Résolution Analyse zzz +++= 691000 Résoudre :

(1)

PanaMaths

[1 - 3]

Septembre 2009

Résoudre :

4

6

3

9

2

100 0 z + z + z + =

Analyse

Dans un premier temps, nous cherchons classiquement à transformer l’équation (via une

« translation » sur la variable initiale) pour faire disparaître le terme en « z³ ». Nous constatons alors que l’équation se ramène facilement à une équation bicarrée …

Résolution

On fait apparaître le début du développement d’une puissance quatrième :

( )

4 3 2 4 3 2

4 2 3 4

2 2

4

2 2

4 2

4

6 9 100 4 3 9 100

2

3 3 3 3

6 4 9 100

2 2 2 2

3 27 27 81

9 100

2 2 2 16

3 9 27 81

2 2 2 16 100

3 9 81

3 100

2 2 16

3 9

2 2

z z z z z z

z z z z

z z z

z

+ + + = + × + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − ×⎜ ⎟⎝ ⎠ − ×⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠ + +

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − + − − +

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − − − +

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − + − +

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ −

2

4 2 2

4 2

3 81

2 100

2 16

3 9 3 3 81

2 2 2 2 16 100

3 9 3 81 81

2 2 2 8 16 100

3 9 3 81

2 2 2 16 100

3 9 3 1681

2 2 2 16

z z

⎛ + × ⎞− +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − ⎢⎢⎣⎜⎝ + ⎟⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎥⎥⎦− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − ⎜⎝ + ⎟⎠ + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − ⎜⎝ + ⎟⎠ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ − ⎜⎝ + ⎟⎠ +

(2)

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[2 - 3]

Septembre 2009

L’équation initiale équivaut donc à l’équation (bicarrée en 3 z+2) :

4 2

3 9 3 1681

2 2 2 16 0

z z

⎛ + ⎞ − ⎛ + ⎞ + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Posons alors :

3 2

Z =⎛⎜⎝z+2⎞⎟⎠ . On est ainsi ramené à l’équation du second degré :

2 9 1681

2 16 0

Z − Z+ =

Le discriminant associé s’écrit :

2

( )

9 1681 81 1681 1600 2

4 1 400 20

2 16 4 4 4 i

⎛ ⎞

Δ = −⎜⎝ ⎟⎠ − × × = − = − = − =

Les deux racines complexes conjuguées de cette équation s’écrivent alors :

1

9 20

2 9

2 4 10

i

Z i

⎛ ⎞

− −⎜⎝ ⎟⎠−

= = − et ₂ 9

4 10

Z = + i

Le changement de variable effectué précédemment nous conduit alors à résoudre les équations :

( )

3 2 9 1

10 9 40

2 4 4

z i i

⎛ + ⎞ = − = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et ³ ² ⁹ ¹⁰ ¹

(

^{9 40}

)

2 4 4

z i i

⎛ + ⎞ = + = +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Cherchons les racines complexes de 9 40i− sous la forme x iy+ (avec x et y réels) :

( )

² ² ²

2 2 2 2

9 40 2 9 40

9 9

2 40 20

x iy i x y ixy i

x y x y

xy xy

+ = − ⇔ − + = − ⇔

⎧ − = ⇔⎧ − =

⎨ = − ⎨ = −

⎩ ⎩

La deuxième égalité nous donne : 20

y= − x et la première se récrit alors : ² 400₂ 9 x − x = . Soit : x⁴−9x²−400=0.

Posons X =x² (réel positif) et considérons l’équation : X²−9X −400=0.

Le discriminant associé s’écrit : δ = −

( )

⁹ ²− × × −^{4 1}

(

⁴⁰⁰

)

=81 1600 1681+ = =41². Les solutions de cette équation s’écrivent alors :

( )

1

9 41 9 41 32

2 2 2 16

X =− − − = − = − = − et ₂ 9 41 50 2 2 25

X = + = =

(3)

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[3 - 3]

Septembre 2009

Comme on cherche des solutions réelles positives, on ne retient que la deuxième solution.

On doit alors résoudre x²=25 qui donne immédiatement x=5 ou x= −5. Comme 20xy= − , on a :

• Pour x=5, y= −4.

• Pour x= −5, y=4.

Les racines complexes de 9 40i− sont donc : 5 4i− et 5 4i− + .

Comme 9 40i− et 9 40i+ sont conjugués, on déduit immédiatement de ce qui précède que les racines complexes de 9 40i+ sont les conjugués des deux complexes que nous venons

d’obtenir : 5 4i+ et 5 4i− − . Il nous faut donc résoudre :

( )

3 1 5

5 4 2

2 2 2

z+ = + i = + i

3 5

2 2 2 z+ = − + i

3 5

2 2 2 z+ = − i

3 5

2 2 2 z+ = − − i

On obtient finalement les quatre racines suivantes :

1 1 2

z = + i

2 1 1 2

z = = −z i

3 4 2

z = − + i

4 3 4 2

z =z = − − i

Résultat final

L’équation z⁴+6z³+9z²+100=0 admet quatre racines complexes :

1 1 2

z = + i, z₂ = = −z₁ 1 2i, z₃ = − +4 2i et z₄ =z₃ = − −4 2i