Master
Reference
Les mathématiques sont-elles vraiment magiques ?
VUAGNAT, Elsa
Abstract
Un tour de magie serait-il une approche susceptible d'impliquer les élèves ? Pour mener cette recherche, je crée une séquence didactique que je mène dans ma propre classe. Lors de cette analyse, je cherche à mettre en évidence les connaissances que les élèves manifestent à travers cette séquence. Je me demande si les élèves approfondissent leurs connaissances du nombre, voire, en modifient leurs représentations et si leur motivation change lorsqu'ils se trouvent face à une situation ouverte de type « tour de magie ». Ce mémoire partage deux axes : celui de la didactique des mathématiques, car je mets en évidence les connaissances que les élèves manifestent mais aussi celui de la pédagogie en mettant en évidence la motivation accrue des élèves pour une telle tâche.
VUAGNAT, Elsa. Les mathématiques sont-elles vraiment magiques ?. Master : Univ.
Genève, 2016
Available at:
http://archive-ouverte.unige.ch/unige:88444
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INSTITUT UNIVERSITAIRE DE FORMATION DES ENSEIGNANTS
MEMOIRE REALISE EN VUE DE L’OBTENTION DU
MASTER EN ENSEIGNEMENT PRIMAIRE
Les mathématiques sont-elles vraiment magiques ?
Elsa VUAGNAT
Genève, septembre 2016
Directrice : Christine DEL NOTARO Commission : Anne PERREARD-VITE Olivier MAULINI
RESUME :
Un tour de magie serait-il une approche susceptible d’impliquer les élèves ? Pour mener cette recherche, je crée une séquence didactique que je mène dans ma propre classe. Lors de cette analyse, je cherche à mettre en évidence les connaissances que les élèves manifestent à travers cette séquence. Je me demande si les élèves approfondissent leurs connaissances du nombre, voire, en modifient leurs représentations et si leur motivation change lorsqu’ils se trouvent face à une situation ouverte de type « tour de magie ». Ce mémoire partage deux axes : celui de la didactique des mathématiques, car je mets en évidence les connaissances que les élèves manifestent mais aussi celui de la pédagogie en mettant en évidence la motivation accrue des élèves pour une telle tâche.
Table des matières
A. Introduction ... 5
A.1 Choix du sujet ... 6
A.2 Structure du mémoire ... 7
B. Problématique ... 9
C. Méthodologie ... 9
D. Le tour de magie ... 11
D.1 Présentation du tour de magie... 11
D.2 Explication de l’astuce du tour ... 12
D.3 Analyse du tour ... 13
D.4 Réaction des élèves et leurs hypothèses ... 13
E. Questions de recherche et hypothèses ... 14
E.1 Questions de recherche ... 14
E.2 Hypothèses ... 15
F. Cadre théorique ... 16
F.1 Courants théoriques ... 16
F.2 Les problèmes ... 18
F.2.1 La situation-problème ... 18
F.2.2 Le problème ouvert ... 20
F.3 La didactique des mathématiques ... 20
F.4 La dévolution de la tâche ... 21
F.5 Le contrat didactique ... 22
F.6 La recherche ... 23
F.7 Courants « mathémagiques » ... 24
F.8 La numération ... 26
F.8.1 Le calcul mental ... 26
F.8.2 La numération de position en base 10 ... 27
F.9 La motivation ... 28
G. Synthèse de la recherche du projet indépendant ... 28
H. Les moyens didactiques pour mener une recherche en classe ... 33
H.1 « Apprentissage et enseignement des mathématiques » ... 33
H.1.1 La résolution de problèmes ... 33
H.1.2 Le nombre et la numération ... 34
H.2 Moyens d’enseignement de mathématiques 5P ... 35
I. La séquence didactique ... 36
I.1 Description de la séquence ... 36
I.2 Analyse préalable de la séquence ... 37
J. Déroulement effectif de la séquence didactique... 39
J.1.1 Première leçon ... 39
J.1.2 Deuxième leçon ... 41
J.1.3 Troisième leçon ... 43
J.1.4 Quatrième leçon ... 47
J.1.5 Prochaines consignes ... 54
J.1.6 Retour du tour à la maison ... 54
J.1.7 Création de leur propre tour ... 55
J.2 Plan récapitulatif de la séquence ... 63
K. Résultats de la recherche ... 64
K.1 Comparaison des deux tableaux-synthèse ... 64
K.2 Interprétation de la séquence ... 65
K.3 Connaissances manifestées ... 68
K.4 Connaissances corollaires ... 69
K.5 Comparaison avec les résultats du projet indépendant ... 70
L. Est-ce reproductible ? ... 71
L.1 Qu’en pense-t-elle ? ... 71
L.2 Le déroulement de sa séquence ... 72
L.3 L’analyse de sa séquence ... 77
L.4 Synthèse de sa séquence ... 79
M. Conclusion ... 80
N. Et finalement… ... 83
N.1 Si c’était à refaire ? ... 83
N.2 Remerciements ... 84
N.3 Et maintenant ? ... 85
BIBLIOGRAPHIE ... 86
Sitographie ... 87
Autres ressources ... 87
ANNEXES ... 88
Annexes du projet indépendant (6P) ... 89
Annexes de la première recherche (5P) ... 102
Annexes de la seconde recherche (5P) ... 122
A. Introduction
Ce mémoire est orienté en didactique des mathématiques. Il partage deux axes : celui de la didactique des mathématiques, car je mets en évidence les connaissances que les élèves manifestent et celui de la pédagogie à travers la motivation des élèves pour une tâche. Je suis aujourd’hui enseignante en primaire et j’effectue ma troisième année au cours de la rédaction de ce mémoire.
Beaucoup de questions se posent à moi quant à l’enseignement de manière générale. Comment enseigner pour que les élèves apprennent au mieux ? Les mathématiques sont une matière qui m’a toujours beaucoup intéressée. J’essaie de susciter l’intérêt de mes élèves en variant les situations d’apprentissage, car je pense que cela peut les impliquer davantage et leur donner envie d’apprendre.
C’est la raison pour laquelle, durant l’année 2014-2015, j’ai fait le choix d’une formation de mathématiques intitulée « Les mathématiques c’est magique » qui paraissait aborder cette matière d’une façon ludique et surtout différente de ce que l’on peut rencontrer traditionnellement. Le formateur nous a présenté des tours de magie faisant appel aux mathématiques pour les résoudre.
A la suite de cette formation, je me suis demandée en quoi et comment on peut susciter l’intérêt des élèves pour les mathématiques grâce à un dispositif autre comme, par exemple, un tour de magie. Dans ce même sens, Maulini se demande à travers son article s’il faut « faire le programme ou faire son métier » ? Il affirme aussi que « projets, questions, problèmes, activités : [l’enseignant]
peut tout exploiter pour rallier les îlots, relier les théories et pratiques, savoirs et compétences.
L’essentiel, c’est que chaque chose ait un sens et implique les élèves dans le travail de formation. » (2004, p.7). C’est justement en cherchant à enseigner le programme autrement et en abordant d’autres pistes que je désire susciter un nouvel intérêt des élèves pour les mathématiques.
Le tour de magie, au même titre que le problème ouvert serait-il une technique pédagogique susceptible d’impliquer les élèves ? C’est à partir des constats relevés au terme de ce projet indépendant que je vais construire la problématique de mon mémoire. Grâce à l’analyse de ma précédente recherche, je vais créer une séquence didactique que je mènerai dans ma classe. Ma recherche aura pour objet la mise en place puis l’analyse de cette séquence didactique en classe. Je chercherai à faire émerger les connaissances que les élèves manifestent dans les différentes étapes de ma séquence pour relever ce que le tour leur apporte. Je vais aussi me demander si la séquence créée est reconductible par un autre enseignant qui n’aurait pas suivi cette formation. J’en analyserai aussi le déroulement et j’en dégagerai les apports pour les élèves.
En résumé, je cherche à voir si les élèves approfondissent leurs connaissances du nombre, voire, en modifient leurs représentations et si leur motivation est autre à travers une situation ouverte de type tour de magie.
A.1 Choix du sujet
Durant l’année 2014-2015, j’enseigne à des élèves de 6P que j’ai déjà eus en 5P. Cette même année, j’ai eu l’occasion de suivre une formation intitulée « Les mathématiques, c’est magique ». Je l’ai choisie, car l’enseignant proposait une approche ludique des mathématiques.
Durant ce cours, l’enseignant nous a montré divers tours de magie, dont l’astuce était résolue au moyen des mathématiques. A travers les diverses démonstrations, j’ai pensé que je pourrais apporter une autre manière d’aborder les mathématiques avec mes élèves. J’ai pu observer à travers mes études et différents stages (stages lors de mes études universitaires de 2009 à 2013) que les mathématiques étaient travaillées avec des fiches de manière plutôt classique. A l’inverse, la didactique des mathématiques, à travers ses figures reconnues, préconise de mettre l’élève en situation, comme nous le verrons avec Brousseau et sa théorie des situations didactiques. J’ai alors voulu présenter à mes élèves des mathématiques de manière ludique : utiliser les mathématiques dans le but de réussir un tour de magie.
Je me suis intéressée à cette manière dite « ludique » d’apprendre, car selon moi, il va être possible d’apprendre davantage pour certains élèves. Je ne pense pas qu’il y ait une seule et unique manière d’apprendre qui soit commune à tous les élèves. En effet, chacun a sa propre manière de concevoir les notions et aussi de les recevoir de la part de son enseignant. A travers mes études et mes premières années d’enseignement, j’ai commencé à me construire une certaine identité.
Perréard-Vité le soutient lorsqu’elle affirme qu’ « en confrontant les étudiants à des situations, attentes ou points de vue nouveaux, la formation en alternance amène progressivement les étudiants à se forger une « peau » d’enseignant au travers d’un processus d’identification » (2011, p.83). Comme j’ai pu le voir à travers mes études, certains élèves sont plutôt auditifs, d’autres visuels et d’autres plutôt tactiles en testant de manière pragmatique les concepts (Forget, 2011). C’est la raison pour laquelle, je pense qu’il faut varier le plus possible sa manière d’enseigner. A cet égard, l’apprentissage des tables de multiplication est révélateur. Certains élèves auront besoin de se les répéter pour apprendre. D’autres devront les écrire sur une feuille. Des élèves s’aideront de petites cartes avec sur une face le calcul et sur l’autre la réponse. D’autres auront besoin de faire une fiche de calculs. C’est donc l’objet mathématique qui va dicter la manière d’aborder une notion et non le sujet lui-même. Mon mémoire est orienté plus largement en pédagogie de l’enseignement des mathématiques en général, avec une spécificité en didactique des mathématiques.
Je pense aussi que la manipulation et l’expérimentation peuvent aussi être utiles aux élèves.
« L’élève apprend en s’adaptant à un milieu qui est facteur de contradictions, de difficultés, de déséquilibres, un peu comme le fait la société humaine. Ce savoir, fruit de l’adaptation de l’élève, se manifeste par des réponses nouvelles qui sont la preuve de l’apprentissage » (Brousseau, 1998, p.59). Pour l’introduction de la multiplication par exemple, les élèves peuvent parfois mieux comprendre cette notion abstraite en découpant des petits carrés pour former des rectangles ou en construisant des parallélépipèdes à l’aide de multicubes ; ceci dans le but de pouvoir manipuler et visualiser ce que représente la notion de multiplication à travers un rectangle en trois dimensions.
J’essaie de répondre aux besoins des élèves à travers différentes manières d’apprendre. C’est la raison pour laquelle cette formation de magie à travers les mathématiques m’a interpellée. Je me suis dit que j’allais peut-être trouver là, une manière différente d’intéresser les élèves aux mathématiques. Il est intéressant de noter que ce paragraphe transmet plutôt l’avis de l’enseignante que je suis : je m’appuie sur des faits et des manières d’enseigner, au service de l’élève. Cela ne reflète pas le point de vue de la chercheuse en didactique des mathématiques, car je n’entre pas par l’objet mathématique. A travers ce projet, je vais tenter d’articuler au mieux mes deux postures d’enseignante et de chercheuse en didactique des mathématiques.
C’est grâce à cette formation « les mathématiques, c’est magique » que j’ai eu l’idée du sujet de ma recherche. En effet, je désire me demander en quoi et comment on peut susciter l’intérêt des élèves pour les mathématiques grâce à des tours de magie ou d’autres situations de recherche en classe.
Ce mémoire fait suite à un projet indépendant réalisé dernièrement. J’y ai exposé et analysé une recherche menée dans une classe de 6P. Les élèves, après présentation du tour, ont dû rechercher les raisons mathématiques derrière l’astuce. Puis, à la fin, les élèves ont créé chacun leur propre tour ; ils ont donc été mis dans une réelle situation de recherche, comportant un vrai objectif pour eux, ce qui a contribué à donner du sens à l’objet mathématique. J’ai ensuite analysé leurs productions et en ai tiré des conclusions. J’ai dégagé les connaissances mathématiques qui ont été manifestées et j’ai observé les limites et les apports d’une telle situation. Ce sont les conclusions finales de ce dossier qui ont représenté un « tremplin » de départ à ce mémoire.
A.2 Structure du mémoire
En premier lieu, j’expose les raisons du choix de ce sujet dans une introduction, suivie par la description de la problématique autour de laquelle va se pencher cette recherche ainsi que les questions de recherche. J’amène aussi les hypothèses que je formule suite à ces questions. Dans la continuité, je poursuis avec la méthodologie que j’emploie pour cette recherche de type qualitatif.
C’est à ce moment-là que j’introduis le tour de magie central à ce mémoire. Je le présente, je dévoile son astuce et je l’analyse d’un point de vue mathématique.
Je pose un cadre théorique afin d’appuyer ma recherche par ces apports. Dans un premier temps, je présente les différents courants théoriques qui m’ont permis de me situer dans ma manière d’enseigner. Ensuite, il me paraît important d’aborder la définition des problèmes mathématiques puis de différencier ce qu’est une situation-problème et un problème ouvert. En troisième lieu, je définis la didactique des mathématiques. Par la suite, je consacre un chapitre à la dévolution d’une tâche selon Guy Brousseau. Le chapitre suivant parle du contrat didactique. Je présente également les caractéristiques d’une recherche en classe. Je poursuis par les courants
« mathémagiques » qui étudient l’apprentissage des mathématiques grâce à la magie et qui traitent le lien qui peut unir les mathématiques avec la magie. A partir de là, il me semble important de présenter la numération à travers le calcul mental et la numération de position en base 10 : il s’agit d’un thème primordial pour cette recherche, car les élèves utilisent sans arrêt la numération et le calcul à travers ce tour de magie. Je termine ce cadre théorique en parlant de la motivation, autre point central de ce mémoire.
J’expose la synthèse du projet indépendant dont j’analyse les résultats que je compare avec ma présente recherche.
Je continue par présenter ce qu’un enseignant a à disposition à travers les moyens d’enseignement pour mener une recherche mathématique avec ses élèves.
Ensuite, j’expose la séquence didactique que j’ai créée qui repose sur le tour de magie. Je la décris puis je procède à une analyse préalable.
Après avoir fait passer cette séquence à mes élèves, je raconte le déroulement effectif à travers une narration. Je détaille chaque période et je récolte également les impressions et l’avis des élèves quant à ce qu’ils sont en train de faire. J’exposerai plus loin les raisons des choix de la narration.
Suite à cela, je présente les résultats de cette recherche. Je les résume à travers un tableau- synthèse. Je relève également les connaissances manifestées par les élèves et j’analyse bien sûr la séquence effective que j’ai moi-même menée.
Dans un dernier temps, je me demande si la séquence créée est reconductible par un autre enseignant qui n’aurait pas suivi cette formation. J’en analyse aussi le déroulement et j’en dégage les apports pour les élèves.
Je procède finalement à la conclusion, aux remerciements et aux perspectives d’enseignement.
B. Problématique
Suite aux constats effectués dans mon projet indépendant, je postule que les élèves approfondissent leurs connaissances du nombre, voire, en modifient leurs représentations, à travers une situation ouverte de type tour de magie. Je chercherai à comprendre, premièrement, si mon hypothèse se vérifie dans cette recherche de type qualitatif et ensuite, de quelle manière cela se manifeste, si tant est que je puisse récolter des données significatives. La situation ouverte que j’ai choisie sera donc un tour de magie, ainsi que je l’ai déjà évoqué.
Mes questions de recherche sont les suivantes :
- Quelles connaissances les élèves s’approprient-ils à travers une situation ouverte ? o Quels en sont les indices ?
o Les élèves approfondissent-ils leurs connaissances du nombre ?
- Une situation ludique, telle qu’un tour de magie, change-t-elle ou non la motivation des élèves face aux mathématiques ?
o Le tour de magie, en tant que situation ouverte, permet-il de faire évoluer les représentations des élèves à propos de la numération ?
Toute ma recherche tourne autour d’un tour de magie. J’observe les connaissances que les élèves développent, leurs manières de résoudre les situations proposées et leurs intérêts. Je me demande quelles connaissances ils manifestent et qu’est-ce qui fait émerger ces connaissances.
J’observe, également, si leur motivation est différente par rapport à une situation de travail en classe plus classique, telle qu’une fiche par exemple. Je fais l’expérience de déceler si la situation de type
« tour de magie » représente un apport, une plus-value pour les élèves. Deux angles m’intéressent : les connaissances manifestées par les élèves et leur motivation.
C. Méthodologie
Le tour de magie, au même titre que le problème ouvert ou la situation problème serait-il une technique pédagogique susceptible d’impliquer (davantage) les élèves ? C’est à partir des constats relevés au terme d’un projet indépendant précédemment réalisé que j’ai construit la problématique de mon mémoire. Grâce à l’analyse de ma précédente recherche, je vais créer et mettre en place une séquence didactique visant à apprendre et à consolider la numération. Ma présente recherche, de type qualitatif, tentera de répondre à la question « Comment les élèves peuvent-ils approfondir leurs connaissances mathématiques autour du nombre grâce à une situation problème ? ». Je vais mener ce travail dans ma classe actuelle de 5P. Ma recherche aura pour objet la mise en place puis l’analyse de cette séquence didactique en classe. Je chercherai à mettre en
évidence les connaissances que les élèves manifestent dans les différentes étapes de ma séquence et à noter si leur motivation change.
Pour décrire le déroulement effectif de ma séquence, j’ai décidé de procéder à une narration qui est considérée comme un « mode de restitution d’une pensée » (Del Notaro, 2014, Educateur, p.16). Après chaque leçon effectuée, j’ai pris des notes de son déroulement. J’ai ensuite retranscrit chaque leçon de manière à ce que ce soit une narration. Del Notaro (2010) explique que « ce que nous apporte ce mode de restitution […] est de pouvoir rendre compte d’une pensée qui implique le contenu mathématique de l’événement didactique narré » (p.235). En choisissant de narrer ma séquence, je pense retenir l’essentiel et la faire vivre au mieux au lecteur. Effectivement, l’analyse de ma séquence ne repose pas sur la retranscription stricte de son déroulement effectif mais sur une interprétation de ce qui a été fait. Comme l’indique Del Notaro (2014, COPIRELEM), « la narration revêt une importance dans le sens qu’elle restitue de manière subjective les interactions entre les élèves et le milieu » (p.5). « Autre propriété de la narration : son caractère dynamique. Elle met le lecteur dans le même état que l’expérimentation narrée a mis le narrateur, et/ou peut-être dans le même état que la tâche a mis l’élève. Elle provoque donc à son tour des intuitions, des évocations, des liens à des connaissances et des savoirs. Ainsi, elle donne à faire, incite le lecteur à expérimenter lui-même et du coup narrer à son tour. » (Del Notaro, 2014, COPIRELEM, p.5). C’est aussi pour cette raison que j’ai fait le choix de narrer ma séquence : le lecteur doit se sentir également acteur de ce qu’il lit ; Del Notaro (2011) le souligne également : « la narration d’une expérience – propre ou transmise – puisse devenir à son tour expérience pour qui l’écoute ou la lit » (p.2). Il est aussi bénéfique pour mon propre travail de narrer ma séquence, car je l’interprète déjà. Del Notaro (2011) appuie ces propos lorsqu’elle affirme que « le narrateur, en tant que lecteur de sa propre narration, tire parti de l’expérience qu’il se narre, c’est-à-dire que l’expérience qu’il fait, dans sa propre action de narrer une situation didactique vécue, le met en condition de réinterpréter cette situation. Le passage à la formulation écrite des événements et de leur enchaînement devient le fait d’une nouvelle interprétation de la mise en jeu de ses propres connaissances. Cette distanciation permet au narrateur de faire d’autres connexions logiques. » (p.2). Finalement, Del Notaro ajoute également que « La narration permet à l’expérimentateur/étudiant une prise de distance, une mise en évidence des mathématiques effectuées et un accès à l’expérience des élèves » (2014, Educateur, p.18).
Pour résumer la méthodologie de cette recherche, je vais dans un premier temps présenter le tour à mes élèves et ensuite je vais narrer ma séquence. Finalement, je vais l’interpréter afin d’en faire ressortir les connaissances manifestées par les élèves ainsi que leur motivation.
D. Le tour de magie
Le tour que je vais présenter a été le point de départ de la réflexion de ce mémoire ainsi qu’un projet indépendant précédemment réalisé.
D.1 Présentation du tour de magie
J’ai décidé de présenter aux élèves un tour qui s’intitule « les colonnes magiques » qui m’a été exposé dans le cadre de la formation « Les mathématiques, c’est magique ».
Afin que le lecteur puisse comprendre pleinement la présente recherche, je vais tout d’abord décrire ce tour.
Tout d’abord, le magicien présente un prisme en plastique sur lequel des nombres sont inscrits sur ses quatre faces de la manière suivante :
Il montre l'une des faces et demande aux spectateurs d’additionner verticalement les nombres (ici : 7 + 2 + 3 + 9).
7 2 3 9
Le magicien répète la question en tournant le prisme ou en changeant de colonne dans le but d’obtenir d’autres nombres. Au fur et à mesure des changements, le présentateur donne la réponse beaucoup plus rapidement que les spectateurs.
Ensuite, le magicien ajoute un deuxième prisme à côté du premier de la manière suivante : 5
4 2 9
6 7 1 5
Il demande alors aux spectateurs d’additionner horizontalement les nombres, à savoir ici : 56 + 47 + 21 + 95. A nouveau, le magicien change les prismes ou tourne leurs faces d’un quart de tour ou plus et demande aux spectateurs d’additionner de tête les nouveaux nombres obtenus. A ce moment-là, le magicien distribue plusieurs calculatrices dans la salle afin que les spectateurs vérifient les réponses que ce dernier va donner en quelques secondes seulement.
Le magicien réitère la même opération avec trois prismes présentés simultanément en suivant la même logique.
Le nombre de prismes présentés n’est pas limité. Cependant, il faut relever que l’effet produit est déjà très spectaculaire avec seulement trois prismes.
D.2 Explication de l’astuce du tour
Dans ce chapitre, je vais révéler l’astuce du tour. Toutefois, j’entrerai dans la signification mathématique de cette astuce plus tard.
Le magicien a la capacité de trouver le résultat de l’addition des nombres sur les colonnes en quelques secondes ; c’est là que réside l’effet du tour.
Pour trouver la réponse si rapidement, le magicien a une astuce : lorsqu’il observe une colonne, il place de manière imaginaire un « 2 » devant la troisième ligne afin de former un nombre à deux chiffres auquel il va ensuite soustraire deux unités.
2
7 2 3 9
Selon l’exemple ci-dessus, nous avons donc 23 auquel nous soustrayons 2 unités, donc 23-2 = 21. Le résultat de 7 + 2 + 3 + 9 est bien de 21.
Le système avec deux colonnes ou plus est toujours le même. « Ajouter un 2 devant le nombre de la troisième ligne, puis soustraire 2 unités au nombre obtenu ». Ci-dessous l’exemple nous montre 221-2 = 219. Si l’on additionne 56 + 47 + 21 + 95 cela équivaut effectivement à 219.
2
5 4 2 9
6 7 1 5
D.3 Analyse du tour
Je vais maintenant analyser ce tour et me demander ce que cela représente au niveau des mathématiques dans le but d’aller plus loin que de simplement connaître l’astuce d’un tel tour.
Certes, il est important de connaître l’astuce d’un tour de magie. Toutefois, il est aussi intéressant de comprendre l’astuce mathématique d’un tour afin de soulever ce qui est sous-jacent à ce tour impressionnant.
Avec une colonne, si l’on ajoute un « deux devant », cela revient à additionner en fait deux dizaines, car selon notre système de numération positionnelle, le « 2 » est dans la colonne des dizaines. Nous soustrayons ensuite deux unités. Si on additionne 20 et on soustrait 2, nous ajoutons donc 18. L’idée est donc d’ajouter 18 au troisième nombre. On applique cela au nombre de la troisième ligne, car c’est celui qui a été choisi pour être « au hasard ». Il ne fait pas partie des nombres additionnés pour atteindre le nombre-cible.
Je peux donc en conclure que les nombres de la première, deuxième et quatrième ligne doivent valoir 18 lorsqu’on les additionne. Au moment de la création des colonnes magiques, il faut alors définir les manières différentes de faire 18 pour les premiers, deuxièmes et quatrièmes nombres. Le troisième nombre est alors écrit de manière aléatoire.
Pour trouver les manières différentes de faire 18 avec trois nombres, il faut avoir une certaine stratégie afin de ne pas tomber plusieurs fois sur le même appariement. L’ordre des nombres n’est pas important ; c’est pourquoi les solutions 8, 8, 2 et 2, 8, 8 sont considérées comme identiques. La stratégie experte pour trouver toutes les solutions est de commencer par le nombre le plus élevé pour le premier et ensuite de compléter avec les deux autres nombres pour aller à 18.
Voici les solutions en débutant donc par le nombre le plus élevé en premier :
9 9 0
9 8 1
9 7 2
9 6 3
9 5 4
8 8 2
8 7 3
8 6 4
8 5 5
7 7 4
7 6 5
6 6 6
D.4 Réaction des élèves et leurs hypothèses
Je désire faire part ici de la réaction des élèves de 6P lorsque je leur avais présenté le tour. Ce présent chapitre me servira à la comparaison entre les réactions et le travail de mes élèves de 6P
(dont j’ai fait la recherche à travers mon projet indépendant1) et les élèves de 5P de ma recherche actuelle. Voici ce que j’avais pu recueillir lorsque j’ai effectué mon projet indépendant.
Après avoir terminé la démonstration de ce tour de magie, j’ai demandé aux élèves s’ils avaient une idée de la manière dont j’avais fait pour donner les réponses si rapidement. Je vais maintenant faire part des diverses hypothèses émises par mes élèves en tant qu’astuce de ce tour.
Leur première hypothèse était, selon leurs mots, que « j’étais trop forte » et que je n’avais aucun truc : je calculais donc de tête de si grands nombres si rapidement. Ils ont aussi pensé que je regardais des nombres en diagonale lorsque je faisais le tour avec plusieurs prismes alignés. Un élève a aussi supposé que je regardais l’heure et que cela m’aidait à trouver la réponse.
Ensuite, plusieurs d’entre eux ont affirmé qu’il y avait un lien entre les nombres et que ceux- ci n’étaient donc pas écrits au hasard. Je leur ai confirmé qu’ils avaient raison, mais j’ai voulu qu’ils essaient de trouver quel était ce lien. Ils ont alors pensé que les nombres étaient alignés du plus grand au plus petit (ils ont vite remarqué que ce n’était pas le cas). Par la suite, certains ont oublié qu’ils avaient évoqué un lien de relation entre les nombres et ont pensé que j’avais retenu toutes les possibilités de combinaisons de réponse. Ils m’ont aussi dit que je calculais d’abord les dizaines, puis les unités. D’autres ont même avancé que j’avais deux cerveaux…
Pour résumer, je remarque deux plans à travers les réponses des élèves. Un plan plutôt
« transversal » lorsque les élèves affirment que « j’étais trop forte » ou que je regardais l’heure. Ce plan concernant toutes les réponses erronées. L’autre plan se situe en didactique des mathématiques et concerne les élèves qui supposent qu’il existe un lien entre les nombres présents sur les colonnes magiques. Ces élèves-là se sont donc approchés de l’astuce mathématique du tour en affirmant que les nombres n’étaient pas placés au hasard et qu’il existait un lien entre eux, mais ils ne sont pas parvenus à trouver ce lien.
E. Questions de recherche et hypothèses
E.1 Questions de recherche
Les deux questions principales auxquelles je vais m’intéresser sont les suivantes :
Quelles connaissances les élèves s’approprient-ils à travers une situation ouverte ?
Une situation ludique, telle qu’un tour de magie, change-t-elle ou non la motivation des élèves face aux mathématiques ?
1Vuagnat, E. (2016). Présentation d’un tour de magie à des élèves de 6P : analyse des effets sur les élèves et de leur motivation. Université de Genève.
Je vais donc me pencher sur les connaissances mathématiques que les élèves développent lors de cette situation. D’autre part, j’observerai si une situation telle qu’un tour de magie engendre une motivation accrue pour les mathématiques de la part des élèves.
E.2 Hypothèses
A propos des connaissances mathématiques que les élèves développent à travers une telle situation, j’émets diverses hypothèses. Tout d’abord, lors de la présentation du tour, je ne pense pas que les élèves réussiront à trouver l’astuce : il s’agit d’un exercice trop difficile même pour un adulte.
Toutefois, lorsque je vais la leur révéler, je pense qu’ils seront capables de la comprendre. Suite à cela, les élèves devront chercher tous les appariements de 3 nombres faisant 18 lorsqu’ils sont additionnés : je suppose que certains groupes d’élèves trouveront toutes les possibilités. Je pense même que certains élèves ayant de la facilité utiliseront une stratégie experte (écrire les nombres du plus grand au plus petit par exemple). La plupart des élèves vont réussir à verbaliser et à expliquer l’astuce du tour.
Ensuite, ils devront réinvestir ce que je leur ai présenté en inventant un tour similaire à celui que je leur aurai présenté mais en changeant un paramètre au minimum. Je pense alors que la plupart arriveront à réinvestir les connaissances présentées lors du premier tour et qu’ils sauront adapter leur astuce à leur nombre-cible, si ce paramètre est changé.
Je pense que les élèves vont manifester plusieurs connaissances liées au calcul mental, à la numération de position et vont réinvestir d’autres connaissances vues précédemment.
Effectivement, les situations problèmes sont une manière d’approfondir les connaissances présentées aux élèves. Une présentation plutôt traditionnelle d’une nouvelle notion peut facilement être suivie d’une situation problème afin de réinvestir les connaissances, de les transférer et ainsi de vérifier si l’élève a compris la notion enseignée.
Je pense que l’aspect ludique va intéresser davantage les élèves que par une approche traditionnelle. Le tour de magie représente quelque chose de mystique qui suscite la curiosité des personnes. Cet aspect-là va donc particulièrement captiver les élèves et leur donner envie de résoudre et de présenter le tour. Lorsque ce dernier est résolu, il valorise les élèves, car ils résolvent des calculs qui sont difficiles, voire impossibles sans l’astuce mathématique. Cette valorisation constitue, selon moi, une grande source de motivation pour les élèves.
F. Cadre théorique
A travers ce cadre théorique, je vais développer divers points : les courants théoriques, les problèmes mathématiques, la didactique des mathématiques, la dévolution de la tâche au sein de la théorie des situations didactiques, la recherche, les courants mathémagiques, la numération et, d’un point de vue pédagogique, la motivation.
F.1 Courants théoriques
Je vais débuter ce cadre théorique en définissant brièvement les différentes manières d’apprendre des élèves, à travers les principaux courants théoriques, dans le but de parler de ma propre conception de l’apprentissage.
Le behaviorisme – venant du mot anglais « behavior », signifiant « comportement » – s’intéresse à l’étude des comportements observables et mesurables et considère l’esprit comme une
« boîte noire » (Good & Brophy, 1990). « Le behaviorisme considère l’apprentissage comme une modification durable du comportement résultant d’un entraînement particulier. […] L’apprentissage consiste à établir une relation stable entre la réponse souhaitée et les stimuli présentés à l’aide de renforçateurs positifs ou négatifs (Kozanitis, 2005). Pour Skinner, enseigner « c’est placer l’élève dans un environnement qui le pousse à construire un répertoire de comportements, de connaissances et de compétences jugés souhaitables » (Crahay, 1999, p. 145).
Le constructivisme, théorie mise en avant par Piaget, « développe l’idée que les connaissances se construisent par ceux qui apprennent » (Barnier). « Selon Piaget, les connaissances se construisent au travers des interactions du sujet avec l’objet, selon des mécanismes que l’on retrouve, pour l’essentiel, de façon analogue dans le développement des actions et dans celui des opérations et des représentations » (Crahay, 1999, p. 178). Cette théorie met en avant l’activité et la manipulation de l’apprenant pour parvenir à acquérir des connaissances. Selon Kozanitis (2005),
« apprendre c’est construire et organiser ses connaissances par son action propre ». L’apprentissage se fait par problèmes ouverts ou études de cas (Kozanitis, 2005).
Notons que Brousseau se situe dans une filiation piagétienne puisque toute sa théorie se fonde sur le fait que les élèves construisent leurs connaissances.
Le socioconstructivisme apporte une dimension supplémentaire par rapport au constructivisme : celle des interactions, des échanges, du travail de verbalisation, de co-construction et de co-élaboration (Barnier). L’apprentissage se fait par projets, discussions, exercices, travaux (Kozanitis, 2005). « Selon la thèse socioconstructiviste, le processus interactif est moteur du développement cognitif » (Crahay, 1999, p. 204). Ce même auteur explique que « le progrès cognitif est suscité par la nécessité de coordonner des centrations cognitives hétérogènes dans la perspective
d’une action commune » (p.204). A travers le socioconstructivisme, c’est avant tout le fait de réfléchir à plusieurs et d’interagir qui va engendrer une connaissance nouvelle.
In fine, le cognitivisme « a pour objet d’étude la connaissance, la mémoire, la perception et le raisonnement » (Kozanitis, 2005). Cette théorie considère le cerveau comme un traitement de l’information. L’apprentissage se fait par le traitement et l’emmagasinement de nouvelles informations de façon organisée (Kozanitis, 2005). Crahay explique que « pour le cognitivisme, tout système intelligent, humain ou artificiel, possède des représentations symboliques de l’état du monde qui constituent les significations sur la base desquelles s’opère la computation, c’est-à-dire la pensée » (1999, p.251). Finalement, « pour les cognitivistes, apprendre revient à intégrer des informations nouvelles en mémoire » (Crahay, 1999, p.253). Cette théorie stipule qu’il faut simplement intégrer, voir une connaissance pour qu’elle soit apprise.
Après avoir exposé ces différentes théories sur l’apprentissage, je peux maintenant préciser laquelle me correspond le plus. Je pense qu’il est important pour les élèves qu’ils puissent manipuler ou faire des expériences afin de construire leurs propres connaissances. Ils doivent aussi interagir avec leurs camarades, car leurs questionnements ou leurs actions peuvent les aider à apprendre. Je me situe donc en partie dans une approche constructiviste et socioconstructiviste lorsque je mets en place des situations ouvertes. Toutefois, je considère aussi qu’il est important que l’enseignant apporte au préalable des connaissances aux élèves avant de les lancer dans des situations de recherche et de problèmes ouverts. Ces connaissances doivent être amenées de manière structurée ; comme le cognitivisme le présuppose. Je ne m’inscris donc pas dans une seule théorie de l’apprentissage mais je suis en accord avec certains points de plusieurs d’entre elles. De plus, dans le but de fournir le meilleur enseignement aux élèves, il me semble judicieux de savoir s’adapter selon la situation. En effet, je ne partage pas plusieurs théories à la fois, mais selon la situation d’enseignement, je vais plutôt en suivre une ; ceci dans le but d’offrir le meilleur à mes élèves. Je pense également que ma conception de l’apprentissage pourra évoluer selon l’expérience que je vais acquérir au fur et à mesure des années. En effet, je pense que l’enseignement est un métier dans lequel il est bénéfique de savoir se remettre en question et de s’adapter aux changements et à l’évolution des méthodes d’enseignement.
Il me paraît aussi important de noter que la manière de recevoir des apprentissages est différente pour chacun des élèves. Le présent paragraphe s’inscrit plutôt dans ma position d’enseignante, car je me demande comment transmettre une notion en entrant par le sujet et non par l’objet mathématique. J’ai constaté à travers un cours universitaire traitant de la métacognition (Forget, EAT2, 2012) que certains élèves sont plutôt auditifs : ils ont plus de facilité à retenir une
information si elle est transmise oralement. D’autres élèves seront plutôt visuels et auront besoin de voir une notion pour la retenir. Certains encore auront besoin d’écrire dans le but de retenir, par exemple, des tables d’addition. D’autres élèves aussi passeront par le « corporel » en mimant ce qu’ils apprennent : compter les tables d’addition avec leurs doigts.
Concernant les différentes manières d’apprendre (visuelle, auditive etc.), il faut relever qu’il n’y en a pas une qui soit meilleure qu’une autre, car elles sont propres à chaque élève. Dès lors, il incombe donc à l’enseignant d’être conscient de cet aspect et de tenter d’adapter son enseignement en fonction de chacun. Il s’agit de mon côté « enseignante » qui ressort lorsque j’affirme qu’il faut entrer par le sujet. Au contraire, la didactique des mathématiques entre par l’objet mathématique (Del Notaro). C’est la situation qui va interagir avec le sujet à travers l’objet mathématique. La situation renvoie au sujet des informations à traiter (cf. voir le schéma suivant).
F.2 Les problèmes
Planchon (1991) affirme que « toute activité mathématique est résolution – ou tentative de résolution d’un problème ». A travers plusieurs situations autour de ce tour de magie, les élèves se trouvent dans le besoin de résoudre différents problèmes. Par exemple, le recensement de différents appariements de nombres additionnés pour arriver au nombre cible ainsi que la création d’un tour de magie similaire à celui que je présente sont deux activités qui font appel à des situations problèmes ou des situations de recherche.
Selon le Plan d’Etudes Romand (2010), la résolution de problèmes fait partie des objectifs de mathématiques : « MSN 25 : représenter des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des phénomènes mathématiques ». L’enseignant se doit donc d’aborder cette approche mathématique avec ses élèves, car « le fondement de l’apprentissage des mathématiques est la résolution de problèmes » (Ney, Rajain & Vaslot, 2006, p.32).
F.2.1 La situation-problème
A contrario du problème ouvert, dans la situation-problème, il y a une intention d’enseigner un savoir de la part du maître. Le but de la situation-problème est de faire découvrir un nouveau savoir pour lequel les élèves vont développer de nouvelles connaissances. « Les élèves apprennent des mathématiques parce qu’ils résolvent des problèmes construits à cet effet » (Ney, Rajain &
Vaslot, 2006, p.32). Ce même ouvrage (p.32) propose un schéma représentatif du fonctionnement d’une situation-problème :
Figure 1. (Ney, Rajain & Vaslot, 2006, p.32)
Ce schéma met en évidence plusieurs aspects. L’enseignant organise le milieu et formule les consignes. A partir des informations renvoyées par l’élève, l’enseignant évalue ce dernier et se renseigne sur ses actions. L’élève investit des procédures personnelles, expérimente et agit sur le milieu qui lui renvoie des informations sur le résultat de ses actions. Le milieu est aussi composé des connaissances acquises et de ce que met l’enseignant à la disposition de l’élève pour réaliser la tâche demandée (matériel, outils etc.).
Gagnebin, Guignard & Jaquet (1998) définissent la situation-problème de la sorte : « la situation-problème vise la construction de nouvelles connaissances. Son enjeu réside dans l’obstacle, dans le conflit qui doit être dépassé par l’élève. Elle est conçue de telle manière que les connaissances et les savoir-faire de l’élève se révèlent insuffisants, voire erronés. » (p.49). Astolfi (1993) nous parle aussi du rôle central qu’occupe la situation-problème dans l’enseignement des mathématiques : « Dans les cas des situations-problèmes […], le problème devient le moyen-même de l’apprentissage, puisque c’est autour de lui que va se nouer le dispositif didactique. Le problème est ici la source, le lieu et le critère de l’élaboration du savoir. C’est lui qui va permettre l’engagement de l’élève dans une résolution et qui va catalyser la genèse des instruments intellectuels, dont la construction se révélera nécessaire, chemin faisant » (p.313). Ce même auteur ajoute aussi qu’ « une situation-problème est organisée autour du franchissement d’un obstacle par la classe, obstacle préalablement identifié » (Astolfi, 1993, p.319). Theis et Gagnon (2013) apportent les précisions suivantes : « l’obstacle à franchir dans la situation-problème ne relève, par conséquent, pas du hasard, mais de la situation qui a été construite expressément pour permettre son franchissement
par l’élève » (p.6). Ainsi, si je veux enseigner la multiplication, je vais mettre les élèves en situation de découvrir ce nouveau savoir.
F.2.2 Le problème ouvert
Arsac et Mante (2007) définissent le problème ouvert comme ayant les caractéristiques suivantes :
o « l’énoncé est court,
o l’énoncé n’induit ni la méthode ni la solution,
o le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. »
Demander à des élèves de créer leur propre tour de magie correspond, selon moi, à la définition du problème ouvert selon les précédents auteurs.
Gagnebin, Guignard & Jaquet expliquent que « le problème ouvert consiste plutôt en une initiation à la recherche qu’en une construction de nouvelles connaissances. Ce type d’activité […]
développe les compétences scientifiques en amenant l’élève à « mathématiser », c’est-à-dire à organiser les données pour trouver une loi, généraliser etc. » (p.49). Lorsque l’élève est mis dans une situation de problème ouvert, la création de connaissances n’est pas forcément attendue ; le but étant de mettre l’élève en situation de recherche mathématique.
F.3 La didactique des mathématiques
Le présent mémoire s’inscrit à la fois en pédagogie lorsque je m’intéresse à la motivation des élèves et en didactique des mathématiques lorsque j’observe finement les connaissances manifestées par les élèves. Il me paraît important de définir la didactique des mathématiques, car elle représente le point central de cette recherche dans le sens où je me demande comment enseigner les mathématiques aux élèves afin qu’ils apprennent de la meilleure manière possible.
La didactique des mathématiques est considérée comme une science. Elle possède donc un vocabulaire précis servant à désigner ses objets. Briand et Chevalier (1995) donnent la définition suivante : « La didactique des mathématiques étudie les processus de transmission et d’acquisition de cette science, particulièrement en situation scolaire. Elle se propose de décrire et d’expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage. A terme, elle se propose d’améliorer les méthodes et les contenus de l’enseignement assurant chez l’élève la construction d’un savoir vivant (susceptible d’évolution) et fonctionnel (qui permette de résoudre des problèmes et de poser des vraies questions) ». La didactique des mathématiques fournit des outils professionnels à l’enseignant ; elle permet aussi d’analyser des productions d’élèves dans le
but d’interpréter leurs erreurs ; elle vise la construction de situation d’apprentissage et donne à l’enseignant des outils pour les réaliser (Briand & Chevalier, 1995).
Del Notaro nous avait montré (didactique des mathématiques I, 2010) que la didactique des mathématiques est une science qui étudie les relations entre un savoir, un professeur et un élève ; cette relation est médiatisée par le milieu didactique. La notion de milieu didactique est importante à saisir : il y a une réelle interaction entre l’enseignant, l’élève et le milieu. Le milieu de la situation est en interaction avec celui de l’élève. L’enseignant joue avec le jeu élève-milieu et influe aussi sur le milieu. Le schéma suivant démontre ce que je viens d’expliquer (Del Notaro, ibid., 2010) :
Ma présente recherche s’articule autour des apports de la didactique des mathématiques : en mettant en place une séquence didactique et en l’analysant, je propose une situation d’apprentissage applicable à d’autres enseignants et je leur suggère ainsi un outil visant la construction d’un savoir.
F.4 La dévolution de la tâche
La dévolution de la tâche s’inscrit dans la théorie des situations didactiques de Brousseau. Je vais brièvement expliquer cette théorie. Selon cet auteur, une situation didactique s’ouvre avec la dévolution de la tâche, se poursuit avec les dialectiques de l’action, de la formulation et de la validation, puis se referme avec l’institutionnalisation. Rappelons ce qu’est la notion de situation selon Brousseau : « L’élève, placé devant une situation, reçoit des informations de la situation et des sanctions, peut réagir par des actions, des prises de décisions etc., construit un modèle mental de cette situation. » (Del Notaro, ibid., 2010). La dévolution va être expliquée dans les détails dans la suite de ce chapitre. La situation d’action « constitue le processus par lequel l’élève va fabriquer des
stratégies, c’est-à-dire « s’apprendre » une méthode de résolution de problème » (Brousseau, 1998, p. 33). Le cours de Didactique des mathématiques I (Del Notaro, 2010) nous a appris que « la formulation est une situation au cours de laquelle un échange d’informations peut avoir lieu, où existe une « vraie » communication (qui soit une nécessité de la tâche) ». Lors de la situation de formulation, l’élève argumente, prouve, convainc et élabore une vérité collectivement. Notons que les situations d’action, de formulation et de validation sont des dialectiques, c’est-à-dire qu’elles ne sont pas hiérarchisées les unes par rapport aux autres. Finalement, à travers l’institutionnalisation, l’enseignant donne un statut social et scientifique à la connaissance, fixe les notations et les conventions et pointe ce qu’il faut retenir.
La dévolution est le fait de transmettre une tâche à un élève en cherchant à atteindre deux résultats : il faut que le problème devienne celui de l’élève (et non que l’élève voie la situation uniquement justifiée par le désir du maître) et que l’élève se sente seul responsable de le résoudre (Brousseau, p.301, 1998). A travers la dévolution, il s’agit pour le professeur de « proposer à l’élève une situation d’apprentissage afin que l’élève produise ses connaissances comme réponse personnelle à une question et les fasse fonctionner ou les modifie comme réponses aux exigences du milieu et non à un désir du maître » (Brousseau, 1998, p.300).
Brousseau (1998, p.60) nous précise également que « dans la didactique moderne, l’enseignement est la dévolution à l’élève d’une situation adidactique, correcte ; l’apprentissage est l’adaptation à cette situation ». Une situation adidactique est une situation créée « en dehors de tout contexte d’enseignement et en l’absence de tout indication intentionnelle » (Brousseau, 1998, p.59).
L’élève apprend en s’adaptant à un milieu qui est facteur de contradictions, de difficultés, de déséquilibres, un peu comme le fait la société humaine. Ce savoir, fruit de l’adaptation de l’élève, se manifeste par des réponses nouvelles qui sont la preuve de l’apprentissage » (Brousseau, 1998, p.59).
En donnant la consigne à mes élèves de créer un nouveau tour de magie sur la même base que le mien, je leur transmets une tâche en attendant d’eux un savoir. Par contre, il faut que le problème devienne le leur, qu’ils puissent se l’approprier et non qu’ils pensent le résoudre pour me
« faire plaisir ». Ils doivent aussi se sentir responsables de résoudre ce problème par leurs propres moyens et sans mon aide. S’ils remplissent ces deux conditions, alors j’aurai « correctement » dévolué ma tâche aux élèves.
F.5 Le contrat didactique
Pour rebondir sur le précédant chapitre, Brousseau a identifié un phénomène très important : le contrat didactique. A travers toutes les situations scolaires, l’enseignant désire faire apprendre une connaissance à un élève. Brousseau (1998) avance que « le seul moyen de « faire »
des mathématiques, c’est de chercher et résoudre certains problèmes spécifiques et, à ce propos, de poser de nouvelles questions » (p.61). Il ne faut donc pas que l’enseignant transmette une simple connaissance mais qu’il aide l’élève à s’approprier un problème qui, lui-même, engendrera une connaissance de la part de l’élève : c’est la dévolution du problème. Si cette dernière fonctionne, l’élève entrera dans la résolution de problème et aura acquis un savoir.
Mais que faire si l’élève n’entre pas dans le problème ? « Alors se noue une relation qui détermine – explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement – ce que chaque partenaire, l’enseignant et l’enseigné, a la responsabilité de gérer et dont il sera d’une manière ou d’une autre, responsable devant l’autre » (Brousseau, 1998, p.61). Le contrat didactique concerne la part que chaque partenaire apporte en lien avec la connaissance mathématique.
Ce sont les ruptures du contrat qui sont importantes à souligner, car elles mettent en évidence ce dernier. Lorsque l’acquisition du savoir visé ne se fait pas pour l’élève, alors « s’ouvre un procès à l’élève qui n’a pas fait ce que l’on est en droit d’attendre de lui mais aussi un procès au maître qui n’a pas fait ce à quoi il est tenu (implicitement) » (Brousseau, 1998, p.61). Il faut donc se méfier des conséquences immédiates de cette « rupture » de contrat. Dans le cas de ma présente recherche, j’espère ne pas avoir trop induit les élèves à trouver les « réponses » dans le but que le
« contrat didactique » soit respecté et que les élèves acquièrent la connaissance visée. Il se pourrait aussi que les élèves supposent ce que j’attendais d’eux et le produisent sans en comprendre les connaissances mathématiques sous-jacentes.
La dévolution est cet acte par lequel l’élève s’approprie la tâche. Il y a donc un déplacement de l’intérêt qui se porte sur l’objet mathématique et non plus sur l’enseignant en agissant pour
« faire plaisir », en recherchant les intentions de la maîtresse. Il faut que l’élève « déplace » sa pensée : il ne doit plus supposer ce que veut son enseignant (« Qu’est-ce qu’elle veut que je fasse ? »), mais il doit travailler pour ses propres apprentissages en se demandant « Qu’est-ce que je dois faire avec ce tour de magie ? ».
F.6 La recherche
Le dictionnaire « Le Petit Robert » définit la recherche comme un effort de l’esprit pour trouver une connaissance. Il s’agit de mettre les élèves en situation d’activité intellectuelle ayant pour objet de découvrir de nouvelles connaissances. Les élèves se trouvent dans une situation de recherche à plusieurs reprises à travers le tour de magie ou d’autres activités effectuées en classe.
Mettre des élèves en situation de recherche en classe peut leur apporter beaucoup. En effet,
« cela permet en premier lieu au professeur de voir comment ses élèves utilisent les concepts mathématiques étudiés antérieurement, de savoir quelles connaissances ils sont capables de mobiliser correctement et quelles erreurs ils commettent » (Arsac, Germain & Mante, 1991, p.9).
Après ses observations, l’enseignant est plus apte à concevoir des situations d’apprentissage plus adaptées (Arsac, Germain & Mante, 1991, p.9). Le rôle de l’enseignant est donc essentiel durant cette phase. La recherche se déroule en trois temps : les consignes initiales, la recherche proprement dite et la rédaction des propositions de solution. Durant la deuxième étape, l’enseignant interviendra uniquement pour faciliter le fonctionnement du groupe. Il faut absolument éviter – et je sais combien c’est difficile pour un enseignant – un excès d’intervention. S’il agit ainsi, les élèves auront de la difficulté à se sentir eux-mêmes responsables de leur tâche (Arsac, Germain & Mante, 1991, p.16). « Ne pas fermer le problème amène souvent le professeur à répondre à une question par une autre, et à en poser lui-même, tout cela ayant pour but de maintenir l’activité de recherche.
Pratiquer une pédagogie de l’encouragement conduit également à ne pas classer un résultat en
« juste » ou « faux », mais à faire découvrir aux élèves comment ce résultat, même partiellement erroné, peut les faire progresser dans leur recherche. Ils apprennent ainsi, par l’expérience vécue, qu’i est normal de ne pas « trouver » du premier coup, mais que les tâtonnements ont leur valeur » (Arsac, Germain & Mante, 1991, p.15).
Le rôle de l’enseignant est très important : par ses relances, il doit encourager les élèves à continuer leur recherche, il doit éviter que ses interventions n’aboutissent à fermer le problème, il apprend des choses sur ses élèves en les observant en situation de recherche, il vérifie que tous les élèves soient en activité. L’enseignant devra aussi pouvoir préparer le débat lors de la mise en commun des résultats avancés par les élèves (Arsac, Germain & Mante, 1991, p.14-15).
De plus, comme les élèves travaillent par groupes, « cela développe aussi la socialisation des élèves : apprendre à formuler son avis, ses idées, apprendre à écouter l’autre, à prendre son avis en compte, à argumenter » (Arsac, Germain & Mante, 1991).
A travers ce chapitre, nous avons vu les différents apports d’une situation de recherche pour les élèves. L’élève acquiert davantage d’autonomie, une capacité auto-critique sur son travail, se socialise davantage ou développe de nouvelles connaissances par exemple.
F.7 Courants « mathémagiques »
Le titre de ce mémoire pose la question de savoir si les mathématiques sont magiques. Mais la magie ne serait-elle pas aussi mathématique … ? A travers ce chapitre, je vais me pencher sur la magie à travers les mathématiques. L’approche des mathématiques par le biais de la magie ouvre des horizons différents qui s’éloigneraient du programme habituel comme le dirait Maulini (2004) et dont l’entrée est dite plutôt ludique. Zalmanski (2013) partage aussi cette opinion « parmi les façons d’aborder les mathématiques de manière ludique, les tours de magie jouent un rôle important ».
L’aspect ludique peut représenter un moteur pour les élèves. Pelay (2011) affirme aussi que « jouer est associé à une idée de plaisir : lorsqu’un individu s’engage dans un jeu, c’est qu’il s’attend à
éprouver un plaisir ludique qu’il « évalue » et qui va décider de son engagement puis de son implication. Plus l’envie de jouer est grande, et plus l’implication dans le jeu sera importante dès le début de l’activité » (p.109). C’est grâce à cette notion d’implication grandissante de l’élève que l’aspect ludique – le tour de magie – peut représenter une plus-value pour l’élève.
L’apprentissage des mathématiques par le biais de la magie permet des apports mulitples et variés. Grâce aux mathématiques, les élèves ont la possibilité de reproduire des tours de magie.
« Ces tours de divination changent de statut : offrant l’opportunité de reproduire des tours de divination, ils perdent tout aspect magique ou surnaturel pour les initiés : avec quelques calculs, il devient possible de retrouver le nombre pensé par un spectateur. Les mathématiques et la science révèlent désormais les supercheries et tromperies, et offrent une certaine maîtrise (voire même supériorité) pour ceux qui savent les utiliser pour impressionner les spectateurs » (Pelay, 2011, p.
198). Les mathématiques permettent alors de rationaliser les tours de magie dans le but de les comprendre. Les élèves démystifient le tour de magie et deviennent, à la fois, des maîtres de supercheries vis-à-vis de leurs proches.
Pour conforter ce dernier apport, les tours de magie déclenchent une certaine fascination.
Pelay (2011) affirme qu’ « il semble y avoir une attirance profondément liée à la nature humaine vis- à-vis des phénomènes inexplicables, où les sentiments de peur et de curiosités se confondent. Or, au moment où le mouvement de diffusion des sciences se produit, on constate en même temps que la relation aux tours de divination évolue : ce qui faisait peur il y a peu devient amusant et divertissant.
D’une certaine façon, puisqu’il n’y a plus de phénomènes surnaturels, la magie devient récréative » (p.198-199). On remarque ici l’aspect ludique et amusant des mathématiques. D’une part, cette discipline attire et fascine de par son côté surnaturel et parfois inexpliqué et, d’autre part, les mathématiques comportent aussi un aspect ludique, divertissant et amusant pour les enfants. De plus, ce sentiment de fascination provoque aussi les désirs de comprendre et de percer l’astuce du tour qui peuvent être utilisés comme liens éducatifs afin d’aborder les apports mathématiques.
Pour rebondir sur ce dernier point, il est utile de préciser que l’enseignant va utiliser les savoirs mathématiques afin de rationaliser les tours de magie et ainsi les comprendre. Pelay (2011) distingue alors deux aspects : la capacité à prévoir et la capacité à montrer (p.199). La dimension prédictive « enlève toute dimension de hasard ou de magie, puisque tout est déterminé par les nombres initiaux et le déroulement des algorithmes » (p.199). Cet aspect aide le magicien et donne au tour toute sa puissance et son sens. La dimension ostensive, quant à elle, permet de montrer le raisonnement et « rend visible le déroulement du tour et sa compréhension » (p.199). Grâce à cet aspect, les élèves peuvent mieux se rendre compte de l’astuce mathématique et en visualisent sa compréhension.
Par toutes les diverses manières que je viens de présenter, je peux aisément confirmer que les mathématiques et la magie sont bel et bien liées.
F.8 La numération
Le point central de ce mémoire est un tour de magie. A travers ce tour, je mets en évidence les connaissances que manifestent les élèves et je relève également si leur motivation est accrue grâce à une telle situation. Pour maîtriser ce tour, le magicien doit effectuer divers calculs en faisant appel à des connaissances de numération.
Le système de numération représente un « ensemble des méthodes et conventions permettant d’écrire et de nommer tout nombre entier naturel et par extension les autres nombres, ainsi que d’effectuer des calculs sur eux » (Margolinas & Wozniak, 2012, p.98). Il y a trois modes de numération que l’on peut distinguer : la numération parlée qui se réfère à la désignation des mots- nombres, la numération écrite qui concerne les écritures chiffrées des nombres et la numération figurée qui se réfère aux gestes et signes écrits pour évoquer des nombres (Margolinas & Wozniak, 2012, p.98). En classe, les élèves font appel aux trois types de numération évoqués précédemment à travers différentes situations mathématiques.
F.8.1 Le calcul mental
Afin de résoudre le tour de magie, les élèves doivent effectuer du calcul mental. Il s’agit d’une notion à laquelle ils vont très souvent faire appel et qu’ils vont pouvoir consolider à travers les diverses leçons que je vais leur présenter.
Je vais débuter par soulever certaines idées communes du calcul mental. Ce dernier « ne peut être réduit à un calcul de tête », il est « impossible de parler de façon générale de la meilleure méthode de calcul » et « le calcul mental ne peut se limiter au strict calcul : il recouvre également des activités visant à développer des connaissances élémentaires sur les nombres […] et des relations arithmétiques entre les nombres » (COPIRELEM, 2012, p. 18). A cet égard, il est intéressant de relever que beaucoup de personnes pensent que le calcul mental était un simple calcul de tête. La commission permanente des IREM pour l’école élémentaire explique aussi que « l’expression « calcul mental » désigne tout type de calcul, écrit ou approché, effectué de tête ou à l’aide de l’écrit, permettant d’obtenir un résultat par la mise en œuvre de procédures différentes de celles des algorithmes usuels » (COPIRELEM, 2012, p.19). Trois moyens de calcul sont envisagés : le calcul écrit, le calcul de tête et le calcul instrumenté (COPIRELEM, 2012, p.20).
Le calcul mental est utilisé en classe pour répondre à divers objectifs : o « développer des habiletés calculatoires et des connaissances numériques o développer des capacités dans le cadre de la résolution de problèmes
o développer des compétences relatives au calcul approché (COPIRELEM, 2012, p.24).
Dans le cadre du tour de magie, le premier et le deuxième objectif sont nécessaires à la bonne résolution du tour.
Diverses séances peuvent être distinguées concernant le calcul mental. Il y a les séances qui visent des apprentissages, les séances d’entraînement, les séances de réinvestissement et les séances d’évaluation (COPIRELEM, 2012, p.26). Dans le cas du tour des colonnes magiques, deux types de séances sont concernées : les séances d’entraînement qui sont destinées à utiliser une règle déjà élaborée ou à restituer des résultats déjà mémorisés dont l’objectif est l’acquisition d’automatisme ; et les séances de réinvestissement sont utilisées dans le but de mobiliser de nouvelles connaissances dans des contextes différents ou sur des supports divers comme des jeux (COPIRELEM, 2012, p.26).
F.8.2 La numération de position en base 10
La numération de position constitue une des connaissances que mes élèves pourraient manifester. Ils doivent également y faire appel pour comprendre le fonctionnement du tour de magie.
Dans la numération de position, cette dernière joue un rôle central. Margolinas & Wozniak (2012) expliquent notamment que « la notion de position nécessite d’être construite comme une connaissance qui permet d’agir dans certains types de situations » (p.59). Effectivement, la numération est un sujet complexe qui demande un certain travail de la part des élèves afin de pouvoir bien l’intégrer, de la maîtriser et de la réinvestir au moment voulu.
« Notre numération écrite chiffrée repose sur deux éléments caractéristiques. En premier lieu, pour réduire la pluralité des unités, il est procédé à des groupements qui se font toujours par dix. » (Margolinas & Wozniak, 2012, p.109). Nous travaillons donc dans une numération qui fonctionne en base dix. « En second lieu, la valeur des chiffres dépend de sa position dans l’écriture du nombre : le chiffre tout à droite correspond au nombre d’unités, le chiffre suivant vers la gauche le nombre de dizaines, etc. Notre numération est donc une numération de position » (Margolinas &
Wozniak, 2012, p.109).
A travers le tour des colonnes magiques, les élèves font appel à la numération de position afin de résoudre l’astuce mathématique du tour. Lorsqu’ils placent un « 2 » imaginaire devant le nombre de la troisième ligne, il s’agit, en réalité, de 2 dizaines et non de 2 unités. Si les élèves ont compris ce principe, ils peuvent alors expliquer leur astuce au moyen de la numération de position.
