Inductance_equivalente (nH)

1

Compléments de Micro-ondes: Les fonctions actives

Gilles DAMBRINE (Cours, TP) Luc DUBOIS (TD, TP)

20h 15h

15h

TP

Bât P3 2

Étage TD (jeudi 10h15-12h15)

Bât. DESS salle 115 Cours (mardi 8-10h)

Bât. DESS salle 115

2

3

Rappels et outils de base

Principales caractéristiques d’une ligne de propagation Les structures de propagation usuelles

Les paramètres S, les conversions de matrices usuelles L’abaque de Smith, son utilisation

Notions et principes caractérisant un quadripôle actif (concepts courant/tension et ondes).

Impédance ou facteur de réflexion ramené à l’entrée ou en sortie d’un quadripôle.

Définition des puissances et gains usuels.

Transformations d’impédances et transfert optimal de puissance.

Cercles de gain en puissance ou de gain disponible.

Stabilité des quadripôles actifs (critères, cercles de stabilité) Facteur de bruit et cercles de bruit.

4

Démarche générale.

Les bases de stabilisation d’un quadripôle actif.

Les bases des circuits de polarisation des transistors hyperfréquences.

Base de la conception d’un oscillateur hyperfréquence.

Base de conception des oscillateurs par l’approche des paramètres S.

Bases des résonateurs micro-ondes Oscillateurs à résistance négative Oscillateur en contre-réaction

Stages et travaux pratiques :

Initiation à la CAO hyperfréquence : l’amplificateur faible bande à un étage.

Initiation à la CAO hyperfréquence : l’oscillateur à résonateur diélectrique(approche linéaire)

5

Concepts, outils de base

Conception

Réalisation

Cahier des Charges

6

Réseau d’adaptation / transformation

d’impédance:

Les lignes de

propagation, Z_c, α, β

Les composants localisés:

Matrices S, Y, Z etc…

7

Lignes de Transmission: Les bases

Impedance Caractéristique de lignes microruban

Microstrip h

w Coplanair

w¹ w²

ε

Guide d’onde

bifilaire Coaxiale

b a

h

w

z

Zo est fonction des dimensions physiques and

z

Zo est générallement un nombre réel (e.g. 50 or 75

ohms)

8 Rdx

Cdx Gdx

Ldx

( )^x

V ^V(^x+dx)

(^{x dx})

I +

( )^x

I

• Modèle des télégraphistes

( )⁰

V ^V( )^L

x

0 L

V = V

. e

+ V

. e

= V

+ V

I = I

. e

+ I

. e

= I

+ I

9

• Ligne sans pertes R

L ω >>

G

C ω >> _C

Z

= L α = 0 β = ω ^LC

Vitesse de propagation :

reff

C

v LC

v ε

β = ω ⇒ = 1 =

( ^ω )( ^ω )

β α

γ = + ^j = ^R + ^{jL . G} + ^jC ω

ω jC G

jL Z

R

+

= +

• Ligne standard

α en N/m

686 . 8

) / ) (

/

( N m

m

dB α

α =

β(rd/m).l (m) : Longueur électrique en rad

10

Lignes Microruban: Zc

Impedance Caractéristique de lignes microruban

Pour les substrats usuels 2.5<ε_r<10

Zo max ~100 – 150 Ω Zo min ~ 25 – 40 Ω

Pourquoi ?

Quelques explications…

11

Lignes de propagation

[ ] ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

) (

) (

) (

) (

L Ch

L Sh

Y

L Sh

Z L

Ch Ch

c

c ligne

γ γ

γ γ

[ ]

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

= ( )

) (

1

) ( ) 1

(

L L cth

Sh

L L Sh

cth Z

Z

γ γ γ γ

• Matrice [Z] & [Y] d’une ligne (Z

, γ ) de longueur L

• Matrice Chaîne d’une ligne (Z

, γ ) de longueur L

[ ]

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

= ( )

) (

1

) ( ) 1

(

L L cth

Sh

L L Sh

cth Y

Y

γ γ

γ γ

12

« ramenée »

• Calculons l’admittance vue à l’entrée d’une ligne (Y

, γ ⁾ de longueur L connectée à une admittance de charge Y

• Calculons l’impédance vue à l’entrée d’une ligne (Z

, γ ⁾ de longueur L connectée à une impédance de charge Z

ZL

Z

Z

YL

Y

Y

13

« ramenée »

c L

L c

c c

L

L c

c

in

jZ tg l Z

Z l

tg Z jZ

Z l

th Z

Z l

th Z Z

Z +

≈ + +

= +

) (

) (

) (

) (

β β γ

γ

• Calculons l’admittance vue à l’entrée d’une ligne (Y

, γ ⁾ de longueur L connectée à une admittance de charge Y

• Calculons l’impédance vue à l’entrée d’une ligne (Z

, γ ⁾ de longueur L connectée à une impédance de charge Z

c L

L c

c c

L

L c

c

in

jY tg l Y

Y l

tg Y jY

Y l

th Y

Y l

th Y Y

Y +

≈ + +

= +

) (

) (

) (

) (

β β γ

γ

14

« Ramenée »

Ω

∝

≈ jZ tg l jL Z _{in c} ( β )

• Cas particulier où Z

=0 - Æ tronçon de ligne en Court Circuit

En modifiant Z_c et / ou la longueur l: on voit à l’entrée du tronçon de ligne une inductance série

Z

L L3 R=

L=H

15

« Ramenée »

Ω

∝

≈ jZ tg l jL Z _{in c} ( β )

• Cas particulier où Z

=0 - Æ tronçon de ligne en Court Circuit

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

0 0.25 0.5 0.75 1

Longueur / λg

Inductance_equivalente (nH)

~ Inductance ~ Inductance

Zc=50 Ω Freq=5 GHz

Généralement l < λ

/4

16

« Ramenée »

Ω

∝

≈ jY tg l j C Y _{in c} ( β )

• Cas particulier où Y

=0 - Æ tronçon de ligne en Circuit Ouvert

En modifiant Y_c et / ou la longueur l: on voit à l’entrée du tronçon de ligne une Capacité équivalent en parallèle (shunt)

Y

C

C3

C=pF

17 -50

-25 0 25 50

0 0.25 0.5 0.75 1

Longueur / λg

Capacité_equivalente (pF)

~ Capacité ~ Capacité

« Ramenée »

Ω

∝

≈ jY tg l j C Y

( β )

Yc=20 mS Freq=5 GHz

• Cas particulier où Y

=0 - Æ tronçon de ligne en Circuit Ouvert

Généralement l < λ

/4

18

« Ramenée »; Tronçons de Ligne en Court Circuit

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100

0 0.25 0.5 0.75 1

Longueur / λg

Inductance_equivalente (nH)

~ Inductance ~ Inductance

Longueur = λ_g/4; Z_in = infinie

Zin

L L3 R=

L=nH C

C3 C=pF

Longueur = λ_g/2; Z_in = 0

Zin _C

C4 C=pF L L4 R=

L=nH

Zin

L L3 R=

L=nH C

C3 C=pF

Longueur = 3λ_g/4;

Z_in = infinie

19

-50 -25 0 25 50

0 0.25 0.5 0.75 1

Longueur / λ^g Capacité_equivalente (pF) ~ Capacité ~ Capacité

« Ramenée »; Tronçons de Ligne en Circuit Ouvert

Longueur = λ_g/4; Y_in = infinie

Longueur = λ_g/2; Y_in = 0 Longueur = 3λ_g/4;

Y_in = infinie

Yin _C

C4 C=pF L L4 R=

L=nH

Yin

L L3 R=

L=nH C

C3

C=pF Yin _C

C4 C=pF L L4 R=

L=nH

20

Une ligne quart d’onde idéale est un inverseur d ’admittance idéal

L

in

Y

Y J

2

=

un tronçon de ligne λ g/4

c c

c UE

g c

c UE

Y J

où J d

j

J j Y

j

Z ch j

l à

avec

jY ch jZ

Zc Zc

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

≡ ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ = Π =

= Θ

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

Θ Θ

Θ

= Θ

0 ' / 0

0 ] 0

[

4 2

cos sin

sin ] cos

[

0

ω λ ω

YL

Y

Y

21

Paramètres S / Matrice S

• Justification des paramètres S

Problèmes liés à la mesure des paramètres H, Z ou Y

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥ ⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 22

21

12 11

2 1

V V Y

Y

Y Y

I I

I₁ I₂

V₁ V₂

Les notions de courant et tension

ne sont pas mesurables en HF…

22

Paramètres S / Matrice S

• Ondes incidentes / réfléchies

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥ ⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1 22

21

12 11

2 1

a a S

S

S S

b

• Matrice S b

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

a S a

S b

a S a

S b

+

=

+

=

a₁ b₂

b₁ a₂

23

Paramètres S / Matrice S

2 0 2 22

1=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ a

S b

1 0 2 21

2=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ a

S b

2 0 1 12

1=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ a

S b

• Signification physique des paramètres S

1 0 1 11

2=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ a

S b Facteur de réflexion à l’entrée, la sortie étant adaptée

Facteur de transmission entrée sortie, la sortie étant adaptée

Facteur de réflexion en sortie, l’entrée étant adaptée

Facteur de transmission sortie entrée, l’entrée étant adaptée Coefficient de réflexion à l’entrée d ’un dispositif

Gain d’un amplificateur

24

Paramètres S / Matrice S

• Autres intérêts de la matrice S

dispositif un

d' entrée l'

à incidente

Puissance

2

1

=

a

dispositif un

d' entrée l'

à réfléchie Puissance

2

1

=

b

dispositif un

d' sortie la

à incidente

Puissance

2

2

=

a

dispositif un

d' sortie la

par réfléchie

Puissance

2

2

=

b

25

Paramètres S / Matrice S

dispositif un

d' entrée l'

à incidente Puissance

dispositif un

d' entrée l'

à réfléchie Puissance

2

11

=

S

0 0

2 0 21

impédance d'

charge une

et source une

pour puissance

en Gain

impédance d'

source une

par délivrée

Puissance

impédance d'

charge une

par reçue

Puissance

Z Z

S Z

=

=

dispositif un

d' sortie la

à incidente Puissance

dispositif un

d' sortie la

à réfléchie Puissance

2

22

=

S

Ω 50 à charge et

source avec

inverse puissance

en Gain

2

12

=

S

26

Paramètres S / Matrice S

a₁ b₂

b₁ DUT a₂

Les paramètres S mesurés ou calculés dans une gamme de fréquences

Format Usuel de stockage: Touchstone file (*.S2P); compatible avec tous les logiciels de CAO HF

! Commentaire

! Transistor MGF 1302; Vgs=0V; Vds=3V

! Header

# Hz S RI R 50

! Freq r11 i11 r21 i21 r12 i12 r22 i22

0.50000E+09 0.99738E+00 -0.35828E-01 -0.19139E+01 0.90332E-01 0.64850E-04 0.43337E-02 0.87308E+00 -0.27405E-01 0.75000E+09 0.99677E+00 -0.60699E-01 -0.19084E+01 0.13055E+00 0.36621E-03 0.65374E-02 0.87247E+00 -0.45074E-01

27

Mesures des paramètres S: Analogie avec l’Optique…

RF Incident

Réflechie

Transmise Onde

Lumineuse

28 Réflechie

Incident

REFLEXION

SWR

S-Parameters

S11,S22 Reflection Coefficient

Impedance, Admittance

R+jX, G+jB

Return Loss

Γ, ρ

A

= R

Transmise Incident

TRANSMISSION

Gain / Loss

S-Parameters S21,S12

Group Delay

Transmission Coefficient

Insertion Phase Τ,τ

B

= R

R

A

Incident

Réflechie

B

Transmise

DUT

Mesures des paramètres S: principe

Abaque de Smith: Principe

.

-90^o

0^o 180^o

+-

.2 .4

.6 .8

1.0

90^o

∞

0

0 +R

+jX

-jX

∞ →

Rectilinear impedance plane

Polar plane

Z = ZL o

Γ = 0

Constant X

Constant R

Z = _L

=1 0 ^O

Γ

Z-type Smith Chart

(open)

Γ

Z = 0L

= 1 ±180 ^O (short)

Power Transfer Basics

Low frequencies

z

wavelengths >> wire length

z

current (I) travels down wires easily for efficient power transmission

z

measured voltage and current not dependent on position along wire

High frequencies

z

wavelength ≈ or << length of transmission medium

z

need transmission lines for efficient power transmission

z

matching to characteristic impedance (Z

) is very important for low reflection and maximum power transfer

z

measured envelope voltage dependent on position along line

+

I -

Transmission Line Terminated with Zo

For reflection, a transmission line terminated in Zo behaves like an infinitely long transmission line

Zs = Zo

Zo

V

= 0! (all the incident power is absorbed in the load)

V

Zo = characteristic impedance of transmission line

Transmission Line Terminated with Short, Open

Zs = Zo

V

V

For reflection, a transmission line terminated in a short or open reflects all power back to source

In phase (0 ) for open

Out of phase (180 ) for short^o

o

Transmission Line Terminated with 25 Ω

Zs = Zo

Z

= 25 Ω

V

V

Standing wave pattern does not go to

zero as with short or open

Reflection Parameters

No reflection (Z^L = Zo)

ρ

VSWR

0 1

Full reflection (ZL = open, short)

1 ∞

= Z

− Z

Z

+ Z

Reflection

Coefficient = V

V

= ρ Φ

Γ

ρ

_Γ

Return loss = -20 log( ρ ^),

VSWR = E

E

= 1 + ρ

1 - ρ

Voltage Standing Wave Ratio

E

E

Power Transfer Efficiency

For complex impedances, maximum power transfer occurs when Z

= Z

(conjugate match)

Zs = R + jX

ZL = Zs* = R - jX

Zo

Zo Rs

R^L +jX

-jX

At high frequencies, maximum

power transfer occurs when

R

= R

= Zo

Synthèse des réseaux d’adaptation Objectifs:

-1- Modifier la valeur d’une impédance / admittance

-2- Synthétiser l’impédance / admittance conjuguée pour un transfert optimal de puissance

Généralement il s’agit de transformer une impédance ou admittance quelconque en 50 Ω ou 20 mS et réciproquement.

Z

ou Y

Z

ou Y

OU

Z

ou Y

Z

ou Y

Z

ou Y

Synthèse des réseaux d’adaptation

L’Abaque de Smith permet de faire l’analogie entre un paramètre de réflexion (Sii) et un schéma électrique équivalent (R, L, C)

L L1 R=

L=1.0 nH

R R1 R=25 Ohm Term

Term7 Z=50 Ohm Num=6

Circuits Séries

m3freq=

m3=0.494 / 105.784

impedance = Z0 * (0.500 + j0.628) 5.000GHz

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(6,6)

m3

R C R2 C1

R R3 L

L2

C C3

R R6 Term

Term7 Z=50 Ohm Num=6

m3freq=

m3=0.497 / -105.149

impedance = Z0 * (0.500 - j0.637) 5.000GHz

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(6,6)

m3 R R3 L

L2

R C R2 C1

Synthèse des réseaux d’adaptation

L’Abaque de Smith permet de faire l’analogie entre un paramètre de réflexion (Sii) et un schéma électrique équivalent (R, L, C)

Circuit // (ou Shunt)

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(6,6)S(7,7)

R R6 C

C3 Term

Term8 Z=50 Ohm Num=7

Lecture de l’admittance

C C4

R R7

R R5 L

L3

L L4

R R8 Term

Term8 Z=50 Ohm Num=7

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(7,7)S_y

Lecture de l’admittance

C C4

R R7

R R5 L

L3

Synthèse des réseaux d’adaptation

La problématique

Γ

ou Z

ou Y

Exemple: Régler le gain d’un transistor…en changeant les impédances, admittances ou facteurs de réflexion du générateur et / ou de la charge

Γ

ou Z

ou Y

Synthèse des réseaux d’adaptation

La problématique

50Ω ^{ou20 mS}

Z

ou Y

ou Γ

-1- Synthèse d’une impédance (Z_g) ou admittance (Y_g) ou Γ_gde “générateur”

Imposée par le système Choisie pour une application donnée

50Ω ^{ou20 mS}

Z

ou Y

ou Γ

-2- Synthèse d’une impédance (Z_L) ou admittance (Y_L) ou Γ_L de “charge”

Imposée par le système Choisie pour une application donnée

Synthèse des réseaux d’adaptation

La problématique:

atteindre des lieux particuliers de l’abaque de Smith

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)

r=R_o/50 =1 g=G_o/0.02 =1

x=X/50 = 0 ou b=B/0.02 = 0

Synthèse des réseaux d’adaptation

La problématique:

Essayez de repérer toutes les solutions et imaginez qualitativement leurs réalisations

Exemple: nous souhaitons transformer ce Γ=0.572<-30° en Γ=0…

Synthèse des réseaux d’adaptation

-1- éléments « localisés » (annulation de la partie imaginaire) inductance série ou capacité //; inductances spirales / capacité MIM; techno monolithique (freq < 20 GHz)

R C R2

C1

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S_y

C C4

R R7

L L7

+

L L5 R=

+ OK

OK

Z=50*(2 – j *1.7)

Calculer la valeur de L série

Synthèse des réseaux d’adaptation

-2- éléments semi-localisés (annulation de la partie imaginaire) inductance série ou capacité //; Lignes haute ou basse impédance

R C R2

C1

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S_y

C C4

R R7

L L6 R=

C L C3

L5 R=

L L7

+

L L5 R=

+ OK L’inductance en // n’est pas

réalisable

Synthèse des réseaux d’adaptation

-2- éléments semi-localisés (annulation de la partie imaginaire) inductance série ou capacité //; Lignes haute ou basse impédance

R C R2

C1

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S_y

C C4

R R7

L L7

+

L L5 R=

+ OK Z_initiale=50*(2 – j *1.7)

Montrer que l’impédance de la ligne équivalente à cette inductance est:

) (

) Im(

rd c

Z Z

= ϕ

A 5 GHz, Zc~270 Ω pour l=λ_g^/20 Impossible en technologie hybride

On choisit donc une inductance en série

Synthèse des réseaux d’adaptation

-3- Tronçons de ligne (annulation de la partie imaginaire, et changement de la partie réelle)

« transformateur λ_g/4 »

a. Rejoindre l’axe réel par l’ajout d’une ligne 50Ω

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)

Longueur croissante 1^ère solution

2^ème solution

βl=75°, Zc=50Ω

°

∆ =

= 75

2

β ^l φ

Γ

Synthèse des réseaux d’adaptation

-3- Tronçons de ligne (annulation de la partie imaginaire, et changement de la partie réelle)

« transformateur λ_g/4 »

b. Ajouter en série un transformateur λ_g/4

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)S(3,3)

Z₂ croissant

β^{l=75°, Z}₁⁼⁵⁰Ω β^l=λ_g^{/4=90°, Z}₂⁼²⁶ Ω

out in

c

Z Z Z

Z =

=

Z_out Z_in

Synthèse des réseaux d’adaptation

-4- Tronçons de ligne (atteindre g=1, et annulation de la partie imaginaire) technique « simple stub »

l, Zc=50Ω

Γ

Γ

Longueur croissante

1^ère solution

C C4

R R7

• 1^ère solution βl=47.5°: ligne un peu trop courte et il faudra placer un « stub » en CC.

• 2^ème solution β^{l=102.5°: (>}λg/4), Longueur

possible et on peut placer un « stub » en CO freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)

R R5 L

L3

2^ème solution

Synthèse des réseaux d’adaptation

-4- Tronçons de ligne (atteindre g=1, et annulation de la partie imaginaire) technique « simple stub »

βl=102.5°, Zc=50Ω

Γ

Γ

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)S_y

Juste pour lire la valeur de Im(Y_in) (en Siemens)

) ) ( (

_ _

_

CO stub c

in CO

stub

Y

Y ATAN m

l ℑ

β =

Im(Y_in) = -27.93 mS si Y_{c_stub_CO}= 20 mS Donc β^l_{stub_CO} ^{= 54.39°}

R R5 L

L3

Synthèse des réseaux d’adaptation

-4- Tronçons de ligne (atteindre g=1, et annulation de la partie imaginaire) technique « simple stub »

βl=102.5°, Zc=50Ω

Γ

Γ

βl=54.39°, Zc=50Ω

Γ

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)S(3,3)

Synthèse des réseaux d’adaptation

-5- Variantes de la technique « simple stub », en changeant l’impédance de la ligne …

βl, Zc>50Ω

Γ

Γ

• en modifiant Z_c de la ligne, on peut obtenir un βl plus petit (< lg/4) et une longueur de

« stub » plus faible également

• avec une ligne, on peut synthétiser

directement 50Ω pour un couple de valeur (β^l,Z_c) (ici 52,5° et 110 Ω⁾

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(2,2)S(3,3)S(4,4)

c L

L c

c c

L

L c

c

in jZ tg l Z

Z l

tg Z jZ

Z l

th Z

Z l

th Z Z

Z +

≈ + +

= +

) (

) ( )

( ) (

β β γ

γ

Synthèse des réseaux d’adaptation

β^{l=75°, Z}₁⁼⁵⁰Ω β^{l=90°, Z}₂⁼²⁶ Ω

50Ω

Z

ou Y

ou Γ

Imposée par le système Choisie pour une application donnée

freq (5.000GHz to 5.000GHz)

S(1,1)S(4,4)

Conj (Γ

)

• on choisit un Γ

• on « transforme » conj( Γ

) en 50 Ω

53

La conception d’un amplificateur nécessite le réglage des impédances de générateur et de charge.

Ce réglage modifie les impédances d’entrée et de sortie du quadripôle actif.

Cet ensemble reste-t-il toujours stable?

Γ

ou Z

ou Y

Γ

ou Z

ou Y

S

’ ou Z

ou Y

S

’ ou Z

ou Y

Notions de STABILITÉ: Pourquoi?

54

Z_g [Z] Z_L

i₁ i₂

v₁ v₂

L

in

Z Z

Z Z Z

i Z v

− +

=

=

22

21 11 12

1 1

g

out

Z Z

Z Z Z

i Z v

− +

=

=

11

21 22 12

2 2

Pour tout Z_L à partie réelle positive -Æ Real(Z_in)>0 et

Pour tout Z_g à partie réelle positive -Æ Real(Z_out)>0

Notions de STABILITÉ: Pourquoi?

55

Z_g

[S]

a₁ a₂

L L

S S S S

a S b

Γ

− + Γ

=

=

22 21 11 12

1 11 1

' 1

Notions de STABILITÉ: facteurs de réflexion « ramenés » S

’

b₁ b₂

g g

S S S S

a S b

Γ

− + Γ

=

=

11 21 12 22

2 22 2

' 1

1 1

b a

g

= Γ

2 2

b a

L

=

Γ

56

Notions de STABILITÉ

Stabilité inconditionnelle:

|S₁₁’| < 1 & |S₂₂’| < 1 pour toute terminaison à partie réelle positive (|Γ_L| et |Γ_g| < 1).

Stabilité Conditionnelle:

|S₁₁’| < 1 & |S₂₂’| < 1 pour quelques valeurs de terminaison à partie réelle positive (|Γ_L| et |Γ_g| < 1).

Dans un cas réel de conception d’un amplificateur, la stabilité est généralement conditionnelle, donc comment connaître les terminaisons (Γ_L et Γ_g) qui

entraîneraient une oscillation…?

--Æ Critère de stabilité (critère k ou de Rollet) --Æ Méthode graphique: cercles de stabilité

57

Notions de STABILITÉ

Stabilité : quelles sont les questions que l’on doit se poser ?

-1- Dans le plan Γ_L, quelles sont les valeurs deΓ_L donnant |S₁₁’| < 1 ? -2- Dans le plan |S₁₁’| , comment est transformé le plan |Γ_L| = 1 ?

1

11

' <

S

Z_L

[S]

< 1 Γ L

On peut avoir le même raisonnement en considérant S₂₂’ et Γ_g

58

Notions de STABILITÉ

L

L

S

D

S

− Γ < 1 −

Γ

|S₁₁’| < 1 ---Æ (D est le déterminant de [S]) De cette inégalité, on trouve l’équation d’un cercle dans le plan de Γ_L

( )

2 2

22

21 12 0

2 2

22

11

* * 0 22

0 0

2 0 2

0 2

0

) ( )

(

D S

S r S

et

D S

S D jV S

U C

avec

r V

V U

U

jV U

L L

L L

L L

L L

L

= −

−

= − +

=

=

− +

−

+

= Γ

On peut avoir le même raisonnement en considérant |S₂₂’| < 1, cela donnera un cercle (autres équations) dans le plan de Γ_g.

59

< 1

Γ L Γ L < 1

Inconditionnellement Stable Toute la zone donnera |S₁₁’|<1

Conditionnellement Stable

Une partie de la zone donnera |S₁₁’|<1 -1- Dans le plan Γ_L, quelles sont les valeurs de Γ_L donnant |S11’| < 1 ?

60

< 1 Γ L

-1- Dans le plan Γ_L, quelles sont les valeurs de Γ_L donnant |S11’| < 1 ?

C₀ r₀

Le quadripôle est inconditionnellement stable si:

|C

| - r

> 1

2 1 1

2 1

21 12

2 2

22 2

11

21 12 2

2 22 2

11

+ ≥

−

= −

≥ +

−

−

S S

D S

k S

S S D

S S

k est le critère de stabilité (facteur de Rollet)

61 2 22

21 12

2 22

* 22 21 11 12

1 1

S S r S

et

S S S S S

C

= − + −

=

-2- Dans le plan |S₁₁’| , comment est transformé le plan |Γ_L| = 1 ? On décrit également un cercle

Pour une stabilité inconditionnelle, il faut que r < 1 c’est-à-dire: ²

22 21

12

S 1 S

S < −

1

11

' <

S S

' < 1

Inconditionnellement Stable Conditionnellement Stable

62 2

11 21

12

S 1 S

S < −

Pour avoir une stabilité inconditionnelle absolue, il est nécessaire et suffisant que

2 1 1

21 12

2 2

22 2

11

− + ≥

= −

S S

D S

k S

et

2 22 21

12

S 1 S

S < −

et si S₁₁’ = Γ_g^* et S₂₂’ = Γ_L^* ;

alors les impédances de terminaison Z_g, Z_L sont à parties réelles positives

63

Remarques: k > 1 est suffisant pour obtenir une stabilité inconditionnelle.

Pour concevoir un amplificateur la première chose consiste à tracer le paramètre k en fonction de la fréquence (large bande)

m1freq=

m1=0.9065.100GHz

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 20

1.0 1.1 1.2

0.9 1.3

freq, GHz

StabFact1

m1

Méthodologie:

• On cherche à augmenter k > 1

• Sinon on vérifie aux fréquences où k < 1 si les terminaisons (Γ_L ou Γ_g) sont dans des zones instables (cercles de stabilité).

indep(L_StabCircle1) (0.000 to 51.000)

L_StabCircle1

< 1

Γ

64

Réseau Passif

Notions de PUISSANCE

• I(t) dépend du réseau de charge

• Puissance instantanée : p(t) = v(t) i(t)

– si p(t)>0 Transfert d ’énergie du géné vers la charge – si p(t)<0 Transfert de la charge vers le géné.

• Puissance Moyenne : P=

– C ’est généralement la puissance mesurée par un Bolométre par exemple

• Puissance Complexe : P = V I*

– soit V=Va exp(j α) et I=Ia exp(j(α + φ)) P= Va Ia (cos(Φ) - j sin (Φ)) – Puissance moyenne = Real(P)= Va Ia cos(Φ)

– Exemple : Calculer la puissance moyenne dissipée dans un réseaux passif G C.

– Puissance moyenne = ½ Real (vi*)

nT∫ dt nT ₀ p

1

V I

65

Notions de PUISSANCE

• Les principales unités de puissance...

– Puissance Absolue : le Watt

– Puissance relative : Exemple : P_ref = 1mW

– le dBm :

– 0 dBm ----> ?W; 1W---> ?dBm

Pref

P

3) 1

) ( (

10 log

*

10 e−

W P

66

Puissances délivrées à une charge:

(

)

2 1 2

1 2

1 arg

__{ch e}

1

del

a b a

P = − = − Γ

a₁

b₁

Γ

Z_g

Γ

Z_L b_g

g L g g

L g g

L g g

b b b

b

a = + Γ Γ + Γ Γ + = − Γ Γ ... 1

2 2 1

( )

2 2 2

arg

_

1

1

g L

L g

e ch del

P b

Γ Γ

−

Γ

= −

donc

C’est une grandeur mesurable

Remarque: si le générateur était connecté sur une charge non- réflective, l’onde émise serait égale à b_g

67

Puissances disponibles (d’un générateur): Transfert de puissance optimal

a₁

b₁

* g L

= Γ Γ

Z_g

Γ

Z_L=Z_g* b_g

( )

( )

2

* 2

* 2 2

_

*

2 2 2

arg _

1 1 1 1

1

g g

g g

g g

a gene g

L

g L

L g

e ch del

b b P

alors si P b

Γ

= − Γ

Γ

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − Γ

= Γ

= Γ

Γ Γ

−

Γ

= −

C’est une grandeur calculable (mesurable dans des conditions particulières)

68

Notions de Gains en Puissance Gain en puissance « Transducique »):

) 1

)(

1 ( ])

[

;

;

(

2 2 _

arg _

L g

g g

L gene

a

e ch del

T

b

S b P f

G = P = Γ Γ = − Γ − Γ

C’est une grandeur calculable traduisant le transfert de puissance au travers d’un quadripôle. (pas très utilisée mais utile à la compréhension)

(

)

2 2 arg

__{ch e}

1

del

b

P = − Γ ( )

2

_ 1 _g

g a gene

P b

Γ

= −