Centre Etranger 2007, corrigé

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Centre Etranger, Juin 2007 Sujets de Bac

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Baccalauréat STG Mercatique – Comptabilité Finance Ile Maurice 2007 - CORRIGE

Exercice 1

1a. Il y a 525 personnes qui connaissent le commerce équitable parmi les 1500 intérogées, soit une proportion de 525 0.35

p=1500= .

1b. Il y a 156 personnes de moins de 25 ans qui connaissent le commerce équitable parmi les 1500 intérogées, soit une proportion de ¹⁵⁶ 0.104

p=1500= .

1c. Il y a 48 personnes de plus de 60 ans qui connaissent le commerce équitable parmi les 195 personnes de plus de 60 ans, soit une proportion de ⁴⁸ 24, 6%

p=195≃ .

1d. 525 personnes connaissent le commerce équitable dont 327 de mois de 40 ans, soit une proportion de 327 61, 7%

p=525≃ environ.

2a. PC

( )

A représente la probabilité de connaître le label AB sachant qu’on connaît le commerce équitable.

D’après l’énoncé, PC

( )

A =⁵⁰⁴₅₂₅=^0.96.

C

( )

P A représente la probabilité de connaître le label AB sachant qu’on ne connaît pas le commerce équitable.

D’après l’énoncé,

( )

⁵⁴⁶ ^0.56

C 975

P A = = .

2b. On remplit l’arbre grace à la loi des nœuds.

2c. D’après le cours :

( )

^{( )} C^{( )} ^{0.35 0.96} ^{0, 336}

P A∩C =P C ×P A = × = . De même,

( )

^{( )} ^C^{( )} ^{0.65 0.56} ^{0, 364}

P A∩C =P C ×P A = × = .

2d. D’après la formule des probabilités totales, la probabilité de connaître le label AB est donnée par :

( ) ( )

( ) 0,336 0, 364 0.7

P A =P A∩C +P A∩C = + = , donc le journaliste a raison.

2e. On a PC

( )

A =^0.96 et P A( )=0.7≠0.96 donc A dépend de C et les évènements ne sont pas indépendants.

0,65

0,04

0,44

(2)

2

Exercice 2

A1. Le taux global d’évolution est donné par 56628 68839 68839 0.18

f i

V V

t Vi

− −

= = ≈ − , soit une baisse d’environ 18%.

A2a. On cherche a tel que ⁷ ⁵⁶⁶²⁸ 68839

a = : d’après le cours,

1

56628 7

68839 0.97

a  

=  ≈

  .

A2b. Entre 1997 et 2004, il y a 7 évolutions successives : le schéma associé (voir cours si nécessaire) est donc de la forme :

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

97 98 2003 2004

60196 .. ... .. 56628

t t t t

Nbre _{× +} Nbre _{× +} _{× +} Nbre _{× +} Nbre

→ → → → où t représente le taux d’évolution annuel moyen.

On a donc ⁶⁰¹⁹⁶^{× +}

( )

¹ ^t ⁷ ⁼⁵⁶⁶²⁸ et par conséquent

( )

¹ ⁷ ⁵⁶⁶²⁸

68839 +t = .

D’après le A2a, on a donc

1

56628 7

1 0.97

68839

t  

+ =  ≈

  soit t = -0,03 (baisse annuelle moyenne de 3%).

A3. Entre 2004 et 2008, il y aura 4 évolutions donc le nombre d’écoles en 2008 peut être estimé par :

( )

⁴

56628× −1 0, 01 ≈54397.

B1. Un ajustement affine est envisageable car les points du nuage sont à peu prés alignés.

B2. L’année 2004 est de rang 24 donc 2008 est de rang 28 : comme y= −510, 6x+69003, on peut estimer qu’en 2008 il y aura : y= −510, 6 28 69003× + ≈54706 écoles, ce qui est relativement cohérent avec l’estimation précedemment faite.

Exercice 3

On a _{( )} ⁸

(

¹

)

x

f x x e

= + et ^{g x}^{( )}⁼^0.5

(

^x⁺¹

)

^e^x^.

A1. _{( )} ⁸

(

¹

)

x

f x x e

= + donc f(0) ⁸₀ 8

=e = puisque e⁰ =1.

A2. Graphiquement, f ’(0) est le coefficient directeur de la courbe C_f au point d’abscisse 0 : elle est horizontale donc sa pente est nulle. Ainsi f ’(0) = 0.

A3. L’équation f x( )=g x( ) a deux solutions puisque C_f et C_g se coupent deux fois.

A4. ^{g x}^{( )}⁼^0.5

(

^x⁺¹

)

^e^x^donc^{g x}^{'( )}⁼^0.5^

(

^x⁺^{1 '}

)

^e^x^{+ +}

(

^x ¹

) ( )

^e^x ^'^⁼^0.5^^

⁽

^x⁺²

⁾

^e^x^^⁼

⁽

^0.5^x⁺¹

⁾

^e^x (réponse a).

B1a. ⁸

(

¹

)

( ) x_x

f x e

= + donc f(1) ⁸⁰ 29, 43

= e ≈ .

B1b. D’après l’énoncé, pour 1€, les entreprises sont prêtes à acheter f(1) porte-clés soit 29.

(3)

3

B1c. Pour 1€, DISTRIB-PUB propose g(1) porte-clés soit 3 porte-clés : en effet ^g⁽¹⁾⁼^{0.5 1 1}

( )

⁺ ^e¹^{= ≈}^e ^2.7^.

B1d. Visiblement non, il en propose beaucoup moins que les autres (3 contre 29).

B2.1. Dans C2, on a rentré « = 0,5*(A2+1)*EXP(A2) » puisque x est dans la colonne A2 et dans D2 : « = B2-C2 ».

B2.2. Dans la formule A8, il y a la formule « =A8+$F$2 » puisque le symbole $ permet de « figer » la référence.

B2.3. Le prix d’équilibre est d’environ 1.39 à 0.01 près.

Par calcul algébrique :

1.

( ) ( ) ( ) ( )

2

8 1

( ) ( ) 0.5 1 8 1 0.5 1

x

x x x

x

e

f x g x x x e x x e e

e

= ⇔ + = + ⇔ + = + × . Passons tout à gauche, il vient :

(

¹

) (

¹

)

²

( ) (

²

)

( ) ( ) 8 0.5 ^x 0 1 8 0.5 ^x 0

f x =g x ⇔ x+ − x+ e = ⇔ x+ − e = . 2. Ainsi

2 2

8 0.5 0 16

( ) ( )

1 0 1

x x

e e

f x g x

x x

− = =

= ⇔ ⇔

+ = = − : x = -1 est hors du domaine donc la solution vérifie

( )

2 ln(16)

16 2 ln 16 1.386

2

e x= ⇔ x= ⇔ =x ≈ arrondie au millième.

Cela est cohérent avec l’approximation précédente.