13.1 OPPM dans le vide

(1)

École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2^e année 2012–2013

Électromagnétisme

TD 13

Énergie et puissance électromagnétiques

Introduction :L’énergie électromagnétique emmagasinée dans un volumeV à l’ins- tantt est donnée par :

U^em= Z

V

1 2

ǫ0E²(~r, t) + 1

µ0B²(~r, t)

| {z }

dUem/dV : densité volumique enJ m⁻³

dV (1)

alors que la puissance fournie par le champ É/M aux charges du milieu (puissance dissipée) est égale à :

P = Z

V

E~·J~

| {z }

dP/dV

dV (2)

Cette puissance représente les pertes dues aux courants générés par l’onde électro- magnétique dans le milieu de propagation.

Si l’on noteP^tla puissance transportée vers l’extérieur du volumeV via la surfaceS qui l’englobe, la conservation de l’énergie dans un volumeV s’écrit sous la forme :

dUem

dt +P+P^t= 0 (3)

À partir de cette équation et les équations de Maxwell, on peut obtenir (cf. cours) une expression pour la puissance transportée vers l’extérieur du volumeV :

P^t= I

S

1 µ0

(E~∧B~)·nˆdS (4) et définir levecteur de Poynting

S~, 1 µ0

E~∧B~ (5)

qui montre la direction de transport de la puissance et dont le module donne la densité surfacique de puissance transportée, enW m⁻².

L’équation (4) exprime la puissance transportée vers l’extérieur d’un volume comme le flux du vecteur de Poynting à travers la surface fermée qui entoure celui-ci. De façon générale, la puissance transportée par une onde électromagnétique à travers une surfaceS quelconque, donc pas nécessairement fermée, est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface :

P^t= Z

S

S~·nˆdS (6)

TD 13 – p.1 www.polytech.unice.fr/~aliferis

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La conservation de l’énergie, équ. (3), peut maintenant s’écrire sous forme locale, dans un volume élémentaire, en termes de densités volumiques (énergie ou puissance par unité de volume) :

∂

∂t 1

2ǫ0E~·E~+ 1 2µ0

B~·B~

+E~·J~+ 1 µ0

∇~ ·(E~∧B~) = 0 (7) où le dernier terme correspond à la puissance qui sort du volume élémentaire, divisée par le volume.¹

Les équations précédentes font référence aux puissancesinstantanées (fonctions tem- porelles). Dans le cas des ondes harmoniques, on s’intéresse surtout aux puissances moyennes sur une période temporelle de l’onde. Alors qu’on peut toujours obtenir la valeur moyenne à partir de la fonction temporelle, l’utilisation des amplitudes com- plexes nous permet de calculer directement la valeur moyenne du produit de deux signaux harmoniques ; par exemple <E~·J~>= ¹₂Ren~

˜ E· ~

˜ J∗o

. Ainsi les différentes densités de puissancemoyenne s’écrivent :

<dUe

dV > = 1

4ǫ0Ren~

˜ E· ~

˜ E^∗o

(J m⁻³) (8)

<dUm

dV > = 1 4

1 µ0

Ren~

˜ B· ~

˜ B^∗o

(J m⁻³) (9)

< dP dV > = 1

2Ren~

˜ E· ~

˜ J^∗o

(W m⁻³) (10)

<S~> = 1 2

1 µ0

Ren~

˜ E∧ ~

˜ B^∗o

(W m⁻²) (11)

Notions :densité de puissance, puissance moyenne, vecteur de Poynting.

13.1 OPPM dans le vide

On reprend ici l’exercice10.2en considérant le champ électrique polarisé selon eˆ_x. On étudiera l’énergie électromagnétique, la puissance dissipée et la puissance transportée par une OPPM se propageant dans le vide. Calculer les énergies et puissances suivantes en fonction du temps (énergie/puissance instantanée) ainsi que leur valeur moyenne sur une période temporelle :

a. Calculer la densité volumique de l’énergie électromagnétique (instantanée et moyenne).

Comparer la « contribution » du champ électrique à celle du champ magnétique dans l’éner- gie totale.

b. Considérer un parallélépipède orienté de façon parallèle aux axes du système des coordon- nées, de dimensionsLx, Ly, Lz, et calculer l’énergie électromagnétique disponible dans son volume (valeurs instantanée et moyenne).

c. Dans quelles conditions la valeur instantanée deUem devient-elle une constante ?

d. Calculer la densité volumique de la puissance dissipée dans le milieu ainsi que les pertesP dans le volume du parallélépipède.

1On rappelle que la divergence d’un vecteur est le flux de celui-ci à travers une surface fermée, divisé par le volume défini par la surface ; le flux deSreprésente la puissance qui sort du volume, donc sa divergence correspond à la puissance qui sort du volume par unité de volume, enW m−3.

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e. Calculer le vecteur de Poynting, valeurs instantanée et moyenne.

f. À partir du vecteur de Poynting, donner l’expression de la puissanceP^tsortant du volume du parallélépipède (valeurs instantanée et moyenne).

g. Dans quelles conditionsP^t= 0?

h. Vérifier la conservation de l’énergie dans le volume du parallélépipède (forme intégrale).

i. Vérifier la conservation de l’énergie localement.

j. A.N. : donner les valeurs des résultats dans le cas oùE0= 1 V m⁻¹. Résultat:

a. ^d_dV^U^em = ¹₄

ǫ0E₀²+_µ¹₀B₀²

[1 + cos(2ωt−2kz)] = ¹₂ǫ0E₀²[1 + cos(2ωt−2kz)]

<^d_dV^U^em>= ¹₄ǫ0E₀²

ǫ0E₀²+_µ¹₀B₀²

= ¹₂ǫ0E₀² e. S~= _2Z¹₀E₀²[1 + cos(2ωt−2kz)]eˆ_z

13.2 Réflexion normale d’une OPPM sur un conducteur parfait

On reprend ici l’exercice11.1. Répondre aux questions posées dans l’exercice précédent (13.1), à l’exception de celles qui concernent la puissance ou l’énergie dans le volume du parallélépipède.

Vérifier la conservation de l’énergie sous sa forme locale, pour les valeurs moyennes.

Examiner séparément l’onde totale àz <0. Est-ce que les résultats confirment le terme « onde stationnaire » ?

Résultat:

a. ^d_dVÛêm = 2[ǫ0E_i0² sin²(kz) sin²(ωt) +_µ¹₀B_i0² cos²(kz) cos²(ωt)], < ^d_dVÛêm>=ǫ0E_i0² d. dP/dV = 0

e. S~= ^E

2 i0

Z0 sin(2kz) sin(2ωt)eˆ_z, <S~>= 0 onde stationnaire !

13.3 Réflexion normale d’une OPPM sur un bon conducteur

On reprend ici l’exercice11.2. Répondre aux mêmes questions que celles du13.2, en examinant, cette fois-ci, l’onde transmise à l’intérieur du conducteur.

Résultat:

On note E˜t0=Et0e^j^φ et on écrit 1− j =√

2e⁻^j^π/4 dans les formules de ~

˜ B. a. ^d_dV^U^em = ¹₄ǫ0E_t0²e⁻^2z/δ[1+cos(2ωt−²δz+2φ)]+¹₄_ω^σE_t0²e⁻^2z/δ[1−sin(2ωt−²δz+2φ)]

<^d_dV^U^em>= ¹₄ ǫ0+^σ_ω

E_t0²e⁻^2z/δ bon conducteur : σ/ω≫ǫ0

d. dP/dV = ¹₂σE_t0²e⁻^2z/δ[1 + cos(2ωt−²δz+ 2φ)]

<dP/dV >=¹₂σE_t0²e⁻^2z/δ e. S~= ^√₂²_µ₀¹_δωE_t0²e⁻^2z/δ

cos^π₄+ cos 2ωt−²δz+ 2φ−^π4

eˆ_z

<S~>= ¹₂_µ₀¹_δωE_t0²e⁻^2z/δ= ¹₄σδE_t0²e⁻^2z/δ

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13.4 Pointeur laser

On considère que le rayon lumineux émis par un pointeur laser de couleur verte (λ= 532 nm) correspond à une onde électromagnétique plane. Bien évidemment, cette onde ne remplit pas tout l’espace, mais crée un faisceau lumineux de diamètred= 1 mm à la sortie du laser, caractérisé par une divergence de1.1 mrad(l’angle d’ouverture du faisceau).

Donner l’expression de l’amplitude E0 du champ électrique en fonction de la distance r de la sortie du laser et calculer sa valeur à 5 m et 1 km (propagation dans l’air ; puissance émise Pe= 4 mW).

Résultat:

E0(1 m) = 301.5 V m⁻¹,E0(5 km) = 1.8 V m⁻¹

13.5 Onde sphérique

Une source d’ondes électromagnétiques, située à l’origine du système de coordonnées, rayonne dans toutes les directions de l’espace, ˆk =eˆ_r. L’onde qui en résulte est appelée « sphérique » puisque les surfaces de phase constante sont des sphères concentriques, avec la source au centre :

~˜

E(~r) =E0(r)e⁻^j^krsinθeˆ_θ

~˜

B(~r) = k

ωE0(r)e⁻^j^krsinθeˆ_φ

a. Obtenir l’expression du vecteur de Poynting, instantané et moyen.

b. Obtenir l’expression de la puissance transportée à travers la surface d’une sphère de rayon r et montrer que, dans le cas d’une propagation dans un milieu sans pertes, l’amplitude E0(r)est inversement proportionnelle àr.

c. Comparer le champ électrique de cette onde au champ électrostatique d’une charge ponc- tuelle.