2016-2017 Semaines 3 & 4 +du 3/10 au 16/10
Algèbre linéaire de première année
La colle portera uniquement sur l’étude d’endomorphismes en dimension finie.
On évitera les espacesRn[X]car nous n’avons fait aucune révision sur les polynômes.
Les étudiants doivent savoir : + déterminer un noyau, une image ;
+ étudier l’injectivité/surjectivité/bijectivité ;
+ étudier la supplémentarité de deux (uniquement deux) sous-espaces ; + écrire la matrice d’un endomorphismes relativement à une base et l’ex-
ploiter ;
+ inverser une matrice.
Ces révisions ont pour but de préparer le terrain au cours sur la réduction
& la diagonalisation.
Voici un exercice-type traité en classe :
Exercice
SoitE =R3. Soit f définie sur Epar
∀(x, y, z)∈E, f(x, y, z) = (x,3x−2y+z,9x−9y+ 4z).
1. Vérifier quef est un endomorphisme de E.
2. Est-ce un automorphisme ? 3. SoitB la base canonique deE.
Déterminer la matriceMreprésentant f dansB.
4. Soitu= (1,1,1),v= (1,2,3)etw= (0,1,3)etC= (u, v, w).
Justifier queCest une base deE.
5. Écrire la matrice de passageP deB à C. 6. Déterminer la matrice de passage deC àB. 7. Déterminer la matriceN représentantf dansC.
8. Montrer que Vect(u, w)et Vect(v)sont deux sous-espaces deEstables parf.
9. Vect(u, v)est-il stable par f? Et Vect(v, w)?
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