Résolution umérique e m canique de fl ides :

MTH6301: Planification et analyse statistique d’expériences

JULIE OLMICCIA JULIE OLMICCIA

Session Automne 2010

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École Polytechnique de Montréal Session Automne 2010

Vue d’ensemble

Rés olu tio n um éri q u e e m can ique de fl id es :

Étude des mouvements de fluides par résolution numérique des équations les régissant.

Exemples d’applications:

• Écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins.

• Écoulement d’un médicament dans un procédé de fabrication.

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Plan de la prés enta tio n

I. Introduction II. Problém atiq ue III. Modèl e ete nu IV. Analyse du Modèl e V. Conclusion

Éc ol e ol y te chniq ue Session Automne 2010 e ontréal

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École Polytechnique de Montréal Session Automne 2010

I. Introduction

Ét u de ’é co u l em ent d un f u ide p r m tho d e numér iq ue

Cas d’ét u de:

Conduite cylindrique pour le transport d’eau Objectif:

Obtenir un profil de vitesse Mét h ode:

Rés o l u t io n ar lé m en ts fi is d u pr fi l de vitesse dans la conduite.

Contraintes:

• T emps de simulation

• Facteur d’erreur sur le profil Formule théo riq ue e éfé r en ce:

Profil de vitesse théo riq ue

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Minimiser l’erreur sur la vitesse tout en minimisant le temps de simulation.

Facteurs susceptibles d’influencer les variables rép onses:

• Taille du maillage

Ø Modél is at io n éom étri q u e d’ n do ai n e.

Ø Plus le maillage est fin, plus il y a de calculs à a ir e.

• Type d’élément

Ø Mét h ode e alc ul e a r essi o n.

Objectif de l’analyse statistique:

Déf in i r ue l le om bin ai s o n e a ct e urs ini m i s e e s eux variables rép onse.

Session Automne 2010

II. Problém at iq ue

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III. Modèl e e t e nu

• Plan factoriel complet:

Session Automne 2010

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Avantages:

• Sur les effets:

Ø Considér at io n e o us e s f fe ts n on onfo ndus).

• Sur les facteurs:

Ø Permet de repér e r e s a ct e urs m p orta nts.

Inconvén i e nts :

• Sur les surfaces réponses:

Ø Pas adapté l o p tim isatio n d l s rfac e r p on se.

• Sur les facteurs:

Ø Peu considér e r e s f fe ts on-e xi s ta nts.

III. Modèl e e t e n u

3**(2-0) full factorial design, 1 block , 9 runs (Electronique) Standard

Run A B

9 3 4 5 2 6 7 1 8

1,00000 1,00000 -1,00000 1,00000 0,00000 -1,00000 0,00000 0,00000 -1,00000 0,00000 0,00000 1,00000 1,00000 -1,00000 -1,00000 -1,00000 1,00000 0,00000 Modalités A: Taille de Maille B: Eléments

1 0,0102 11

0 0,0072 6

-1 0,0039 1

• Plan factoriel complet: 3 ²

Modalités des facteurs Design d’expérience

A: Taille de Maille

(en m) B: Elément Y1 : Tps de sim

(en s) Y2: Valeur d'erreur sur la vitesse

9 0,0102 11 10,06 0,049921841

3 0,0039 11 295,7 0,046433014

4 ^{0,0072 1 327,76 0,04820386}

5 ^{0,0072 6 128,9} 0,048528842

2 0,0039 6 2361,07 0,046409238

6 0,0072 11 29,54 0,048548074

7 ^{0,0102 1 262,93} 0,049504691

1 ^{0,0039 1 3962,89} 0,046212973

8 ^{0,0102 6 107,5} 0,049924887

Résultats d’expérience

Session Automne 2010

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IV. Analyse du modèl e

• Y1 : Temps de simulation

Estimations des effets:

Effect Estimates; Var.:Y1 Tps de simulation; R-sqr=,9432; Adj:,84854 (presentation2) 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=290515,

DV: Y1 Tps de simulation Factor

Effect Std.Err. t(3) p Mean/Interc.

(1)Taille de maille(L) Taille de maille(Q) (2)Element (L) Element (Q) 1L by 2L

847,06 179,6937 4,71388 0,018076 -2079,72 440,0871 -4,72571 0,017953 -958,91 381,2493 -2,51517 0,086543 -1431,45 440,1579 -3,25213 0,047413 51,01 381,1266 0,13384 0,902003 1730,40 538,8208 3,21145 0,048902

ANOVA; Var.:Y1 Tps de simulation; R-sqr=,9432; Adj:,84854 (presentation2) 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=290515,

DV: Y1 Tps de simulation

Factor SS df MS F p

(1)Taille de maille(L) Taille de maille(Q) (2)Element (L) Element (Q) 1L by 2L Error Total SS

6487874 1 6487874 22,33232 0,017953 1837828 1 1837828 6,32610 0,086543 3072591 1 3072591 10,57636 0,047413 5204 1 5204 0,01791 0,902003 2996207 1 2996207 10,31344 0,048902

871545 3 290515 15345021 8

ANOVA:

Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: Y1 Tps de simulation 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=290515,

DV: Y1 Tps de simulation

,13384

-2,51517 3,211454

-3,25213

-4,72571

p=,05 Standardized Effect Estimate (Absolute Value) Element(Q)

Taille de maille(Q) 1Lby2L (2)Element(L) (1)Taille de maille(L)

-2,51517 3,211454

-3,25213

-4,72571

Pareto:

Normal Prob. Plot; Raw Residuals 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=290515,

DV: Y1 Tps de simulation

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Residual -3,0

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Expected Normal Value

,01 ,05 ,15 ,35 ,55 ,75 ,95 ,99

Predicted vs. Residual Values 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=290515,

DV: Y1 Tps de simulation

-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Predicted Values -800

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

Raw Residuals

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Analyse des rés i d us

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IV. Analyse du modèl e

• Y2 : Erreur sur la vitesse Estimations des effets:

ANOVA:

Pareto:

ANOVA; Var.:Y2 erreur; R-sqr=,9997; Adj:,99921 (presentation2) 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=0

DV: Y2 erreur

Factor SS df MS F p

(1)Taille de maille(L) Taille de maille(Q) (2)Element (L) Element (Q) 1L by 2L Error Total SS

0,000018 1 0,000018 9820,170 0,000002 0,000000 1 0,000000 89,415 0,002507 0,000000 1 0,000000 88,403 0,002549 0,000000 1 0,000000 25,093 0,015314 0,000000 1 0,000000 5,436 0,102003 0,000000 3 0,000000

0,000018 8

Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: Y2 erreur 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=0

DV: Y2 erreur

2,331552 5,009323

9,402278 9,455955

99,09677

p=,05

Standardized Effect Estimate (Absolute Value) 1Lby2L

Element(Q) (2)Element(L) Taille de maille(Q) (1)Taille de maille(L)

2,331552 5,009323

Normal Prob. Plot; Raw Residuals 2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=0

DV: Y2 erreur

-0,00006 -0,00005

-0,00004 -0,00003

-0,00002 -0,00001

0,00000 0,00001

0,00002 0,00003

0,00004 0,00005 Residual

-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Expected Normal Value

,01 ,05 ,15 ,35 ,55 ,75 ,95 ,99 Predicted vs. Residual Values

2 3-level factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=0 DV: Y2 erreur

0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,050 0,051

Predicted Values -0,00006

-0,00005 -0,00004 -0,00003 -0,00002 -0,00001 0,00000 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005

Raw Residuals

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Analyse des rés i d us

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V. Conclusion

Session Automne 2010

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Minimisation de Y1 et Y2:

Taille de maille comprise entre 0,0039

et 0,0072

V. Conclusion

Session Automne 2010

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Pistes d’approfondissement:

• Sur le modèle:

Ø Réa lis er n ouveau es i g n ’e xpéri e n ce a ec rép éti tio n s.

• Sur les facteurs:

Ø Déf in i r e ouvel le s o da lité s p ur l f c t eu r taille de maille afin d’obtenir la valeur optimisant les variable rép onses.

Ø Accorder plus d’importance à a ini m i s a t io n u

temps de simulation que à ’e r re ur.