Brevet Blanc de Mathématiques - Mai 2018
La calculatrice est autorisée.
La présentation, l'orthographe et la rédaction seront prises en compte dans la notation.
(sur 10 points)
Tous les exercices sont indépendants.
Exercice n°1 ( / 14) ( Polynésie Juin 2017 )
1. a. Tracer un triangle CDE rectangle en D tel que CD = 6,8 cm et DE = 3,4 cm.
b. Calculer CE au dixième de centimètre près.
Dans le triangle CDE, rectangle en D, on a d’après le théorème de Pythagore : CE² = DE² + DC²
CE² = 3,4² + 6,8² CE² = 57,8 CE = 57,8 CE ≅ 7,6
[CE] mesure 7,6 cm, valeur arrondie au dixième de centimètre.
2. a. Placer le point F sur [CD] tel que CF = 2 cm.
b. Placer le point G sur [CE] tel que FG = 1 cm.
c. Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles?
On constate qu’il y a deux positions pour le point G ( G1 et G2 ) et il est clair que la droite (FG2) n’est pas parallèle à la droite (DE).
Vérifions alors si les droites (FG1) et (DE) sont parallèles.
Les points C, F, D et C, G1, E sont alignés dans le même ordre.
On a :
= 2 6,8= 20
68= 5 17
= 1 3,4=10
34= 5 17
Comme = , d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG1) et (DE) sont parallèles.
Exercice n°2( / 12) ( Polynésie Juin 2017 )
Le baklava est une pâtisserie traditionnelle dans plusieurs pays comme la Bulgarie ou le Maroc. Il s’agit d’un dessert long à préparer, à base de pâte feuilletée, de miel, de noix ou de pistaches ou de noisettes, selon les régions. Dans un sachet non transparent, on a sept baklavas indiscernables au toucher portant les lettres du mot BAKLAVA.
On tire au hasard un gâteau dans ce sachet et on regarde la lettre inscrite sur le gâteau.
1. Quelles sont les issues de cette expérience?
Les issues possibles sont A , B , K , L et V.
2. Déterminer les probabilités suivantes : a. La lettre tirée est un L.
Il y a une seule lettre L sur les sept disponibles, donc P(« tirer un L ») = . b. La lettre tirée n’est pas un A.
Il y a quatre lettres différentes du A sur les sept disponibles, donc P(« ne pas tirer A ») = .
3. Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas tous indiscernables au toucher. Ce sachet contient 2 baklavas à base de pistaches, 4 baklavas à base de noisettes et les autres baklavas sont à base de noix. Enzo pioche au hasard un gâteau et le mange; c’est un gâteau à base de noix. Il souhaite en manger un autre. Son amie Laura remarque que, s’il veut maintenant prendre un nouveau gâteau, il aura plus de chances de piocher un gâteau à base de noix.
A-t-elle raison? Justifier la réponse.
Le sachet contenait initialement :
• 2 baklavas à la pistache,
• 4 baklavas à la noisette,
• 10 – 4 – 2 = 4 baklavas à la noix.
Comme Enzo vient de manger un baklavas à base de noix, il en reste 3 dans le sacahet.
Comme il reste 4 baklavas à la noisette, 3 à base de noix et 2 à la pistache, on en déduit qu’il a plus de chance de choisir un baklavas à la noisette.
L’affirmation de Laura est donc fausse.
Exercice n°3( / 12) ( Métropole Juin 2017 ) Léo a ramassé des fraises pour faire de la confiture.
1. Il utilise les proportions de sa grand-mère : 700 g desucrepour1kgdefraises. Il a ramassé 1,8 kg de fraises. De quelle quantité de sucre a-t-il besoin?
Comme il y a proportionnalité entre la masse de sucre et la masse de fruits, nous allons utiliser un tableau de proportionnalité :
Masse de sucres ( en g ) 700 x Masse de fraises ( en kg ) 1 1,8
On en déduit que x = × , = 1 260.
Il a besoin de 1 260 g de sucre.
2. Après cuisson, Léo a obtenu 2,7 litres de confiture. Il verse la confiture dans des pots cylindriques de 6 cm de diamètre et de 12 cm de haut, qu’il remplit jusqu’à 1 cm du bord supérieur. Combien pourra-t-il remplir de pots?
Rappels : 1 litre = 1000 cm3, Volume d’un cylindre = π ×R2 ×h.
Volume d’un pot rempli jusqu’à un cm du bord : R = 3 cm ( 6 cm de diamètre )
h = 12 – 1 = 11 cm.
Le volume d’un pot est donc V = π × 32 × 11 = 99 π cm3. Il a 2,7 litres de confiture soit 2 700 cm3.
Il pourra donc remplir
!!" ≅ 8,7 soit 9 pots.
Il pourra remplir 9 pots dont 8 complètement.
3. Il colle ensuite sur ses pots une étiquette rectangulaire de fond blanc qui recouvre toute la surface latérale du pot.
a. Montrer que la longueur de l’étiquette est d’environ 18,8 cm.
La longueur de l’étiquette est égale au périmètre de la base soit 2π × R = 2π × 3≅ 18,8 cm.
b. Dessiner l’étiquette à l’échelle
# . Pour obtenir les dimensions à l’échelle
#, il suffit de diviser les dimensions réelles par 3.
La longueur réelle de l’étiquette est environ 18,8 cm soit ,
# ≅6,3 cm.
La largeur réelle de l’étiquette est 12 cm soit
# = 4 cm.
Il suffit donc de construire un rectangle de longueur 6,3 cm et de largeur 4 cm.
Exercice n°4( / 12) ( Polynésie Septembre 2017 )
La figure ci-dessous représente le plan de coupe d’une tribune d’un gymnase. Pour voir le déroulement du jeu, un spectateur du dernier rang assis en C doit regarder au-dessus du spectateur placé devant lui et assis en D. Une partie du terrain devant la tribune lui est alors masquée. On considèrera que la hauteur moyenne d’un spectateur assis est de 80 cm (CT = DS = 80 cm).
Sur ce plan de coupe de la tribune :
• les points R, A et B sont alignés horizontalement et les points B, C et T sont alignés verticalement;
• les points R, S et T sont alignés parallèlement à l’inclinaison (AC) de la tribune ;
• on considérera que la zone représentée par le segment [RA] n’est pas visible par le spectateur du dernier rang;
• la largeur au sol AB de la tribune est de 11 m et l’angle $%&d’inclinaison de la tribune mesure 30°.
1. Montrer que la hauteur BC de la tribune mesure 6,35 m, arrondie au centième de mètre près.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a : Tan(Â) = '(' c’est-à-dire Tan(30) = ' .
On en déduit que BC = 11 × Tan(30) ≅ 6,35.
La hauteur BC de la tribune mesure environ 6,35 m, valeur arrondie au cm.
2. Quelle est la mesure de l’angle $)*&?
Les droites (RT) et (AC) étant parallèles, on en déduit que les angles correspondant $)*& et
$%& sont de la même mesure.
L’angle $)*& mesure donc 30°.
3. Calculer la longueur RA en centimètres. Arrondir le résultat au centimètre près.
Dans le triangle RBT, rectangle en B, on a : Tan($)*&) = '+
', c’est-à-dire Tan(30) = , -
',. On en déduit que BR = +./(# ), - ≅ 12,38.
Puis RA = BR – BA ≅ 12,38 – 11 = 1,38
La longueur RA mesure environ 1,38 m, valeur arrondie au cm.
Exercice n°5( / 12) ( Polynésie Septembre 2017 )
La figure ci-après est la copie d’écran d’un programme réalisé avec le logiciel « Scratch ».
1. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, alors le programme renvoie −5.
2 2.33é 56667 4 8! 567 − 5
Si on choisit 2, le programme renvoie -5.
2. Que renvoie le programme si on choisit au départ : a. le nombre 5?
5 2.33é 56667 25 8! 567 16 Si on choisit 5, le programme renvoie 16.
b. le nombre – 4?
−4 2.33é 56667 16 8! 567 7
Si on choisit -4, le programme renvoie 7.
3. Déterminer les nombres qu’il faut choisir au départ pour que le programme renvoie 0.
Il faut que y = x² – 9 = 0 c’est-à-dire x² = 9.
Les nombres dont le carré est 9 sont -3 et 3.
Pour que le programme renvoie 0, il faut choisir au départ -3 ou 3.
Exercice n°6( / 10) (Amérique du Nord Juin 2016 )
Une station de ski propose deux tarifs de forfaits :
• Tarif 1 : le forfait «journée» à 40,50 €.
• Tarif 2 : Achat d’une carte club SKI sur Internet pour 31 € et donnant droit au forfait
«journée» à 32 €.
1. Déterminer par le calcul :
a. Le tarif le plus intéressant pour Elliot qui compte skier deux journées.
Tarif 1 : 2 × 40,5 = 81 €.
Tarif 2 : 31 + 2 × 32 = 95 €.
Pour deux journées de ski, le tarif le plus intéressant est le tarif 1 avec 81 € contre95 € pour letarif 2.
b. Le nombre de journées de ski à partir duquel le tarif 2 est plus intéressant.
Pour x journées, le montant des différents tarifs est : Tarif 1 : 40,5x
Tarif 2 : 32x + 31
Il faut résoudre l’inéquation Tarif 1 > Tarif 2 c’est-à-dire : 40,5 x > 32x + 31
40,5x – 32x > 31 8,5x > 31
x >#,- x > 3,64
A partir de 4 journées, le tarif 2 est plus intéressant.
2. Utiliser le graphique ci-après qui donne les prix en euros des forfaits en fonction du nombre de jours skiés pour les deux tarifs.
Déterminer par lecture graphique :
a. Le tarif pour lequel le prix payé est proportionnel au nombre de jours skiés. On justifiera la réponse.
Il s’agit du tarif 1 car sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère.
b. Une estimation de la différence de prix entre les deux tarifs pour 6 jours de ski.
Pour 6 jours de ski, graphiquement, on peut dire que :
Tarif 1 : 245 € et Tarif 2 : 225 € soit une différence de 245 – 225 = 20 € c. Le nombre maximum de jours de ski que peut faire Elliot avec un budget de 275 €.
Avec le tarif 1 : 6 jours au maximum.
Avec le tarif 2 : 7 jours au maximum.
Avec 275 €, Elliot pourra skier au maximum 7 jours.
Exercice n°7( / 12) (Asie Juin 2016 )
Une entreprise de fabrication de bonbons souhaite vérifier la qualité de sa nouvelle machine de conditionnement. Cette machine est configurée pour emballer environ 60 bonbons par paquet. Pour vérifier sa bonne configuration, on a étudié 500 paquets à la sortie de cette machine.
Document1 : Résultats de l’étude
Nombre de bonbons 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Effectif 4 36 53 79 145 82 56 38 7
Document2 : Critèresde qualité
Pour être validée par l’entreprise, la machine doit respecter trois critères de qualité :
• Le nombre moyen de bonbons dans un paquet doit être compris entre 59,9 et 60,1.
• L’étendue de la série doit être inférieure ou égale à 10.
• La médiane de la série doit être supérieure ou égale à 59.
La nouvelle machine respecte-t-elle les critères de qualité ? Les réponses doivent être justifiées.
Calcul de la moyenne M :
M = ×-:;#:×- ;-#×- ; !×-!; -×: ; ×: ;-:×: ;# ×:#; ×:
-
M = #
-
M = 60,054
La moyenne est conforme aux critères.
Calcul de l’étendue E : E = 64 – 56
E = 8
L’étendue est conforme aux critères.
Calcul de la médiane Me :
La moitié de l’effectif total est 250.
Nombre de bonbons 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Effectif 4 36 53 79 145 82 56 38 7
E.C.C 4 40 93 172 317 399 455 493 500
D’après la ligne Effectifs Cumulés Croissants, on en déduit que la valeur de la médiane est Me = 60.
La médiane est conforme aux critères.
Conclusion : la machine respecte les critères de qualité.
Exercice n°8( / 6) :
La figure ci-dessus est constituée de 5 parallélogrammes.
Citer une transformation (rotation, translation, symétrie centrale, symétrie axiale, homothétie) qui permet de passer :
1) du parallélogramme 1 au parallélogramme 2 : Translation qui transforme A en D ou B en C.
2) du parallélogramme 1 au parallélogramme 3.
Rotation de centre C et d’angle 90 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
3) du parallélogramme 1 au parallélogramme 4.
Symétrie centrale de centre A.
4) du parallélogramme 1 au parallélogramme 5.
Rotation de centre A et d’angle 90 dans le sens des aiguilles d’une montre.
5) du parallélogramme 5 au parallélogramme 3.
Translation qui transforme A en C.
6) du parallélogramme 4 au parallélogramme 2.
Translation.
