Normalisation d’un schéma

Normalisation d’un sch´

ema

Colas Bardavid

mardi 21 juin 2005

On r´esout ici l’exercice II.3.8. de Algebraic Geometry de Hartshorne. Il semble que ceci soit fait diff´eremment, plus g´en´eralement (et mieux), dans EGA II.

Table des mati`

eres

1 Normalit´e et probl`eme universel 4

1.1 Normalit´e . . . 4 1.2 Probl`eme universel . . . 4 1.3 Unicit´e . . . 5

2 Normalisation et sous-sch´ema ouvert 5

3 Cas affine 7

4 Cas g´en´eral 8

Questions en suspens et travail `

a faire

Je suis content

Ahmed Abb`es, dans son s´eminaire Bourbaki sur la conjecture de Bogomolov, utilise `a en endroit la normalisation.

Je d´ecide de regarder dans le Hartshorne ce que c’est. Il n’y a rien sauf un exercice. Hartshorne reste tr`es ´evasif. J’ai envie de bien faire les choses et il va falloir faire un recollement...

Je vais voir chez Lang et chez Lafon (Alg`ebre locale,...). En exo, il y a que si A est int`egre, A est int´egralement clos si, et seulement si, pour tout P ∈ Spec A, APest int´egralement clos. Je m’arrache les cheveux deux heures sur une broutille

d’alg`ebre commutative. Mais finalement, je resouds ce dernier exercice.

Je continue ma journ´ee dans la biblioth`eque de l’IRMAR, pour essayer de recoller les normalisations des sch´emas affines. J’y arrive, je suis content.

Je m’en suis sorti par le formalisme des cat´egories, inspir´es par la construc-tion du produit que fait Grothendieck dans EGA.

1

Normalit´

e et probl`

eme universel

1.1

Normalit´

e

D´efinition 2 Un sch´ema X est normal si pour tout x ∈ X, OX,x est int`egre

et int´egralement clos.

On cherche `a construire, pour tout sch´ema int`egre X, un sch´ema normal eX au-dessus de X qui soit universel pour la propri´et´e d’ˆetre normal.

1.2

Probl`

eme universel

Plus formellement : Soit X un sch´ema int`egre.

Soit C la cat´egorie dont les objets sont les sch´emas int`egres, normaux au-dessus de X par un morphisme dominant, et dont les fl`eches sont les X-morphismes dominants. ob(C) =    Z pZ  X

, Z ∈ Sch int`egre et normal et pZ dominant

   . HomC    Z p  X , Z0 p0  X   =       

f ∈ HomSch(Z, Z0) | f est dominant et

Z f // p 0 00 00 Z0 p0  X commute        .

C’est-`a-dire, on cherche e X p  X

, avec p dominant, tel que pour tout sch´ema int`egre et normal Z, muni d’un d’un morphisme dominant f : Z → X, il existe un unique ˜f : Z → eX dominant tel que

Z f ''O O O O O O O O O O O O O O O _ _∃! ˜_f_ _ //_ _ e X p  X commute.

1.3

Unicit´

e

Comme toute solution d’un probl`eme universel on sait que, si elle existe, la normalisation e X p  X

est unique `a un unique isomorphisme pr`es.

2

Normalisation et sous-sch´

ema ouvert

On va montrer que si on sait r´esoudre le probl`eme pour X, on sait le r´esoudre pour tout ouvert U ⊂→◦ X.

Soit donc X un sch´ema int`egre.

On suppose que X admet une normalisation e X p  X . Alors,

Proposition 3 Soit U ⊂→◦ X, non-vide. Alors,

p−1(U )

p



U

est une normalisation de U .

D´emonstration : Tout d’abord, p−1(U ) est bien int`egre et normal.

Ensuite, v´erifions que ˜p = p|p−1_{(U )} : p−1(U ) → U est bien dominant. Soit

donc V un ouvert de U . En particulier V est un ouvert non-vide de X. Or, p est dominant. Donc, p(X)∩V 6= ∅. Comme V est inclus dans U : p(p−1(U ))∩V 6= ∅.

Ensuite, soit Z

f



U

do-Si on compose f avec l’inclusion i : U ,→ X, Z f  U _ i  X on obtient encore un morphisme dominant.

En effet, soit V un ouvert non-vide de X. Comme X est int`egre, il est en particulier irr´_{eductible et V ∩ U 6= ∅. Donc f (Z)∩(U ∩V ) 6= ∅ et en particulier,} (i ◦ f )(Z) est dense dans X.

On peut alors appliquer la propri´et´e universelle : on a une factorisation

Z fNN''N N N N f˜ //Xe p  U  u _i ''P P P P P P X avec ˜f un morphisme dominant.

Or, pour tout x ∈ Z, p( ˜f (x)) = f (x) ∈ U et donc ˜f (x) ∈ p−1(U ). Donc, ˜f se factorise par l’inclusion p−1_{(U )⊂→}

◦ eX : Z fTTTT **T T T T T T f˜ // p−1_{(U )} // e X p  U w _i **U U U U U U U U U U X Finalement, on peut abr´eger ce diagramme en

Z fOOOO _''O O O O O O O f˜ // p−1_{(U )} p  U

o`u la fl`eche ˜f : Z → p−1(U ) est dominante car elle l’est d´ej`a vers eX. On a donc l’existence d’une factorisation.

Montrons maintenant qu’il y a unicit´e.

On suppose donc qu’on a deux fl`eches f1et f2, dominantes vers p−1(U ) qui

fassent commuter le diagramme :

Z f ((R R R R R R R R R R R R R R R _f 2 // f1 // p−1(U ) p  U .

Ces fl`eches font aussi commuter le diagramme : Z fUUUUUUU _**U U U U U U U U U _f2 // f1 // p−1(U ) j //Xe p  U  t i ''O O O O O O O O O X

et elles sont dominantes dans eX. Donc, j ◦ f1et j ◦ f2co¨ıcident. Donc, f1= f2.



3

Cas affine

Le cas affine est simple.

Proposition 4 Soit X = Spec A un sch´ema int`egre. Alors, X admet une nor-malisation.

On utilisera la proposition suivante, d´emontr´ee dans Propri´et´es sch´ematiques locales qu’on peut globaliser.

Proposition 5 Soit Z un sch´ema int`egre et normal. Alors, OZ(Z) est int´egralement

clos.

D´emonstration : (de la proposition 4)

A est int`egre ; on note K sont corps de fractions et i : A ,→ K l’injection canonique de A dans K.

Soit eA ⊂ K la clˆoture int´egrale de A dans K. Alors, eA est int´egralement clos (c’est une r´esultat d’alg`ebre commutative) et on sait alors que Spec eA est un sch´ema int`egre et normal.

On note encore i : A ,→ eA, qui est encore une injection. On sait alors que le morphisme de sch´emas associ´e, i∗: eX = Spec eA → Spec A est dominant.

Montrons qu’il v´erifie la propri´et´e universelle. Soit Z un sch´ema int`egre et normal muni d’une fl`eche f : Z → X, qui est dominante. Comme

HomSch(Z, Spec A) ' HomAnn(A, OZ(Z)),

on va regarder plutˆot dans les morphismes d’anneaux.

f∗ : A → OZ(Z) est-il injectif ? Supposons que non et notons I = ker f∗ 6=

(0). Soit P ∈ Z un point. Alors, l’image de P par f correspond `a la pr´eimage par f∗ de l’id´eal MP par A

f∗

//OZ(Z) //OZ,P. En particulier, pour tout

point P ∈ Z, I ⊂ f (P ), c’est-`a-dire que f (P ) ∈ V (I). Donc, f (Z) ⊂ V (I) ; cependant, (0) ∈ Spec A car A est int`egre et (0) /∈ V (I). Cela contredit le fait que f est dominant.

Donc f∗ : A → OZ(Z) est injectif. Donc, f∗ se prolonge aux corps des

fractions (OZ(Z) est bien int`egre).

On cherche une factorisation par une application Z → Spec eX = Spec eA. C’est ´equivalent `a chercher une application g : eA → OZ(Z) qui factorise f∗.

Cette factorisation est n´ecessairement d´etermin´ee par g x y  = g(x) g(y) = f∗(x) f∗_(y).

Il reste `a voir qu’elle existe. Voici un dessin : A f ∗ //  _ i  OZ(Z) _  e A _  ∃?g 66l l l l l l K f f∗ // Frac OZ(Z) .

Soit donc x ∈ eA. A-t-on ff∗_{(x) ∈ O}

Z(Z) ? Oui ! En effet, ff∗(x) est entier

au-dessus de OZ(Z) (il suffit de l’´ecrire) et OZ(Z) est int´egralement clos, comme

on l’a rappel´e avant de commencer la d´emonstration. C’est bon ! On a l’existence et l’unicit´_{e. }

4

Cas g´

en´

eral

4.1

Recollement

On part de X un sch´ema int`egre. Il est recouvert par des ouverts affines. L’id´ee, c’est de normaliser ces ouverts affines et de recoller les normalisations.

Pour faire cela, on doit v´erifier que les conditions de recollement sont satis-faites. Le processus g´en´eral de recollement est ´etabli dans [Chevalley] (et c’est tr`es bien fait).

On dispose donc d’une famille de sch´emas XU, index´ee par la famille des

ouverts affines de X. Plus pr´ecis´ement, on a pour tout ouvert U affine de X un sch´ema XU int`egre et normal muni d’un morphisme

XU pU



U

qui est dominant. Soient maintenant U et V deux ouverts affines de X.

On note ΩV(U )⊂→◦ XU l’ouvert pU−1(U ∩ V ) de XU. On a vu dans la partie

2 que

ΩV(U ) pU,V



U ∩ V

pour

ΩU(V ) pV,U



U ∩ V

. Ainsi, d’apr`es l’unicit´e (`a unique isomorphisme pr`es), il existe un morphisme ϕU,V : ΩV(U ) → ΩU(V ) qui fasse commuter le diagramme

ΩV(U ) pU,V ""F F F F F F F F ϕU,V // Ω U(V ) pV,U ||xxxxxx xx U ∩ V .

Pour qu’on puisse recoller, il faut v´erifier les conditions de recollement. D’abord, on doit v´erifier que ϕU,V(ΩV(U ) ∩ ΩW(U )) ⊂ ΩU(V ) ∩ ΩW(V ). Soit

donc x ∈ ΩV(U )∩ΩW(U ). Cela veut dire que pU(x) ∈ U ∩W . On a pV(ϕU,V(x)) =

pU(x). Donc, ϕU,V(x) ∈ ΩW(V ).

Ensuite, on doit v´erifier que sur cette intersection ϕU,W et ϕV,W ◦ ϕU,V

R´

ef´

erences