TS Limites et comparaisons

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TS Limites et comparaisons

Les théorèmes donnés dans ce chapitre sont analogues à ceux concernant les limites de suites.

Plan du chapitre :

I. Le théorème d’encadrement (ou « des gendarmes ») II. Extension du théorème des gendarmes (un seul gendarme) III. Point-méthode : utilisation des théorèmes de comparaison

I. Le théorème d’encadrement (ou « des gendarmes ») 1°) Énoncé

I est un intervalle dont la borne de droite est + .

f, g, h sont trois fonctions définies sur I telles que  x I ^{f x}

     

^{g x} ^{h x} ^.

Si x^lim f x

 

x^lim h x

 

       l₍l__»_{), alors}x^lim g x

 

   l_.

Ce théorème est admis sans démonstration.

Ce théorème reste vrai si x tend vers –  ou x tend vers a avec aR. 2°) Exemple

f : x sin x

x

*

f »

D

Déterminer _x^lim  ^{f x}

 

. Attention : lim sin

x x

   n’existe pas.

 x » – 1sinx1 x *_

 » 1 sinx 1

x x x



: x (x0)

On a  x »^*_ ^¹_x^{f x}

 

¹_x^.

2

1 1

lim lim 0

x^{  }x x^{  } x

 

   donc d’après le théorème des gendarmes _x^lim  ^{f x}

 

⁰.

Il est intéressant de regarder la courbe représentative de la fonction f : on observe bien qu’elle admet l’axe des abscisses pour asymptote horizontale en +  (et en – ).

On peut d’ailleurs noter qu’elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses k avec k»^*.

O C

La limite que nous venons d’obtenir sin

lim 0

x

   x  (limite en + ) ne doit pas être confondue avec la limite de référence étudiée dans le chapitre sur l’étude des fonctions cosinus et sinus :

0

limsin 1

x

 x  (limite en 0).

Cette dernière limite se « voit » également graphiquement sur la courbe de la fonction f (observation au voisinage du point A

 

0 ; 1 : la fonction f peut être prolongée par continuité en 0 en une fonction continue sur R).

lim sin 0

x

   x  n’est cependant pas une limite de référence et doit être démontrée à chaque fois.

II. Extension du théorème des gendarmes (un seul gendarme) 1°) Énoncé

I est un intervalle dont la borne de droite est + .

f et g sont deux fonctions définies sur I telles que  x I ^{f x}

   

^{g x} ^.

 Si _x^lim  ^{f x}

 

  , alors _x^lim  ^{g x}

 

  .

 Si x^lim g x

 

     , alors x^lim f x

 

     .

Ce théorème est admis sans démonstration.

Ce théorème reste vrai si x tend vers –  ou x tend vers a avec aR. –  – 2 –  i

 2 3

j

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3 2°) Exemple

f : x xsinx

f »

D

 Déterminer _x^lim  ^{f x}

 

.

 x » sinx– 1 donc x » xsinxx– 1 (minoration de la fonction).

 x » ^{f x}

 

^x^{– 1}

 

lim 1

x_{  } x   

Donc d’après l’extension du théorème des gendarmes, _x^lim  ^{f x}

 

  .

 Déterminer _x^lim  ^{f x}

 

.

 x » sinx1 donc x » xsinxx1 (majoration de la fonction)

 x » ^{f x}

 

^x^¹

 

lim 1

x

   x   

Donc d’après l’extension du théorème des gendarmes, _x^lim  ^{f x}

 

  . III. Point-méthode : utilisation des théorèmes de comparaison 1°) Quel théorème utiliser

 2 limites finies égales : on utilise le théorème des gendarmes (I).

 1 limite infinie : on utilise l’extension du théorème des gendarmes (II).

2°) Attention sur les inégalités

Quand on multiplie par un réel négatif, on change de sens.

3°) Penser au théorème des gendarmes ou à son extension quand on a des fonctions cosinus ou sinus.