Corrigé Exercice 1 : MINI-COMPRESSEUR.

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TD 18 corrigé - Loi Entrée-Sortie par fermeture géométrique Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 06/02/2012

Corrigé Exercice 1 : MINI-COMPRESSEUR.

Question 1 : Donner le graphe de liaison de ce système.

Question 2 : Donner les caractéristiques, le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.

Caractéristiques : longueur de la bielle L et longueur de la manivelle e

Paramètre d’entrée : position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0 : Paramètre de sortie : position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0 : X

Question 3 : Déterminer la loi E/S en position du système à l’aide d’une fermeture géométrique.

On souhaite une loi entrée-sortie de type X  f( ) Fermeture géométrique : OBBCCO0 Donc : e x. ₁L x. ₂X x. ₀ 0

0 0 0 0 0

(cos sin ) (cos sin ) 0

e  x   y  L  x   y X x  En projetant : ⁰

0

/ : .cos .cos 0

/ : . sin . sin 0

x e L X

y e L

     



   



1^ère méthode plus rapide pour cet exercice :

En connaissant la relation cos(arcsin )u sin(arccos )u  1u² . Et en déterminant  :

0 0

/ : .cos .cos / : .cos .cos

/ : sin . sin / : arcsin( . sin )

x X e L x X e L

e e

y y

L L

         

  

 

       

 

 

Donc . sin ²

.cos .cos arcsin( e. sin ) .cos . 1 (e )

X e L X e L

L L

  

           

2^ème méthode moins rapide pour cet exercice : En isolant cos et sin: ⁰

0

/ : .cos .cos

/ : . sin . sin

x L X e

y L e

    



   



Puis, en élevant au carré et en sommant : L² (Xe.cos )  ² ( e.sin )²

2 2 2

2 2

( .cos ) ( . sin )

.cos ( . sin )

X e L e

     

     

2 2 2

.cos .sin

X e   L e 

2 2 2

.cos .sin

X e   L e  car X 0

0

1 3

2

Pivot glissant

d’axe (B,z₀) Pivot d’axe ) z , A

( ₀

Sphérique de centre C

Pivot glissant d’axe (D,x₀)

y1

x1

0 1 2

z z z



x0

y0

y2

x2

 



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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 06/02/2012 Question 4 : En déduire la vitesse du piston par rapport au bâti (c'est-à-dire la loi E/S en vitesse).

0 0 2

3/0 /0 /0 0 0

2 2 2

0 0

( . ) 2. . .cos . sin

" 3 " . . . sin .

2. . sin

C C C

dO C d X x e

V V C V X x e x

dt dt L e



 

       

               

 

   

      

Car

 

^' ^'

2.

u u

u



Corrigé Exercice 2 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS AXIAUX.

Caractéristiques : rayon de l’excentrique R et excentricité e

Paramètre d’entrée : position angulaire de l’excentrique 1 par rapport au bâti 0 :  Paramètre de sortie : position linéaire du piston 2 par rapport au bâti 0 : X

On souhaite une loi entrée-sortie de type X  f( ) Fermeture géométrique : OBBCCDDO0

1 0 0 0

. . . . 0

e x R x  y X x 

0 0 0 0 0

( os sin ) 0

e c  x   y  R x   y X x  En projetant : ⁰

0

/ : .cos 0

/ : . sin 0

x e R X

y e

    



   



Donc X e.cos R

Question 4 : En déduire la vitesse du piston par rapport au cylindre (c'est-à-dire la loi E/S en vitesse).

0 0

2/0 /0 /0 0 0

0 0

( . )

" 2 " . . . sin .

D D D

dO D d X x

V V D V X x e x

dt dt



   

              

   

   

0

1 2

Pivot d’axe ) z , A

( ₀

Glissière de direction x₀ Sphère-plan (ou

ponctuelle) de point de contact C et de normale x₀

y1

x1 z



x0 y0

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y1

x1

0 1 2

z z z

1

x0

y0

y2

x2

 2

1

Corrigé Exercice 3 : SYSTÈME D’ORIENTATION D’ANTENNE

Question 1 : Réaliser, en s’inspirant de la figure ci-dessus, le schéma cinématique du système d’orientation d’antenne dans le plan ( ,O x₀,y₀). Paramétrer ce schéma cinématique.

Caractéristiques : distances L₀ et L₁

Paramètre d’entrée : position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin : ( )d t Paramètre de sortie : position angulaire de l’antenne par rapport au support : ₁( )t

On souhaite une loi entrée-sortie de type  ₁ f d( ) Fermeture géométrique : ABBCCA0 Donc :L₁x₁ d y₂L₀x₀ 0

1 (cos 1 0 sin 1 0) ( sin 2 0 cos 2 0) 0 0 0

L   x   y   d  x   y L x 

En projetant : ⁰ ¹ ¹ ² ⁰

0 1 1 2

/ : .cos sin 0

/ : . sin cos 0

x L d L

y L d

      



    



En isolant cos₂ et sin₂: ⁰ ² ⁰ ¹ ¹

0 2 1 1

/ : sin .cos

/ : cos . sin

x d L L

y d L

     



   



En élevant au carré et en sommant : d² (L₀L₁.cos₁)²( .sinL₁ ₁)²

2 2 2

0 2 0 1.cos 1 1 d L  L L  L

2 2 2

0 1

1

0 1

cos 2

L L d

L L

 

   

2 2 2

0 1

1

0 1

arccos( )

2

L L d

L L

 

   

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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 06/02/2012 Question 5 : Déterminer la vitesse de sortie de la tige par rapport au corps.

Rappel pour une liaison hélicoïdale :

2 ( ) ( )

. .

( ) ( ) 2 ^x ^x 2

rad p mm p p

x v

rad x mm

   

     

     Pas à droite + et Pas à gauche -

Avec  en rad/s et v en mm/s et pas en mm Relation entre  en rad/s et N en tr/min : 2

60

 N

 

Donc dans ce problème, la vitesse de sortie de tige du vérin est :

/ / /

/ /

2 1

2 60 2 60 5 60

1 6000 2

: 40 /

5 60

axe moteur corps tige corps tige corps

tige corps tige corps

N p

N N p

p p

v

AN v v mm s



  

       

 

    

Question 6 : Déterminer, à l’aide de la courbe de la loi entrée-sortie donnée ci-dessous, la durée d’alimentation du vérin électrique permettant ce changement de position.

Ce changement de position de l’antenne nécessite donc une sortie de la tige de 20,5 cm :

La durée d’alimentation du moteur est donc : 19,9 4 4,98

t d t s

V

     