NOM : FEUILLE-REPONSE (d’après bac STI Antilles-Guyane, septembre 2005) Un professeur d’Education Physique et Sportive interroge un groupe de vingt élèves : jouent-ils au football dans un club, ou regardent-ils le football comme spectacle à la télévision ?
Parmi ces vingt élèves, on sait que quinze regardent des matches à la télévision, huit pratiquent ce sport dans un club et cinq font les deux.
On note J l’ensemble des élèves jouant au football dans un club, et T l’ensemble regardant football comme spectacle à la télévision
1. a) Compléter les cases non grisées du tableau suivant, indiquant dans chaque cas le nombre d’élèves concernés.
T T
J J
b) Définir l’ensemble J∩T.
2. On choisit au hasard un élève de ce groupe.
a. Calculer la probabilité que cet élève ne joue pas au football, ni ne le regarde ni à la télévision.
b. Calculer la probabilité que cet élève regarde le football à la télévision sans y jouer dans un club.
c. On interroge au hasard un élève qui regarde les matches à la télévision. Calculer la probabilité qu’il joue aussi au football dans un club.
3. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves.
Une urne comporte 20 jetons avec des numéros identiques. On tire deux fois au hasard un jeton en le remettant dans l’urne après le premier tirage.
A chaque tirage, l’élève désigné par le numéro gagne un billet d’entrée au match de son choix à condition qu’il joue au football dans un club et le regarde à la télévision.
On construit ainsi une variable aléatoire X, qui, à l’issue des deux tirages successifs, associe le nombre de billets gagnants.
a. Compléter le tableau suivant, représentant la loi de probabilité de X (N.B. : on peut créer des cases supplémentaires en cas de besoin ; de même toutes les cases ne doivent pas nécessairement être utilisées)
Valeurs xi
de X Probabilités pi de X = xi
b. Calculer l’espérance de X, et son écart-type.
c. Représenter la fonction de répartition de X sur le dessin ci-dessous.
Eléments pour un corrigé
Un professeur d’Education Physique et Sportive interroge un groupe de vingt élèves : jouent-ils au football dans un club, ou regardent-ils le football comme spectacle à la télévision ?
Parmi ces vingt élèves, on sait que quinze regardent des matches à la télévision, huit pratiquent ce sport dans un club et cinq font les deux.
On note J l’ensemble des élèves jouant au football dans un club, et T l’ensemble regardant football comme spectacle à la télévision
4. a) Compléter les cases non grisées du tableau suivant, indiquant dans chaque cas le nombre d’élèves concernés.
T T
J 5 3 8
J 10 2 12
15 5 20
b) Définir l’ensemble J∩T.
C’est l’ensemble des élèves ne jouant pas au football dans un club et ne regardant pas le football à la télévision.
5. On choisit au hasard un élève de ce groupe.
a. Calculer la probabilité que cet élève ne joue pas au football, ni ne le regarde ni à la télévision.
L’ensemble des élèves concernés est J∩T.
L’équiprobabilité et le tableau ci-dessus permettent d’écrire : p(J∩T) = 2/20.
b. Calculer la probabilité que cet élève regarde le football à la télévision sans y jouer dans un club.
L’ensemble des élèves concernés est T∩J. Par analogie au a., p(T∩J) = 10/20.
c. On interroge au hasard un élève qui regarde les matches à la télévision. Calculer la probabilité qu’il joue aussi au football dans un club.
On appelle A l’ensemble des élèves concernés.
On se restreint ici aux élèves regardant le football à la télévision.
L’équiprobabilité et le tableau ci-dessus permettent d’écrire : p(A) = 5/15.
6. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves.
Une urne comporte 20 jetons avec des numéros identiques. On tire deux fois au hasard un jeton en le remettant dans l’urne après le premier tirage.
A chaque tirage, l’élève désigné par le numéro gagne un billet d’entrée au match de son choix à condition qu’il joue au football dans un club et le regarde à la télévision.
On construit ainsi une variable aléatoire X, qui, à l’issue des deux tirages successifs, associe le nombre de billets gagnants.
a. Compléter le tableau suivant, représentant la loi de probabilité de X (N.B. : on peut créer des cases supplémentaires en cas de besoin ; de même toutes les cases ne doivent pas nécessairement être utilisées)
Valeurs xi
de X 0 1 2
Probabilités pi de X = xi
225/400 150/400 25/400 b. Calculer
l’espérance de X, et son écart-type.
En appliquant les th.1 et 2. (formulaire),
E(X) = 0×225/400 + 1×150/400 + 2×25/400 = 1/2, et V(X) = 02×225/400 + 12×150/400 + 22×25/400 – (1/2)2 = 150/400,
d’où σ(X) = 3 8 .
Th.1 : Espérance de X, E(X) = n i i
i 1
p x
∑
=Th.2 : écart-type de X, σ(X) = V(X) où V(X) = n i 2i
i 1
p x
∑
= – [E(X)]2c. Représenter la fonction de répartition de X sur le dessin ci-dessous.
