Théorème de Riesz-Fischer

Théorème de Riesz-Fischer

Référence :Rudin: Analyse réelle et complexe p. 83 etBrézisp. 58 Contexte: Soit (X,A, µ) un espace mesuré.

Prérequis: Pour 16p6∞, déf deL^p(µ) (muni dek·k_pest un e.v. semi-normé), déf de L^p(µ) (muni de k·k_p est un evn), Lemme de Fatou, inégalité de Minkowski.

Pour 16p6∞,L^p(µ) est un espace de Banach.

Théorème (Théorème de Riesz-Fischer - 1907)

Preuve :

Étape 1 : Montrons queL^∞(µ) est complet.

Soit (fn)_n∈

Nune suite de Cauchy dansL^∞(µ).

Ainsi,∀k∈N^∗,∃Nk∈N,∀m, n>N_k,kfn−f_mk_∞6 1 k. Donc il existe une famille (E_k,m,n)_k∈

N^∗ d’ensemblesµ-négligeables, vérifiant :

∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀m, n>Nk,∀x∈X\Ek,m,n,|fn(x)−fm(x)|6 1 k On définit E= [

k,m,n∈N^∗

E_k,m,n; et comme l’union est dénombrable :µ(E) = 0.

Et donc, on obtient :

∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀m, n>Nk,∀x∈X\E,|fn(x)−fm(x)|6 1

k (0.1)

Puis∀x∈X\E,∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀m, n>Nk,|fn(x)−fm(x)|6 1 k, autrement dit : ∀x∈X\E, (fn(x))_n∈N est une suite de Cauchy dansC. Et commeRest complet, cette suite converge ; on notef(x) sa limite.

On va montrer que la fonctionf ainsi définieµ-presque partout est bien dans L^∞(µ) et que c’est bien la limite de la suite (fn)_n∈Nen normek.k∞.

Par passage à la limite dans (0.1), on obtient :

∀k∈N^∗,∃N_k∈N,∀n>N_k,∀x∈X\E,|f_n(x)−f(x)|6 1 k Enfin, ∀k∈N^∗,∃Nk ∈N,∀n>N_k,kfn−fk_∞6 1

k.

CommeL^∞ est un espace vectorielf =f−f_n+f_n ∈L^∞(µ) Donc : lim

n→∞kfn−fk_∞= 0.

Étape 2 : Pourp∈[1,+∞[, L^p(µ) est également complet.

Soit (fn)_n∈

Nune suite de Cauchy dansL^p(µ).

On va en fait montrer qu’une sous-suite converge dans L^p(µ) En effet, prenonsε >0.

Si d’une part :∃K0∈N,∀k>K0,kfn_k−fk_p6ε 2, et d’autre part :∃N0∈N,∀m, n>N0,kfn−fmk_p6 ε

2,

Alors finalement, en posant N = max{nK₀, N0} on obtient : ∀n>N,kf−fnk_p 6ε, et le théorème est prouvé.

Laura Gayd’après FlorianLemonnier p.1 15 juillet 2015

Soit donc (nk)_k∈N une suite strictement croissante d’entiers telle que :

∀k∈N,∀m, n>n_k,kfn−f_mk_p6 1 2^k Ainsi,∀k∈N,

f_nk+1−f_{nk p}6 1

2^k.

Notons désormais ˆf_k pour f_nk, ainsi∀k∈N,

fˆ_k+1−fˆ_{k p}6 1

2^k. Posons alors, pourn∈N:gn=

n

X

k=0

fˆk+1−fˆk

. Comme (gN) est une somme de termes positifs, c’est une suite croissante positive donc (gN) converge simplement vers g =

+∞

X

k=1

f_φ(k+1)−f_φ(k)

(éventuellement infini).

L’inégalité de Minkowski donne, pour tout n: kgnk_p6

n

X

k=0

fˆ_k+1−fˆ_{k p}6

n

X

k=0

1 2^k 62 Les fonctions gn étant à valeurs dans [0,+∞], on a :

kgk^p_p= Z

X

|g(x)|^pdx= Z

X

lim inf

n→∞ |g_n(x)|^pdx6lim inf

n→∞

Z

X

|g_n(x)|^pdx62^p. Doncg∈L^p(µ).¹

Soitx∈X\E, soitN ∈N:

∀n>m>N,

fˆ_n(x)−fˆ_m(x) 6

fˆ_n(x)−fˆ_n−1(x)

+. . .+

fˆ_m+1(x)−fˆ_m(x)

=g_n−1(x)−g_m−1(x) (0.2) Donc ∀x∈ X\E,

fˆn(x)

est une suite de Cauchy (car (gn(x)) l’est) dans Cqui est complet donc elle converge ; on note ˆf(x) sa limite.

Par passage à la limite dans (0.2) en n(ça ne fait pas bougerm) :

∀x∈X\E,

fˆ(x)−fˆm(x)

p

6(g(x)−g_m−1(x))^p −→

m→∞0 et

fˆ(x)−fˆ_m(x)

p

6 g(x)^p et g ∈ L^p(µ). Donc ( ˆf −fˆ_m) ∈ L^p(µ). Comme L^p est un ev, on a bien fˆ∈L^p(µ).

Donc, par convergence dominée, il vient :

fˆ−fˆn

_p −→

n→∞0

Notes : XA l’oral,

XRappel : inégalité de Minkowski. Si f et g sont mesurables,kf+gk_p6kfk_p+kgk_p XRappel : Lemme de Fatou. Si∀n >0,fn:X →[0,+∞] est une fonction mesurable. Alors

Z

X

lim inf

n→+∞fn dµ6lim inf

n→+∞

Z

X

fn dµ

♣FrigyesRiesz(1880-1956) est un mathématicien hongrois. Il fut l’un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle.

Il est à l’origine du théorème de compacité de Riesz et du théorème de représentation de Riesz.

♣ErnstFischer(1875 - 1954) est un mathématicien autrichien qui a travaillé à la fois en analyse et en algèbre.

Il introduisit la notion de convergence en moyenne quadratique.

1. C’est pour montrer queg∈L^p(µ) qu’on a besoin d’utiliser Rudin.

Laura Gayd’après FlorianLemonnier p.2 15 juillet 2015