[ Corrigé du baccalauréat STL Polynésie 10 juin 2005 \ Biochimie–Génie biologique
EXERCICE1 10 points
1. a. f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 24] et en appliquant la formule de la dérivée d’un produit :
f′(t)=3e−0,15t−0, 15(3t+1)e−0,15t=3e−0,15t−(0, 45t+0, 15)e−0,15t=e−0,15t(3b− 0, 45t−0, 15)=e−0,15t(2, 85−0, 45t).
b. Comme e−0,15t>0 quel que soit le réelt, le signe de la dérivée est celui de la différence 2, 85−0, 45t;
2, 85−0, 45t>0⇐⇒ 2, 85>0, 45t ⇐⇒ 2, 85
0, 45>t ⇐⇒ t<19 3 . Sur
· 0 ; 19
3
¸
,f′(t)>
0, donc la fonction est croissante ;
2, 85−0, 45t<0⇐⇒ 2, 85<0, 45t ⇐⇒ 2, 85
0, 45<t ⇐⇒ t>19 3 . Sur
·19 3 ; 24
¸
,f′(t)<
0, donc la fonction est décroissante.
f µ19
3
¶
est donc un maximum def sur [0 ; 24].
f µ19
3
¶
=¡ 3×19
3 +1¢
e−0,15×193 =20e−0,95≈7, 73.
2. a. Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à 10−2près).
t 0 2 4 6 8 10 12 16 20 24
f(t) 1 5,19 7,13 7,72 7,53 6,92 6,12 4,45 3,04 1,99 b. Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe (C) au point A d’abs-
cisse 0 est le nombre dérivéf′(0)=e−0,15×0(2, 85−0, 45×0)=2, 85.
c. Voir à la fin.
3. On trace la droite d’équation y=5 qui coupe la courbe (C) en deux points dont on trouve l’abscisse en les projetant sur l’axe des abscisses.
On lit à peu prèsx=1, 9 etx=14, 6.
Il y a donc 5 milliards de bactéries par ml au bout de 2 h et de 15 h.
Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique A. P. M. E. P.
0 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 x f(x)
EXERCICE2 10 points
1.
Polynésie 2 juin 2005
Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique A. P. M. E. P.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
0 2 4 6 8 10 12 ti
xi
b b b b b b b b
2. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
ti 0 2 4 6 8 10 12 14
yi −3, 85 −2, 42 −0, 96 0,50 1,96 3,41 4,96 6,58
b. On trouveG1(3 ;−1, 68) etG2(11 ; 4, 23)
c. On écrit que les coordonnées deG1et deG2vérifient l’équationy=ax+b, soit :
½ −1, 6825 = 3a+b
4, 2295 = 11a+b ⇒(par différence) 5, 912=8a ⇐⇒ a=5, 91
8 ≈
0, 739, puisb= −1, 68−3×0, 739= −1, 68−2, 217= −3, 897.
En arrondissant au centième, une équation de la droite (G1G2) esty=0, 74x− 3, 90
Polynésie 3 juin 2005
Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique A. P. M. E. P.
3. a. On ay =0, 74t−3, 91=ln³ x 720−x
´
⇐⇒ (par croissance de la fonction
exponentielle e0,74t−3,91=eln
µ x
720−x
¶
⇐⇒ x
720−x =e0,74t−3,91 ⇐⇒ x= e0,74t−3,91(720−x)⇐⇒ x=720e0,74t−3,91−xe0,74t−3,91 ⇐⇒
x+xe0,74t−3,91=720e0,74t−3,91 ⇐⇒ x¡
1+e0,74t−3,91¢
=720e0,74t−3,91 ⇐⇒
x=720e0,74t−3,91
1+e0,74t−3,91 = 720e0,74t−3,91 e0,74t−3,91¡
e−0,74t+3,91+1¢ ⇐⇒x= 720 1+e−0,74t+3,91. b. Sur le graphique de laquestion 1, il semble que pour tassez grand, le
nombre d’individusxsemble plafonner.
c. On a lim
t→+∞
−0, 74t+3, 91= −∞, donc lim
t→+∞e−0,74t+3,91=0, puis lim
t→+∞1+e−0,74t+3,91=1 et enfin lim
t→+∞x(t)=720.
Ce résultat théorique est cohérent avec la réalité expérimentale.
On a dessiné sur la figure la courbex =f(t) qui « colle » bien avec les résultats expérimentaux.
Polynésie 4 juin 2005
