Estimation ponctuelle : synthèse des formules du cours

PREPA COURCELLES 2° année

Estimation ponctuelle : synthèse des formules du cours

Soit une variable aléatoire 𝑋↪ℒ(𝜃) où 𝜃 est un paramètre inconnu.

Soit un n-échantillon de la loi de X. Ce n-échantillon est un n-uplet (𝑋_!,𝑋_!,….,𝑋_!) de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé Ω,Α,P mutuellement indépendantes et suivant toute la même loi que X. Ainsi :

𝑋_! ↪ℒ(𝜃) 𝑋_! ↪ℒ(𝜃)

… 𝑋_! ↪ℒ(𝜃)

Le paramètre 𝜃 étant inconnu, on en cherche un estimateur.

Un estimateur de 𝜃 est une statistique 𝑇_! = 𝜑(𝑋_!,𝑋_!,….,𝑋_!) 2. Biais de l’estimateur

Si pour tout 𝜃 de Θ⊂ R, 𝑇_! admet une espérance, on appelle biais de 𝑇_! le réel : 𝑏_! 𝑇_! =𝐸 𝑇_! −𝜃

L’estimateur 𝑇_! de 𝜃 est sans biais si 𝐸_! 𝑇_! =𝜃 pour tout 𝜃 de Θ⊂R

L’estimateur 𝑇_! de 𝜃 est asymptotiquement sans biais si pour tout 𝜃 de Θ, lim_!→!𝐸 𝑇_! = 𝜃

3. Risque quadratique de l’estimateur

Si pour tout 𝜃 de Θ⊂R, 𝑇_! admet un moment d’ordre 2, on appelle risque quadratique de 𝑇_! le réel

𝑟_! 𝑇_! = 𝐸_! 𝑇_!−𝜃 ^! 𝑟_! 𝑇_! = 𝑏_! 𝑇_! ^! +𝑉(𝑇_!) Démonstration

𝑟_! 𝑇_! = 𝐸_! 𝑇_!−𝜃 ^! = 𝐸 𝑇_!^! −2𝜃𝐸 𝑇_! +𝜃^! 𝑟_! 𝑇_! = 𝐸 𝑇_!^! − 𝐸 𝑇_! ^!+ 𝐸 𝑇_! ^! −2𝜃𝐸 𝑇_! +𝜃^! 𝑟_! 𝑇_! = 𝑉 𝑇_! + 𝐸 𝑇_! ^! −2𝜃𝐸 𝑇_! +𝜃^!

𝑟_! 𝑇_! = 𝑉 𝑇_! + 𝐸 𝑇_! −𝜃 ^! 𝑟_! 𝑇_! = 𝑉 𝑇_! +𝑏_! 𝑇_! ^!

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4. Estimateur convergent

L’estimateur 𝑇_! est convergent si pour tout 𝜃 de Θ⊂ R,

∀𝜀 > 0, lim

!→!!𝑃_! 𝑇_! −𝜃) >𝜀 =0

Si pour tout 𝜃 de Θ, lim_!→!!𝑟_! 𝑇_! =0 alors la suite d’estimateurs 𝑇_{! !!!} de 𝜃 est convergente

Démonstration

D’après l’inégalité de Markov :

∀𝑎 >0,𝑃 𝑋≥ 𝑎 ≤𝐸(𝑋) Soit : 𝑋= 𝑇_! −𝜃 ^! 𝑎 Dès lors :

𝑃 𝑇_!−𝜃 ^! ≥𝑎 ≤ 𝐸 𝑇_!−𝜃 ^!

𝑎 𝑃 𝑇_!−𝜃 ≥ 𝑎 ≤𝑟_! 𝑇_!

𝑎

Soit : 𝜀 = 𝑎. Dès lors : 𝑎 =𝜀^!. Ainsi : 0≤𝑃 𝑇_!−𝜃 ≥𝜀 ≤ 𝑟_! 𝑇_!

𝜀^! Par conséquent, si :

!→!lim 𝑟_! 𝑇_! = 0

alors :

!→!lim 𝑃 𝑇_!−𝜃 ≥ 𝜀 =0

Une condition suffisante pour que 𝑇_! soit un estimateur convergent de 𝜃 est donc que :

!→!lim 𝑟_! 𝑇_! = 0

Si, par ailleurs, 𝑇_! est un estimateur sans biais de 𝜃, alors 𝑏_! 𝑇_! = 0

Dans ce cas, 𝑟_! 𝑇_! = 𝑉(𝑇_!). Ainsi, 𝑇_! est un estimateur sans biais et convergent de 𝜃 si :

!→!lim 𝑉 𝑇_! = 0

Si, par ailleurs, 𝑇_! est un estimateur asymptotiquement sans biais de 𝜃, alors : lim_!→!𝑏 𝑇_! = 0

Dans ce cas

!→!lim 𝑟_! 𝑇_! = lim

!→!𝑉 𝑇_!

Ainsi, 𝑇_! est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent de 𝜃 si :

!→!lim 𝑉 𝑇_! = 0