen éviden ela présen e

d'un seuil de déstabilisation exprimé en terme de nombre de Reynolds

Re

ou de nombre de Shields

θ

. Mouilleron-Arnould (2002) a mesuré e seuil expérimentale-ment. La gure 1.10 représente les diérentes évolutions du lit granulaire (pas de

mouvement,mouvement de parti ulessur unlitstable,litinstable)qui ontété

ob-servéesdans leplan

Ga − θ

. Le seuild'apparitiondes dunes dièreduseuilde mise enmouvementsurune ertainegammede nombredeGalilée.Onpeutse demander

Fig. 1.10  Domaine de formation de rides dans le plan Ga-

θ

dans une géométrie de Couetted'après Mouilleron-Arnould(2002).

pasdeformationdestru turessédimentaires arleurlongueurd'ondeestsupérieure

aux limites de la onguration expérimentale. C'est une question à laquelle nous

allonsnouseor erderépondreau oursde etteétudeen ombinantune appro he

expérimentale( hapitre2) et théorique ( hapitre5).

1.5.2 Modélisation : deux appro hes diérentes

Danslalittérature,onpeutdistinguerdeuxappro hesprin ipalespourmodéliser

laformationdestru turessédimentaires.Lapremièreappro he onsisteà onsidérer

quele uideet lemélange uide/parti ulessont des milieux ontinus et à ee tuer

uneétudedestabilitéenperturbantl'interfa eentre esdeuxmilieux.Dansle adre

de ette appro he, Zhang et al. (1992) et S hainger (1994) ont proposé un

mo-dèle basé sur la superposition de deux uides. Ils modélisent le milieu granulaire

par une suspension uniforme ave une fra tion solide

φ

onstante se omportant omme un uide newtonien. En résolvant les équations de Navier-Stokes dans le

asd'uné oulementdedeuxuidessuperposésnon mis ibles,ilsobtiennent

l'équa-tion de Orr-Sommerelds. Ils résolvent numériquement ette équation et montrent

quel'interfa e dela suspension est toujours onve tivement instable et queletaux

d'ampli ation des instabilités interfa iales varie ave le nombre de Reynolds de

l'é oulement. Le prin ipal in onvénient de ette méthode est qu'elle suppose que

toutlemilieugranulaireestenmouvement etqueletenseur des ontraintesausein

du mélange uide/parti ules orrespond à un tenseur Newtonien, e qui revient à

négliger les onta ts entres lesparti ules. Cette appro he sembledon di ilement

utilisablequand les parti ulesne sont pas en suspension et notamment dans notre

Kuru et al. (1995) étudient expérimentalement la déformation d'un milieu

granu-lairesoumisàun é oulement dePoiseuilledans untube.Ilsmesurent une longueur

d'ondeinitiale

λ

i

quivariesuivantlagravité

g

etlavitesse moyennedel'é oulement

U

m

,

λ

i

d

≈

U

2

m

gd

.

(1.8)

Or,malgrélaprésen ed'unezone desuspension,lemodèlebasésurlasuperposition

de deuxuides ne prédit pas les bonnes dépendan es. En utilisant un modèlebasé

sur lalongueur de saltation des parti ules(travauxréalisés par Bagnold en 1954),

ilsobtiennent les bonnesvariations,

λ

d

≈

2ρ

p

sin ς cos ς

∆ρ

U

2

p

gd

,

(1.9)

où

ς

représente l'anglede saltationet

U

p

lavitesse dela parti ule.

Dans la deuxième appro he, l'é oulement du uide pur au dessus d'un fond

ri-gide perturbé sinusoïdalement est al ulé de manière indépendante. L'intera tion

uide/milieu granulaire est modélisée à travers l'équation de onservation de la

masse de parti ules dans laquelle il faut introduire une formule de ux de

parti- ules perturbée. L'étude de stabilité né essite don la détermination préalable de

l'é oulement de uideet duux de parti ules.

1.5.3 É oulement de uide au dessus d'un fond sinusoïdal

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 PSfragrepla ements Milieugranulaire Fluide x h

τ

f 1

τ

f 2

Fig. 1.11 É oulement de Poiseuille surunfond sinusoïdal.

Considèronsuné oulementdeStokesaudessusd'unfondrigideperturbé

sinusoï-dalementpour leuide, 'est-à-direuné oulementoù lavis ositéestprédominante

devant l'inertie (

Re −→ 0)

, le isaillement et la ontrainte duuide suivant x sont maximaux sur les sommets du prol sinusoïdal (gure 1.11). La vitesse des grains

àl'interfa eestsupposéeproportionnelle àla ontrainte uide

τ

f

. Lessommets

su-bissent une ontrainte

τ

f 1

plus importante que elle subie par les reux (

τ

f 2

) et

pour satisfaire la onservation de la masse du milieugranulaire, le fond sinusoïdal

va avan ersansqu'iln'yait ampli ationdelaperturbation initiale.Ave e

qu'il existe un déphasage entre lemaximumde la ontrainte uide et les sommets

de l'interfa e uide/milieugranulaire. Ce déphasage dé oule de laprise en ompte

de l'inertie du uide. Considérons une interfa e uide/milieu granulaire perturbée

sinusoïdalement.Suiteaudéphasage,lesgrainssituésenamontdusommetsubissent

une ontrainte uideplusimportante quelesgrainssituésauniveau dusommetdu

prolet ilsavan ent plusvite. Un bilan demasse(gure 1.12) réalisé entre lazone

de maximum de ontrainte (billes en noir) et le sommet du prol, montre que la

masse du milieu granulaire dans ette zone augmente ar la vitesse d'entrée est

supérieure à la vitesse de sortie. Cette augmentation de masse se traduit par une

augmentation de l'amplitude des déformations. Engelud (1970) a été le premier à

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

PSfragrepla ements

Grains subissant la ontrainte laplus importante Composantesde lavitesse

Se tion surlaquelleon fait unbilan demasse Vitesse Vitesse Vitesse Vitesse d'entrée d'entrée desortie desortie v u

Fig. 1.12 Eetdu déphasagedu isaillement.

al uler e déphasage pour un é oulement turbulent, tandis que Charru & Hin h

(2000)l'ont al ulédans le asd'un é oulement deCouette laminaire.

De nombreuses études de stabilité sont basées sur la présen e de e déphasage.

L'é oulement de uide étant onnu, la di ulté onsiste à modéliser le débit de

grainstransportés.

1.5.4 Transport de parti ules

Denombreuxauteursont her héàévalueretmodéliserletransportdeparti ules

par harriageàtravers desformulesdeux detransport.Le uxde transportétant

reliéaux ara téristiquesde l'é oulement, son moteurn'est pas lemême suivant la

naturelaminaireouturbulentedel'é oulement.Dans e paragraphe,nous

présente-rons brièvement quelques unes des études réalisées pour des é oulement turbulents

La détermination du ux de parti ules né essite une bonne ompréhension du

mé anisme à l'origine du mouvement des grains. En s'appuyant sur le ara tère

aléatoiredelamiseenmouvement,Einstein(1942,1950)présenteunmodèledeux

de transport basésur une appro he statistique, le ux de transportétant relié àla

probabilitéqu'une parti ulesituéedansunesurfa edonnée se metteen mouvement

àuninstantdonné.Ilsupposequelemouvementdesparti ulesestprin ipalementlié

auxu tuationsturbulentesde lavitesseet qu'il n'existepas de ontrainte ritique

demiseen mouvement des parti ules. Il dénitun tauxde transportadimensionné

Φ

,

Φ =

1

F

q

s

∆ρgd

r

ρ

f

∆ρgd

,

(1.10)

où

q

s

représenteletauxdetransportdeparti ulesenpoidspar unitédelongueur et de temps.Grâ e à ette appro he,il proposedeux loisreliant

Φ

et

Ψ =

1

θ

. Ces lois présentent une bonne on ordan e ave les données expérimentalespour lesfaibles

valeursdu paramètre

Φ

, maiss'é artent pour lesvaleursplusimportantes.

Yalin (1963) aborde le problème de transport de matière en anal ouvert sous un

anglediérent.Ens'appuyantsurlefaitqu'ilpeutyavoirmouvementde parti ules

sans u tuations de vitesses turbulentes (é oulement laminaire), il propose que la

miseen mouvement non uniformedes parti ulessur unlitsoit due à ladisposition

aléatoire des parti ules (gure 1.13). Il postule que les grains se dépla ent

prin i-palement par saltation et se pla e dans une onguration ou la hauteur de grains

en mouvement est négligeable devant la hauteur de uide. L'utilisationde

l'équa-tion du mouvement des saltons lui permet d'obtenir une équation reliant

Φ

et

Ψ

. Bagnold(1956)s'estplutt intéresséauxdiérentes ontraintesappliquéesàla

sur-Fig.1.13a)Arrangement idéaldeparti ulesetb)arrangementréeldeparti ules,

s hématiré de Yalin (1963).

fa edulitetà l'intérieurdumilieugranulairepour déterminerletauxde transport

departi ules. Iltrouve lemêmetauxde transport adimensionnéqu'Einstein(1942,

1950). Pour ontrer les problèmes liésà ladéterminationdes eets de u tuations

devitesse turbulenteet euxliésàlarugositédulitdesolide, il onsidèrelavitesse

nièreempirique.Lesplus ourammentutilisées sontlesformulesproposéespar Rib-berink(1998),

q

p

r

ρ

f

∆ρgd

3

= 10.4(θ − θ

c

₎

1.67

_,

(1.11)

et Meyer-Peter &Muller(1948),

q

p

r

_ρ

f

∆ρgd

3

= 8(c

2

c

3

θ − θ

c

₎

1.5

_,

(1.12)

où

q

p

représente le ux de parti ules,

c

2

est une orre tion due à la présen e des paroiset

c

3

une orre tionliéeàlaformedulit.Demanièregénérale,laplupartdes formulesde ux detransportproposées dans lalittératuresont de laforme,

q

p

r

ρ

f

∆ρgd

3

= aθ

n

(θ − θ

c

)

m

,

(1.13)

oùa, net msont des fa teurs numériquesqui dépendent des auteurs.

É oulement laminaire

Moins d'études ont étéréaliséesdans le asdes é oulementslaminaires. Dansle

hapitre4,nous présentons une listenon exhaustive de quelques unes des formules

proposées. Charru & Mouilleron-Arnould (2002) proposent une formule de ux de

transportsemi-empiriquebaséesurlathéoriederesuspensionvisqueusedeLeighton

&A rivos (1986),

q

p

η

∆ρgd

3

= 0.42(θ − θ

c

₎

3

_.

(1.14)

Enutilisantuneappro heprobabilistebaséesurlarépartitionaléatoiredesparti ules

àlasurfa e, Cheng(2004) proposeuneformulede laforme,

q

p

η

∆ρgd

3

=

η

p∆ρgd

3

_ρ

f

41θ

0.5

Re

∗

[sinh(0.139θ

1.181

Re

0.39

∗

)]

2

.

(1.15)

EnnCharruetal.(2004)proposentunuxdeparti ulesbasésurunmodèle

d'éro-sion/déposition,

q

p

η

∆ρgd

3

= 0.096N

θ

θ

c

,

(1.16)

où

N

représente lenombre de parti ulesenmouvementpar unité desurfa e. Il est intéressant de noter que quelque soit la nature de l'é oulement, le ux de

parti ules dépend du nombre de Shields

θ

, du nombre de Shields ritique

θ

c

et

souvent de l'é art entre les deux

θ − θ

c

. Par ontre le débit ara téristique varie

suivant la nature de l'é oulement. Pour un é oulement turbulent, il s'ajuste ave

pρ

f

/(∆ρgd

3

)

,tandis quepour uné oulementlaminaire,il varie ave

η/(∆ρgd

3

₎

En ombinantuneformuledeuxdetransportdeparti ulesave l'é oulementde

uidepar lebiaisdela onservationdelamasse,ilestpossible d'étudierlastabilité

du lit. Pour ela, il faut prendre en ompte plusieurs eets et notamment elui de

l'in linaisonde l'interfa equi tend àrestabiliser lesystème.

Seuilde miseen mouvement perturbé

Laformationdestru turessédimentairesentraîneuneperturbationdel'interfa e

uide/milieugranulaire. L'interfa e s'in line, entraînant une modi ation du seuil

demiseenmouvementdesparti ules.Lebilandesfor esréaliséàl'é helledesgrains

doit tenir ompte de la omposante horizontale du poids qui peut s'exprimer sous

laforme

(∆ρgd

3

_)/µ)(∂h

p

/∂x)

, où

h

p

représente lapositionverti aledel'interfa eet

µ

un oe ient de fri tion solide du matériau. Suivant les auteurs, la valeur de

µ

varie.Atitred'exemple,onpeut iterFreds÷(1974)quipropose

µ ≈ 0.1

,tandisque Ri hards(1980)quise basesurles travauxde Bagnoldsen 1954proposeunevaleur

plus élevée

0.32 < µ < 0.75

. On peut don dénir le seuil de mise en mouvement d'uneparti ulesituéesur unplanin liné par,

θ

c

incl

= θ

c



1 +

1

µ

∂h

p

∂x



,

(1.17)

[Freds÷(1974),Ri hards(1980),Charru &Hin h (2006)et Charru (2006)℄.

É oulement turbulent

De nombreuses études ont été menées dans le as des é oulements turbulents.

Freds÷ (1974), en prenant en ompte l'eet de la gravité, prédit un seuil de

dé-stabilisation qui varie en fon tion du nombre de Froude,

F r = U

m

/(gd)

1/2

et du

rapport

U

m

/u

∗

,où

U

m

représente lavitessemoyennedel'é oulementet

u

∗

lavitesse de frottement.Il montrequelagravitérestabiliselespetites longueursd'ondes.En

se plaçant à bas nombre de Froude, Ri hards (1980) prédit deux modes instables.

Le premier mode orrespond à la formation de rides et la longueur d'onde la plus

instables'ajusteave larugositédu lit

z

0

suivant larelation

50z

0

< λ < 1000z

0

.

(1.18)

En utilisant une forme orrigée de la rugosité suite au mouvement des sédiments

(

z

0

= 4.5d

),il prédit une longueur d'onde omparable ave les données expérimen-tales on ernant les rides.Le seuilde déstabilisationqu'il prédit estfortementrelié

à l'eet de la pente lo ale du litsur le ux de transport de parti ules [

1/µ = 2.9

℄. Ledeuxièmemode orrespondà laformationdedunes etlalongueurd'ondelaplus

instables'ajusteave lahauteurde uide

h

f

,

λ ≈ 2πh

f

.

(1.19)

Sumer&Bakioglu(1984) poursuivent letravail deRi hards(1980)en introduisant

quele seuil de déstabilisationdu litdépend du nombre de Reynolds turbulent

Re

∗

(table1.1)et du paramètre

1/µ

,

Re

∗

= 10 − 26

pour

0.32 < µ < 0.75.

(1.20)

Ilstrouventquelalongueur d'ondeadimensionnéepar lalongueur visqueuse

λu

∗

/ν

varieen fon tionde

Re

∗

,

λu

∗

ν

= f (Re

∗

) .

(1.21)

É oulement laminaire

En parallèle, plusieurs études ont été menées dans le as des é oulements

vis-queux.Enutilisantleuxdeparti ulesdénitéquation(1.14),Charru&

Mouilleron-Arnould(2002) prédisent uneinstabilitédegrandelongueur d'onde,les petites

lon-gueurs d'onde étant stabilisées sous l'eet de la gravité. Ils obtiennent un seuil de

déstabilisation orrespondant àun nombre de Shields ritique

θ

c1

,

θ

c1

_{= θ}

c



30

θ

c

_Gaµ



1/2

d

h

f

,

(1.22)

quidépenddu nombre deGaliléeet del'eetde lagravitéàtravers

µ

. Ilsprédisent une é helle delongueur visqueusepourla longueurd'onde laplus ampliée,

λ =

60ν

u

∗

.

(1.23)

La longueur d'onde ne orrespondant pas aux données expérimentales, Charru & Hin h (2006) et Charru (2006) utilisent le modèle d'érosion/déposition du milieu

granulaire développé par Charru et al. (2004) pour dé rire le ux de parti ules

[équation (1.16)℄.Charru &Hin h(2006) dé rivent l'existen ede deux eets

stabi-lisant, la forte érosionexistant au niveau des sommetset lagravitéqui s'opposent

à l'inertie du uide. La ompétition entre l'eet déstabilisant de l'inertie du uide

et l'eet stabilisant de l'érosion des rêtes se traduit par le nombre de Galilée. Ils

montrentqu'en dessous d'un nombre de Galilée ritique,

Ga

c

=

120c

u

θ

c

 d

h

f



3

,

(1.24)

où

c

u

= 3.3

et

h

f

orrespond à lahauteur de uide, le litesttoujours stable.Pour

Ga > Ga

c

, la gravité devient l'eet restabilisant prédominant. Il est alors possible dedénir unseuildedestabilisation orrespondant àun nombrede Shields ritique

θ

c2

.Pour

θ > θ

c2

, lelitestinstable.La valeur de

θ

c2

varie enfon tion del'inuen e

de lagravité. Sil'eet restabilisant est faible,leseuil de destabilisation orrespond

au seuil de mise en mouvement des parti ules, (

θ

c2

_{= θ}

c

). Dans le as ontraire,

il existe une gamme de nombres de Shields (

θ

c

_{< θ < θ}

c2

₎

pour laquelle le lit est

stable.Larésolutionétantee tuéedans lalimitedesgrandeslongueursd'ondes,ils

neprédisentpas laséle tiond'unelongueur ara téristique.Enrésolvant l'équation

une longueur d'ondequi s'ajuste ave la longueur de déposition

l

d

= U

m

t

d

, où

U

m

représente la vitesse moyenne de l'é oulement,

t

d

= c

d

V

s

/d

letemps de déposition,

V

s

= ∆ρgd

2

/(18η)

lavitesse de sédimentationet

c

d

le oe ient de déposition.Les longueursd'ondespréditesmontrentunbona ordave lesrésultatsexpérimentaux.

Valan e&Langlois(2004) utilisentune modélisation lassiqueduux d'érosion

basée sur une loi de puissan e de l'é art au seuil [équation (1.13)℄, à laquelle ils

asso ient une longueur d'inertie,

l

eq

= f (Re

p

)ρ

p

/ρ

f

d

, qui orrespond à la distan e par ourue par les grains avant d'atteindre la vitesse imposée par le uide. L'eet

déstabilisantétantl'inertieduuide,ilsmettentenéviden edeuxeetsstabilisants,

l'inertiedes parti ulesetlagravité.PourdespetitesvaleursdunombredeReynolds

parti ulaire

Re

p

,l'eetprédominantestlagravité,alorsquepourlesgrandesvaleurs de

Re

p

'est l'inertie des grains. Ils montrent que le lit est instable dès que les parti ulesentrent en mouvement etprédisent une longueurd'ondelaplusampliée

delaforme,

λ = 1.75π

√

3l

eq

h

1 +

√

1 − r

1/3

+ 1 −

√

1 − r

1/3

i

3

(1.25) ave

r =

8

147

l

2

v

(0.53µ)

3

_{(1 + T )}

3

_l

2

eq

,

où

l

v

=

pν/ ˙γ

représente unelongueur visqueuse et

T = (θ − θ

c

_)/θ

c

l'é art au seuil

demiseenmouvement.Comparéàdesrésultatsexpérimentaux,leurmodèlene

pré-ditpas lebon ordrede grandeur.

Kouakou & Lagrée (2005) présentent une étude de stabilité linéairebasée sur une

formesimpleduuxdeparti ules[équation(1.13)℄quileurpermetdeproposerdeux

ajustementspourlalongueurd'ondelaplusampliéesuivantl'eetrestabilisantqui

prédomine,

λ =

"

 θ

c

_∆ρgd

µ



3

ρ

f

ρ

s

ν

2

U

0

′4

#

1/2

sil'eet stabilisantestla gravité, (1.26)

λ = l

s

sil'inertiedes grainsest l'eetstabilisant,

où

l

s

représente la longueur d'inertie utilisée en milieu éolienet

U

′

0

= U

0

/δ

, où

U

0

représente la vitesse de l'é oulement de base et

δ

l'épaisseur sur laquelle on peut onsidérerquel'é oulementse ramèneàun isaillementpur àproximitédelaparoi.

Nous pouvons déduire de ette étude que lorsqu'un lit de grains est soumis à

un é oulement de uide, la surfa e supérieure du lit se met en mouvement si la

ontrainte adimensionnée(nombrede Shields)appliquéepar leuideestsupérieure

au nombre de Shields ritique. Une fois les grains en mouvement, le litse déforme

et il y a apparition de rides sauf dans le as où le uide est très visqueux. La

déterminationdunombredeShields ritique,laprésen ed'unseuildedéstabilisation

du litet l'évolution des stru tures granulaires observées (longueur d'onde, vitesse

des expérien es existantes utilisent un milieugranulaire auto-alimenté ou inni, et

uné oulement uidegouvernépar un isaillement onstant (Couette). L'originalité

de notre expérien e quisera présentée dans le hapitre suivant est d'être en milieu

onné, ave un é oulement dans un tube ylindriqueet surtout d'avoir un milieu

granulairequin'est pas alimenté au oursde l'expérien e.La hauteurinitialedulit

Dispositif expérimental

Dans e hapitre, nous détaillons le dispositif expérimental et les te hniques

expérimentalesutilisées pour l'étude de l'évolution d'un litde parti ules soumis à

uné oulement deuide. Lesdiérentesévolutions dulitde parti ulesobservéesau

oursdes expérien esseront passées enrevue.

2.1 Parti ules et uide

2.1.1 Parti ules

Lesparti ulesutiliséessontdesbillessphériques mono-disperses.Andepouvoir

mesurerl'inuen edes ara téristiquesdumilieugranulaire,desbillesdematériaux

et de diamètres diérents ont été utilisées. Les billes sont dénies par leur masse

volumique

ρ

p

et leur diamètre moyen

d

. An d'obtenir les gammes de diamètres moyens souhaités,les billes ont été tamisées. Lesdiérents types de billes utilisées

et leurs ara téristiquessont résumésdans letableau 2.1.

Les proto oles utilisés pour obtenir les ara téristiques des billes sont les

sui-vants:

Mesure du diamètre moyen des parti ules

Lesbillespréalablementlavéessontphotographiéesàtraversunmi ros ope.Pour

uné hantillondebillesAobservéave ungrossissement

×10

,onobtientparexemple l'imagereprésentéegure2.1.

Parti ules Composition Diamètre

d

(

µ

m) Massevolumique

ρ

p

(g/ m

3

₎

A Verre

132 ± 22

2.521 ± 0.003

B Polystyrène

538 ± 24

1.051 ± 0.002

C PMMA

132 ± 20

1.177 ± 0.002

D PMMA

193 ± 30

1.177 ± 0.002

(a)

(b)

Fig. 2.1(a) É hantillon de billesA observé au mi ros opeave un grossissement

×10

et un é lairagepar en dessous.( b) É hantillon aprèsseuillagesousImageJ.

L'é hantillon est é lairé par en dessous an d'augmenter le ontraste, rendant

possible unemesure automatiquesouslelogi ielImageJ :

La première étape onsiste à réaliserun seuillagean d'obtenir une image en noir

et blan dans laquelle seul le ontour des billes est onservé (gure 2.1). Ensuite,

uneanalysedeparti ulesestee tuée(fon tionanalyseparti les sousImageJ)pour

re ueillirlarépartitiondudiamètredesbilles,enprenantsoind'éliminerlesmesures

orrespondant à des billesen onta t.

Cette te hnique de mesure s'applique dans le as ou les parti ules sont

su-samment séparées (billes en PMMA et en verre). Si e n'est pas le as (les billes

en polystyrène se tou hent sous l'a tion des for es éle tro-statiques), lamesure du

diamètreest réaliséemanuellementsous ImageJen utilisantl'outilrègle.

La gure 2.2 montre la distribution de diamètre obtenue pour des billes de

PMMA. Pour pouvoir déduire de ette distribution le diamètre des parti ules, il

faut qu'ellesoit monomodale et qu'ellepuisse êtrereprésentée de manière

satisfai-sante parles deuxpremiersmoments,lamoyenne etladéviationstandard.Dansle

as ontraire,il faut tamiseret mesurer uné hantillonpluslarge de billes.Pour un

é hantillon de

n

billes,

d

est al ulésuivant larelation,

d =

Σ

n

i

d

i

n

,

(2.1)

où

d

i

représente lediamètre dela

i

eme

parti ule.

Mesure de la masse volumiquedes billes

Pour mesurer la masse volumique des billes nous avons utilisé un py nomètre

de la marque Brand Duran ave de l'éthanol qui possède de bonnes propriétés de

mouillage ave les parti ules. Après avoir mesuré la masse volumique de l'éthanol

et pesé un petit é hantillon de parti ules, nous avons utilisé le py nomètre pour

mesurer la masse volumique du mélange éthanol/é hantillon de parti ules et nous

en avons déduit la masse volumique des parti ules. En réalisant des mesures pour

diérentsé hantillonsde parti ules, nous avons obtenu une bonne estimation dela