Cours crée par Marc CORREVON mis à jour par Maurizio TOGNOLINI
iAi / HEIG-VD
Version 1.0 - Mise à jour du 26/09/2010
SYSTEMES ELECTRONIQUES 2 - iAi - HEIG-VD Conditionnement, Acquisition, Restitution des signaux.
Informations générales
Professeur HES Maurizio TOGNOLINI
Email maurizio.tognolini@heig-vd.ch
Télephone 024 557 64 12
Bureau C03a sur le site de la route de Cheseaux 1, CH-1400 Yverdon-les-Bains
Organisation du cours
Démarrage des cours 23 Septembre 2010 Fin du cours 24 janvier 2011
Durée 15 x 2 périodes
Lieu Salle K01 sur le site de Cheseaux , CH-1401 Yverdon-les-Bains Test écrits 2 prévu les 1er novembre 2010 e le 10 jan vier 2011
Examen pas demandé
Laboratoire Début le 27 septembre 2010 (semaines droites)
Durée 8 x 4 périodes
Lieu Salle B59 sur le site de Cheseaux , CH-1401 Yverdon-les-Bains Labotest 1 prévu le 25 janvier 2011
HISTORIQUE - MODIFICATIONS MAJEURES
VERSION DATE DESCRIPTION
V0 septembre 2010 Traduction Latex depuis document original MS Office de Marc Correvon
V1.0 septembre 2010 corrections Chap1 et Chap2
Table des matières
1 Introduction 7
1.1 Organisation du cours . . . 7
1.1.1 But . . . 7
1.1.2 Fils conducteurs et chapitres du cours . . . 7
1.2 Considérations technologiques . . . 8
1.2.1 Généralités . . . 8
1.3 Notes d’applications . . . 9
1.4 Avertissement . . . 9
1.4.1 Site Web . . . 9
2 Aspects théoriques 11 2.1 Acquisition d’un signal analogique . . . 11
2.1.1 Le théorème de l’échantillonnage . . . 11
2.1.1.1 Définition. . . 11
2.1.1.2 Etude de cas . . . 11
2.1.1.3 Théorème de Shannon . . . 12
2.1.2 Échantillonnage idéalisé . . . 12
2.1.2.1 Modèle mathématique . . . 12
2.1.2.2 Illustration par une étude de cas . . . 13
2.2 La quantification . . . 15
2.2.1 Description . . . 15
2.2.2 Modèle du convertisseur A/N . . . 16
2.2.3 Bruit de quantification. . . 18
2.2.4 Rapport signal sur bruit de quantification SNQR . . . 19
2.2.5 Exemple 1 : signal triangulaire . . . 19
2.2.6 Exemple 2 : signal sinusoïdal . . . 20
2.3 Suréchantillonnage et décimation . . . 21
2.3.1 Recherche de résolution élevée . . . 21
2.3.2 Effet sur le bruit de quantification dans la bande utile . . . 21
2.3.3 Effet sur le rapport signal sur bruit. . . 21
2.3.4 Effet sur le filtre antirepliement . . . 22
2.3.5 Effet sur le flux de données . . . 23
2.4 Restitution analogique d’un signal numérique . . . 24
2.4.1 Description . . . 24
2.4.2 L’élément de maintien . . . 24
2.5 performances des convertisseurs A/N et N/A . . . 26
2.5.1 Résolution ou pas de quantification. . . 26
2.5.2 Polarités et codage . . . 26
2.5.2.1 Convertisseur unipolaire. . . 26
2.5.2.2 Convertisseur bipolaire . . . 26
2.5.3 Erreurs et imperfections de conversion . . . 27
2.5.3.1 Caractéristique de conversion idéale . . . 27
2.5.3.2 Erreur de gain . . . 29
2.5.3.3 Non-linéarité intégrale (INL) . . . 29
2.5.3.4 Non-linéarité différentielle (DNL) . . . 31
3 Convertisseur Sigma-Delta 33
3.1 Modulation Delta . . . 33
3.1.1 Principe . . . 33
3.2 Modulation Sigma-Delta . . . 34
3.2.1 Principe . . . 34
3.2.2 Bruit de quantification . . . 35
3.3 Modulateur Sigma-Delta du 1er ordre . . . 36
3.3.1 Principe . . . 36
3.3.2 Analyse dans le domaine échantillonné . . . 37
3.3.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping) . . . 38
3.4 Modulateur Sigma-Delta du 2ème ordre . . . 39
3.4.1 Principe . . . 39
3.4.2 Analyse dans le domaine échantillonné . . . 40
3.4.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping) . . . 41
3.5 Filtre numérique . . . 42
3.5.1 Généralités . . . 42
3.5.2 1er étage : Filtre en peigne avec forte décimation (flitre CIC) . . . 42
3.5.3 Algorithme récursif . . . 42
3.5.4 2ème étage : Filtre FIR . . . 44
3.5.5 Exemple . . . 44
4 Aspects technologiquesdes chaînes de conditionnement du signal 47 4.1 Description générale d’une chaîne d’acquisition . . . 47
4.1.1 Inventaire des topologies possibles . . . 47
4.1.1.1 Relation entre la plage de mesure et la plage de conversion. . . 48
4.1.2 Contraintes sur les amplificateurs opérationnels. . . 48
4.1.2.1 Caractéristiques de l’étage de sortie des amplificateurs. . . 51
4.2 Montages classiques à amplificateurs opérationnels . . . 54
4.2.1 Caractéristiques des amplificateurs opérationnels . . . 54
4.2.2 Amplification et décalage de tension . . . 54
4.2.3 Amplificateur d’instrumentation . . . 55
4.2.4 Amplificateur différentiel en entrée et balancé en sortie. . . 56
4.2.4.1 Généralités . . . 56
5 Etage d’entrée 63 5.1 Introduction. . . 63
5.2 Protection contre les surtensions . . . 63
5.2.1 Introduction . . . 63
5.2.2 Mode commun des entrées hors des limitations . . . 63
5.2.3 Courant inverse dans les diodes de protection . . . 64
5.2.4 Limiteur CMOS de la tension de mode commun . . . 65
5.2.4.1 Description générale . . . 65
5.3 Applications des protections en surtension . . . 67
5.3.1 Les suiveurs de tension. . . 67
5.3.2 Les amplificateurs opérationnels . . . 69
5.3.3 Montage différentiel à une seule tension d’alimentation . . . 70
5.4 Protection contre les inversions de phase . . . 71
5.4.1 Introduction . . . 71
5.4.2 Choix des composants de protection . . . 71
5.5 Entrée mode commun . . . 72
5.5.1 Introduction . . . 72
5.5.2 Alimentation bipolaire symétrique (dual supply) . . . 72
5.5.3 Alimentation unipolaire (single supply) . . . 73
5.6 Entrée différentielle. . . 74
5.6.1 Alimentation bipolaire symétrique (dual supply) . . . 74
5.6.2 Alimentation unipolaire (single supply) . . . 75
6 Les filtres antirepliement 77
6.1 Introduction. . . 77
6.1.0.1 Butterworth . . . 77
6.1.0.2 Bessel . . . 77
6.1.0.3 Chebyshev . . . 77
6.1.0.4 Aspects théoriques. . . 78
6.1.1 Caractéristiques des filtres passe-bas du 2ème ordre . . . 79
6.1.1.1 Caractéristiques des filtres passe-bas du 2ème ordre . . . 79
6.1.2 Filtre Butterworth du 2ème ordre . . . 80
6.1.2.1 Filtre de Bessel 2ème ordre . . . 80
6.1.3 Filtre Chebyshev 2ème ordre avec une ondulation de 1dB . . . 81
6.1.3.1 Comparaison entre les différents types de filtres passe-bas du 2ème ordre 81 6.2 Cellules du 2ème ordre passe bas . . . 82
6.2.0.2 Généralités . . . 82
6.2.0.3 Cellule passe-bas de Sallen & Key . . . 82
6.2.0.4 Cellule Multiple feedback . . . 83
6.2.1 Cellule de Akerberg Mossberg. . . 84
6.2.2 Cellule BiQuad . . . 85
6.3 Dimensionnement pratique d’un filtre passe-bas du 2ème ordre . . . 86
6.3.0.1 Exemple pratique de dimensionnement d’un filtre passe-bas du 2ème ordre 86 6.3.1 Cellule de Sallen & Key : . . . 86
6.3.1.1 Cellule MFB : . . . 86
6.3.2 Comportement théorique et comportement réel . . . 87
6.3.2.1 Cellule de Sallen & Key . . . 87
6.3.2.2 Cellule MBF . . . 90
6.4 Cellules du 2ème ordre passe-bas différentielle . . . 90
6.4.1 Cellule Multiple feedback différentielle . . . 90
6.4.1.1 Cellule Akerberg Mossberg différentielle . . . 91
6.4.2 Cellule BiQuad . . . 91
6.5 Caractéristiques des filtres passe-haut du 2ème ordre . . . 92
6.5.1 Caractéristiques des filtres passe-haut du 2ème ordre . . . 92
6.5.1.1 Filtre Butterworth du 2ème ordre . . . 93
6.5.1.2 Filtre de Bessel 2ème ordre . . . 94
6.5.1.3 Filtre Chebyshev 2ème ordre avec une ondulation de 1dB . . . 94
6.5.1.4 Comparaison entre type de filtre passe-haut du 2ème ordre . . . 94
6.6 Cellule du 2ème ordre passe haut . . . 95
6.6.0.5 Généralités . . . 95
6.6.0.6 Cellule passe-haut de Sallen & Key . . . 95
6.6.0.7 Cellule Multiple feedback . . . 96
6.6.1 Cellule de Akerberg Mossberg. . . 96
6.6.2 Cellule Multiple feedback différentielle . . . 97
6.6.3 Cellule Akerberg Mossberg . . . 98
6.7 Filtres en cascade . . . 99
6.7.1 Introduction . . . 99
6.7.2 Type de filtre et définition des caractéristiques de chaque étage . . . 99
6.7.2.1 Description . . . 99
6.7.2.2 Filtre de Butterworth . . . 100
6.7.3 Sensibilité des paramètres caractéristiques du filtre aux valeurs des composants passifs100 6.7.4 Exemple 1 : filtres passe-bas du 6ème ordre . . . 101
6.7.4.1 Exemple 2 : filtre passe-haut du 6ème ordre. . . 103
6.8 Recommandation concernant le choix des composants . . . 105
6.8.0.2 Condensateurs . . . 105
6.8.0.3 Résistances . . . 105
7 Etage d’adaptation 107
7.1 Introduction. . . 107
7.1.1 Généralités . . . 107
7.1.1.1 Exigences sur l’amplificateur opérationnel d’entrée du convertisseur A/N 107 7.1.2 Etage d’adaptation . . . 110
7.1.2.1 Entrée mode commun . . . 110
7.1.2.2 Entrées différentielles . . . 112
7.1.3 Effet des capacités commutées . . . 114
7.1.3.1 Cas des multiplexeurs analogiques . . . 114
7.1.3.2 Cas des échantillonneurs – bloqueurs . . . 116
8 Les échantillonneurs - bloqueurs 119 8.1 Introduction. . . 119
8.1.1 Généralité . . . 119
8.1.2 Fenêtre d’échantillonnage . . . 119
8.1.3 Opération de base de l’échantillonneur – bloqueur . . . 120
8.1.3.1 Topologie de l’échantillonneur – bloqueur . . . 120
8.1.3.2 SHA en mode d’acquisition (track mode) . . . 121
8.1.3.3 Transition entre mode d’acquisition et mode de maintien (track to hold mode) . . . 121
8.1.3.4 SHA en mode de maintien (hold mode) . . . 123
8.1.3.5 Transition entre mode de maintien et mode d’acquisition . . . 126
8.1.4 Architectures des SHA . . . 127
8.1.4.1 Généralités . . . 127
8.1.4.2 SHA interne à un convertisseur A/N. . . 128
8.1.4.3 Fonctionnement avec recouvrement . . . 129
9 Convertisseurs Numérique – Analogique 133 9.1 Convertisseur potentiométrique . . . 133
9.1.1 Fonctionnement. . . 133
9.1.2 Avantage . . . 134
9.1.3 Inconvénient . . . 134
9.2 Convertisseur à résistances pondérées. . . 134
9.2.1 Fonctionnement. . . 134
9.2.2 Système à commutation de tensions . . . 134
9.2.3 Système à commutation de courants . . . 134
9.2.4 Limite technologique . . . 135
9.3 Convertisseur à échelle R / 2R . . . 135
9.3.1 Fonctionnement du réseau R/2R en échelle . . . 135
9.3.2 Convertisseurs N/A à échelle R/2R à commutation de courants . . . 137
9.4 Convertisseur N/A à échelle R/2R à commutation de tensions. . . 138
9.5 Convertisseur N/A à échelle R/2R à commutation de courant . . . 139
9.6 Convertisseur à sources de courant pondérées . . . 141
9.6.1 Fonctionnement. . . 141
9.7 Convertisseur à capacités pondérées . . . 144
9.7.1 Fonctionnement. . . 144
9.7.2 Convertisseur N/A à capacités pondérées (variante 1) . . . 144
9.7.3 Réalisation de la variante 1 . . . 145
9.8 Convertisseur N/A à capacités pondérées (variante 2) . . . 146
9.8.1 Réalisation de la variante 2 . . . 147
Chapitre 1
Introduction
1.1 Organisation du cours
1.1.1 But
Le but du cours « Systèmes Electroniques II, 1ère partie : Acquisition et restitution du signal » est de mettre en lumière les éléments de base contenu dans la majorité des cartes électroniques industrielles.
Pour pouvoir réaliser un système électronique correspondant à un cahier des charges, il est nécessaire de bien maîtriser l’ensemble des fonctions constituant le système. Dans ce cas il faut non seulement avoir de bonnes connaissances en électronique mais également en traitement de signal de base. En effet, les progrès technologiques des circuits numériques permettent de remplacer un grand nombre de fonctions analogiques par un traitement numérique adéquat. Le monde extérieur ayant, la plupart du temps, un comportement continu, tout traitement numérique demande une conversion analogique – numérique à l’aide d’un convertisseur A/N (ADC : Analogue to Digital Converter) puis dans certains cas une conversion inverse, soit numérique analogique à l’aide d’un convertisseur N/A (DAC : Digital to Analogue Converter).
1.1.2 Fils conducteurs et chapitres du cours
Les systèmes numériques de traitement du signal opèrent sur des nombres. Tout processus faisant appel à un calculateur (ordinateur, microcontrôleur, DSP, . . .) spécialisé implique nécessairement une opération préliminaire de conversion analogique – numérique. Lorsque le ou les signaux traités doivent être restitués sous forme analogique, on procède à l’opération inverse par une conversion numérique – analogique. La Figure 1.1 illustre le schéma bloc de principe d’une chaîne de mesure et de contrôle classique.
Avant de décrire les divers composants des blocs, il est nécessaire de bien comprendre les aspects théoriques des conversions A/N et N/A (chapitre 2) ainsi que les aspects technologiques (chapitre 3) liés aux contraintes d’alimentation des composants électroniques.
Le chapitre 4 – Etage d’entrée donne une description non exhaustive des diverses possibilités d’ac- quérir un signal analogique externe tout en assurant une protection des composants contre des décharges électrostatiques, des surtension dues à une mauvaise adaptation, etc . . .
Le chapitre 5 – Filtre antirepliement décrit quelques topologies de filtres permettant d’éviter le re- pliement spectral du signal analogique après conversion A/N.
Le chapitre 6 – Etage d’adaptation illustre diverses manières d’adapter le signal de sortie du filtre antirepliement afin que son niveau se trouve dans la plage de conversion du convertisseur A/N.
Le chapitre 7 – Echantillonneurs – bloqueurs montre les limites dynamiques de la conversion A/N et par conséquent l’indispensable existence des échantillonneurs – bloqueurs.
Le chapitre 8 – Convertisseurs A/N est une description des convertisseurs A/N les plus répandus.
Le chapitre 9 – Convertisseur N/A, illustre les diverses topologies des convertisseur N/A.
Le chapitre 10 – Convertisseur Sigma – Delta est une introduction aux convertisseurs A/N de haute résolution.
Le chapitre 11 – Etage de sortie regroupe l’ensemble des fonctions analogiques permettant de convertir un signal numérique en analogique.
La partie processeur fait l’objet de plusieurs cours du même auteur (MUI : microinformatique et microcontrôleurs et DAA : DSP architecture et applications), elle ne sera par conséquent par traitée ici.
La partie alimentation (régulateur linéaire, convertisseur DC/DC, ) et les références de tension font l’objet d’un autre fascicule du même auteur (Systèmes électroniques I, 1ère partie)
Fig.1.1 – Chaîne d’acquisition de traitement de restitution du signal.
1.2 Considérations technologiques
1.2.1 Généralités
L’électronique embarquée est soumises à des contraintes de plus en plus sévères. Chaque composant doit être choisi de manière optimale au niveau de ses caractéristiques, de son boitier, de sa disponibilité et de son coût. L’ensemble de ces exigences n’est pas simple à maitriser. Cette section donne une description succincte des contraintes auxquelles il faut faire face. Les fonctions étant clairement définies, une chaîne d’acquisition du signal est constituée des composants actifs listés ci-dessous.
– Amplificateurs opérationnels.
– Multiplexeur analogique.
– Elément d’échantillonnage et de maintien.
– Convertisseur A/N.
– Convertisseur N/A.
– Référence de tension.
Chacun de ces composants doit répondre à des exigences dépendant de l’application. Les amplificateurs opérationnels peuvent être à entrée mode commun ou différentielle, leur sortie peut être balancée ou simple. Les alimentations peuvent être unipolaire (single supply) ou bipolaire (dual supply). Les références de tension doivent être stables, indépendantes de leur tension alimentation et de la température. Un autre paramètre très important est la bande passante nécessaire ainsi que la résolution attendue.
1.3 Notes d’applications
Le cours a pour but de vous faire découvrir la théorie qui se cache derrière chaque fonction constituant un système électronique. Des notes d’applications, basées sur des exemples concrets sont aussi à disposition pour illustrer le cours par des aspects plus pratiques.
1.4 Avertissement
Ce cours se base sur les cours suivants : – ENA : Electronique analogique – SES : Signaux et systèmes
1.4.1 Site Web
Les fichiers pdf du cours, des exercices avec corrigés et des notes d’applications se trouvent sur le web à l’adresse http://www.iai.heig-vd.ch/fr-ch/Enseignement/Supports/ dans la rubrique Systèmes Electroniques.
Chapitre 2
Aspects théoriques
2.1 Acquisition d’un signal analogique
2.1.1 Le théorème de l’échantillonnage
2.1.1.1 Définition
La définition d’un échantillonnage correct est très simple. En effet s’il est possible de reconstruire le signal analogique à partir d’échantillons, on peut dire que l’échantillonnage est correct, même si la succession des échantillons paraît confuse on incomplète, la clef de l’information peut être décodée si le processus est réversible.
2.1.1.2 Etude de cas
La Figure 2.1.1.2 montre un certain nombre de signaux sinusoïdaux avant et après échantillonnage.
La ligne continue représente le signal analogique d’entrée alors que les marqueurs « o » représentent la valeur du signal aux instants d’acquisition
Signal analogique continu Les informations nécessaires pour la reconstruction du signal analogique sont contenues dans les données échantillonnées, en accord avec la définition énoncée ci-dessus.
Signal sinusoïdal de fréquence f = 0.1FS La fréquence du signal est fixée arbitrairement à0.1Fs. La reconstruction du signal analogique passe par une interpolation polynomiale. Néanmoins, la définition énoncée ci-dessus reste valable et par conséquent la reconstruction du signal analogique reste possible
Signal sinusoïdal de fréquencef = 0.225FS Visuellement la situation semble se complique lorsque la fréquence du signal analogique vaut0.225FS. Néanmoins la reconstruction du signal analogique reste mathématiquement possible.
Signal sinusoïdal de fréquence f = 1.1FS La fréquence du signal analogique est fixée à 1.1FS, l’échantillonnage représente un signal analogique de fréquence et de phase différentes de celles du signal analogique original. Ce phénomène est appelé repliement spectral (alaising). On se trouve donc dans un cas où il n’y a pas respect de la définition énoncée au-dessus.
(a) : Signal continu (F=0Hz) (b) : Signal sinusoïdal (F = 0.1FS)
(c) : Signal sinusoïdal (F = 0.225FS) (d) : Signal sinusoïdal (F = 1.1FS) Figure 2-1 : Effet de la fréquence d’échantillonnage sur la reconstitution du signal 2.1.1.3 Théorème de Shannon
L’observation du résultat, sans démonstration mathématique, montre que le repliement change non seulement la fréquence du signal original mais aussi sa phase. Le glissement de phase ne peut prendre que deux valeurs distinctes. Le déphasage est de 0° pour des signaux dont la fréquence est comprise entre les limites suivantes : 0 à 0.5FS, 1 à 1.5FS, 2 à 2.5FS, . . . Par contre, il y a inversion de phase (180°) pour les signaux dont la fréquence est comprise entre 0.5FSà 1FS, 1.5FSà 2FS, 2.5FSà 3FS.
Le théorème d’échantillonnage ou théorème de Shannon indique simplement qu’un signal analogique ne peut être reconstitué que s’il n’y a pas de recouvrement spectral. Le cas limite correspond à une largeur FB de bande du signal égale à la moitié de la fréquence d’échantillonnage FS.
Figure 2-2 : Domaine fréquentiel d’un signal échantillonné à FS=2FB
2.1.2 Échantillonnage idéalisé
2.1.2.1 Modèle mathématique
Un échantillonneur est un système hybride possédant une entrée continue x(t) et une sortie discrète
xk telle que :
xk =x(kTS) k∈Z 2.1
La Figure 2-3 illustre l’échantillonnage d’un signal analogique
Figure 2-3 : Echantillonneur idéal
Même s’il n’a pas de réalité physique, on peut assimiler théoriquement la suite idéale d’échantillons prélevés avec une cadence fixe (FS=1/TS) à un signal obtenu par la multiplication du signal analogique x(t) par une fonction d’échantillonnage idéalisée (peigne temporel de Dirac).
ei(t) =δTS(t) =
∞
X
k=−∞
δ(t−k·TS) 2.2
Le signal résultant de cet échantillonnage idéal est défini par la relation
xk(t) =x(t)·δTS(t) =
∞
X
k=−∞
x(k·TS)·δ(t−k·TS) 2.3
La transformée de Fourier de la fonction d’échantillonnage du signal échantillonné idéalisé prend la forme suivante
F{ei(t)}=F{δTS(t)}= 1 TS
·δ1/TS(f) =FS·δFS(f) 2.4
et par conséquent la transformée de Fourier du signal échantillonné idéalisé devient
Xk(f) =X(f)∗FS·δFS(f) =
∞
P
k=−∞
FS·X(f −k·FS)
=FSrepFS{X(f)}
2.5
2.1.2.2 Illustration par une étude de cas
L’opération d’échantillonnage d’un signal analogique continu provoque dans le domaine fréquentiel une répétition du spectre du signal analogique original centré sur les multiples de la fréquence d’échan- tillonnage. On comprend donc aisément que, lorsque le théorème de Shannon n’est pas respecté, il y a repliement du spectre et donc distorsion du signal.
La Figure 2-4 illustre les cas de l’échantillonnage d’un signal analogique continu dont la largeur de bande est de 6 Hz. Avec une fréquence d’échantillonnage 100Hz (a,b), il n’y a pas de recouvrement spectral.
Pour une fréquence d’échantillonnage de 12Hz (c,d) le recouvrement spectral n’existe pas encore, par contre on atteint de la limite inférieure de la fréquence d’échantillonnage. Pour 7Hz (e,f) le recouvrement spectral est nettement visible. Pour ce dernier cas, il n’est pas possible de reconstitué le signal analogique original.
Domaine temporel Domaine fréquentiel
(a) Signal analogique original (FS=100Hz) (b) Spectre d’amplitude du signal original
(c) Echantillonnage (FS=12Hz) (d) Spectre d’amplitude du signal échantillonné
(e) Echantillonnage (FS=7Hz) (f ) Spectre d’amplitude du signal échantillonné Figure 2-4 : Effet de l’échantillonnage sur le spectrale d’amplitude du signal converti
2.2 La quantification
2.2.1 Description
La Figure 2-5 montre l’allure typique des signaux résultant de la conversion analogique – numérique.
Cette dernière fait correspondre au signal analogique d’entrée x(t) une suite de nombres usuellement codés sous forme binaire. Chaque nombre correspond à l’amplitude x(tk) d’un échantillon du signal prélevé à un instant donné tk. On procède généralement à cet échantillonnage à intervalles de temps réguliers Ts. Comme la détermination du nombre correspondant à l’amplitude d’un échantillon prend un certain temps, il est souvent nécessaire de mémoriser cette valeur analogique entre deux prélèvements successifs.
Chacun des échantillons prélevés peut prendre en principe une infinité de valeurs du fait de la nature analogique du signal. Toutefois, la précision avec laquelle ces amplitudes doivent et peuvent être connues est nécessairement limitée par toutes sortes de considérations pratiques. On est amené à remplacer la valeur exacte de l’échantillon par la valeur la plus proche, valeur approximative tirée d’un assortiment fini de valeurs discrètes : il y a quantification. Chacune de ces valeurs discrètes est désignée par un nombre exprimé sous forme la forme d’un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui fixent la plage de conversion. Chaque nombre {xq} représente ainsi un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur qk appelé pas de quantification. Lorsque la plage de conversion est subdivisée en pas de quantifications égaux, on parle de quantification uniforme. L’erreur de quantification est obtenue par soustraction de la grandeur numérique résultant de la conversion A/N par le signal analogique mémorisé en tenant compte du codage particulier opéré sur le signal. Cette erreur de quantification apparaît comme un bruit dont la distribution est fonction de la densité de probabilité d’apparition d’une amplitude particulière du signal analogique d’entrée.
Figure 2-5 : Acquisition d’un signal analogique
2.2.2 Modèle du convertisseur A/N
Le processus de quantification incorporé dans un convertisseur A/N est une fonction non linéaire, rendant l’analyse difficile. Néanmoins il est possible de linéariser le système avec une bonne approximation.
Dans ce cas le signal quantifié peut être exprimé par l’expression suivante :
y[n] =x[n] +nQ[n] 2.6
Où x[n] représente l’échantillonnage du signal d’entrée (grandeur discrète), nQ[n] le bruit issu de la quantification de la grandeur discrète x[n] et y[n] la valeur numérique de la grandeur discrète exprimée par un nombre fini de valeurs.
Dans la figure suivante la caractéristique statique de cette opération non linéaire est illustrée pour les cas bipolaire et unipolaire.
I : a) Caractéristique de quantification Bipolaire avec erreur de quantification b).
II : a) Caractéristique de quantification Unipolaire avec erreur de quantification b).
Figure 2-6 : Caractéristiques statiques de quantification a) Bipolaire, b) Unipolaire.
2.2.3 Bruit de quantification
L’analyse du bruit de quantification ne peut être conduite sans un certain nombre d’hypothèses simplificatrices :
– la séquence du bruit de quantification nQ[n] est une suite d’échantillons d’un processus aléatoire stationnaire,
– la densité de probabilité de l’erreur de quantification est uniforme sur chaque pas de quantification, – l’erreur de chaque échantillon n’est pas corrélée aux échantillons précédents, ou plus précisément le
bruit de quantification est un bruit blanc.
On peut donc écrire pour la tension efficace du bruit
σnQ = v u u u u t
q 2
Z
−q2
n2Qp(nQ)dnQ= v u u u u t
q 2
Z
−q2
n2Q1
qdnQ= q
√12 2.7
Avec le pas de quantificationq, pour une fonction de conversionbipolaire d’un convertisseur A/N de N bits dont la tension de référence vaut Vref. A noter que la dynamique d’entrée du convertisseur va de
−Vref à +Vref −q.
q= Vref
2N−1 2.8
La tension efficace du bruit de quantification devient
σnQ = Vref
2N−1
√1
12 2.9
Toute la puissance du bruit est distribuée entre -1/2FSet 1/2FS.
PnQ =
∞
Z
−∞
NQ2(f)df=
FS/2
Z
−FS/2
kQ2df=k2QFS= q2
12 2.10
La densité spectrale de puissance en vaut donc
k2Q= q2
12FS 2.11
Figure 2-7 : Densité spectrale de puissance du bruit
2.2.4 Rapport signal sur bruit de quantification SNQR
Le rapport signal sur bruit (SNQR : Signal to Noise Quantification Ratio), pour un signal d’entrée de tension efficaceσx prend la forme suivante :
SNQR=10log σx2 σQ2
!
=10log σx2
Vref2
+10log(3)
| {z }
4.77
+20log(2)
| {z }
6.02
N 2.12
On voit que pour chaque bit de conversion supplémentaire, le rapport signal sur bruit de quantification SNQR augmente de 6dB.
Le signal sur bruit de quantification dépend de la valeur efficace de la tension d’entrée du convertisseur A/N. La forme du signal et son amplitude sont donc importante.
Dans la littérature technique, le rapport signal sur bruit est souvent donné pour un signal sinusoïdal dont l’amplitude couvre toute la plage de conversion. Dans ce cas la valeur efficace vautVref/√
2. Et par conséquent, le rapport signal sur bruit de quantification devient
SNQR=10log 3
2
+20log(2)N = 1.76+ 6.02N 2.13
2.2.5 Exemple 1 : signal triangulaire
Dans ce premier exemple le signal à convertir est un signal triangulaire de 2Vp-p (valeur moyenne nulle) et dont la fréquence est de 250Hz. Ce signal est échantillonné à une fréquence de 4096Hz puis converti en une valeur numérique de 8 bits. La Figure 2-8 donne le spectre d’amplitude du signal après échantillonnage et quantification. Les raies à 250Hz (fondamental), 750Hz (harmonique de rang 3), 1250Hz (harmonique de rang 5), . . . se distinguent du bruit de quantification. Le calcul du rapport signal sur bruit de quantification donne SNRQ=48.10dB
Figure 2-8 : Spectre d’amplitude d’un signal triangulaire
2.2.6 Exemple 2 : signal sinusoïdal
Le signal triangulaire précédent est remplacé par un signal sinusoïdal de même amplitude et de même fréquence. On voit à la Figure 2-8 que seul le fondamental est présent. Le calcul du rapport signal sur bruit de quantification donne SNRQ=49.16dB
Figure 2-9 : Spectre d’amplitude d’un signal sinusoidal
2.3 Suréchantillonnage et décimation
2.3.1 Recherche de résolution élevée
Pour des raisons technologiques, le nombre de bits des convertisseurs A/N est limité. Pour des réso- lutions supérieures à 16 bits et des temps de conversion relativement courts (exemple en audio : 24 bits
@FS=96kHz) des astuces doivent être mise en place, comme par exemple le suréchantillonnage suivi d’un filtrage numérique et d’une décimation.
2.3.2 Effet sur le bruit de quantification dans la bande utile
Il est possible d’améliorer la résolution globale d’un convertisseur A/N en suréchantillonnant (OSR : OverSampling Ratio) le signal analogique d’entrée x(t). Chaque échantillon est quantifié par un conver- tisseur A/N de N bits. Le bruit de quantification, uniformément réparti (bruit blanc) dans le domaine fréquentiel, et donc sa valeur efficace, donnée par la relation 445H2.9 ne change pas. Par contre la dis- tribution du bruit de quantification est différente puisqu’elle s’étale non plus de –FS/2 à +FS/2 mais de –NOSRFS/2 à +NOSRFS/2.
Figure 2-10 : Modèle du convertisseur A/N
La puissance du bruit de quantification est indépendante de la fréquence d’échantillonnage. Les deux surfaces (puissance du bruit de quantification) représentée à la Figure 2-9 sont identiques. En suréchan- tillonnant le signal analogique d’entrée on voit donc que la puissance du bruit de quantification compris dans la bande utile est inférieure au cas sans suréchantillonnage.
Sachant que la bande utile du signal est limitée à la plage –FS/2 . . . FS/2. Il est possible d’ajouter un filtre numérique dont la fonction de transfert idéale H(f) correspond à un filtre passe-bas rectangulaire.
La puissance du bruit vaut :
PnQOSR =
NOSRFS/2
Z
−NOSRFS/2
NQ2(f)|H(f)|df=
FS/2
Z
−FS/2
kQ2df=k2QFS= q2 12
1 NOSR
2.14
La densité spectrale de puissance devient :
k2Q= q2
12NOSRFS 2.15
2.3.3 Effet sur le rapport signal sur bruit
La réduction de bruit, calculée au paragraphe précédent, permet d’augmenter le rapport signal sur bruit de quantification SNQR.
SNQROSR=10log σx2 σ2n
Q(NOSRFS)
!
=10log σx2
Vref2
+10log(NOSR) +10log(3)
| {z }
4.77
+20log(2)
| {z }
6.02
N
2.16
L’augmentation du rapport signal sur bruit de quantification vaut donc :
∆SNQR=SNQROSR−SNQR=10log(NOSR) [dB] 2.17
Par exemple un suréchantillonnage par un facteur 128 se traduit par une augmentation du rapport signal sur bruit dans la bande utile de 21dB.
2.3.4 Effet sur le filtre antirepliement
Le suréchantillonnage permet également de simplifier le filtre analogique anti-repliement. En effet la bande de transition entre la partie passante et la partie bloquée est plus grande, ce qui permet de réduire l’ordre du filtre et par conséquent le nombre de composants qui le constitue.
Conversion A/N classique
Conversion A/N avec suréchantillonnage
Figure 2-11 : Effet de la décimation sur les éxigences du filtre anti-repliement
Les avantages du suréchantillonnage ne sont pas simplement liés au filtre anti-repliement. Le processus de décimation, c’est-à-dire de réduction de la fréquence d’échantillonnage utile pour le traitement numé- rique du signal peut être utilisée pour accroitre la résolution de la conversion analogique – numérique. La Figure 2-12 montre un exemple mettant en évidence cette possibilité. On admet un convertisseur A/N de 2 bit dont la fréquence d’échantillonnage est de NOSRFS, où FSreprésente la fréquence d’échantillonnage du processus de traitement du signal et NOSR=2n. En effectuant la moyenne des NOSR échantillons, il semble possible d’augmenter la résolution d’un facteur n. Cette assertion, qui ne tient pas compte du bruit de quantification est fausse.
Figure 2-12 : Accroissement de la résolution par décimation
2.3.5 Effet sur le flux de données
Suréchantillonner le signal multiplie le nombre d’échantillons par seconde par un facteur NOSR, mais ne diminue pas la taille en bits des échantillons proportionnellement. Par exemple un suréchantillonnage par 64 permet de gagner 18dB en rapport signal sur bruit que l’on peut perdre en codant chaque échantillon sur 13 bits au lieu de 16 (on perd environ 6 dB par bit). Au total, le débit est de 13·64·FS au lieu de 16·FS à l’origine.
2.4 Restitution analogique d’un signal numérique
2.4.1 Description
En théorie, la méthode la plus simple pour réaliser une conversion N/A est de convertir une succession de grandeurs numériques en un train d’impulsions. La Figure 2-12 (a) illustre ce procédé, (b) étant sa densité spectrale d’amplitude. Le signal original peut donc être parfaitement reconstitué en passant le train d’impulsions au travers d’un filtre passe-bas ayant une fréquence de coupure égale à la moitié de la fréquence d’échantillonnage. En d’autres mots, le signal analogique original et le train d’impulsion ont une densité spectrale d’amplitude identique pour des fréquences inférieures à la fréquence de Nyquist (moitié de la fréquence d’échantillonnage).En pratique les choses sont un peu plus compliquées. La sortie d’un convertisseur N/A maintien la dernière grandeur convertie. Un tel comportement peut être décrit à l’aide d’une fonction de maintien d’ordre zéro (interpolation).
2.4.2 L’élément de maintien
Dans le domaine temporel, l’élément de maintien d’ordre zéro s’exprime par la relation
m(t) =rect
t−TS
2 TS
2.18
La sortie du convertisseur N/A peut donc être décrite par le produit de convolution du signal échantillonné xk(t) par m(t)
xm(t) =xk(t)∗rect
t−TS
2 TS
2.19
Par conséquent dans le domaine fréquentiel, la transformée de Fourier du signal échantillonné avec élément de maintien devient un produit
Xm(f) =Xk(f)M(f) 2.20
La transformée de Fourier de l’élément de maintien vaut
F{m(t)}=M(f) =
TS
R
0
e−j2πftdt= 1
2jπf · ejπfTS−e−jπfTS
·e−jπfTS
=sin(πfTS)
πf ·e−jπfTS =TS·sinc(fTS)·e−jπfTS
2.21
Domaine temporel Domaine fréquentiel
(a) Signal échantillonné original (b) Spectre d’amplitude du signal échantillonné
(c) Signal échantillonné avec ZOH (d) Spectre d’amplitude avec ZOH
(e) Filtre idéal de reconstitution
(f ) Signal reconstitué (g) Spectre d’amplitude du signal reconstitué Figure 2-13 : Reconstitution d’un signal analogique
La Figure 2-13 montre, à partir d’un signal échantillonné ((a) et (b)) l’effet de l’introduction d’un élément de maintien ((c) et (d)). On voit que l’élément de maintien modifie la densité spectrale du signal échantillonné et par conséquent, si l’on désire une reconstitution parfaite, il faut réaliser un filtre passe- bas (e) dont la caractéristique prend en compte l’effet de l’élément de maintien. La reconstitution du signal devient donc possible ((f) et (g)). En pratique, dans la majorité des cas, on se contente d’un filtre passe-bas sans cette correction.
2.5 performances des convertisseurs A/N et N/A
2.5.1 Résolution ou pas de quantification
La résolution est la plus petite variation de la grandeur d’entrée que le convertisseur peut convertir.
Elle correspond donc à 1 LSB et est fixée par le nombre de bits du convertisseur. Pour N bits, l’échelle des grandeurs analogiques est divisée en 2N niveaux ou 2N-1 parties égale. La dynamique d’entrée pour un convertisseur bipolaire va alors de sa valeur minimum de−Vref [V] à un maximum de+Vref −q[V], ces deux niveaux sont convertis avec une erreur de quantification nulle.
q= Uref
2N 2.22
2.5.2 Polarités et codage
Le codage, défini la relation entre la tension de sortie, exprimée en fonction de la tension pleine échelle (FSR : full scale range). Cette tension pleine étant en principe la tension de référenceVref appliquée au convertisseur.
2.5.2.1 Convertisseur unipolaire Unipolar Binary
U0=Uref·
"N−1 X
n=0
dn
2N−n
#
avec dn= 0 ou 1 et d0 : LSB, dN−1 : MSB 2.23
U0[max]=Uref·
1− 1 2N
2.24
Exemple pour un convertisseur 12 bits avec Uref=10V,q= 2.44[mV].
U0[MAX]= 111 111 111 111 → +9,9976V U0[MIN]= 000 000 000 000 → 0.0000V
2.5.2.2 Convertisseur bipolaire Offset Binary
U0=Uref·
"N−1 X
n=0
( dn
2(N−1)−n)−1
#
avec dn= 0 ou 1 et d0: LSB, dN−1 : MSB 2.25
U0[max](positif) =Uref·
1− 1 2(N−1)
, U0[min](négatif) =−Uref 2.26
Exemple pour un convertisseur 12 bits avec Uref=10V,q= 4.88[mV].
U0[MAX]= 111 111 111 111 → +9,9951V U0[MILIEU]= 100 000 000 000 → 0.0000V U0[MIN]= 000 000 000 000 → -10.0000V
One’s Complement
U0=Uref
"N−1 X
n=0
dn
2(N−1)−n −dN−12(N−1)−1 2(N−1)
#
avec dn∈[0,1] 2.27
avec d0 : LSB et dN−1 : MSB.
U0[max](positif) =Uref·
1− 1 2(N−1)
, U0[min](négatif) =−Uref·
1− 1 2(N−1)
2.28
Exemple pour un convertisseur 12 bits avec Uref=10V
U0[MAX]= 011 111 111 111 → +9,9951V U0[MILIEU]= 000 000 000 000 → 0.0000V
111 111 111 111
U0[MIN]= 100 000 000 000 → -9,9951V
Two’s Complement
U0=Uref
"N−2 X
n=0
dn
2(N−1)−n −dN−1
#
avec dn∈[0,1]
avec d0 : LSB et dN−1 : MSB.
2.29
U0[max](positif) =Uref·
1− 1 2(N−1)
, U0[min](négatif) =−Uref 2.30
Exemple pour un convertisseur 12 bits avec Uref=10V
U0[MAX]= 011 111 111 111 → +9,9951V U0[MILIEU]= 000 000 000 000 → 0.0000V U0[MIN]= 100 000 000 000 → -10.0000V
2.5.3 Erreurs et imperfections de conversion
Dans la pratique, la caractéristique statique de transfert d’un convertisseur A/N ou N/A est enta- chée d’erreurs. Les imperfections liées aux éléments constituant le circuit (erreurs d’appariement, non- linéarités, imprécisions, comportement thermique, injection de charges, offset, éléments parasites, etc. . .) ou parfois au principe même de conversion utilisée, engendrent des erreurs que l’on classifie en fonction du type de "déformation" qu’elles provoquent sur la caractéristique de transfert. Globalement, l’erreur associée à la caractéristique d’un convertisseur résulte d’une superposition de ces différents types d’er- reurs. En pratique, on exprime ces erreurs en fraction de la pleine échelle (full scale range) [%FSR] ou en fraction du pas de quantification q, qui par abus de langage, devient une fraction de [LSB]
2.5.3.1 Caractéristique de conversion idéale
Un convertisseur N/A représente un nombre limité de grandeurs numériques codées par un nombre fini de valeurs analogiques.
Un convertisseur A/N représente une grandeur analogique (continue) dans un domaine borné par un nombre fini de valeurs numériques selon un code de conversion à définir.
Convertisseur N/A
Convertisseur A/N
Figure 2-14 : Fonction de conversion idéale
Il existe plusieurs erreurs statiques qui affectent la précision de la conversion. Ces erreurs statiques peuvent être complètement décrites par quatre termes. Il s’agit de l’erreur d’Offset de l’erreur deGain, de laNon Linéarité Intégrale INLet de laNon Linéarité Différentielle DNL
Erreur de décalage ou d’offset Pour un convertisseur N/A, l’erreur d’offset se traduit par un décalage vertical de la fonction de conversion (droite de régression linéaire) par rapport au cas idéal.
Pour un convertisseur A/N, l’erreur d’offset se traduit par un décalage horizontal de la fonction de conversion par rapport au cas idéal.
L’erreur de décalage ou d’offset s’exprime en [%FSR] (fraction de la pleine échelle (Full Scale Range)) ou en [LSB] (fraction du pas de quantification).
Cette erreur peut être corrigée par un ajustement au niveau hardware.
Figure 2-15 : Erreur de décalage ou d’offset
2.5.3.2 Erreur de gain
L’erreur de gain est définie comme la différence entre le gain nominal et le gain réelle une fois que l’offset à été corrigé. Elle correspond à une erreur systématique du pas de quantification q. Elle s’exprime en [%].
Cette erreur peut être corrigée par un ajustement au niveau hardware.
Figure 2-16 : Erreur de gain
2.5.3.3 Non-linéarité intégrale (INL)
Cette erreur correspond à la déviation en [LSB] ou en [%FSR] entre la fonction de conversion réelle et une droite à définir. L’erreur de non linéarité intégrale dépend donc directement du choix de la droite.
Il existe principalement deux définitions de la droite de référence.
– Droite de régression linéaire :
Cette droite donne des informations concernant l’offset, le gain et la position de la fonction de conversion une fois celle rapportée à la droite de régression linéaire.
– Droite définie par les extrémités de la fonction de conversion :
Cette droite passe par les points d’extrémités de la fonction de conversion, c’est-à-dire les points correspondant {0 ;US[000. . .0]} et {111. . ..1 ;US[111. . .1]}.
Pour un convertisseur A/N, cette droite passe par 1
2 LSB avant la première transition et 1 2 LSB après la dernière transition.
Figure 2-17 : Non linéarité intégrale (INL)
La droite de régression linéaire est généralement utilisée car elle produit un meilleur résultat. L’erreur ε[INL] est calculée à l’aide des relations suivantes :
Pour les convertisseurs N/A :
[IN L]= U[relle]− Gain[dr_reg]·D]+Of f set[dr_reg]
Uref 2N
[LSB]
[IN L]= 100U[relle]− Gain[dr_reg]·D]+Of f set[dr_reg]
Uref
[%F SR]
2.31
avec
U[réelle] : tension effective de sortie du convertisseur N/A pour une valeur numé-rique d’entrée D#. Gain[dr_reg] : Pente de la droite de régression en [V/LSB].
Offset[dr_reg] : Ordonnée à l’origine de la droite de régression en [V].
D# : Valeur numérique (nombre entier) d’entrée du convertisseur N/A.
Uref : Tension de référence appliquée au convertisseur N/A en [V].
N : Résolution en bits du convertisseur.
Pour les convertisseurs A/N :
[IN L]= sign
D[dr_reg]] −D[relle]] 2D[dr_reg]−(D][dr_reg]+D][relle])
2 [LSB]
[IN L]= 100 1 2N
sign“
D][dr_reg]−D[relle]] ”“
2D[dr_reg]−(D][dr_reg]+D][relle])”
2 [%F SR]
2.32
avec
D#[réelle] :
Valeur numérique (nombre entier en [LSB]) de sortie du convertisseur N/A pour une tension d’entrée U[réelle] et une référence Urefdonnées.
D[dr_reg] :
Valeur numérique d’entrée (nombre réel en [LSB]) définie à l’aide de la droite de régression.
D#[dr_reg] :
Valeur numérique (nombre entier en [LSB]) calculée à partir de la droite de régression D[dr_reg]=f(U[réelle]) par une fonction "arrondi".
N : Résolution en bits du convertisseur.
Figure 2-18 : Définition 2.5.3.4 Non-linéarité différentielle (DNL)
Cette erreur est la différence entre l’incrément réelle de la grandeur analogique et l’incrément de la droite de régression correspondant à 1LSB de la grandeur numérique entière D# (si la hauteur ou la largeur entre deux pas consécutifs est exactement de 1LSB, l’erreur de Non linéarité différentielle est nulle).
Si l’erreur DNL excède 1LSB il est possible de la fonction de conversion devienne non monotone, réduisant du même coup la résolution du convertisseur (code manquant).
Cette erreur s’exprime en [%FS] ou en [LSB].
Convertisseur N/A Convertisseur A/N
Figure 2-19 : Non linéarité différentielle (DNL)
L’erreurε[DNL] est calculée à l’aide des relations suivantes : Pour les convertisseurs N/A
ε[DNL] =U[D+ 1]−U[D]
Gain[drreg]
−1 [LSB]
ε[DNL]=100· 21N
U[D+ 1]−U[D]
Gain[drreg]
−1
[%FSR]
2.33
avec
U[D+n] : tension effective de sortie du convertisseur N/A pour une valeur numé-rique d’entrée D+n Uref : Tension de référence appliquée au convertisseur N/A en [V]
Gain[dr_reg] : Pente de la droite de régression en [V/LSB].
N : Résolution en bits du convertisseur
Pour les convertisseurs A/N
ε[DNL] =Umin[D+ 1]−Umin[D]
Gain[dreg]
−1 [LSB]
ε[DNL]=100· 21N
Umin[D+ 1]−Umin[D]
Gain[dreg]
−1
[%FSR]
2.34
Umin[D+n] : tension minimum de sortie du convertisseur N/A pour une valeur nu-mérique de sortie D+n Uref : Tension de référence appliquée au convertisseur N/A en [V]
Gain[dr_reg] : Pente de la droite de régression en [V/LSB].
N : Résolution en bits du convertisseur
Chapitre 3
Convertisseur Sigma-Delta
3.1 Modulation Delta
3.1.1 Principe
Considérons la structure de la modulation Delta pour le processus de conversion A/N. La Figure 3-1 montre le schéma fonctionnel du modulateur Delta et du démodulateur. La modulation Delta est basée sur la quantification de la variation du signal entre deux échantillons successifs plutôt que sur la valeur absolue du signal à chaque échantillon. La sortie de l'intégrateur situé dans la boucle de rétroaction doit suivre, autant que faire ce peut le signal d’entrée x(t). L'intégrateur fonctionne comme un prédicteur. L’erreur de prévision, dans la période d’échantillonnage courante est quantifiée et utilisée pour la prochaine période d’échantillonnage.
Pour la démodulation l'erreur de prévision quantifiée (sortie du modulateur Delta) est, comme pour la boucle de contre-réaction, intégrée puis passée au travers d’un filtre passe-bas. Pour des signaux présentant des variations rapides (high slew rate), les modulateurs Delta n’arrivent plus à suivre le signal d’entrée.
Il y a donc saturation.
Figure 3-1 : Modulation Delta et démodulation
3.2 Modulation Sigma-Delta
3.2.1 Principe
La modulation Delta nécessite deux intégrateurs pour le processus de modulation et la démodulation.
L’intégration étant une opération linéaire, l’intégrateur utilisé pour la démodulation peut être ramené à l’entrée (avant le modulateur) sans altérer le bon fonctionnement du système.
Figure 3-2 : Modulation Delta et démodulation, déplacement de l’intégrateur
En observant on Figure 3-2, on voit qu’il est possible de combiner les deux intégrateurs en un seul.
Ce nouvel arrangement porte le nom de modulateur Sigma-Delta.
Figure 3-3 : Modulateur Sigma-Delta simplifié.
Le nom de modulateur Sigma-Delta vient de la position de l’intégrateur (sigma) à l’entrée de la boucle du modulateur Delta.
La caractéristique du bruit de quantification du modulateur Sigma-Delta est dépendante de la fré- quence contrairement au cas de la modulation Delta. Cette propriété convient aux applications de traite- ment du signal telles que l'audio numérique pour la mesure haute résolution. Comme pour les modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta utilisent un comparateur. Cependant, à la différence des modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta sont insensibles aux variations rapides du signal.
3.2.2 Bruit de quantification
La Figure 3-4 montre le modèle continu simplifié du modulateur Sigma-Delta. Le comparateur est représenté par l’addition, au signal de sortie de l’intégrateur, d’un bruit représentant la quantification apportée par le comparateur.
Figure 3-4 : Modulation Sigma-Delta : bruit de quantification De la Figure 3-4, on peut écrire
Y(s) = 1
sTi+ 1X(s) + sTi
sTi+ 1Q(s) 3.1
De cette dernière relation, on voit que, vu de la sortie, le bruit de quantification traverse un passe-haut du 1er ordre. De plus, la source Q(s) modélisant le bruit de quantification n'a pas une distribution uniforme en fonction de la fréquence comme c'est le cas pour les convertisseurs A/N conventionnels.
1 1 +s
s 1 +s Figure 3-5 : Fonctions de transfert
3.3 Modulateur Sigma-Delta du 1
erordre
3.3.1 Principe
La première partie du convertisseur Sigma-Delta est un modulateur, lequel convertit le signal ana- logique d'entrée en une suite continue de 1 et 0 logiques (bit stream) à une cadence déterminée par la fréquence d'horloge NOSRFS. La sortie du convertisseur N/A de 1 bit, commandé par la sortie du comparateur est soustraite au signal analogique d'entrée (réaction négative). La présence de l'intégrateur permet d'affirmer, qu'en régime continu, la valeur moyenne du signal d'entrée est identique à celle du signal de sortie du convertisseur N/A de 1 bit.
Figure 3-6 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre
La sortie de l'intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la Figure 3-7 pour une entréex(t)=0.2Vref.
Figure 3-7 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre pour x=0.2Vref
3.3.2 Analyse dans le domaine échantillonné
Le verrouillage (latch) du comparateur par le signal d'horloge convertit le signal basse fréquence d'entrée en un signal haute fréquence dont la distribution de 1 et 0 varie en fonction de la valeur moyenne du signal d'entrée. Le bruit effectif de quantification est ainsi grandement réduit pour les basses fréquences.
Cette affirmation peut être en partie démontrée en utilisant le schéma bloc de la Figure 3-8.
Figure 3-8 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre : Schéma bloc
On peut facilement déterminer la relation liant la grandeur de sortie Y(z) aux grandeurs d’entrée X(z) et de bruit de quantification Q(z)
Y(z) =Q(z) + 1
z−1(X(z)−Y(z)) 3.2
Et finalement
Y(z) =z−1
z Q(z) +1
zX(z) =N(z)Q(z) +z−1X(z) 3.3
Le bruit de quantification est un processus stochastique. Le différentiateur (1-z-1) mis en évidence dans la relation 3.3 double la puissance du bruit de quantification. Cependant, ce même différentiateur provoque un décalage du bruit vers des fréquences élevées. Par conséquent, à condition que le signal d'entrée analogique x(t) soit suréchantillonné, le bruit de quantification aux fréquences élevées peut être fortement réduit par filtrage numérique sans affecter les caractéristiques de signal d'entrée résidant dans la bande de base. Ce filtrage numérique (passe-bas) fait partie du processus de décimation.
En effet, après filtrage, le signal de sortie est seulement composé de fréquences comprises dans la bande passante du filtre passe-bas numérique.
3.3.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping)
La propriété fondamentale du modulateur Sigma-Delta est le «noise shaping » qui rejette le bruit de quantification vers les hautes fréquences.
Sachant que
z=ejωNOSRTs 3.4
La fonction de transfert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantification (différentiateur) vaut
N(f) = 1−e−j2πfNTsOSR = 1−e−j2π
f NOSRFs= e
jπ f
NOSRFs−je−jπ
f NOSRFs
2j 2je−jπNOSRf Fs
= 2je−jπNOSRFsf sin πf
NOSRFs
3.5
Il s’agit d’une fonction de transfert de type passe-haut
Figure 3-9 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre (NOSR=128)
La puissance du bruit de quantification
PQ=
NOSRFS/2
R
−NOSRFS/2
S(f)|N(f)|2df
=
FS/2
R
−FS/2 q2 12NOSRFS
2sin πf
NOSRFS
2
df
3.6
On admet que la bande utile (largeur de bande du filtre numérique passe-bas) est très inférieure à la fréquence NOSRFS. On peut donc simplifier l’expression précédente.
PQ' q2π2 36
1
NOSR3 3.7
Le rapport signal sur bruit prend donc la forme suivante :
SNQROSR =10log
σx2 σ2
nQ(NOSRFS)
=10logσ2 x
Vref2
+10log π362NOSR3
=10logσ2 x
Vref2
+10log 36
π2
| {z }
5.6
+30log(NOSR) 3.8
On voit que chaque fois que l’on double la fréquence d’échantillonnage on gagne 9dB sur le rapport signal sur bruit de quantification. Pour rappel dans le cas d’un convertisseur classique, on ne gagne que 3dB.
3.4 Modulateur Sigma-Delta du 2
èmeordre
3.4.1 Principe
En analysant plus en détail le modulateur Sigma-Delta du 1erordre on peut observer une modulation possible du bit stream à une fréquence comprise dans la bande passante FC. Ce comportement vient d'une trop grande corrélation entre l'apparition de la suite de 1 et de 0 et le niveau de la tension d'entrée.
On peut prendre comme exemple un signal d'entrée de x=9VREF/16.La succession des valeurs prises par le bit stream est la suivante :
Succession du bit stream Équivalent binaire
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 .. = 1001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . . . répétition tous les 16 échantillons
Dans le but de supprimer cette répétition, on peut utiliser un modulateur Sigma-Delta d'ordre supé- rieur à 1. Dans ce cas, une étude de stabilité doit être entreprise. La Figure 3-10 montre la structure d'un convertisseur Sigma-Delta dont le modulateur est d'ordre 2.
Figure 3-10 : Convertisseur Sigma-Delta du 2er ordre
La sortie du deuxième intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la Figure 3-11 pour une entrée x constante.
Figure 3-11 : Convertisseur Sigma-Delta du 2er ordre pour x=0.2Vref
3.4.2 Analyse dans le domaine échantillonné
Pour un convertisseur du 2ème ordre le schéma se présente de la manière suivante.
Figure 3-12 : Convertisseur Sigma-Delta du 2ème ordre : Schéma bloc A partir de la Figure 3-12, on peut écrire
Y(z) =Q(z) + 1 z−1
z
z−1(X(z)−Y(z))−Y(z)
3.9
Et finalement
Y(z) = z−1
z 2
Q(z) +z−1X(z) 3.10
3.4.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping)
La fonction de transfert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantification (différentiateur) vaut :
N(f) =
1−e−j2πfNOSRTs 2
= e
jπ f
NOSRFs−je−jπ
f NOSRFs
2j 2je−jπNOSRFsf
=−4e−j2πNOSRFsf
sin πf
NOSRFs
2 3.11
Il s’agit d’une fonction de transfert de type passe-haut
Figure 3-13 : Convertisseur Sigma-Delta du 2ème ordre (NOSR=64) La puissance du bruit de quantification
PQ=
NOSRFS/2
R
−NOSRFS/2
S(f)|N(f)|2df
=
FS/2
R
−FS/2 q 12NOSRFS
2sin πf
NOSRFS
4 df
3.12
On admet que la bande utile (largeur de bande du filtre numérique passe-bas) est très inférieure à la fréquence NOSRFS. On peut donc simplifier l’expression précédente.
PQ 'q2π4 60
1
NOSR5 3.13
Le rapport signal sur bruit prend la forme suivante :
SNQROSR=10log
σ2x σ2
nQ(NOSRFS)
=10logσ2 x
Vref2
+10log 60π4NOSR5
=10logσ2 x
Vref2
+10log 60
π4
| {z }
−2.1
+50log(NOSR) 3.14
On voit que chaque fois que l’on double la fréquence d’échantillonnage on gagne 15dB sur le rapport signal sur bruit de quantification, contre 9dB pour un modulateur Sigma-Delta du 1erordre.
