L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 7
M : Zribi4ème Maths Révision
08/09 Révision 1 Exercice 1:
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n − 1 ».
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation
2 0 modulo 6
x x alors x0 modulo 3 ».
Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ».
Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».
Exercice2:
on dispose d'une urne contenant 4 boules rouges et 2 boules blanches indiscernable au toucher, et deux dés parfaits D1 et D2.
Les faces de D1 sont numérotées: 0,0,1,1,1,1. Les faces de D2 sont numérotées de 1 à 6.
1/ on lance les deux dés et on désigne par X l'aléa numérique qui indique le nombre de fois ou l'on a obtenu une face qui porte le numéro 1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2/ on considère l'épreuve suivante:
On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne:
- si on obtient au moins une boule blanche, on lance le dé D1 deux fois de suite.
- si les deux boules tirées sont rouges, on lance le dé D2 trois fois de suite.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
A:"obtenir une face qui porte le numéro 5 pour la première fois au deuxième lancé".
B:"obtenir une seule fois une face qui porte le numéro 1".
3/ on répète l'épreuve précédente n fois de suite ( n>1) en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne. on désigne par Y l'aléa numérique indiquant le nombre d'épreuves ou l'évènement B est réalisé.
a) calculer en fonction n, la probabilité pn de l'évènement (Y ≥ 1).
b) déterminer le plus petit entier n tel que pn > 0,9.
Exercice3:
P est le plan rapporté à un repère orthonormé.
1/ résoudre dans C l'équation: z3-(2+i)z²+(-3+4i)z+10-5i=0 sachant qu'elle admet deux solutions conjuguées.
2/ A, B et C sont les points du plan d'affixes respectives 2-i, 2+i et -2+i.
a) montrer que ABC est un triangle rectangle en B.
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Epreuve 7
M : Zribi4ème Maths Révision
08/09 Révision 2 b) déterminer l'ensemble des centres des similitudes de rapport 2 et
transformant A en B.
3/ S la similitude directe transformant A en B et B en C.
a) déterminer le rapport de cette similitude, donner une mesure de son angle et construire son centre.
b) Construire l'image C’ de c par S.
4/ soit ∆ une droite du plan, on désigne par S(AB), S(BC) et S∆ les symétries orthogonales d'axes respectifs (AB), (BC) et ∆.
On pose F=S(AB) o S(BC) oS∆.
a) montrer que F est une symétrie orthogonale si et seulement si la droite
∆ passé par le point B. préciser son axe.
b) On suppose que la droite ∆ ne passe pas par le point B. quelle est la nature de F. préciser ces éléments caractéristiques (on pourra utiliser le point H projeté orthogonal de B sur ∆) .
Problème:
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on considère la fonction fn
définie sur ]0 ;[ par n( ) 1 2ln
n x f x
x
.
Partie A
I. Etude des fonctions fn
1. Calculer fn ( )x et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est n 2 2 lnn x.
2. Résoudre l’équation fn ( )x 0. Etudier le signe de fn ( )x . 3. Déterminer les limites de fn en et en 0.
4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.
II. Représentation graphique de quelques fonctions fn.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O i j; , ) d’unité graphique 5 cm. On note Cn la courbe représentative de fn dans ce repère.
1. Tracer C2 et C3.
2. Calculer fn1( )x f xn( ). Cette différence est-elle dépendante de l’entier n.
3. Expliquer comment il est possible de construire la courbe de C4 à l’aide de C2 et C3. Tracer C4
.
Partie B : Calculs d’aires.
1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 2
1 elnx
I dx
x
.2. En déduire l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par les courbes Cn et Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.
L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 7
M : Zribi4ème Maths Révision
08/09 Révision 3 3. On note An l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par la courbe Cn, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e. Calculer A2. Déterminer la nature de la suite (An) en précisant l’interprétation géométrique de sa raison. Exprimer An en fonction de n.
Partie C : Etude sur l’intervalle ]1 ; [ de l’équation f xn( )1. Dans toute la suite on prendra n 3.
1. Vérifier que pour tout n,
2
2 1
n
e n
et
2
2 1
n n n
f e
. En déduire que l’équation f xn( )1 n’a pas de solution sur l’intervalle
2
1 ; 2 n
e n
. 2. On pose pour t 1, ( ) lnt
t t
. Etudier les variations de . En déduire que pour tout t appartenant à ]1 ; [, ( )t 1
e, puis que pour tout n 3,
( ) 1 f nn .
3. Montrer que l’équation f xn( )1 n sur
2 2 ,
n
e n n
. Combien l’équation f xn( )1 a-t-elle de solutions sur ]0 ;[ ? Calculer fn
