Défauts dans une mésophase hexagonale discotique : disinclinaisons et parois

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Submitted on 1 Jan 1981

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Défauts dans une mésophase hexagonale discotique : disinclinaisons et parois

P. Oswald, M. Kléman

To cite this version:

P. Oswald, M. Kléman. Défauts dans une mésophase hexagonale discotique : disinclinaisons et parois. Journal de Physique, 1981, 42 (10), pp.1461-1472. �10.1051/jphys:0198100420100146100�.

�jpa-00209338�

Défauts dans une mésophase hexagonale discotique :

disinclinaisons et parois (*)

P. Oswald (**) ^{et M. Kléman}

Laboratoire de Physique ^{des Solides} (LA. 2), ^Bâtiment 510, Université de Paris-Sud, ⁹¹⁴⁰⁵ Orsay, ^France

(Reçu ^le ler juin 1981, accepté ^le 29 juin 1981)

Résumé.

Cet article porte

des observations de gouttes libres de la phase hexagonale discotique ^{de l’hexa-} pentoxytriphénylène, ^{et leur} interprétation. ^Les seules disinclinaisons stables dans les mésophases hexagonales discotiques ^{sont les} lignes ^{dièdre de} rang 1/2, ^{et la} répartition moléculaire obéit à

modèle dit de

domaine

développable

L’expérience ^{et le calcul montrent} que le

^est rempli ^de matière ordonnée dans la phase ^hexa- gonale ; ^la

du rayon de

conduit à une estimation de l’énergie anisotrope ^{de contact entre} grains ^de

différentes orientations. L’étude des échantillons très minces met

évidence le rôle des effets d’ancrage

^le

et l’air. L’écart

caractère dièdre des lignes

manifeste par des crans, ^assez rares, de caractère totalement torse.

Une étude par interférométrie Michelson de la surface des gouttes ^{révèle sans} ambiguïté l’existence d’une topo- graphie remarquable ^et inattendue de la surface libre,

rapport ^{étroit avec la} présence ^de disinclinaisons. On observe aussi des marches de surface qui ^suivent les directions colonnaires. L’étude des parois conduit à leur clas- sification

fonction de l’angle ^de désorientation 03B80 : parois ^{de courbure,} symétriques

asymétriques, pour

03B80 ¹⁵ deg. ; parois ^de discontinuité _{pour les} angles supérieurs ^{à 60} deg. ; parois ^d’un type plus complexe, compo- sées d’une succession de petits ^domaines développables. ^Cette dernière étude conduit à

évaluation d’une lon- gueur de pénétration ~K/B.

Abstract.

This paper deals with observations of free drops ^{of the} hexagonal ^discotic mesophase of hexapentoxy- triphenylene, and with their interpretation. ^The only ^stable disclinations in such

phase

wedge ^{lines of} strength 1/2 ; the molecular distribution follows the so-called

developable ^domain

^model. Experiment ^and calculation show that the core is filled with ordered matter ; ^the measurement of the core radius leads to

estimation of the

anisotropic boundary energy between grains of different orientations. In _very thin samples the role of anchoring

effects on glass and air is visible. Very rarely,

observes jogs ^of twist character

the disclinations. A very

kable and unexpected topography ^of the free surfaces has been revealed by ^Michelson interferometry ; close rela-

tionship between the shape ^{of the surface} and the presence of disclinations is conspicuous. ^{One observes also} steps

on

the free surface which follow the molecular columns. Walls are classified according ^{to the} angle of desorientation

03B80 : symmetric

asymmetric ^{curvature walls for} 03B80 ¹⁰ deg. ; ^{walls of} discontinuity ^for 03B80 > 60 deg. ; ^walls

of

complex type, which break _up in

sequence of kite-shaped developable domains. This last study ^leads

to

evaluation of the penetration length ~K/B.

Classification

Physics ^Abstracts

61.30J

61.70

1. Introduction.

Il existe deux grandes ^classes

de mésophases hexagonales : ^la première, ^la plus

anciennement connue, est celle des phases lyotropes

directes et inverses [1]. ^{Ce sont} par exemple ^{des sys-}

tèmes savon + eau. La seconde, beaucoup plus ,récente, ^est celle des phases discotiques ^thermo- tropes [2] auxquelles ^est exclusivement consacré cet article.

Le discotique ^{étudié est} l’hexapentoxytriphénylène (Fig. 1) [3, 4]. ^{Cet ester de} triphénylène ^{a été} syn- thétisé _par le _groupe de J. C. Dubois dans les labo- (*) Travail réalisé dans le cadre du contrat DRET 79/352;

constitue

partie de la thèse de 3 e cycle de P. Oswald.

(**) Et aussi à la S.E.S.I.-C.E.N., 92260 Fontenay

^Roses.

ratoires de la THOMSON CSF. Ce _corps présente

les transitions de phase suivantes :

69°C 122°C

Cristal 69°C phase hexagonale 122°C liquide isotrope .

Il est uniaxe négatif ^{dans sa} phase hexagonale, ^ce qui permet de l’observer ^au microscope polarisant.

Nous nous interessons dans ce travail à la nature des défauts observables au microscope polarisant :

ce sont les disinclinaisons et les parois séparant ^les grains d’orientation différente. Des observations de

ce type ^ont déjà ^été publiées, ^{mais nous les avons} largement ^{étendues et} complétées par ^un calcul de

l’énergie des défauts.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198100420100146100

1462

Fig. 1.

^{A :} Hexapentoxytriphénylène ; B : Structure hexagonale :

les molécules

forme de disque plat s’empilent pour former de

longues ^colonnes qui s’ordonnent parallèlement ^les

^autres

suivant

réseau hexagonal.

[A : Hexapentoxytriphenylene; ^{B :} Hexagonal structure; the disc-like molecules pack ⁱⁿ long parallel ^columns forming

hexagonal array.]

Nous présentons ^d’abord (partie 2) ^{un court} rappel

de l’énergétique ^et de la notion de domaine dévelop- pable [9, 10]. ^{Nous nous} limitons dans l’écriture de

l’énergie ^{libre aux termes} d’énergie ^{de courbure,} qui, seuls, interviennent _pour les disinclinaisons, ^{et à une}

forme simplifiée ^{des termes} élastiques, suffisante _pour traiter des parois.

La partie ³ porte ^{sur les} lignes ^{dièdre, observées en} gouttes ^libres d’échantillons épais ^et minces. Dans le

premier ^{cas nos résultats} permettent ^de déterminer la nature du _{coeur ;} dans le second cas les effets d’ancrage

au verre et au contact de l’air sont prédominants ^et

modifient la nature des disinclinaisons.

Dans la partie ^4, l’expérience ^{nous conduit à une}

classification des parois ^{en fonction de} l’angle ^de

désorientation qui ^est justifiée théoriquement.

Cet article ne traite qu’accessoirement des dislo- cations qui ^seront étudiées, ^en elles-mêmes et dans leur relation aux disinclinaisons, ^{dans un article}

ultérieur.

2. Considérations générales. Rappels.

^{2.1 DEN-}

SITÉ D’ÉNERGIE ^LIBRE.

Appelons ^{t le vecteur unitaire} porté par l’axe des colonnes moléculaires. Ce ^vecteur caractérise l’axe optique local. Par analogie ^{avec les}

autres cristaux liquides, la densité d’énergie ^{libre de}

courbure s’écrit [5] :

Le terme en K 1 correspond ^{à une} déformation en

éventail, ^{celui en} K2 ^{à une} déformation de torsion,

celui en K3 ^{à une} déformation de flexion.

Il convient d’y ajouter ^{une densité} d’énergie ^libre

de déformation du réseau hexagonal que l’on écrit sous

la forme suivante [6, 7] :

où les Uij ^{sont les} déformations définies de façon habituelle, l’axe des z étant pris parallèlement ^aux

colonnes moléculaires. A ceci on doit ajouter l’équa-

tion de conservation des colonnes [8] :

qui ^{s’écrit à} l’approximation présente :

Au même ordre il n’y ^a pas de terme de couplage ^entre

orientation du réseau et directeur. Ce point ^{sera dis-}

cuté dans un article en préparation, ^{où sera} présentée

une théorie détaillée de l’élasticité des phases ^cano- niques.

Pour caractériser cette double élasticité, ^nous

introduisons les longueurs caractéristiques :

Nous en donnerons une première estimation lors de l’étude des parois.

2.2 RAPPELS SUR LES DOMAINES DÉVELOPPABLES.

Le problème ^est de définir les configurations pour

lesquelles ^{le réseau} hexagonal ^est localement conservé.

Les domaines développables satisfont à cette condi- tion [9, 10]. ^{Pour les} obtenir, ^{on considère une surface} développable L ^et la famille des demi-plans n qui s’appuient ^{sur cette surface. Les colonnes molécu-}

laires décrivent alors les lignes ^r perpendiculaires ^à

cette famille de demi-plans ^{n. On vérifie} que ^toute surface réticulaire est développable, ^ce qui ^{achève de} justifier ^{leur nom. Par} construction on a :

De plus, l’existence d’une famille de plans perpen-

diculaires aux colonnes implique qu’il ^{existe une}

fonction _ç telle _que

On a alors nécessairement

Ces domaines sont donc sans torsion, ^la densité

d’énergie ^{libre se réduisant au terme de flexion :}

où R est le _rayon de courbure d’une colonne molé- culaire.

Cette situation est pour les discotiques l’analogue

de la géométrie ^en coniques ^{focales pour les smec-} tiques [11], ^{où le terme} élastique disparaît (conserva-

tion de l’épaisseur ^des couches), ^seul subsistant le terme de courbure.

Fig. ^2.

Modèles de lignes S

^{1 : A :} Ligne S ¹ d; B : Ligne S 1 c.

[Models of lines S

1 : A : Line S 1 d ; ^{B :} Line S 1 c.]

2.3 EXEMPLES DE DOMAINES DÉVELOPPABLES.

Le plus simple ^{est celui} que l’on obtient en prenant pour surface développable ^{E un} cylindre ^{de révolution}

de _{rayon ro} (Fig. 2) ; ^les colonnes moléculaires décrivent alors les développantes d’un cercle de _{rayon ro.}

Une telle configuration équivaut ^{à une} ligne ^{dièdre de}

rang S

1. Le _rayon de courbure des colonnes s’annule sur la surface développable ^{1 et leur} énergie

de flexion devient infinie. Par conséquent ^le rayon de c0153ur de la ligne ^{dièdre est} nécessairement plus grand que ro. Nous appellerons lignes S 1 d celles pour lesquelles ro ^0. Si ro

^0, c’est-à-dire si la surface développable ^est dégénérée ^{en une} droite,

nous les appellerons ^des lignes S 1 c. Dans ces condi- tions les colonnes moléculaires ont la forme de cercles

concentriques.

Lorsque ^{la surface} développable ^{est un demi-} cylindre ^de rayon ro, ^on obtient une ligne ^de rang S

1/2 (Fig. 3). ^Nous appellerons lignes ^S 1/2 ^d

celles _pour lesquelles ro # ^{0 et S} 1/2 ^{c celles avec}

ro

0. Soulignons que le modèle de coeur de la

figure ^{3 a été retenu car il} permet de réaliser des condi- tions d’ancrage identiques ^{sur tout le} pourtour ^du

coeur.

Fig. ^3.

Modèles de lignes S

1/2 : ^{A :} Ligne ^S 1/2 d ; ^{B :} Ligne S 1/2 c.

[Models of lines S

1/2 : A : Line S 1/2 d ; ^{B : Line S} 1/2 c.]

1464

3. Lignes ^{dièdre S}

^{1 et S}

1/2.

L’observation des lignes ^{dièdre se} fait aisément au microscope pola- risant, l’échantillon étant soit situé entre lame et

lamelle, ^{soit en} goutte ^{libre. Certaines de ces observa-} tions ont déjà ^fait l’objet ^de publications [3, 6, 12, 13] ;

nous les avons reprises ^et complétées. ^{Les résultats} présentés ci-dessous sont tous originaux.

Entre lame et lamelle on observe plutôt ^{des textures}

en ancrage normal. De nombreux défauts très recti-

lignes ^{dont la} longueur ^{est de} plusieurs dizaines de gm ^sont visibles [3, 13]. ^{Nous avons} analysé ^{dans une} précédente ^note [12] ^leurs propriétés optiques ^et

montré qu’il s’agissait toujours ^de lignes ^demi-

entières vraisemblablement du type ^S 1/2 ^d apportant ainsi la preuve que les colonnes suivent bien des déve-

loppantes ^{de cercle.}

La rectilinéarité des lignes ^{dièdre en} ancrage ^nor- mal a un caractère très frappant. ^{On sait que les disin-}

clinaisons ne peuvent ^{se courber} que si des dislocations

se terminent sur elles ; de telles dislocations ne sont pas résolues au microscope optique, ^{mais nous avons}

observé des crans (Fig. 4) ^{de taille} importante qui ^nous indiquent ^la présence ^de parois de dislocations vrai- semblablement vis. Nous reviendrons sur cette ques- tion dans un article ultérieur.

Fig. ^4.

Observation

ancrage normal d’un

ligne

dièdre. Microscope polarisant; nicols croisés. Goutte libre d’en- viron 30 _pm d’épaisseur.

[Observation ^{with the} polarizing microscope (crossed nicols) ^of

jog

disclination in

free drop ^{about 30} gm thick with normal

anchoring conditions.]

En goutte ^{libre on observe} plutôt ^une géométrie planaire, pour laquelle ^les cylindres moléculaires sont dans un plan parallèle à la lame de verre. Dans ces

conditions l’axe des lignes ^{dièdre est} vertical. Les échantillons sont toujours préparés ^sur des lames de

verre ordinaires et non traitées, ^{et les} textures sont obtenues par refroidissement très lent (0,2°/min.)

de la phase isotrope.

Nous nous limitons dans ^ce qui ^{suit à la} géométrie planaire.

3.1 CAS DES ÉCHANTILLONS ÉPAIS.

3.1.1 Obser- vations. - Ce sont ceux pour lesquels l’épaisseur ^est supérieure ^{à 5} gm. Sur la figure ⁵ l’épaisseur ^{varie de}

5 à 10 _gm. De nombreuses lignes ^{dièdre S}

1/2 ^sont visibles, ^soit isolées, ^soit quelquefois groupées par

paires, leur distance mutuelle étant alors quelconque

mais pouvant ^être du même ordre de grandeur que leur _rayon de coeur. Ces associations très proches pourraient facilement passer pour des lignes ^S

¹ qui ^n’ont jamais ^{été observées dans des} échantillons

épais. L’observation en lumière circulaire (Fig. 5B) permet ^de visualiser les coeurs de ces défauts qui appa- raissent très _{gros. On} peut estimer leur _rayon à 1 _gm et ceci indépendamment ^de l’épaisseur ^{dès lors} qu’elle dépasse ⁵ gm. De plus la dimension des coeurs semble

indépendante ^{de la} température. ^{Ces résultats sont}

confirmés _par l’observation de ces défauts en ancrage normal. Enfin nous n’avons jamais ^{observé d’inter-}

actions visibles entre disinçlinaisons parallèles.

Afin de connaître la topographie des surfaces libres,

nous avons fait des observations de lignes ^{de niveau}

Fig. ^5.

Goutte libre de discotique

ancrage planaire (épaisseur :

5 à 10 pm). De nombreuses lignes dièdre isolées

groupées par

paires ^sont visibles. A : Nicols croisés; B : Lumière polarisée

circulairement.

[Free drop of discotic in planar anchoring (thickness : ^{5 to 10} gm).

Many disclinations S

1/2, ^isolated

coupled

visible. A :

Crossed nicols ; ^{B :} Circularly polarized light.]

en adaptant ^sur l’axe d’un microscope ^{Leitz Ortholux}

un interféromètre de Michelson Watson-Barnet. Ce

dispositif n’empêche pas l’utilisation normale du

microscope. ^Les franges d’interférence sont des

Fig. ^6. - Aspect de la surface libre du discotique après

^recuit

d’environ 36 heures. A : Observation

lumière parallèle ^{et nicols} croisés ; ^{B :} Topographie Michelson de cette même

chaque

sommet est le point d’émergence ^d’une ligne ^{dièdre S}

1/2;

C : Coupe typique ^d’une ligne ^{dièdre S}

1/2 par

plan ^de symétrie.

[Aspect ^{of the} free surface of the discotic after about 36 hours.

A : Observation in parallel light, ^{crossed nicols ;} B : Michelson

topography ^{of the}

every summit is the point ^of

gence of

disclination S

1/2 ; ^{C :} Typical ^{cut of}

disclination S

1/2 through ^its plane ^of symmetry.]

franges d’égale épaisseur, ^distantes d’une demi-lon- gueur d’onde, soit ici 0,27 gm. L’observation de gouttes libres de discotique par ^cette méthode a montré leur

topographie prononcée, particulièrement ^nette après

24 heures de recuit, ^où chaque disinclinaison qui ^est perpendiculaire ^{à la} préparation passe par le sommet d’une colline quasi conique. ^{Selon le cas, l’axe du}

cône ne contient qu’une ^seule disinclinaison S 1/2 ^d (et ^{alors le} profil ^est dissymétrique) (Fig. 6), ^{ou bien}

deux disinclinaisons S 1/2 ^d plus ^ou moins rappro- chées (le profil ^{est alors très} symétrique) (Fig. 7). ^Les phénomènes ^de croissance qui conduisent à ces

géométries, vraisemblablement hors d’équilibre, ^ne

sont pas ^encore compris.

Fig. ^7.

A : Observation

lumière parallèle ^et monochromatique (À

⁵⁴² nm) ^et nicols croisés d’une paire ^de disinclinaisons S

1/2

très approchées. Chaque frange ^noire correspond ^à

ligne d’égal

retard entre le _rayon ordinaire et le _rayon extraordinaire. Entre chaque frange la différence d’épaisseur ^{est de} 4 pm environ ; B :

Coupe ^suivant

plan diamétral. Le profil ^est pratiquement

tiligne.

[A : Observation in parallel monochromatic light (À

⁵⁴² nm) ^and

crossed nicols of

pair ^of very close disclinations S

1/2. ^Each

dark fringe ^is

^{line of} equal retardation ^{between the} ordinary ray and the extraordinary ray. Between _every fringe ^the différence of thickness is about 4 _{um ;} B : Cut by

^diametral plane. ^The profile ^is practically rectilinear.]

Nous observons d’autre part des marches macro-

scopiques ^{très brutales} qui apparaissent fréquemment

à la surface libre de la goutte. Ces marches sont très visibles en lumière transmise et en lumière réfléchie

(Fig. 8). ^Leur hauteur très variable ^a _pu ^être évaluée

N° 10

Fig. ^8.

Observation

lumière réfléchie et nichols croisés d’une marche macroscopique de surface. Cette marche suit les directions colonnaires et est légèrement ^décentrée par rapport

^{de la} disinclinaison,

qui ^est compatible

le modèle de la ligne

S 1/2 ^d (Fig. 3). ^On

r. - 0,7 gm.

[Observation in reflected light and crossed nicols of

macroscopic

circular step

^the free surface of

discotic drop (thickness

N

20 pm). ^This step follows the molecular columns and is not

perfectly ^centred along ^the

^{of the} disclination,

observation

compatible ^{with the} pattern of the line S 1/2 ^d (Fig. 3). ro is found to be equal ^{to ~ 0.7} pm.]

en interférométrie Michelson à quelques dizaines de gm, ^ce qui représente plusieurs centaines de couches moléculaires. Les différences d’épaisseur qu’elles engendrent ^sont quelquefois suffisantes pour provo- quer des variations sensibles dans les couleurs de

polarisation chromatique ^{visibles en lumière} parallèle.

Enfin ces marches suivent les directions colonnaires

comme le montre la figure ^{8 où est visible un} léger décentrage de la marche _par rapport ^{au coeur de la} disinclinaison. Ceci nous indique clairement _que les colonnes suivent ^les développantes ^d’un petit ^cercle

conformément au modèle de la figure ^3A.

3.1.2 Modèle et interprétation.

Commençons

par le cas théorique ^d’une ligne ^S

¹ (Fig. 2). ^Son énergie de courbure _par unité de longueur ^{se réduit au}

terme de flexion et vaut :

où R est le _rayon extérieur de la ligne.

A cette énergie de courbure il convient d’ajouter ^une énergie ^{de coeur. Se} pose alors le problème ^essentiel

de sa nature. Un coeur creux, très _peu vraisemblable conduit à Ee0153ur

^{2 nre} YHA où _YHA est la tension

superficielle ^du discotique ^en présence ^{d’air. La}

minimisation de l’énergie ^totale conduit, ^en prenant K3

^{10 - 6} dyne ^et y

10 erg/cm’ à re

¹⁰ Á,

ce qui ^est beaucoup trop petit. ^{Un coeur} plein ^de liquide isotrope déjà plus plausible, ^{introduit une} énergie ^{de volume} nr; Eg où Es ^est l’énergie ^{de sur-}

fusion du liquide isotrope ^{et une} énergie ^{de surface}

2 _{nre YH,} où _yH, est la tension superficielle ^{de l’hexa-} gonal ^{au contact du} liquide isotrope. ^En supposant ^le corps pur, ^on peut ^{écrire en} première approximation E

AH AT T

^{où AT}

^{T - T est l’écart en tem-} pérature ^au point de transition et AH l’enthalpie

de transition. La minimisation de l’énergie ^{totale en}

ro et rc ^{conduit à}

Cette expression ^montre que le rayon de coeur est

a

K3 ¹⁰⁰ .. ,

d 1

inférieur

a y2013 100= A, ^{ce qui} conduit à des valeurs 2 Es 4 T ’ ^q

beaucoup trop petites ^par rapport ^aux observations.

Le modèle d’un coeur rempli ^de liquide isotrope

n’est donc _pas satisfaisant. L’hypothèse ^la plus ^rai-

sonnable est celle d’un coeur rempli ^{de cristal} liquide hexagonal pur, les colonnes moléculaires étant paral-

lèles à l’axe du défaut. Il n’y ^a plus ^{alors de terme} d’énergie de volume mais simplement ^{un terme} d’énergie ^{de surface} que l’on écrit sous la forme :

Yo ^{est une constante} positive, y2 un ^terme d’anisotropie qui peut ^être positif ^ou négatif et Oc l’angle que font les

cylindres ^{avec le coeur} (Fig. 2).

La minimisation de l’énergie ^totale E(ro, rc) ^conduit

à deux solutions distinctes. La première ^{est donnée}

par :

Elle correspond ^{à une} ligne ^{S 1 d} (Fig. 2A).

La seconde est donnée _{par :}

Elle correspond ^{à une} ligne ^{S 1 c} (Fig. 2B).

Le même calcul s’appuyant ^sur le modèle de coeur

de la figure ³ peut être fait avec les lignes ^de rang

S

1/2. ^On obtient deux solutions. La première :

correspond ^{à une} ligne S 1/2 ^d (Fig. 3A).

La seconde :

correspond ^{à une} ligne S 1/2 c (Fig. 3B).

L’existence et la stabilité ^{de ces solutions} dépendent

des valeurs de _yo et y2. La discussion complète ^{de ce} problème ^est donnée dans [6]. ^{On montre en} particulier

que si ₇₂ 0 et si 0,61 ^- Yo _{0,83, alors seules}

Y2

Fig. ^9.

Gouttelette de discotique (épaisseur h N ³ um) : ^{A :} Observation

lumière parallèle ; ^nicols croisés ; B : Observation

en

lumière polarisée rectilignement. ^On mesure r1 - 0,6 pm et r2 N 1,4 um (cf. Eig. 10).

[Droplet ^{of discotic} (thickness ^{h - 3} um) : ^{A :} Observation in

parallel light, crossed nicols. B : Observation in rectilinearly polarized light. ri and r2

^{found to be} equal ^{to N 0.6} gm and 1.4 um, respectively (Fig. 10).]

sont stables les lignes S 1/2 d, ^les lignes S

^{1 étant}

instables énergétiquement ^et effectivement absentes

expérimentalement. ^Plus précisément, ^il n’existe pas de solution qui ^{réalise un extrémum de} l’énergie

totale E(ro, re) ^du type ^{S 1} d ; ^en revanche, ^{un tel}

extrémum existe _pour les S 1 c, mais c’est un point-

selle de l’énergie (un ^{maximum en} ro, ^un minimum en

rc). Ainsi donc une S 1 c serait instable vis-à-vis d’un

élargissement ^{infini du coeur,} qui conduirait donc au

rétablissement du cristal parfait, ^{et non} pas vis-à-vis d’une dissociation en deux S

1/2. ^{Nous n’avons} pas de preuve expérimentale ^{de ces derniers} points, ^les

seuls objets ^observés étant des S

1/2 (sans ^doute

pour des raisons de nucléation [13]), ^{sauf en} échantillon très mince (cf. infra).

Notons en outre que ^notre calcul ne prévoit pas

d’interaction, ^{même à courte} distance, ^{entre S}

1/2 parallèles. C’est bien ce que ^nous observons.

En ce qui ^concerne l’énergie ^{des S} 1/2 d, si par

analogie ^{avec les autres cristaux} liquides ^on prend K3 - ^{10 - 6} dyne, ^{on a alors} y - 7 ^x 10- 3 erg/cm2 (en utilisant les valeurs observées _ro

0,7 gm (Fig. 8)

et y-c

1 gm (Fig. 5B)). L’énergie ^totale par unité de ligne ^{est alors de l’ordre de E - 10} K3.

Dans ce modèle nous avons calculé l’énergie par unité de longueur d’un défaut supposé implicitement

de longueur infinie. Cette condition n’est bien sûr

jamais ^{réalisée en} pratique ^{et il faut en toute} rigueur

tenir compte des effets d’ancrage ^en surface. C’est ce

que ^nous allons maintenant examiner.

3.2 CAS DES ÉCHANTILLONS TRÈS MINCES.

3.2. 1 Observations. - Ce sont ceux pour lesquels l’épaisseur ^est inférieure à _{4 gm.} Nous observons alors les deux types ^de lignes. ^{Sur la} figure ^{9 nous montrons} l’exemple ^d’une ligne ^S

^1. L’absence de décalage

dans les branches noires, ^nicols perpendiculaires (Fig. 9A) indique qu’il s’agit ^d’une ligne ^du type ^{S 1 c} (Fig. 2B). ^{Le coeur de cette} ligne, ^{observée en lumière}

naturelle, ^a l’aspect ^{d’un anneau} sombre de faible

contraste. En lumière polarisée rectilignement ^on

observe deux points noirs situés perpendiculairement

à la direction de polarisation (Fig. 9B). ^{Toute rotation}

du polariseur engendre ^une même rotation de cette

paire ^de points ^noirs qui ^restent à distance constante.

Eclairons en lumière naturelle et analysons ^{la lumière}

transmise : on observe cette fois-ci deux points ^noirs parallèles ^{à l’axe de} l’analyseur. ^Ces propriétés optiques ^sont compatibles avec un coeur conique

évasé vers le bas comme indiqué ^{sur la} figure ^{10. Ce}

modèle suppose toujours que le coeur est rempli ^de

cristal liquide ^en ancrage normal.

Nous avons fait des observations semblables sur

les lignes ^S

1/2 ^{dont les coeurs} prennent ^{eux aussi} la forme de demi-cône évasé vers le bas. Ces effets

optiques disparaissent ^dès que l’épaisseur de l’échan- tillon est supérieure ^{à 5 gm et les coeurs} peuvent ^être considérés comme cylindriques, ^au moins dans la

masse.

1468

Fig. 10.

Trajectoire ^des rayons lumineux dans

modèle de

coeur

conique. La lumière est polarisée rectilignement. ^{En A et B}

le _rayon extraordinaire subit

réflexion totale tandis qu’en ^{C et}

D le _rayon ordinaire

subit

déviation. Il existe alors deux

zones

schématisées _par des taches noires _par où

sort

rayon lumineux et situées perpendiculairement à la direction de

polarisation,

qui ^{est conforme}

observations (Fig. 9).

[Path ^{of the} rays in

model of conical

The light is rectili-

nearly polarized. ^{In A and B the} extraordinary ray is wholly ^reflected

whereas in C and ^D the ordinary ray is not deviated. There is then two

schematized by ^dark patches through ^which any ray go ^out and situated perpendicularly ^{to the} direction of polarization,

in agreement ^{with the} observations.]

3. 2. 2 Modèle et interprétation.

Calculons l’éner-

gie ^d’une ligne ^{S 1 c à coeur} conique. ^{Nous avons le}

terme de courbure :

où ri (respt. r2) ^{est le} rayon de coeur sur le verre (respt.

au contact de l’air), ^{R le} rayon extérieur et h l’épaisseur

de l’échantillon. L’énergie ^{de coeur se met sous la}

forme :

Restent les énergies d’ancrage ^{sur le verre et au contact}

de l’air :

où A (respt. B ) ^est la différence entre les énergies ^libres

d’interface au contact du verre (respt. ^{au contact de} l’air) ^en ancrage normal et en ancrage planaire (A = Anormal - Aplanaire, ^...).

La minimisation en ri et r2 ^de l’énergie ^totale

conduit à :

Ces deux relations permettent ^de déterminer _ri et r2 dès _que l’on connaît A, B, y ^et h. On a estimé _{rl, r2} et h optiquement (Fig. 9). ^{Si on} prend

on trouve d’après (20) ^et (21) :

Ces valeurs d’énergie d’ancrage ^sont très faibles.

Les signes ^{de A et B nous} indiquent qu’au ^contact

de l’air l’ancrage planaire ^est favorisé tandis qu’au

contact du verre c’est l’ancrage normal. Ces résultats

sont conformes à nos observations du début.

Le modèle de goutte mince s’étend aux échantillons

épais. ^{Un calcul} reporté en annexe nous a permis ^de

montrer que le pied ^des disinclinaisons est déformé selon un cône sur une distance caractéristique ^de

l’ordre du _rayon de coeur.

4. Parois.

Lorsque deux domaines entrent en

contact, l’expérience ^montre qu’il ^{se forme en} général

une paroi. ^On dit suivant la nomenclature de Bou-

ligand [13] qu’elle ^{est du} premier ^{ordre si, de} part ^et d’autre de cette paroi, ^le directeur subit une discon- tinuité. Si _par contre la seule courbure des cylindres

est discontinue, ^{elle est du second} ordre : la paroi ^est

alors nécessairement un plan n commun aux deux domaines développables ^et elle n’a pas d’énergie

propre.

Dans ce paragraphe ^{nous ne nous} intéressons qu’aux parois ^du premier ^ordre (Fig. 11). ^Soit 0o l’angle ^des

directeurs de part ^et d’autre de la paroi. L’expérience

montre trois types ^de parois qui ^ne s’observent _que pour des valeurs assez bien déterminées de l’angle ^de

raccordement (0o. Nous étudierons successivement les

parois ^de courbure, ^les parois de domaines dévelop- pables ^{et les} parois ^de discontinuité, ^{cet ordre corres-} pondant à des valeurs croissantes de 0o’

4. 1 PAROIS DE COURBURE.

La figure ^{7A montre}

une paroi ^où l’angle de raccordement 00 ^est petit,

de l’ordre de 10°. Cette paroi ^{est invisible en lumière}

Fig. 11. - Parois ^du premier ordre. On distingue ^les parois ^de

courbure (1), ^les parois ^de discontinuité (2) ^{et les} parois ^{de domaines} développables (3). ^Dans

^dernier

^de nombreuses stries, que l’on attribue à des parois ^{de courbure} asymétriques, ^{sont visibles et}

se

couplent

^domaines développables.

[Walls of the first order. Curvature walls (1), discontinuity ^walls (2)

and walls of developable ^domains (3) may be distinguished. ^{In this}

last

many striae may be seen, which may ^be attributed to

asymmetrical ^curvature walls and connected with the developable domains.]

circulaire, ^ce qui indique que l’axe optique ^{ne subit}

pas de discontinuité, ^{mais tourne de} façon continue.

On observe, ^d’autre part, lorsque ^{les nicols sont croi-} sés, ^une variation très rapide ^{du contraste de} part

et d’autre de la paroli, ^ce qui ^montre que ^sa largeur

doit être très petite, ^{dans notre cas} inférieure à _{1 gm.}

On observe des parois symétriques ^{et des} parois asymétriques.

a) ^Pour interpréter ^les parois symétriques l’hypo-

thèse la plus simple consiste à supposer que les cylin-

dres moléculaires changent lentement de direction,

ceci conduit au modèle de la figure ^{12. Nous} appelons ⁰ l’angle que fait le directeur avec l’axe z perpendicu-

laire à la paroi. ^On recherche la fonction 0

0(z) qui

satisfait aux conditions aux limites :

Fig. 12.

Paroi de courbure symétrique ^réalisée uniquement

fléchissant les colonnes moléculaires.

[Symmetrical ^{wall of curvature} simply ^realized by bending ^the

molecular columns.]

La paroi ^étant supposée symétrique, ^{on aura :}

La densité d’énergie ^{libre s’écrit :}

Quant ^{à la densité} d’énergie ^de déformation du réseau

hexagonal, ^{elle se met sous la forme :}

et ceci quelle que soit l’orientation du réseau hexagonal.

Cette expression suppose que la paroi ^{a une extension}

infinie dans la direction _y, donc qu’il n’y ^{a aucune}

distorsion dans cette direction. L’équation d’équilibre

s’obtient en minimisant l’énergie totale, ^ce qui ^donne

en négligeant ^{les termes} de surface :

Les angles ^étant petits (ainsi que leurs variations,

donc leurs dérivées), ^nous pouvons faire son déve-

loppement ^{limité en} négligeant ^{les termes d’ordre} supérieur ^ou égal ^{à 5 :}

Cette équation ^admet l’intégrale première :

condition réalisée en pratique

OS

1470

puisque KI ^et K3 ^sont vraisemblablement du même ordre de grandeur ^et que 03B8 ^{10°, alors cette} équa-

tion se résout immédiatement et conduit à :

où Â31

K 3/B 1 ^{est une} distance de pénétration caractéristique.

On montre alors _que l’énergie ^{se met sous la forme :}

et sa largeur ^est de l’ordre de À/00.

Le comportement ^en 0g ^de l’énergie indique que

ces parois ^ne s’observeront _que pour des valeurs

petites ^de 0o’ ^{On ne les} observe effectivement _que pour des angles 00 inférieurs à 1 5°. Au-delà de cette limite les parois ^{de courbure} disparaissent ^au profit

des parois ^{de domaines} développables ^{et des} parois

de discontinuité _que nous étudions dans le para-

graphe ^suivant.

b) ^{En ce} qui ^{concerne les} parois asymétriques, ^la figure ^{13A montre} qu’elles contiennent nécessairement

Fig. ^13.

A : Paroi de courbure asymétrique : ^il y

nécessairement des dislocations coin transversales, ^{toutes de même} signe ; ^{B : Paroi}

de courbure symétrique réalisée par

double distribution de dislocations coin de signes opposés, ^{dont la}

^{des vecteurs de} Burgers ^est nulle. Cette situation est nécessairement accompagnée

de flexion des colonnes moléculaires.

[A : Asymmetrical ^curvature wall : transversal edge dislocations, all of the

sign

necessarily présent ; ^{B :} Symmetrical

vature wall realized by

double distribution of edge dislocations of

opposite signs, ^the

^{of their} Burgers ^vectors being

^This

situation requires necessarily ^the bending of the molecular columns.]

des dislocations coin ; ^notons qu’une paroi symétrique

peut elle-même être obtenue à partir d’un modèle de dislocations (dont ^{la somme des vecteurs de} Burgers

est nulle (Fig. 13B)). ^La présence ^de dislocations dans

ce cas contribue à diminuer l’énergie élastique. ^Nous

traiterons de ces différentes situations dans un article ultérieur.

4.2 PAROIS DE DISCONTINUITÉ ET PAROIS DE DOMAINES

DÉVELOPPABLES.

Ce sont les plus nombreuses. Les

parois ^de discontinuité (Figs. ^{11 et} 14) s’observent pour des angles 03B80 supérieurs ^{à 600 et sont} généra-

lement asymétriques ^{et courbées. Elles ne sont} que très rarement rectilignes. ^Leur énergie ^{est donc faible.}

Elles ont toujours l’aspect ^{d’un trait noir de} largeur optique 1 gm, que ^ce soit en lumière circulaire ou

nicols croisés (Fig. 11). ^Le microscope polarisant ^ne permet pas de connaître leur structure interne qui

reste inconnue. Nous supposerons que leur énergie

par unité de surface Ed ^est approximativement ^cons-

tante et nous l’évaluerons _par la suite.

Fig. 14.

Paroi de discontinuité.

[Wall ^of discontinuity.]

Lorsque l’angle 03B80 approche ^{180°, la} paroi ^de

discontinuité devient un sous-joint ^de désorientation

(Fig. 15) qui ^{doit être} plus vraisemblablement décrit par ^un ensemble de dislocations coin. De tels joints

sont d’énergie ^faible lorsqu’ils ^sont symétriques ^et rectilignes. ^{Nous en avons fait} quelques observations à la rencontre de deux domaines développables ^et

Fig. 15.

Sous-joint ^de désorientation.

[Tilt sub-boundary.]

comme éléments constitutifs des parois ^{de domaines} développables (cf. ci-dessous).

Entre 150 et 600 on observe des parois ^{de domaines} développables (Fig. 11). ^{Elles sont} composées ^d’une

succession de petits ^domaines triangulaires, ^{de tailles} variables, placés bout à bout. Ces domaines sont

séparés ^{les uns des autres} par de petits éléments de

joints d’angle ^{variable, sans doute du} type sous-joint

dans la partie ^{où cet} angle ^est proche de zéro. Ces

joints ^{sont bien visibles en} lumière circulaire où ils ont

un aspect semblable à celui des parois ^de discontinuité.

Les domaines sont toujours couplés à des stries

rectilignes perpendiculaires ^{aux colonnes} moléculaires bien visibles sur la figure ^{11. Ces stries sont difficiles}

à analyser optiquement. ^{Il semble} cependant qu’elles

soient associées à une très légère désorientation du

directeur, ^ce qui permet de les assimiler au moins en

première approche ^{à des} parois de courbure asymé- triques. ^Elles contiendraient donc un surplus ^de

dislocations d’un signe donné, dislocations qui ^relaxe-

raient en partie ^le joint ^décrit plus ^haut, qui ^{ne contien-}

drait donc _pas la densité optimale ^de dislocations nécessaires _pour réaliser la désorientation observée.

Une observation prolongée ^{montre que ces} parois

sont instables : naissant à la transition isotrope hexagonal, ^elles disparaissent complètement ^{en 24 heu-}

res. Plus précisément, ^les petits ^domaines dévelop- pables qui ^la composent ^ont tendance à se regrouper pour s’agrandir, ^ce qui ^{conduit à la} disparition ^{de la} paroi ^ou, plus exactement, ^{à son} remplacement par

un très grand ^domaine.

Sur la figure ^{16 nous} présentons ^{un modèle} simplifié permettant de rendre compte ^des principales pro-

priétés ^{de ces} parois. ^{Ce modèle montre la nécessité}

d’introduire les morceaux de joints asymétriques

ABCD séparant chaque ^{domaine. C’est} pour relaxer cette situation _que naissent les stries. Nous _pouvons obtenir une première estimation de l’énergie ^{de ces}

Fig. 16.

Paroi de domaines développables.

[Wall ^of developable domains.]

parois ^en considérant ce modèle (Fig. 16). Appelons R

la taille d’un domaine et r leur distance d’interpéné-

tration. L’énergie comprend ^{deux termes} essentiels : le premier ^{est un terme} de courbure qui ^{vaut pour}

n

n

chaque q ^domaine e° 2 _K

L 0 9 -. gr ^{Le second} correspond ^p

à l’énergie ^du joint ^{ABCD et vaut} (dans l’hypothèse

où Ed ^est constant) :

L’énergie par unité de surface s’écrit dans ces condi- tions :

-

1 (#9- R

La minimisation en r conduit à l’équation :

Si R » r, et c’est toujours ^{le cas} expérimentalement,

on peut ^{écrire :}

k, -

et la formule (31) ^se simplifie :

On vérifie d’autre part que ôE/ôR ^est toujours négatif, ^ce qui tend à créer les domaines les plus grands possible conformément aux observations. Cette absence de minimum ^en R explique ^aussi pourquoi

les domaines composant ^la paroi ^sont de tailles variables.

Expérimentalement ^on mesure r - 1 pm ^et R N 10 um. ^En prenant K3 - ^{10- 6} dyne, ^{on obtient} d’après (33) : Ed ~ ^10-2 erg/cm2. ^D’autre part ^la formule (34) ^nous indique que le terme de courbure est environ 20 fois plus petit que Ed, ^ce qui signifie

que ^toute l’énergie ^est concentrée dans les petits

éléments de paroi de discontinuité. Finalement on

pourra écrire avec une bonne approximation :

Cette expression ^de l’énergie ^est valable aussi bien pour les parois symétriques qu’asymétriques. ^Elle

nous indique ^aussi que l’angle ^limite 02 ^au-delà duquel

une paroi ^{de domaines} développables ^{se transforme}

en une paroi ^de discontinuité est donné _par

1472

ce qui ^{est conforme aux} observations. Enfin l’angle

limite 01 pour lequel ^une paroi de courbure devient

plus énergétique qu’une paroi ^{de domaines déve-} loppables ^{est donné} d’après (30) ^et (35) par :

Nous évaluons cet angle ^{à 15°, ce} qui ^conduit d’après (36) ^{à :}

Cette valeur est du même ordre de grandeur que celle obtenue avec les smectiques [14]. ^{Ce résultat attendu}

confirme l’ordre de grandeur ^sur Ed.

Remerciements.

P. Oswald remercie Monsieur Yves Quéré pour l’intérêt qu’il ^a porté ^{à ce} travail,

et pour les nombreuses _remarques dont il lui a fait part.

Annexe.

Dans cette annexe, ^nous présentons ^un

calcul simplifié permettant d’évaluer l’influence de

l’ancrage ^sur la forme du coeur des disinclinaisons

au voisinage ^{d’une surface de} séparation. ^{Nous envi-}

sageons ici le cas d’un milieu semi-infini. Soit r(z) ^le

rayon de coeur à la cote z. Nous _posons r(z

0) = rs et r(z

⁺ oo)

rc Nous prenons pour simplifier ^le

cas d’une ligne ^{S 1 c} supposant qu’en ^tous points ^les cylindres moléculaires ont la forme de cercles concen-

triques. L’énergie de courbure s’écrit :

où R est le _rayon extérieur de la ligne.

Dans la mesure où _y est constant, ^on peut écrire

l’énergie ^{de coeur :}

Vient enfin une énergie d’ancrage à la surface de

séparation :

La minimisation de l’énergie ^{totale conduit à} l’équa-

tion d’Euler-Lagrange :

Posons

rc(1 ⁺ u) avec rc,

K3/2 y. Dans la

mesure où ^u reste petit ^{devant 1, nous pouvons écrire :}

ce qui ^donne

ou encore

L’estimation de _rs nécessite le calcul de l’énergie. ^Nous

obtenons :

La minimisation _{en rc} donne :

Si A > 0 le coeur se rétracte tandis _que si A 0, ^le

coeur s’évase à la surface de séparation. ^Prenons

A ~ 10- 3 _{erg et r,} - 1 gm. On obtient r., - ^{0,8 gm,}

ce qui ^{est tout à fait} raisonnable.

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