Exercices : effet Doppler - Correction

Exercices : effet Doppler - Correction

Exercice 1 : vitesse d’une voiture

Le klaxon d’une voiture a une fréquence fe = 500 Hz (fondamental). Un observateur immobile sur le bord d'une route très droite entend une fréquence fr = 540 Hz provenant de cette même voiture lorsqu’elle s'approche avec une vitesse constante v constante.

Données : célérité du son c = 340 m.s^-1 et f_r= f_e 1±v

c

(+ éloignement et - rapprochement)

1°) Calculer la vitesse v de la voiture en km.h^-1.

Cas de l’approche → f_r= f_e 1−v

c

→ v =c×

(

)

A.N :

soit une vitesse v = 25,2×3,6 = 90,7 km/h

2°) Calculer la fréquence fr ' du son perçu par l'observateur quand l'ambulance s'éloignera de lui avec la même vitesse de déplacement.

Cas d’éloignement → f '_r= f_e 1+v

c A.N :

Exercice 2 : vitesse d’une moto

Un motard se déplace sur une piste à pleine vitesse v. Afin d'étudier le bruit de son moteur, on a disposé à deux endroits de la route des micros, reliés à des oscilloscopes. L'acquisition est déclenchée lorsque le motard se trouve à égale distance des 2 micros : la figure ci-dessous représente symboliquement la situation.

1.

1°) Associer chacun des oscillogrammes suivants a un micro qui a permis de l'obtenir. Justifier.

Micro 1 : la moto se rapproche, le son est aigu donc la fréquence reçu fr est grande et donc la période Tr est petite → oscillogramme A.

Micro 2 : la moto s’éloigne, le son est grave donc la fréquence reçu fr est petite et donc la période Tr est grande → oscillogramme B.

v=340×

(

)

v=25,2m.s⁻¹

f '_r= 500 1+25,2

340

f '_r=465Hz

3 T_ra 2 T_ré

2°) Mesurer la fréquence fr reçue par chaque micro.

On mesure les périodes :

Approche (oscillo A) : 3T_ra=5×2,0 Éloignement (oscillo B) : 2T_ré=5×2,0 T_ra=3,3ms T_ré=5,0ms Donc f_ra = 1

T_ra = 1

0,0033 =3,0×10²Hz Donc f_ré= 1

T_ré = 1

0,0050 =2,0×10²Hz

3°) En déduire la vitesse v de cette moto.

Donnée : célérité du son c = 340 m.s^-1 et f_r= f_e 1±v

c

(+ éloignement et - rapprochement)

On a f_ra= f_e 1−v

c

(approche) et f_ré = f_e 1+v

c

pour l’éloignement. On supprime fe entre ces 2 formules et on

isole la vitesse v (voir TP pour le calcul). On obtient v =c× f_ra– f_ré f_ra+f_ré A.N : 

4°) En déduire la fréquence fe.

On peut utiliser la formule f_ra = f_e 1−v

c

→ f_e=f_ra×

(

)

A.N : 

Exercice 3 : les mariés !

En partant de la mairie, la voiture des mariés klaxonne. La scène est filmée par le marié à bord de la voiture et par son témoin immobile sur le bord de la route. La voiture roule rectilignement à vitesse constante.

En laboratoire, on réalise l’analyse spectrale de chaque son donné dans le document 1 et 2.

v =340× 3,0×10²–2,0×10² 3,0×10²+2,0×10² v =68m.s⁻¹

f_e=3,0×10²×

(

)

f_e=2,4×10²Hz

1°) Sur le dessin du document 3, on voit que la longueur d’onde de l’onde sonore perçue : - est plus grande que celle émise : en A ou en B ?

- est plus petite que celle émise : en A ou en B ?

2°) On en déduit que la fréquence de l’onde sonore perçue : - est plus grande que celle émise : en A ou en B ? - est plus petite que celle émise : en A ou en B ?

3°) A l’aide des documents, déterminer si la voiture s’approche ou s’éloigne du témoin resté sur le bord de la route et à quelle vitesse (en km.h^-1). Justifier vos réponses.

On mesure à la règle : 7,5 cm ↔ 2200 Hz (échelle document)

Voiture au repos : la fréquence émise fe de l’harmonique de rang n = 6: f_e=9,0×2200

7,5 =2,6×10³Hz Voiture en mouvement : la fréquence perçue de cette harmonique vaut : f_p= 8,6×2200

7,5 =2,5×10³Hz On fp < fe le son perçu est donc plus grave et donc la voiture s’éloigne.

La vitesse est donnée par la formule de l’énoncé :

soit 14×3,6 = 50 km.h^-1 v =c×

|

|

v =340×

|

|

v =14m.s⁻¹

Exercice 4 : vitesse d’une étoile  

Ci-dessous est représenté le spectre d’une étoile située au centre d’une autre galaxie sur lequel on a repéré la raie de l’hydrogène α.

Données : longueur d’onde raie hydrogène α au laboratoire: 656,3 nm fréquence effet Doppler f_r= f_e

1±v c

(+ éloignement et – rapprochement)

1°) A l’aide de l’image et du spectre, préciser si la galaxie se rapproche où si elle s’éloigne ? Pour cette étoile, la longueur d’onde reçue de la raie Hα vérifie λr > λe. (665 nm > 656,3 nm) Le décalage est donc dans le rouge (redshift), donc la galaxie s’éloigne.

2°) Réécrire la formule avec les longueurs d’onde λr et λe. Préciser leurs valeurs.

On a λ= c

f → f = c

λ et on réinjecte dans la formule de départ : c λ_r =

c λ_e 1± v

c

→ λ_r= λ_e×

(

)

Ici λe = 656,3 nm λr = 665 nm

3°) Calculer la valeur de la vitesse v de cette galaxie.

La galaxie s’éloigne donc λ_r=λ_e×

(

)

(

)

A.N :

Exercice 5 : étoile visible ? (extrait bac modifié)

En raison de l’expansion de l’Univers, les galaxies semblent s’éloigner de la Terre. Cette vitesse apparente des galaxies est d’autant plus grande que celles-ci se trouvent éloignées de la Terre. Une des conséquences est que le rayonnement électromagnétique provenant d’un objet astronomique n’a pas le même spectre lorsque celui-ci est observé dans le référentiel de la Terre ou dans celui de la source : le spectre observé depuis la Terre est décalé vers des plus grandes longueurs d’onde.

Données :

- le décalage spectrale notée z (redshift) est définie par la relation : z= λ_r−λ_e λe .

- loi de Wien : la relation entre la longueur d’onde λmax du maximum d’émission d’une source et sa température T est donnée par λmax×T=2,9×10⁻³m.K

La plus vieille galaxie repérée à ce jour grâce au télescope Hubble se situe à environ 10 milliards d’années- lumière de la Terre. Son décalage spectral (redshift) est de 7,6. On considère une jeune étoile située dans cette galaxie et dont la température de surface est de 42 400 K.

Hα

v =3,0×10⁵×

(

)

v =4,0×10³km.s⁻¹

1°) L’intensité maximale du spectre de cette étoile sera-t-elle observée par le télescope Hubble dans le domaine de l’ultraviolet, de l’infrarouge ou du visible ?

Calculons λe. Pour cela il suffit de calculer λmax. λmax= 2,9×10⁻³

T avec ici λmax = λe

A.N : λmax= 2,9×10⁻³

42400 =6,8×10⁻⁸m soit λe =68 nm (elle rayonne un max dans l’UV) Calculons λr . Pour cela il suffit d’utiliser z= λr−λe

λe → λr=λe (z+1) A.N :

donc au niveau du visible.

Exercice 6 : La vélocimétrie Doppler en médecine (extrait bac modifié)

La médecine utilise l’effet Doppler pour mesurer la vitesse d’écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins (figure 2).

Un émetteur produit des ondes ultrasonores qui traversent la paroi d’un vaisseau sanguin. Pour simplifier, on suppose que lorsque le faisceau ultrasonore traverse des tissus biologiques, il rencontre :

- des cibles fixes sur lesquelles il se réfléchit sans modification de la fréquence ;

- des cibles mobiles, comme les globules rouges du sang, sur lesquelles il se réfléchit avec une modification de la fréquence ultrasonore par effet Doppler.

L’onde ultrasonore émise, de fréquence fe = 10 MHz, se réfléchit sur les globules rouges qui sont animés d’une vitesse v. L’onde réfléchie est ensuite détectée par le récepteur.

La vitesse v des globules rouges dans le vaisseau sanguin est donnée par la relation v = c

2cos(θ)×Δf f_e .

f est le décalage en fréquence entre l’onde émise et l’onde réfléchie, c la célérité des ultrasons dans le sang et

 l’angle défini sur la figure précédente.

Données : c = 1,57×10³ m.s^-1 et  = 45°.

1°)  Le décalage en fréquence mesuré par le récepteur est de 1,5 kHz. Identifier le(s) type(s) de vaisseaux sanguins dont il pourrait s’agir.

Calculons la vitesse : λ_r=68 (7,6+1) λr=5,8×10²nm

v= c

2cos(θ)×Δf

f_e = 1,57×10³

2×cos(45)×1,5×10³ 10×10⁶

v=0,17m.s⁻¹ C’est donc des artérioles ou des veines.

Exercice 7 : vitesse d’un hélicoptère (type bac modifié)

On s’intéresse à un son émis par un hélicoptère et perçu par un observateur immobile. La valeur de la fréquence de l’onde sonore émise par l’hélicoptère est fe = 8,1×10² Hz. On se place dans le référentiel terrestre pour toute la suite de cette partie.

Les portions de cercles des figures 4 et 5 ci-dessous donnent les maxima d’amplitude de l’onde sonore à un instant donné.

Le point A schématise l’hélicoptère. Dans le cas de la figure 1, l’hélicoptère est immobile. Dans le cas de la figure 2, il se déplace à vitesse constante le long de l’axe et vers l’observateur placé au point O. La célérité du son dans l’air est indépendante de sa fréquence.

Figure 1. L’hélicoptère est immobile. Figure 2. L’hélicoptère est en mouvement.

1°) Déterminer, avec un maximum de précision, la longueur d’onde λe de l’onde sonore perçue par l’observateur lorsque l’hélicoptère est immobile, puis la longueur d’onde λr lorsque l’hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme.

On mesure avec la règle : 1,0 m ↔ 8,0 mm (échelle des documents) On a 5λ_e= 17×1,0

8,0 → λ_e=0,43m On a 5λ_r= 14×1,0

8,0 → λ_r=0,35m

2°) En déduire une estimation de la valeur de la célérité de l’onde sonore. Commenter la valeur obtenue.

On a λ_e= c

f_e → c= λ_e×fe

A.N :

3°) Déterminer la fréquence du son perçu par l’observateur lorsque l’hélicoptère est en mouvement. Comment la perception du son est-elle modifiée ?

On a λ_r= c

f_r → f_r= c λr

A.N :

5λ_r 5λ_e

c=0,43×8,1×10² c=3,5×10²m.s⁻¹

f_r=3,5×10² 0,35

f_r=1,0×10³Hz On a f_r > f_e donc le son perçu est plus aigu.

4°) En déduire la valeur de la vitesse de l’hélicoptère. Cette valeur vous paraît-elle réaliste.

On utilise la formule de la vitesse (cours) : f_r= f_e 1−v

c

dans le cas de l’approche.

Après quelques calculs, on trouve v=c×

(

)

A.N :

soit une vitesse 82×3,6 = 3,0×10² km.h^-1 (cette vitesse est réaliste)

Lors d’une séance de TP, des élèves ont mesuré la célérité du son dans l’air, voici leurs résultats :

N° groupe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c (m.s^-1) 335 339 348 350 340 344 342 335 337 341

Données : 

- la meilleure estimation de la grandeur X est égale à sa moyenne x des N valeurs mesurées ;

-  la meilleur estimation de l’incertitude de mesure de la grandeur X, (à 95 % de confiance) s’écrit : U(X) =2,2×σ_n−1

√

5°) Donner le résultat de ces mesures sous la forme x±U(x) . Avec la calculette :

U(X) =2,2×5,087020521

√

U(X) =4m.s⁻¹ Donc v = 341 ± 4 m.s^-1

6°) La vitesse du son est donnée à 340 m.s^-1. Les mesures des élèves sont-elles bonnes ? Oui car 337 m.s^-1 < 340 < 345 m.s^-1

v =3,5×10²×

(

)

v =82m.s⁻¹