Les automates circulaires biaisés vérifient la conjecture de Černý

I

L. D UBUC

Les automates circulaires biaisés vérifient la conjecture de ˇ Cerný

Informatique théorique et applications, tome 30, n^o6 (1996), p. 495-505

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(vol. 30, n° 6, 1996, pp. 495-505)

LES AUTOMATES CIRCULAIRES BIAISES VÉRIFIENT LA CONJECTURE DE CERNY (*)

p a r L . D U B U C (l) Communiqué par C. CHOFFRUT

Abstract. - An action X x A^ —> X : (x.w) *—• x * w ofthefree semigroup A^~ over the alphabet A is synchronised by a word w G A+ if x * w = y * w for ail x}y £ X. Cerny conjecturée that if there is such a w and \X\ = n, then there is one oflength < (n - l )2. The conjecture remains open, except for particular classes of actions. An action is circular if there is c G A acting as a circular permutation, and biaised if there is b E A with only one x £ X such that \x * b^11 > 2.

We confirm hère Cerny conjecture for biaised circular actions.

Résumé. - Une action X x A^~ —> X : (x,w) i—* x*w du semigroupe libre A~^ sur un alphabet A est dit synchronisé par un mot w E A+ six*w — y * w pour tous x,y £ X. Cerny a conjecturé, que si un tel mot existe, alors il en existe un de longueur \w\ < (n — l )2, où n — \X\. Cette conjecture reste ouverte, sauf pour certaines classes d'actions. Une action est dite circulaire s'il existe c € A agissant comme une permutation circulaire, et biaiséej'il existe b E A tel que \x * b~¹\ > 2 pour un unique x E X. Nous vérifions ici la conjecture de Cerny pour les actions circulaires biaisées.

1. INTRODUCTION

La conjecture de Cerny traite de la longueur des mots synchronisants, susceptibles de ramener, aussi vite que possible, un automate déterministe fini à un même état, quel que soit l'état où il se trouve. Si un tel mot existe l'automate est dit synchronisant et il s'agit alors de borner le temps de synchronisation, c'est-à-dire la longueur d'un plus court mot synchronisant, en fonction de la taille n de l'automate. Bizarrement, la taille de l'alphabet, tant qu'il y a au moins deux lettres, ne semble pas jouer de rôle dans cette minimisation. Toutes les bornes supérieures connues, valables simultanément pour tous les automates synchronisants à n états, sont d'ordre cubique 0{n^) [Pin 78a, Pin 78b]. Pour cette raison la borne quadratique ( n - 1 )2 conjecturée en 1964 par J. Cerny [Cer 64], qui est en fait une borne inférieure exacte,

(*) Reçu le 12 mai 1995, accepté le 25 juin 1996.

(') LIR, Université de Rouen, pi. E. Blondel, 76821 Mont-Saint-Aignan.

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est d'autant plus surprenante qu'elle a su résister jusqu'à maintenant à tous les efforts de réfutation.

Peut-être, l'une des raisons de cette résistance est la difficulté de décider s'il existe ou non, pour un automate et un entier l fournis en données, un mot synchronisant de longueur inférieure ou égale à L En fait, ce problème a été classé par P. Goralcik et V. Koubek [Gor 92] comme NP-complet.

En tout cas, la conjecture de Cerny semble être très bien protégée par cette NP-complétude contre les attaques à l'aide d'ordinateur.

La borne de Cerny [n — l )2 est intérieurement atteinte déjà sur une classe d'automates assez restreinte que nous appelons les automates circulaires biaises, où l'une des lettres agit comme une permutation circulaire et pour une autre il existe un seul état à plusieurs antécédents {cf. [Pin 78a, Pin 78b]). L'intérêt énorme de cette classe, par rapport à la conjecture de Cerny, vient du fait que d'après Savicky et Vanëcek [Sav], tout automate circulaire synchronisant à n états admet un mot synchronisant de longueur inférieure ou égale à (n — l )2 + {n — 2)2, donc soumis à une borne quadratique et très proche de celle de Cerny.

Nous nous attachons à démontrer, en nous appuyant sur ce résultat, que les automates circulaires biaises vérifient la conjoncture de Cerny. La seule autre classe non triviale pour laquelle le même résultat définitif a été connu est celle des automates circulaires dont le nombre d'états n est un entier premier {cf [Pin 78a, Pin 78b]). Il nous paraît que la conjecture soit vraie pour tous les automates circulaires, mais si c'est le cas, la preuve sera assez compliquée.

2. LA MÉTHODE D'AUGMENTATION RÉCIPROQUE

Pour étudier les phénomènes de synchronisation, il suffit de considérer les automates déterministes finis sous la forme très rudimentaire d'un ensemble fini d'états soumis à une action

X x A+ ^ X : (x,w) ^ x * w

du semigroupe libre A+ sur un alphabet fini A. On va noter un tel automate par A = (X, A), l'action étant sous-entendue.

Étant donné un automate A^ on définit, pour un mot w E A+ et pour un ensemble d'états S Ç I , les notions suivantes :

• l'image (directe) de S par w

S *w — {x * w\x G S}

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Y image réciproque de S par w

S * w'1 = {x G X\x *w <E S}

le rang de w

rang(w) — \X *w\

Tout mot w de rang 1 pour A est appelé un mot synchronisant de A, et A est un automate synchronisant s'il admet un mot synchronisant.

CONJONCTURE 2.1 (J. Cerny) : Tout automate synchronisant A à n états admet un mot synchronisant w G A+ de longueur

\w\ < (n-1)2

La définition et les deux propositions qui suivent sont dues à Savicky et Vanëcek [Sav].

DÉFINITION 2.2 : Soient m un entier positif et A = (X, A) un automate.

Une partie S de X est dit réciproquement m-augmentable (dans A) s'il existe un mot w E A+ de longueur \w\ < m tel que \S * w~1\ > \S\.

L'automate A est dit réciproquement m-augmentable si pour toute partie propre SÇX^9^S^X^il existe un mot w G A+ de longueur \w\ < m

tel que \S * w~l\ > \S\,

PROPOSITION 2.3 : Tout automate réciproquement m-augmentable A de taille n admet un mot synchronisant w de longueur \w\ < 1 + m(n — 2). Par conséquent, tout automate réciproquement n-augmentable de taille n vérifie la conjecture de Cerny.

Un automate A h n états est un automate circulaire s'il existe c G A telle que {x * ck\Q < k < n} — X pour tout x G X.

PROPOSITION 2.4 : Tout automate circulaire synchronisant A de taille n est réciproquement 2(n — l)-augmentable et donc admet un mot synchronisant w de longueur \w\ < (n — l)2 + (n — 2)2.

Rappelons qu'une congruence dans un automate A = (X, A) est une relation d'équivalence ~ dans X telle que

vol 30 n° 6, 1996

L'automate quotient A/ ~— (X/ ~, A) est alors défini par l'action [xj ~ ) * w = (x * w)l ~ pour x G X et w G A+

Pour toute partie S Ç 1 , la congruence syntactique as de ,4 associée à 5, définie par

est la plus grossière parmi les congruences saturant 5 . La condition s'écrit aussi comme

xasy <£> Vu? G A*(x G S * w'1 ü y G S * w "1)

donc toutes les images réciproques de 5 sont aussi saturées par 0-5. La partie S est dite disjonctive si as est l'égalité dans X, as — Ax — {(%> x)\x G X}.

Un automate circulaire A = (X, A) est dit biaisé s'il existe une lettre b G A telle qu'un unique état xj, G X est réciproquement augmenté par bj |x& * 6~2| > 1 et |x * 6"1! < 1 pour tout x / 2:5.

Il est commode d'identifier X à l'ensemble d'entiers { 0 , 1 , . . . , n — 1}, avec n = |X|, par £5 * ck H-> fc pour 0 < /c < n. C'est alors l'état 0 qui a plusieurs antécédents sous l'action de b. De plus X devient, sous l'addition définie par x + y — 0 * cl + y un groupe cyclique (X, -f ) sur lequel c agit comme la translation associée au générateur 1 de (X, +), x * c = x + 1. Une conséquence très importante par la suite en est que toute congruence ~ de A est une congruence de (X, +), donc l'équivalence modulo le sous-groupe H = 0/ ~ = {x G X|x - 0} de ( X , + ) ,

x ~ y & x — y E H

Toutes les classes modulo ~ étant de même taille, on a

\S * w-1] > \S\ & |(5/ ~) * w-1] > \S/ - | quel que soit S Ç X et w E A+.

LEMME 2.5 : Soit A = (X, A) un automate circulaire biaisé et synchronisant à n états. Alors toute partie propre S Ç X qui n'est pas réciproquement n-augmentable est disjonctive.

Preuve: Supposons que as # A j . Alors \X/a-s\ < n/2 (puisque toutes les (75-classes sont d'une même taille), donc d'après la proposition 2.4 l'automate quotient A/as e s t réciproquement 2 ( | — l)-augmentable. Si maintenant S n'est pas réciproquement n-augmentable dans A alors S jas n'est pas réciproquement n-augmentable dans A/as>, une contradiction. D

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Notre but sera de démontrer qu'en fait dans un automate circulaire biaisé et synchronisant à n états toute partie propre est réciproquement n-augmentable.

A cette fin, nous allons établir la proposition suivante qui, avec le lemme précédent, implique cette assertion.

PROPOSITION 2.6 : Soit A — (X, A) un automate circulaire biaisé et synchronisant à n états. Alors toute partie S Ç X disjonctive est réciproquement n-augmentable.

Le fait que toute partie propre est réciproquement n-augmentable permettra immédiatement de conclure, en vertu de la proposition 2.3, que le résultat annoncé dans le titre est vrai :

THÉORÈME 2.7 : Tout automate circulaire biaisé et synchronisant A=(X,A)

à n états admet un mot synchronisant w G A^ de longueur

H < (n-i)2

Cette borne est exacte pour la classe des automates circulaires biaises.

La clé de voûte est donc la proposition 2.6. La preuve (par l'absurde) de celle-ci fait l'objet des deux sections suivantes.

3. CONGRUENCE ENGENDRÉE PAR UN COUPLE D'ÉTATS

Soit A = (X^A) un automate circulaire biaisé et synchronisant où X = { 0 , 1 , . . . , n - 1} et (X, +) le groupe cyclique tel que x + y — 0 * cx+y

pour tout x, y G X. Pour une famille d'états {x^% \i G / } , on note par {x{ \i E I) le sous-groupe de (X) +) engendré par la famille. Comme d'habitude, on note par [X : H] l'indice d'un sous-groupe H de ( X , + ) (c'est la taille du quotient X/H).

L'équivalence ~ H modulo un sous-groupe H de (X. + ) est une congruence de A si et seulement si H vérifie la condition suivante d'invariance :

Vu> £ A*(x — y€H=>x*w~y*we H) clairement équivalente à

Va e A{x -yeH=>x*a-y*a£H)

Le sous-groupe H sera appelé un groupe invariant de A dans ce cas.

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Evidemment, l'ensemble des sous-groupes invariants de A étant fermé par intersection, tout sous-groupe H de (X, +) est contenu dans un plus petit sous-groupe invariant H de (X,+)., sa fermeture invariante dans A.

PROPOSITION 3.1 : Soit H un sous-groupe de (X,+). Alors la suite de sous-groupes de (X, +) définie par

Ho = H. Hr+i = {y * a — x * a\y — x G Htl a G A) est croissante et se stabilise à la fermeture invariante H de H.

Preuve : Parmi les générateurs de HT+i on a tous les y*c — 0*c = y G Hr

d'où Hr < HT+\. Si HT = Hr+i alors H, est invariant et Hr = Hr+k pour tout k > 1. D

Nous aurons besoin d'une meilleure description de la fermeture invariante d'un sous-groupe donné H de (X, +). A cette fin, associons à toute relation binaire 7Z Ç X x X le groupe différentiel associé à 7£, défini comme un sous-groupe de (X, +)

diZ — [y — x\x1Zy)

Si £ est la plus petite équivalence dans X telle que 72. Ç J B , on dira que ^ est l'équivalence engendrée par 72 ou bien que TZ est un réduit de E1.

Pour tout ensemble de mots W Ç A* et pour toute relation binaire 72, Ç X x X, on définit la relation

72, * W = {(x, y) * lüjaTly, IÜ G où (x^y) * w = (x * Wj y * w). Pour 7 Ç I , on pose

c

= {<*\keY}

LEMME 3.2 : 5/ 72. est un réduit d'une équivalence E dans X alors dE = dlZ et par conséquent aussi d{E * A) — 9(72. * A).

Preuve : On peut supposer TZ symétrique, puisque évidemment dlZ = dlZ~1. L'inclusion dE 2 572. étant triviale on montre la réciproque.

Si xEy alors il existe un 72--chemin x = XQ1ZX\1Z .. .1Zxm = y et y - x = YnLi{%i ~ Zi-i), d o n c y -x £ dlZ et donc dE Ç 97^.

Pour la conséquence, il suffit de noter que E * A et 72. * A engendrent la même équivalence. Ü

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LEMME 3.3 : Soit une relation 7Z Ç X x X. Notons q = [X : dlZ\. Alors la relation TZ * c^n~q^ engendre ^ du ? l'équivalence modulo dTZ.

Preuve : II est clair que TZ * c$'n~q{ est contenue dans ~ en-

Soit xlZy. Pour tout z G X, la relation {x,y) * cz-x+{y-x) est un circuit sur la classe z + {y — x) modulo ~ (y-x) • Cette classe contient au plus un seul t > n — g, puisque y — x E 9% = (g). En enlevant éventuellement cet exposant t on obtient (x,y) * c^"^^3'"^^^*^, toujours connexe sur z -h {$i — x), mais cette fois entièrement contenue dans (x,y) * J0'7 1"^, qui est donc un réduit de ~ {y-x} •

Pour conclure, (x,y) * .c[°^—<?[ étant connexe sur toute ^ (y-x)-classe z-\-{y~ x), la relation {jxU (x,y) * cl0-""^ = H * c'0'""^ est connexe sur toute ~ .07^-classe ^ + dit. D

COROLLAIRE 3.4 : Si une relation TZ Ç X x X contient un réduit de Véquivalence ~ Q pour un sous-groupe propre G de d7Z, avec {X :d7Z] = q<s= [X : G], / r i o r ^ ^ * c^3^ engendre ~G.

Preuve : Considérons le sous-groupe

= {y-x + G\x1Zy)

d'indice [X/G : dlZ/G] = [X : dlZ] = q du groupe X/G de taille s.

Définissons une relation quotient 1Z/G dans X/G par (x + G)(n/G)(y + G)ssi xlZy

Le groupe 57?./G apparaît alors comme le groupe différentiel

d{n/G) = ((y + G) - (x + GUx + G)(n/G)(y + G))

on peut appliquer le lemme 3.3 pour dire que ÇR-/G) * c^s~q^ engendre

~d(7l/ç)- Autrement dit, (7Z/G)*é°yS~q[ est connexe sur toute ^ ^ y ^ - c l a s s e (x + B1Z)/G de X/G. Mais on a

(iz/G) * c'

'"-^ = (n * c ^

donc finalement, la relation 1Z et donc aussi 1Z * cfOs~r^ étant connexe sur toute ~ ^-classe x + G, on conclut que 7?, * cf0'5"'3^ est connexe sur toute

~ <97£-classe x + 97Z. D

Soit maintenant un sous-groupe H — (e) de ( X , + ) , avec la suite strictement croissante d'après la proposition 3.1

H •= HQ < H\ < . . . Hr—i < Hr

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jusqu'au premier indice r tel que Hr = iJr+i- Notons q^ = [X : Hk] et

£fc =~ Hh Pour fc E [0,r].

Définissons les relations 7ZQ , 7 £ i , . . . , TZr par la récurrence suivante :

^ o = {(O, e)}, % i = i 2 o * c ^n- ^ ,

-£fc = (7ifc_i * A) * c[°'«fc-2-^-i[ pour 2 <k <r A l'aide de ces relations, le premier groupe de notre suite s'écrit comme

Ho = <e) - dU0

Dans l'écriture du groupe suivant

H\ — {y * a — x * ajxE'oy, a G A)

on peut remplacer Eoy d'après le lemme 3.2, par un quelconque réduit de

£"o, par exemple i£i, en vertu du lemme 3.3, donc on a

# ! = (y * a - x * a|a;7ii2/, a G A) = ô(7£i * A)

La relation 7£i * A contient un réduit 1Z\ * c = Ro * c'0'™"**' de £0^

donc par le corollaire 3.4 la relation 72-2 = (-Ri * A) * c^OiQx~q°^ est un réduit de Êi et on a

H2 = d{Ex * A) = d ^2 * A)

En continuant cette récurrence et en remontant la récurrence définissant les relations TZ^ on obtient une description explicite de la fermeture invariante H — HT de H — (e), et par ce biais donc de la congruence de A engendrée par le couple (0, e).

PROPOSITION 3.5 : Pour tout k G [1,T*],

OÙ

4. CONGRUENCE SYNTACTIQUE

On suppose maintenant que dans notre automate circulaire A — (X, A) la lettre b E A est telle que

|0 * b'11 > 1 et \/x e X{x ^ 0 => \x * 6"11 < 1)

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Par conséquent, toute partie 5 réciproquement non-augmentable par 6, \S * b~~x\ < |S|, et telle que 0 E S doit contenir tous les états e e X tels que \e * b~l\ = 0. Cette observation est le point de départ du raisonnement qui permettra d'établir la proposition suivante.

PROPOSITION 4.1 : Soit e G X tel que |e * b~1\ = 0, et soient Jïju, #£, Efr, T^ju, Wfc pour 0 < k < r comme dans la section précédente. Alors toute partie S Ç X de A réciproquement non n-augmentable est saturée par Er, c'est-à-dire S * cqr = 5.

EXEMPLE 1 : L'automate circulaire A = (Zi2,{c,b}) où c ^5r Za permutation circulaire et

X X

* b 0 3

1 2

2 5

3 0

4 9

5 8

6 7

7 1

8 11

9 4

10 10

11 0 est biaisé, synchronisant, Ho — (6), H\ = (1) = Ü2-

Preuve (de la proposition) .* Soit S réciproquement non n-augmentable.

Alors pour tout x G X on a

\s*

-

\ = \s\ > \s*(bd*)-

\ = KSfc-*)^-

]

donc toutes les "rotations" S * c~a; de 5 sont non-augmentables par 6, d'où Vx e X(x E S => 0 G 5 * c~^x => e G 5 * c~^x => x + e G 5) Autrement dit, 5 est saturée par £b, S * cg° = -5.

Supposons qu'on a déjà démontré que S * c5*-1 = S, pour un A; € [1, r].

Pour tout 0 < x < Çfc_i et tout mot w G W& * A on a

\wcx\ < {n - qQ - 1) -h (ço - qi) + • • - + (<?fc-2 - Çfe-l) + Qk-l - l = n-l d'où

VxG [0, gfc_! [(|S * e"35) * îi;-11 - I S * ^ ) -1 ! < |5|) On peut enlever la restriction sur x, puisque S * cqk~x = S: donc

Vx G X(f5 * c 'x) * vT11 - |-5 * (wd*)-11 < |S|) D'autre part,

( S * c -^x) * w -¹\ = \ S \ - \ X * w -¹\ = \ S \ - n

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puisque tout état y E X est couvert \S\ fois par les rotations S * c~x de S par x E X, d'où

w — ~\r / I' O1 —X \ —1 I I C I \

V X kz. -/i. l \ ij ^ C J ^ tü — O I )

La partie 5 est aussi réciproquement non augmentable par les mots bwcx

tels que 0 < x < qu-i et w E W^ * A} puisque [fauc^l < n. Par conséquent,

VX E [U, Qk — 1 L ( K ( ^ * C ) * W ) * 0 |

= | 5 * (feu/c¹)"¹1 < \ S \ = \ ( S * c ~^x) * w -¹1 et là aussi on peut enlever la restriction sur x,

* c~x)

Ainsi, nous avons démontré que pour tout x E X et pour tout tu E W^ * A, la partie (5 * c~%) * w "1 n'est pas réciproquement augmentable par b. Par conséquent,

Va; E X(0 E (S * c~x) * w "1 =* e E (5 * c"x) * -Ü;"1)

ou encore

Va? E X(0 * w + x E 5 => 0• '* w + x E 5) En posant x = y — 0 * w on a finalement

V?/ E X V t u E Wfc * A(y eS=>y+(e*w-Q*w)eS)

d'où la conclusion que 5 * cqk — 5, et cela pour tout 0 < k < r.

S est saturée par une congruence non triviale Er de A, donc as / A x et la proposition 2.6 est démontrée par l'absurde. D

Je tiens à remercier Pavel Goralcik, mon directeur de thèse, pour son aide précieuse apportée à la préparation de cet article, ainsi que le Laboratoire d'Informatique Rouennais pour son accueil chaleureux.

RÉFÉRENCES

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