D173. Possible ou pas possible ?
Q1 - Notonsb =AB, c =AC et d=AD. La droite (AD) étant bissectrice de
\CAB,notonsCAD\=DAB\=θ: il en découle l’égalité des cordesCD=DB= x.Le théorème d’Al-Kashi dans les trianglesACDetADBfournit les relations x2 =c2+d2−2accosθ et x2 = d2+b2−2bdcosθ.Ainsi, si la configuration était possible, nous aurions cosθ= b+c2d =76 >1 : impossible !
Q2 - Notonsx, yetzrespectivement les aires (non nulles) des trianglesBEP, BGP etAGP.D’un côté nous avons la relation 15y= 2xz découlant par exemple du théorème de Ceva. D’un autre côté, les aires des triangles partageant une même hauteur issue d’un sommet commun sont dans le rapport des longueurs de leurs bases, d’où yz = 3+x+y2+5+z, d’où 7y = xz+ 3z. En combinant les deux relations, nous aurionsy+ 6z= 0 : impossible.
Q3 - Par constructionOB=OC etOse situe sur la médiatrice deBC.Notons O0 le milieu de BC. Quitte à inverser les rôles de B et C, nous pouvons sup- poser queH est dans le même demi-plan délimité parOO0 queC. SoitH00 le symétrique de H par rapport à BC et H0 le milieu de HH00. Le théorème de Pythagore fournit les relationsOH02=OH2+HH02, OH002=OH2+HH002, OC2 =OO02+O0C2 et OH02 =OO02+O0H02. De HH00 = 2HH0 et O0H0 = OH > BC2 = O0C, il en découle OH00 > OH0 > OC. Or cela contredit une propriété bien connue comme quoi le symétrique de l’orthocentre se trouve sur le cercle circonscrit, et nous devions donc avoirOH00=OC.La construction est encore une fois impossible.
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