LE THÉORÈME DE NEWLANDER - NIRENBERG

Département de Mathématiques d’Orsay

Mémoire du M2 formation à l’enseignement supérieur

LE THÉORÈME DE NEWLANDER - NIRENBERG

U

∩ U

U

U

M

⊆ R ⁿ R ⁿ ⊇

φ _αβ

difféomorphisme

φ _α φ _β

Présenté par Achim Napame Sous la direction de Hugues AuvRay

Année 2018 - 2019

1 Géométrie différentielle 1

1.1 Variétés différentielles . . . 1

1.1.1 Immersion et submersion . . . 1

1.1.2 Sous-variétés deRⁿ . . . 2

1.1.3 Variétés différentielles . . . 2

1.2 Espaces tangents . . . 4

1.2.1 Espace tangent d’une sous-variété deRⁿ . . . 4

1.2.2 Fibrés vectoriels réels . . . 5

1.2.3 Espace tangent d’une variété . . . 5

1.3 Champs de vecteurs . . . 7

1.3.1 Champ de vecteurs dans une carte . . . 8

1.3.2 Dérivations . . . 9

1.3.3 Crochets de champs de vecteurs . . . 10

1.3.4 Flot d’un champ de vecteurs . . . 11

1.4 Théorème de Frobenius . . . 13

2 Variétés complexes 17 2.1 Structures complexes sur les espaces vectoriels . . . 17

2.1.1 Définitions et exemples . . . 17

2.1.2 Complexification d’un espace vectoriel réel . . . 18

2.1.3 Espaces propres d’une structure complexe . . . 18

2.2 Fonctions holomorphes . . . 19

2.2.1 Fonctions holomorphes d’une variable complexe . . . 19

2.2.2 Fonctions holomorphes à plusieurs variables . . . 20

2.2.3 Le théorème d’inversion locale pour les fonctions holomorphes . . . 21

2.3 Variétés analytiques complexes . . . 21

2.3.1 Définition et exemples . . . 21

2.3.2 Fibrés vectoriels complexes . . . 22

2.3.3 Fibrés vectoriels holomorphes . . . 22

2.4 Structure presque complexe sur une variété . . . 23

2.4.1 Premières définitions . . . 23

2.4.2 Structure complexe d’une variété complexe . . . 23

2.4.3 Automorphismes infinitésimaux . . . 25 i

3 Intégrabilité des structures presque complexes 27

3.1 Version analytique du théorème de Frobenius . . . 27

3.1.1 Condition d’intégrabilité d’une structure complexe . . . 27

3.1.2 Distribution réelle associée à une distribution complexe . . . 28

3.1.3 Distribution holomorphe . . . 29

3.1.4 Version analytique du théorème de Frobenius . . . 29

3.2 Propriétés locales des structures presque-complexes . . . 31

3.2.1 Deux énoncés sur les opérateurs elliptiques . . . 31

3.2.2 Propriétés locales des structures presque-complexes . . . 33

3.3 Le théorème de Newlander - Nirenberg . . . 37

Index 41

Bibliographie 43

1

Géométrie différentielle

Dans ce chapitre, on présente quelques notions de bases sur la géométrie différentielle. On étudiera les notions de fibrés vectoriels, de champs de vecteurs et de dérivations sur les variétés.

Dans la première partie, nous donnerons les définitions de variétés et sous-variété réelle. Dans la deuxième partie, on présentera la notion de fibré vectoriel qui sera utile pour définir l’espace tangent d’une variété.

La troisième partie s’articulera autour des notions de champs de vecteurs et dérivations sur une variété.

Nous terminerons ce chapitre par démontrer le théorème de Frobenius ; ce théorème sera utile dans la démonstration du théorème3.17de Newlander – Nirenberg.

Dans ce chapitre, on note n, m, p trois entiers entiers positifs tel quen, m > 0et kun élément de N^∗∪ {+∞}.

1.1 Variétés différentielles

On commence cette partie par présenter les théorèmes de formes normales et définir les sous-variété deRⁿ. Dans un second temps, nous généraliserons ces notions dans le cadre des variétés.

1.1.1 Immersion et submersion

Soitf :Rⁿ−→R^mune fonction de classeC^ketx0 ∈Rⁿ.

Théorème 1.1 (Inversion locale). On suppose que n = m. Si la différentielle d_x0f def en x₀ est bi- jective, alors il existe un voisinage U de x₀ et un voisinage V def(x₀) tel que f : U −→ V soit un C^k-difféomorphisme.

Définition 1.2. On dit quef est uneimmersionenx0si la différentielledx0f est injective. Dans ce cas, on an≤m.

La fonctionf est unesubmersionenx₀si la différentielled_x0f est surjective. Dans ce cas, on an≥m.

Théorème 1.3(Formes normales). On suppose ici quex0= 0.

1. Si f est une immersion en x0, alors il existe un difféomorphisme local φ : R^m −→ R^m tel que φ◦f(x) = (x, 0).

2. Si f est une submersion en x0, alors il existe un difféomorphisme local ψ : Rⁿ −→ Rⁿ tel que f◦ψ(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xm).

Démonstration. On se ramène au théorème d’inversion locale à travers l’algèbre linéaire. On écritf = (f₁, . . . , f_m)où lesf_j : Rⁿ −→ Rsont des fonctions à valeurs réelles. SoitA = (a_jl) la matrice de M_{m, n}(R)définie para_jl= ∂f_j

∂xl

(0)pourj∈ {1, . . . , m}etl∈ {1, . . . , n}. On a d0f : Rⁿ −→ R^m

h 7−→ Ah . 1

Premier point.La matriceAest de rangn. Il existe une matrice inversibleP ∈ GLm(R), tel que pour tout X ∈ Rⁿ,P AX = ^t(X,0). Soit g : R^m −→ R^m la fonction définie parg(x) = P x; c’est un isomorphisme linéaire. Quitte à utiliser la fonctiong◦f, on peut supposer qued₀f(h) = (h,0). SoitΨ l’application définie par

Ψ : Rⁿ×R^m−n −→ R^m

(x, y) 7−→ f(x) + (0, y) .

On ad0Ψ(x, y) = (x, y). Par le théorème1.1d’inversion locale,Ψest un difféomorphisme local en0.

On poseφ= Ψ⁻¹. CommeΨ(x, 0) =f(x), nous avonsφ◦f(x) = (x,0).

Second point.Il existeP ∈GLn(R)tel que pour toutX = (x1, . . . , xn)∈Rⁿ,AP X = (x1, . . . , xm).

Soitg:Rⁿ−→R^mla fonction définie parg(x) =f(P x). On ad₀g(x₁, . . . , x_n) = (x₁, . . . , x_m). Quitte à utiliser la fonctiong, on peut supposer que d₀f(x₁, . . . , x_n) = (x₁, . . . , x_m). Soit Ψ l’application définie par

Ψ : R^m×R^n−m −→ Rⁿ (x, y) 7−→ (f(x, y), y) .

Sur un voisinage de0,Ψest un difféomorphisme local. On poseψ= Ψ⁻¹, nous avons[f◦ψ](x, y) =x.

En effet : siΨ(x, y) = (X, Y)oùX =f(x, y)etY =y, nous avons[f◦ψ](X, Y) = [f◦ψ◦Ψ](x, y) = f(x, y) =X.

1.1.2 Sous-variétés deRⁿ

Théorème 1.4. On supposep≤n. SoitMune partie deRⁿ. Les définitions suivantes sont équivalentes : Définition par redressement.Pour toutx∈M, il existe un voisinageU dexdansRⁿ, un voisinageV de Rⁿet unC^k-difféomorphismeφ:U −→V tel queφ(M∩U) =V ∩(R^p× {0}). Une telle applicationφ est appelé carte deM.

Définition par fonction implicite.Pour toutx∈M, il existe un voisinageU dexdansRⁿet une applica- tionf :U −→R^n−pde classeC^kqui est une submersion enx, tel queU ∩M =f⁻¹(0).

Définition 1.5. On dit qu’une partieMdeRⁿest unesous-variétédeRⁿde dimensionpet de classeC^k si elle vérifie l’une des deux définitions du théorème1.4.

Exemple 1.6. Soit Sn={(x₁, . . . , x_n+1)∈Rⁿ⁺¹|x²₁+. . .+x²_n+1= 1} la sphère unité deRⁿ⁺¹et

f : Rⁿ⁺¹ −→ R

(x1, . . . , xn+1) 7−→ x²₁+. . .+x²_n+1−1 .

Pour toutx ∈ Sn, la différentielledxf est surjective etSn = f⁻¹(0), doncSnest une sous variété de Rⁿ⁺¹de dimensionn.

1.1.3 Variétés différentielles

Définition 1.7. SoitMun espace topologique etI un ensemble. Unatlas de carteC^kà valeurs dansRⁿ surM est un ensembleA de couples(U_α, φ_α)pourα∈I tel que

1. (Uα)α∈I est un recouvrement deM par des ouverts,

2. φα:Uα −→φα(Uα)⊂Rⁿest un homéomorphisme et pour toutα, β∈I, l’application φ_αβ : φ_α(U_α∩U_β) −→ φ_β(U_α∩U_β)

x 7−→ φ_β◦φ⁻_α¹(x) est unC^k-difféomorphisme.

Pour α, β ∈ I, l’applicationφ_α est appelée une carteet l’application φ_αβ est appelé application de transitionouchangement de carte.

U

∩ U

U

U

M

⊆ R ⁿ R ⁿ ⊇

φ _αβ

difféomorphisme

φ _α φ _β

Soient A et B deux atlas de cartes de classes C^k. Les atlasA et B sontC^k-compatiblessi leur réunion est encore un atlas de classeC^k ou de manière équivalente, le changement de carte entre une carte deA et une carte deBest unC^k-difféomorphisme. ÊtreC^k-compatible est une relation d’équi- valence.

Définition 1.8. Unevariété différentiellede classeC^ket de dimensionnest un espace topologique sépa- rable muni d’un atlas dénombrable de cartes de classeC^kà valeurs dansRⁿ(ou de manière équivalente d’une classe d’équivalence d’atlas de cartesC^kà valeurs dansRⁿ).

Exemple 1.9. Une sous-variétéM deRⁿde dimensionp(p≤n) est une variété différentielle.

On peut généraliser la notion de sous-variété deRⁿaux variétés abstraites.

Définition 1.10. On suppose p ≤ n. SoitM une variété de dimensionnetN ⊂ M une partie deM.

On dit queN est unesous-variétédeM de dimension psi l’une des deux définitions équivalentes est vérifiée.

Définition par redressement.Pour toutx∈N, il existeφ:U −→V ⊂Rⁿune carte deMtelle queU contientxetφ(N ∩U) = (R^p× {0})∩V ⊂R^p×R^n−p.

Définition par fonction implicite.Pour toutx∈N, il existe un ouvert de carteU deM tel quex∈U et une applicationf =fU :U −→R^n−p de classeC^kqui est une submersion enxvérifiantU∩N = f⁻¹(0).

SoientMetNdeux variétés de classeC^ket de dimensionmetnrespectivement. Soitf :M −→N une application continue.

Définition 1.11. L’applicationf est de classeC^r (r ≤ k) si pour toute carteφ : U −→ R^m deM et ψ :V −→ RⁿdeN, l’applicationf lue dans les cartes(U, φ)et(V, ψ)est de classeC^r, c’est-à-dire : l’application

g: φ(U∩f⁻¹(V)) −→ ψ(V) x 7−→ (ψ◦f ◦φ⁻¹)(x) est de classeC^r.

Soitx∈M,(U, φ)une carte deM enxet(V, ψ)une carte deN enf(x).

L’application f est uneimmersionen xsi l’application f lue dans les cartes(U, φ)et (V, ψ) est une immersion au point φ(x). De même,f est une submersion enx si l’application f lue dans les cartes (U, φ)et(V, ψ)est une submersion au pointφ(x).

Comme généralisation du théorème1.3, on a :

Théorème 1.12. 1. Sifest une immersion enxalors pour toute carte localeφenxtelle queφ(x) = 0, il existe une carte locale ψ en f(x) avec ψ(f(x)) = 0telle qu’au voisinage de 0on ait ψ ◦f ◦ φ⁻¹(x₁, . . . , x_m) = (x₁, . . . , x_m,0, . . . , 0).

2. Sif est une submersion enxalors pour toute carte localeψenf(x)telle queψ(f(x)) = 0, il existe une carte localeφenxavecφ(x) = 0telle qu’au voisinage de0on aitψ◦f◦φ⁻¹(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn).

1.2 Espaces tangents

Avant de définir l’espace tangent d’une variété, nous commençons par définir l’espace tangent d’une sous-variété réelle. Compte tenue des propriétés de l’espace tangent d’une sous-variété deRⁿ, on veut voir s’il n’existe pas de versions analogues dans le cas d’une variété. Pour cette raison on a besoin de la notion de fibré vectoriel.

1.2.1 Espace tangent d’une sous-variété deRⁿ SoitM une sous-variétés deRⁿde dimensionp.

Définition 1.13. Soitx ∈ M. Un vecteur v ∈ Rⁿ est tangent à M en x s’il existe une courbec : ]−ε, ε[−→Mde classeC¹avecε >0tel quec(0) =xetc^′(0) =v.

L’espace des vecteurs tangent deM enxest appeléespace tangentdeM enxet est notéT_xM

Exemple 1.14. Soitx₀∈RⁿetV un sous-espace vectoriel deRⁿ. SiM =x₀+V alors pour toutx∈M, TxM =V.

Proposition 1.15. Pour toutx∈M,TxM est un espace vectoriel de dimensionp.

Démonstration. Soitx∈M,U un voisinage dexetφ:U −→V comme dans la première définition du théorème1.4. Sicest une courbe deM passant parx, alors φ◦c est une courbe deV ∩(R^p× {0}) passant parφ(x)et d

dt[φ(c(t)) ] t=0

= d_xφ(c^′(0)) .Ainsi,X ∈ T_xM si et seulement si d_xφ(X) ∈ T_φ(x)φ(M∩U); donc l’application dxφ:TxM −→T_φ(x)φ(M ∩U) est un isomorphisme et

TxM = (dxφ)⁻¹(R^p× {0}) . Ainsi,T_xMest un sous-espace vectoriel deRⁿde dimensionp.

Proposition - définition 1.16. L’ensembleT M de tous les vecteurs tangents deM définie par T M ={(x, X)∈M×Rⁿtel queX ∈TxM}

est appeléespace tangentdeM. L’espace totalT Mest une sous-variété deRⁿ×Rⁿde dimension2p.

Démonstration. Siφ:U −→V une carte enM, alors l’application Ψ : U ×Rⁿ −→ V ×Rⁿ

(x, X) 7−→ (φ(x), dxφ(X) ) est une carte deT M.

1.2.2 Fibrés vectoriels réels

SoitMune sous-variété deRⁿ. L’espace tangentT M est localement difféomorphe au produit d’un ouvert deM avec un sous-espace vectoriel deRⁿ. Siπ :T M −→ M est la projection deT M surM, pour toutx∈M,π⁻¹(x)est identifié à un sous-espace vectoriel deRⁿ. On peut donc voirT Mcomme une famille d’espaces vectoriels. Cet exemple est un cas particulier de la notion de fibré vectoriel.

Définition 1.17. SoitBune variété de classeC^k+1. Unfibré vectoriel réelξde classeC^ket de rangpsur B est la donnée d’une famille d’espaces vectoriels réels(E_x)_x∈B de dimensionpet d’une structure de variétéC^ksurE= [

x∈B

Extelle que les conditions suivantes sont vérifiées : 1. L’applicationπ :E −→BenvoyantE_xsurxest de classeC^k.

2. Pour toutx ∈ B, il existe un voisinage ouvert U dex dans B et unC^k-difféomorphisme φ : π⁻¹(U)−→U×R^ptel que pr₁◦φ=πet pr₂◦φ_|Eb :E_b−→R^pest un isomorphismeR-linéaire pour toutb∈U.

On dit queπest laprojection deξ,Blabase,El’espace total,Ex=π⁻¹(x)lafibreau dessus dex,U unouvert distingué(oude trivialisation) etφunetrivialisation localedeπau dessus deU.

Définition 1.18. Soitξ etξ^′ deux fibrés vectoriels réels de projectionsπ :E −→ Betπ^′ :E^′ −→ B^′ respectivement. Unmorphisme deξ dans ξ^′ est un couple d’applications (f, f) tel que le diagramme suivant commute :

E E^′

B B^′

f

π π^′

f

,

et pour tout b ∈ B,f_|Eb : E_b −→ E^′

f(b) est un morphisme d’espaces vectoriels réels c’est-à-dire une applicationR-linéaire.

Soientξ,ξ^′ etξ^′′ trois fibrés vectoriels. Soient(f, f) un morphisme deξ dansξ^′et (g, g)un mor- phisme deξ^′dansξ^′′alors(g◦f, g◦f)est un morphisme deξdansξ^′′.

Définition 1.19. Unesectionde classeC^kd’un fibré vectorielπ :E −→ Bde classeC^k est une appli- cations:B−→Ede classeC^ktelle queπ◦s=IdB.

1.2.3 Espace tangent d’une variété

Dans le cas d’une variété abstraite, on peut construire l’espace géométrique de tous les vecteurs tangents. Cette construction est semblable à celle faite pour les sous-variétés deRⁿ.

Définition 1.20. SoitMune variété,x∈M etε >0un réel. Soitc1, c2 : ]−ε;ε[−→M deux chemins tel quec₁(0) =c₂(0) =x. Les cheminsc₁ etc₂sontéquivalentssi pour toute carte localeφenx,

(φ◦c1)^′(0) = (φ◦c2)^′(0) .

Dans cette définition, on aurait pu demander l’égalité uniquement pour une carte. En effet siφαest une carte locale enx telle que (φα◦c1)^′(0) = (φα◦c2)^′(0) etφ_β une autre carte locale enx, nous avons :

(φ_β ◦c₁)^′(0) =d_φα◦c1(0)[φ_β◦φ⁻_α¹]( (φ_α◦c₁)^′(0) ) = (φ_β◦c₂)^′(0) .

Notation. Sic:]−ε;ε[−→Mest un chemin tel quec(0) =x, on note[c, x]la classe d’équivalence de chemins équivalents àcpour la relation ci-dessus. L’élément[c, x]est un vecteur tangent àM enx.

L’ensemble de tous les vecteurs tangent àM enxest appeléespace tangentdeM enxet est notéTxM.

SoitM etN deux variétés de classeC^k. Soitf :M −→N une application de classeC^k. Sicest un chemin dansMpassant parx∈M, alorsf ◦cest un chemin dansN passant parf(x).

Lemme 1.21. Sic1etc2sont deux chemins équivalents alorsf◦c1etf◦c2le sont aussi.

Démonstration. Soitφune carte locale deM enxetψune carte locale deN enf(x).

Comme(φ◦c₁)^′(0) = (φ◦c₂)^′(0), nous avons :

(ψ◦f ◦c₁)^′(0) = (ψ◦f◦φ⁻¹◦φ◦c₁)^′(0)

=d_φ◦c1(0)(ψ◦f◦φ⁻¹)((φ◦c1)^′(0))

=d_φ◦c2(0)(ψ◦f◦φ⁻¹)((φ◦c2)^′(0))

= (ψ◦f◦c₂)^′(0) , d’où le résultat.

Ainsi l’application Txf : TxM −→ T_f(x)N

[c, x] 7−→ [f ◦c, f(x)] est bien définie. Sifest un difféomorphisme, nous avons(Txf)⁻¹ =T_f(x)(f⁻¹).

SoitM une variété de dimensionnetx∈M. Siφest une carte locale enxalors l’application T_xφ: T_xM −→ Rⁿ

[c, x] 7−→ (φ◦c)^′(0)

est un isomorphisme. Siφ(x) = 0etψune autre carte locale deMenx, le diagramme suivant commute.

T_xM

Rⁿ Rⁿ

Txφ Txψ

d0(ψ◦φ⁻¹)

Commed₀(ψ◦φ⁻¹)préserve la structure d’espace vectoriel, les structures d’espace vectoriel surT_xM issues deTxφetTxψsont les mêmes. DoncTxMest bien un espace vectoriel réel de dimensionn.

On définit l’espace tangentd’une variétéM par T M = a

x∈M

TxM ={(x, X)tel quex∈M etX∈TxM} . L’espaceT Mest muni d’une projection π :T M −→M définie parπ(x, X) =x .

Proposition 1.22. On supposek≥2. SiMest une variété de dimensionnet de classeC^k, alorsT Mhérite canoniquement d’une structure de variété de dimension2net de classeC^k−1.

Démonstration. Soit(Uα, φα)α∈Iun atlas de cartes pour la variétéM. Pour toutα, on pose dφ_α: π⁻¹(U_α) −→ φ_α(U_α)×Rⁿ

(x, X) 7−→ (φα(x), dxφα(X) ) .

L’applicationdφαest une carte pour la variétéT M. Pourα, β∈I, l’application de changement de carte est définie par

dφ_αβ : φ_α(U_α∩U_β)×Rⁿ −→ φ_β(U_α∩U_β)×Rⁿ

(x, X) 7−→ (φ_β◦φ⁻_α¹(x), d_x(φ_β◦φ⁻_α¹)(X) ) .

Commeφ_β◦φ⁻_α¹est un difféomorphisme de classeC^ketdx(φ_β◦φ⁻_α¹)est un difféomorphisme de classe C^k−1, on conclut quedφ_αβ est un difféomorphisme de classeC^k−1.

Ainsi (φ_α(U_α), dφ_α)_α∈I est un atlas de cartes deT M à valeurs dansR²ⁿde classeC^k−1. DoncT M est une variété de dimension2net de classeC^k−1.

Remarque 1.23. L’applicationπ :T M −→Mest la projection d’un fibré vectoriel réel ; ce fibré vectoriel est appeléfibré tangentdeM.

SoitM etN deux variétés de classeC^k+1etf : M −→ N une application de classeC^k+1. Alors l’applicationT f définie par

T f : T M −→ T N

(x,[c, x] ) 7−→ (f(x),[f ◦c, f(x)] )

est de classeC^k. Le couple(T f, f)est une morphisme de fibrés vectoriels deT M −→M surT N −→

N; en particulier le diagramme suivant commute.

T M T N

M N

T f

f

Remarque 1.24. SiM est un ouvert deR^m etN un ouvert deRⁿ, on définit l’applicationT f par :

T f : T M −→ T N

(x, v) 7−→ (f(x), d_xf(v)) .

1.3 Champs de vecteurs

Dans cette partie,M désigne une variétéC^∞de dimensionn. Cette partie a pour but de présenter les différentes propriétés des champs de vecteurs. On commence par le définir, puis on présente l’écriture d’un champ de vecteurs dans une carte locale. Dans un deuxième temps, dans le cadre des variétés de classeC^∞, on montre qu’il existe une correspondance entre champs de vecteurs et dérivations. Grâce à cette correspondance, on définit le crochet de Lie de deux champs de vecteurs. On termine cette partie en donnant quelques propriétés sur les flots de champs de vecteurs.

Définition 1.25. Unchamp de vecteurs de classeC^kest une sectionC^kdu fibré tangent deM.

Notation. On noteΓ_k(T M)l’ensemble des champs de vecteurs de classeC^ketΓ(T M)l’ensemble des champs de vecteurs de classeC^∞.

Comme pour toutx∈M,T_xMest un espace vectoriel, on peut munirΓ_k(T M)d’une structure d’es- pace vectoriel pour l’addition point par point et de la multiplication externe point par point. SiX, Y ∈ Γk(T M)etλ∈R, nous avons (X+Y) :x∈M 7−→X(x) +Y(x) et(λX) :x∈M 7−→λX(x).

Si f ∈ C^k(M, R) et X ∈ Γk(T M), alors(f X) est un élément de Γk(T M)définie par(f X)(x) = f(x)X(x). On dit queΓ_k(T M)est unC^k(M, R)-module.

SoitN une variété de classeC^k+1etf :M −→N unC^k+1-difféomorphisme.

Définition 1.26(Image réciproque). SoitY ∈Γ_k(T N). On définit un champ de vecteursf^∗Y surMde classeC^kappeléimage réciproquedeY parf, par

f^∗Y :x7−→(T_xf)⁻¹(Y(f(x)) ) .

Propriété 1.27. 1. L’application deΓk(T N)dansΓk(T M)définie parY 7−→f^∗Y estR-linéaire et pour toutg∈C^k(N,R)on a f^∗(gY) = (g◦f)f^∗Y .

2. SoientP une variétéC^k+1,g : N −→ P unC^k+1-difféomorphisme et Z un champ de vecteur C^ksurP. Alors (g◦f)^∗Z =f^∗(g^∗Z).

On peut pousser en avant les champs de vecteurs. SiX∈Γk(T M), on notef_∗Xle champ de vecteurs de classeC^ksurN défini par(f⁻¹)^∗X, c’est-à-dire

f_∗X :y7−→T_f−1(y)f(X(f⁻¹(y) ) ) .

Pour toutX ∈Γ_k(T M)etY ∈Γ_k(T N), on af^∗(f_∗X) =Xetf_∗(f^∗Y) =Y; donc f^∗ : Γ_k(T N)−→Γ_k(T M)

est unisomorphismed’espace vectoriel d’inversef_∗. 1.3.1 Champ de vecteurs dans une carte

SoitX ∈Γk(T M). La restriction deXàU est un champ de vecteurs surU notéX_|U.

SoitU est un ouvert deRⁿ. On aT U = U ×Rⁿ et un champ de vecteurs surU est une application x7−→(x, X(x))qui s’identifie àX∈C^k(U,Rⁿ).

Si(e₁, . . . , e_n)est la base canonique deRⁿ, alors les champs de vecteursE_j : x 7−→ e_j forment une base deΓk(T U). Donc tout champ de vecteursXsurU s’écrit de façon unique sous la forme

X= Xn j=1

fjEj

oùfi ∈C^k(U,R).

Soit(U, φ) une carte locale deM et X ∈ Γ_k(T U). Le champ de vecteursφ_∗(X_|U)est un champ de vecteurs surφ(U). Dans la base des champs de vecteursEj, nous avons φ_∗(X_|U) =

Xn j=1

fjEj oùfj ∈ C^k(φ(U),R). SiXj =fj ◦φ, alors X_|U =

Xn j=1

Xjφ^∗Ej.

LesX_j ∈C^k(U,R)sont les coordonnées locale deXdans la carte(U, φ).

Proposition 1.28. Soit(V, ψ)une autre carte locale etφ◦ψ⁻¹l’application de changement de carte définie par φ◦ψ⁻¹ : y = (y1, . . . , yn) 7−→ (x1(y1, . . . ,,yn), . . . , xn(y1, . . . ,,yn)).Si X_|V =

Xn j=1

Yjψ^∗Ej

alors X_l= Xn j=1

Yj

∂x_l

∂y_j ◦ψ.

Démonstration. Poura∈U ∩V, on a

ψ^∗E_j(a) = (ψ◦φ⁻¹◦φ)^∗E_j(a) = (T_aφ)⁻¹

(ψ◦φ⁻¹)^∗E_j(φ(a) )

= (T_aφ)⁻¹

(φ◦ψ⁻¹)_∗E_j(φ(a) )

= (T_aφ)⁻¹ T_ψ(a)(φ◦ψ⁻¹)[E_j(ψ(a)) ]

= (Taφ)⁻¹ Xn

l=1

∂xl

∂yj

(ψ(a))el

!

= (Taφ)⁻¹ Xn l=1

∂xl

∂yj ◦ψ◦φ⁻¹

·El

!

(φ(a) ) , donc

ψ^∗E_j =φ^∗ Xn

l=1

∂x_l

∂y_j ◦ψ◦φ⁻¹

·E_l

!

= Xn

l=1

∂x_l

∂y_j ◦ψ·φ^∗E_l . Ainsi,

X = Xn j=1

Y_jψ^∗E_j = Xn j=1

Y_j Xn l=1

∂x_l

∂yj ◦ψ·φ^∗E_l= Xn l=1



Xⁿ

j=1

Y_j∂x_l

∂yj ◦ψ



φ^∗E_l ,

d’où la proposition.

1.3.2 Dérivations

Définition 1.29. Unek-dérivation(oudérivation) deMsur les fonctions à valeurs réelles est une appli- cation linéaireδ : C^k+1(M, R) −→ C^k(M, R)qui vérifie la règle de Leibniz, c’est à dire : pour tout f, g∈C^k+1(M, R),

δ(f g) =f δ(g) +gδ(f) .

Soit f une fonction appartenant àC^k(M, R) et δ une dérivation. pour toutg ∈ C^k+1(M, R)et x∈M, on définit la dérivationf δpar

(f δ)(g)(x) =f(x)δ(g)(x) .

On noteDk(M)l’ensemble desk-dérivation. Sik=∞, on notera l’ensembleDk(M)parD(M). L’en- sembleDk(M)est unC^k(M,R)-module.

Remarque 1.30. Les dérivations sont nulles sur les constantes.

Proposition 1.31. Soitδune dérivation. Si les fonctionsf etgappartenant àC^k+1(M, R)coïncident sur un ouvertU deM, alors les fonctionsδfetδgcoïncident surU.

Définition 1.32. SoientN une variété de classe C^k+1,δ une dérivation sur N et φ : M −→ N un C^k+1-difféomorphisme local. Pour tout x dans M, il existeUx et Vx des voisinages ouverts de x et φ(x) respectivement tels queφ : Ux −→ Vx est unC^k+1-difféomorphisme. Pour x ∈ M, on note χ_x ∈C^k+1(V_x,R)une fonction à support dansV_xtel queχ_x= 1près deφ(x). On définit la dérivation φ^∗δdeMpar :

φ^∗δ: C^k+1(M,R) −→ C^k(M, R)

f 7−→ (φ^∗δ)(f) :x7−→δ[χxf ◦φ⁻¹](φ(x)) . Remarque 1.33. La formule définissantφ^∗δne dépend pas du choix deχ_x.

Exemples 1.34. 1. Si(U, φ) est une carte locale deM à valeurs dansRⁿde coordonnées canoniques (x1, . . . , xn), alors les

∂

∂xj

: C^k+1(U,R) −→ C^k(U,R) f 7−→ ∂(f◦φ⁻¹)

∂xj ◦φ sont des dérivations surU.

2. SoitX ∈Γ(T M)un champ de vecteurs. L’application LX : C^k+1(M, R) −→ C^k(M, R)

f 7−→ LXf :x7−→(Txf)(X(x) )

est une dérivation. Cette application est l’action de ladérivée de LieLX sur les fonctions.

SiUest un ouvert deRⁿde base canonique(e₁, . . . , e_n)et de coordonnées canoniques(x₁, . . . , x_n), nous avons LEj = ∂

∂xj

. Plus généralement, si(U, φ)est une carte locale deM à valeurs dansRⁿ, nous avons Lφ^∗Ej = ∂

∂x_j .

L’application Γ(T M) −→ D(M)

X 7−→ LX est un isomorphisme deR-espace vectoriel.

Théorème 1.35.

Démonstration. Cette application est bien linéaire. Montrons l’injectivité. On suppose queLX = 0 pour un certainX. Soit(U, φ)une carte locale deM de coordonnées canoniques(x1, . . . , xn). On note χ_j : (x₁, . . . , x_n)7−→x_j l’applicationj-ème coordonnée. Pour toutx∈U, on a

0 = (LX)χj(x) = (Txχj)(X(x)) =χj(X(x)), doncXest le champ de vecteurs nulle surU.

Montrons que l’application est surjective lorsqueMest la boule unité ouverteBdeRⁿ.

Lemme 1.36. Soitf :B −→Rune application de classeC^∞. Pour touty= (y1, . . . , yn)dansB, il existe des applicationsh_1,y, . . . , h_n,y:B −→Rde classeC^∞telle que, pour toutx= (x₁, . . . , x_n)dansB,

f(x)−f(y) = Xn j=1

(x_j−y_j)h_j,y(x) .

En effet : f(x)−f(y) = Z ₁

0

d

dtf(t(x−y) +y)dt= Xn j=1

(xj −yj) Z ₁

0

∂f

∂xj

(t(x−y) +y)dt . Soitδune dérivation surB. Par le lemme1.36, pour toutf ∈C^∞(B,R)et touty∈B, nous avons :

δf(y) =δ(f−f(y))(y) = Xn j=1

[h_j,y(y)δ(χ_j−y_j)(y) + (y_j−y_j)δ(h_j,y)(y) ]

= Xn j=0

δ(χj)(y)∂f

∂x_j(y) .

On posegj =δ(χj), nous avonsδ=LY où Y = Xn j=0

gjEj. Donc l’application est bien surjective.

On suppose maintenant queM est une variété abstraite. Soit(Uα, φα)un atlas de carte deM tel que φ_α(U_α) =B. Soitδune dérivation surM.

On a(φα)_∗(δ_|Uα) =LYαoùYαest un champ de vecteurs surB. Doncδ_|Uα = (φα)^∗(LYα) =L(φα)^∗Yα. On note Xα le champ de vecteurs(φα)^∗Yα;Xα est un champ de vecteurs sur Uα. SurUα ∩U_β, les champs de vecteursX_αetX_β coïncident ; donc lesX_αse recollent en un champ de vecteursXsurM.

Comme pour toutαnous avons δ_|Uα =LXα = (LX)_|Uα, on conclut queδ =LX.

Remarque 1.37. SiX ∈Γ(T M), alors on identifie le champ de vecteursXavec la dérivée de LieLX. Sif ∈C^∞(M, R), on noteraX(f)l’élémentLX(f).

1.3.3 Crochets de champs de vecteurs

Soitδ, δ^′ ∈D(M). L’élément[δ, δ^′] =δ◦δ^′−δ^′◦δest une dérivation surM. En effet : δ◦δ^′(f g) =f(δ◦δ^′)g+ (δf)(δ^′g) + (δg)(δ^′f) +g(δ◦δ^′f) et

δ^′◦δ(f g) =f(δ^′◦δ)g+ (δ^′f)(δg) + (δ^′g)(δf) +g(δ^′◦δf) , donc [δ, δ^′](f g) =f[δ, δ^′]g+g[δ, δ^′]f.

Définition 1.38. SoitX, Y ∈Γ(T M). On note[X, Y]le champ de vecteurs tel que L[X, Y]= [LX,LY] .

On appelle[X, Y]est lecrochet de LiedeXetY. Pour toutf ∈C^∞(M,R), [X, Y](f) =X(Y(f) )− Y(X(f) ).

Lemme 1.39. SoientM etN deux variétés de classeC^∞etX, Y, Z∈Γ(T M). On a :

1. [X, Y] + [Y, X] = 0: anti-commutativité ;

2. [X,[Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0: identité de Jacobi ;

3. pour toutf :N −→MunC^∞-difféomorphisme,f^∗[X, Y] = [f^∗X, f^∗Y]: fonctorialité de[·,·].

4. Soit(U, φ)une carte locale deM. Si surU, X= Xn j=1

f_j ∂

∂x_j et Y = Xn j=1

g_j ∂

∂x_j alors surU,

[X, Y] = Xn l=1

Xn j=1

fj

∂gl

∂xj −gj

∂fl

∂xj

∂

∂x_l . (1.1)

5. Pourf ∈C^∞(M, R), on a [X, f Y] =f[X, Y] + (LXf)Y .

Proposition 1.40. SoitN une sous-variété deM etX, Y des champs de vecteurs surM. Si les restrictions deXetY àN restent dansT N ⊂T M_|N, alors[X, Y]_|N est tangent àN et est égal[X_|N, Y_|N].

1.3.4 Flot d’un champ de vecteurs

Soit X ∈ Γ(T M)un champ de vecteurs. On cherche les solutions c : I −→ M définies sur un intervalleIdeRcontenant0de l’équation

c^′(t) =X(c(t)) . (1.2)

Exemple 1.41. SiM = R² alorsX est de la formeX = f(x, y) ∂

∂x +g(x, y) ∂

∂y et la courbec(t) = (x(t), y(t))vérifie l’équation

x^′ =f(x, y) y^′ =g(x, y) .

Plus généralement si (x1, . . . , xn) sont les coordonnées locales dex ∈ M et(Xj)1≤j≤n les coor- données locales deXvu à travers un carte, en notantc(t) = (x₁(t), . . . , x_n(t)), l’équation(1.2)devient

x^′_j =Xj(x1, . . . , xn) pour toutj∈ {1, . . . , n} .

Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, pour toutx∈M, il existe une unique courbe intégralec:I −→M deX définie localement tel quec(0) = x et c^′(t) = X(c(t)). Ainsi, pourx ∈ M fixé, on note c_x la solution maximale de l’équationc^′(t) =X(c(t))de condition initialec(0) =x.

Définition 1.42. Le champ de vecteurXestcompletsi pour toutx∈M, la solutioncxest définie surR.

Lemme 1.43. Sic:I −→M est une solution de l’équation(1.2), alors pour toute carte(Uα, φα)deM tel queI_α =I∩c⁻¹(U_α)6=∅on a : pour toutt∈I_α,

(φα◦c)^′(t) = [ (φα)_∗X](φα◦c(t)) . (1.3) Démonstration. Pour toutt∈I_α, il existey∈Rⁿtel queφ⁻_α¹(y) =c(t). Sit∈I_α, on a :

(φα◦c)^′(t) =T_c(t)φα(c^′(t) ) =T_φ−1

α (y)φα(X(φ⁻_α¹(y)) ) = [(φα)_∗X](y) = [ (φα)_∗X](φα◦c(t)) .

Lemme 1.44. SiXest à support compact, alorsXest complet.

Démonstration. Soit(Uα, φα) une carte de M et Yα = (φα)_∗X_|Uα un champ de vecteur sur Rⁿ. Le champ de vecteursYαest à support compact.

Par le lemme des bouts, sic₁ est une solution dea^′(t) =Y_α(a(t))définie sur un intervalle borné, alors l’image dec₁ sort de tout compact. Ceci est impossible carY_αest à support compact. Donc la solution c1est définie surR; ceci entraîne queYαest complet. DoncX_|Uα est complet.