NOMBRES RELATIFS

(1)

NOMBRES RELATIFS

-1- INTRODUCTION, RAPPELS

Un nombre relatif est constitué d'un signe (+ ou – ) et d'une partie chiffrée (ou distance à zéro). Pour les nombres positifs souvent le signe "+" n'est pas écrit mais pour les nombres négatifs le signe "–" est toujours écrit.

0 n'a pas de signe (ou a les deux signes à la fois).

Deux nombres sont dits opposés lorsqu'ils ont la même partie chiffrée et des signes contraires (ils ne diffèrent que par leurs signes).

-2- COMPARAISON DES NOMBRES RELATIFS

Les nombres relatifs se comparent comme des températures, en particulier plus la partie chiffrée d'un nombre négatif est grande, plus ce nombre est petit.

Exemples : – 473 … –18 ; – 715 … 0 ; – 78,45 … +42 ; 0 …+ 86 ; +1025 … +4500 -3- REPÉRAGE SUR UNE DROITE GRADUÉE

Pour graduer une droite on choisit

1/ une origine (un point sur la droite) 2/ une unité de longueur

3/ un sens de parcours.

A tout point M de la droite graduée correspond alors un nombre relatif appelé abscisse du point M, qui est noté

x

M. Inversement, à un nombre relatif quelconque correspond toujours un point sur la droite graduée.

0 1 x

B U A

-4,5 3

O M

x' _M x

(O,U) est appelé un repère sur la droite graduée. Il permet de déterminer les trois choix précédents.

-4- REPÉRAGE DANS LE PLAN

Si on trace deux droites graduées de même origine (perpendiculaires ici), tout point M du plan est repéré par deux nombres relatifs. Le premier,

x

_M est sur l'axe horizontal , c'est l'abscisse du point M. Le deuxième,

y

_M est sur l'axe vertical, c'est l'ordonnée du point. L'abscisse et l'ordonnée constituent les deux coordonnées du point M.

On écrit : M(

x

M ,

y

M)

1 1

M

x y

_M

M

Coordonnées des points de la figure :

A( ; ) B( ; ) C( ; ) D( ; ) O( ; ) I( ; ) J( ; ) (O, I, J) est appelé un repère dans le plan.

(2)

-5- ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS

a/ Addition : Les nombres relatifs s'additionnent comme des gains et des pertes successifs.

Cas particulier : la somme de deux nombres opposés est égale à 0.

Exemples :

(+8) + (+4) = (+8) + (–4) = (–8) + (+4) = (–8) + (–4) = (–6,7) + (+6,7) = Quand on additionne plus de deux nombres on peut compter dans l'ordre que l'on veut. En général on regroupe d'abord les nombres par signes (les positifs d'une part et les négatifs d'autre part).

b/ Soustraction : Soustraire un nombre relatif cela revient à additionner son opposé.

Avant d'effectuer une soustraction où les parenthèses sont écrites, on la transforme en addition.

Exemples : (+10) – (+3)

=

(+10) – (–3)

=

(–10) – (+3)

=

(–10) – (–3)

=

(–5,9) – (–5,9) =

(+11) – (+20)

=

(+11) – (+20)

=

(+11) – (+20)

=

(+11) – (+20)

=

(–5,9) – (+5,9) =

=

= Remarque :

a

et

b

étant deux nombres quelconques, le résultat de

a

–

b

c'est le nombre qu'il faut ajouter à

b

pour trouver

a

. c/ Simplification d'écriture : Dans une série d'additions de nombres relatifs on peut supprimer les signes "+" d'addition ainsi que les parenthèses. On peut également supprimer des + de nombres positifs, mais entre deux parties chiffrées il doit toujours y avoir un signe.

Exemple :

A = (+5) + (– 7) + (– 9) + (+8) + (– 3) =

d/ Calcul d'expressions : Pour effectuer une suite d'additions et soustractions de nombres relatifs 1/ on transforme les soustractions en additions

2/ on supprime les "+" d'addition ainsi que les parenthèses

3/ on regroupe et on compte par signes (chaque terme déplacé doit garder son signe) 4/ on additionne les deux résultats partiels.

Exemples :

B = (–3) – (+5) + (+22) – (–4) + (–6) B =

B = B = B = B =

C= (+13) + (– 8) – (–6) + 2 – 5 + (–13) – (+1)]

C = C = C = C = C =

-6- DISTANCE ENTRE DEUX POINTS D'UNE DROITE GRADUÉE C'est le nombre d'unités qu'il y a entre les deux points.

O U

0 1

x

x'

A

B C

-4 3 5,5

Exemples :

AB = BA =

x

_A –

x

_B= BC = CB =

x

_C –

x

_B = AC = CA =

x

_C –

x

_A =

eeDistance de 2 points = grande abscisse – petite abscisseee