Concentration de contraintes au bord d’un trou

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Cours ING1035 – Matériaux Corrigé des exercices interactifs

Concentration de contraintes au bord d’un trou

a) Force maximale à appliquer à la plaque

Les réponses spécifiques dépendent du matériau que vous avez sélectionné et des dimensions de la plaque. Voici le principe de résolution de cet exercice.

La condition imposée stipule que tout élément de volume de la plaque trouée reste en régime de déformation purement élastique et soit intact. De cette condition, on en déduit que la contrainte locale maximale,

σσσσ

^loc, qui se manifeste au bord du trou, soit au plus égale à la limite d’élasticité du matériau

R

e0,2– si celui-ci a un comportement ductile – ou à la résistance à la traction

R

m du matériau – si celui-ci a un comportement fragile. Nous avons donc les conditions suivantes :

Matériau ductile :

σ

_loc

≤ R

_e₀_,₂ ^(1a)

Matériau fragile :

σ

_loc

≤ R

_m ^(1b)

La contrainte locale

σσσσ

^loc est proportionnelle à la contrainte nominale

σσσσ

^nom, appliquée sur la plaque au niveau de la section droite passant par le trou , la constante de proportionnalité étant le facteur de concentration de contrainte

K

t associé au trou. Nous avons donc les équations suivantes :

nom t loc

= K σ σ

t nom

K

loc

= σ

σ

⁽²⁾

( ^W ^d )

e F

nom

= −

σ

⁽³⁾

où

W

et

e

sont respectivement la largeur et l’épaisseur de la plaque et

d

est le diamètre du trou.

En combinant les équations 1a (ou 1b), 2 et 3, on obtient ainsi la valeur maximale

F

max de la force à appliquer à la plaque pour respecter la condition imposée :

Matériau ductile :

( )

t 2 , 0

max

K

e

R d W

F e −

=

^(4a)

Matériau fragile :

( )

t

max

K

m

R d W

F e −

=

^(4b)

Parmi les matériaux disponibles, les matériaux ductiles sont ceux qui sont caractérisés par une limite d’élasticité

R

e0,2 et une résistance à la traction

R

m distinctes (

R

e0,2 étant inférieure à

R

m). Pour les matériaux fragiles qui ont un comportement élastique jusqu’à leur rupture, la limite d’élasticité

R

e0,2 et la résistance à la traction

R

m sont confondues. Le tableau suivant classent les matériaux disponibles selon leur comportement :

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Cours ING1035 – Matériaux Corrigé des exercices interactifs

b) Que se passe-t-il si la force appliquée dépasse la valeur maximale ?

Si le matériau est fragile, la contrainte locale maximale à ne pas dépasser est alors la limite d’élasticité du matériau

R

m. Si la contrainte locale excède cette valeur, il y a alors rupture fragile du matériau. La réponse est donc :

Rupture fragile de la plaque

Si le matériau est ductile, la contrainte locale maximale à ne pas dépasser est alors la limite d’élasticité du matériau

R

e0,2. Si la contrainte locale excède cette valeur, il y a alors plastification du matériau, cette plastification débutant au voisinage du trou dans les zones de concentration de contrainte. La réponse est donc :

Déformation plastique localisée au bord du trou

La concentration locale des contraintes au bord du trou est bien illustrée dans le vidéo par les franges de différentes couleurs qui apparaissent dans un matériau photoélastique déformé élastiquement.

Concentration de contraintes au bord d’un trou