12 Numération ; Codage binaire et hexadécimal

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12 Numération ; Codage binaire et hexadécimal

1. La numération au cours des temps

Lire les documents signalés ci-dessous.

http://www.ac-orleans-tours.fr/physique/espely.htm# MPI numération et informatique

vous pouvez compléter vos informations avec le site http://tboivin.free.fr/mpi/histoire/histoire.htm

Question :

Ecrire le nombre 342 en :

 Babylonien



Egyptien

Remarque : on peut aussi l’écrire dans l’autre sens !

 maya

2. Les systèmes décimal, binaire et hexadecimal

a. Le système décimal

Que représente un nombre en base 10 ? (notre système de numération ) Consulter le site :

www.physique-appliquee.net/mpi/numeration/numeration03.html et répondre aux petits exercices.

Soit le nombre 3189. En réalisant des divisions successives par 10, on obtient:

Soit :

3189(10) = 9 + 8 x 10 + 1x100 + 3 x 1000 3189(10) = 3 x 10³ + 1x 10² + 8x 10¹ + 9 x 10⁰

b. Du code décimal (base 10) au code binaire (base 2) En base 2 il n’y que 2 chiffres 0 et 1.

3189 10

18 318 10

89 18 31 10 9 8 1 3



–—



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Exemple : 0111010101

b.1. Que représente ce nombre en binaire ?

0111010101 = 1 x 2⁰ + 0 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2⁴ + 0 x 2⁵ + 1 x 2⁶ + 1 x 2⁷ + 1 x 2⁸ + 0 x 2⁹

b.2. Comment convertir un nombre binaire en décimal ? 0111010101(2) = 1 x 2⁰ + 0 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2⁴ + 0 x 2⁵ + 1 x 2⁶ + 1 x 2⁷ + 1 x 2⁸ + 0 x 2⁹

0111010101(2) = 1 + 0 + 1x4 + 0 +1x 16 +0 + 1 x64 + 1x128 + 1 x 256 0111010101(2) = 468(10)

b.3. Comment convertir un nombre décimal en binaire ? On veut écrire le nombre 13(10) en base 2. Pour cela, on va procéder comme au § 2.a, c’est à dire, on divise successivement par 2, et on

obtient :

Donc 13(10 = 1101(2)

Question :

Ecrire 35(10) en binaire.

35(10)= 100011(2)

b.4. A savoir faire absolument :

Savoir compter en binaire jusqu’à 15 sans hésiter (Entraînez-vous en remplissant le tableau ci –dessous)

Nombre

décimal 2³ 2² 2¹ 2⁰ Nombre

binaire

0 0 0 0 0 0000

1 0 0 0 1 0001

2 0 0 1 0 0010

3 0 0 1 1 0011

4 0 1 0 0 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1 0 0 0 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

13 2 1 6 2 0 3 2 1 1

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15 1111 b.5. Exercices :

Dans le code ASCII, la lettre (« o ») s’écrit 111 (10). Quel est son code binaire ? 111 (10)= 1101111(2)

Dans ce même code, la lettre (n) s’écrit 01101110 (2). Quel est son code décimal ? 01101110 (2)= 110(10)

b.6. Remarque :

Avec un bit on peut représenter 2¹ = 2 états différents: 0 1

Avec 2 bits on peut représenter 2² = 4 états différents : 00 01 10 11

Avec 3 bits on peut représenter 2³ = 8 états différents : 000 001 010 011 100 101 110 111

Avec 8 bits (1 octet) on peut représenter 2⁸ = 256 états différents ( le plus petit est 0, le plus grand 255 soit 256 états différents)

Les multiples

 1 kilo-octet (Ko) vaut 2¹⁰ octets = 1024 octets (noter la différence avec le kilo utilisé en physique)

 1 méga-octet (Mo) vaut 2¹⁰ Ko = 1024 Ko = 2²⁰ octets = 1 048 576 octets

3. Le système hexadécimal

a. Qu’et-ce que le système hexadécimal ?

Regrouper les bits en octets (8 bits), coder l’information en mots de plusieurs octets, est une tâche lourde et rapidement fastidieuse.

Le système hexadécimal (16 bits) permet de réduire la longueur des mots et facilite leur manipulation. Ce système comporte 16 symboles, les 10 chiffres du système décimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) et les 6 premières lettres de l’alphabet (A,B,C,D,E,F).

L’ordinateur comprend et utilise le code hexadécimal.

Tableau de correspondance entre les systèmes.

Décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hexadécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Binaire 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

b. Conversions hexadécimal / décimal

b.1. Passer du code hexadécimal (16) au code décimal (10 ) B35A(16) = Ax 16⁰ + 5x 16¹ +3x 16² +Bx16³

B35A(16)= 10 x 1 + 5 x 16 + 3 x 256 + 11 x 4096 = 45914(10)

Question :

Ecrire 2A3 ( 16 ) et 1AD7 ( 16 ) en code décimal.

2A3 ( 16) = 3 + 10x16 + 2x 16² = 675(10)

1AD7 ( 16 ) = 7 + 13x16 + 10 x 16² +1 x 16³= 6871(10)

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Ecrire 379(16) en code décimal

379(16)= 9 + 7 x 16 +3 x 16² = 889(10)

b.2. Passer du code décimal (10 )au code hexadécimal (16) On veut écrire le nombre 63650(10) en base 16. En divisant successivement par 16, on obtient :

63650(10) =2x 16⁰ + 10x 16¹ +8x 16² +15x16³ 63650(10) =2x 16⁰ + Ax 16¹ +8x 16² +Fx16³ 63650(10) =F8A2(16)

Question :

Ecrire le nombre 6887 (10) en code hexadécimal. 6887 (10)= 1AE7(16)

Ecrire 1123(10) en code hexadécimal. 1123(10)= 463(16)

c. Conversions hexadécimal / binaire

c.1.Du code binaire (2) au code hexadécimal (16).

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méthode^ère :

On procède en 2 étapes :

 Passer du binaire au décimal

 Passer du décimal à l’hexadécimal

Exercice : Vérifier que 10110111101 ( 2 ) = 1469 ( 10 ) = 5BD ( 16 ).

2ème méthode

Voir : www.physique-appliquee.net/mpi/numeration/numeration08.html On découpe le nombre binaire en quartets, à partir de la droite puis on remplace chaque quartet par le symbole hexadécimal correspondant.

En reprenant l’exemple précédent, on peut remarquer que : 10110111101(2) = 0101 1011 1101 = 5BD (16)

Exercices :

Ecrire le nombre 1111010100001010 ( 2 ) puis 27 ( 10 ) en code hexadécimal.

1111010100001010 ( 2 ) =1111 0101 0000 1010 = F50A(16)

27(10)=1 x 16¹+9=19(16)

c.2. Du code hexadécimal (16) au code binaire (2).

Ecrire le nombre 70E(16) en code binaire.

70E(16) = 0111 0000 1110(2)

TB fait :

63650 16

156 3978 16 125 77 248 16 130 138 88 15 2 10 8

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site http://www.ac-orleans-tours.fr/physique

avec ex interactifs : http://www.scientillula.net/

Exercices possibles sur :

http://profge.free.fr/Exo/numer.html

http://perso.orange.fr/arsene.perez-mas/numeration/numeration_exes.htm http://serge.mehl.free.fr/anx/sys_num.html