Symétrique d'un point a)

Géométrie Cl

1. ^Activité

1.

Symétrique d'un point a)

Sur quadrillage

-

Reproduire une figure comme

celle-ci.

-

^Placer

A

le pied de la hauteur FH.

-

Placer le symétrique B du point

A

par rappot à la

droite

d.

b)

Sur quadrillage

-

Reproduire une figure comme celle-ci.

-

Placer le symétrique T

di

point O par rappot à la droite d.

- Décrire la construction.

2. Symétrique d'une

droite

Notion

de

point

et de

droite

- Plier une

feuille

de papier

puis

la transpercer avec la pointe

d'un

compas.

Déplier.

On

obtient une

droite

^(le

pli)

et deux

points

M et N. (la

figure

ci-contre)

Leçon 19 : Symétriques d'un

angle et d'une droite

Exemple :

Pour chaque cas, construire la symétrique de la

droite

k ^par rapport à la droite d.

a.

d

I IV c R

I

\

t

(

\

I

6

N S

L29

Méthode de construction

a.

-

Marquer deux points

A

et

B

sur la droite k.

-

Construire les symétriques A' et B' des

points A

et B par rapport à d.

La droite (ag')

est la doite symétrique de la droite k par rapport à la droite d.

- Les droites

k

et d se coupe en

I.

-

Marquer un

point A

sur la doite k.

-

Construire le symétrique

A'

du

point A

^par rapport à d.

La droite

(In')

est la droite symétrique de la droite

k

par rapport _à la droite d.

3.

Symétrique

d'un

angle

-

A I'aide

de la _{règle et} de l'équerre,

vérifier

que les

A et A'

_;

B

et B'sont symétriques par rapport à la droite d.

A, ^-

^ABC

^:45";

^{quelle est la mesure des}

angles

A'Ê'C et

npc

^?

- AB:3cm;

quelle est la longûeur _A,B,

2.

Essentiel

1.

Symétrie

par rapport

à une

droite

a) Lamédiatrice d'un

segment est un axe de symétrie de ce segment.

Milieu de

lael

2

b)

Symétrique

d'un

point

.

A

appartient à la droite

I

(Ae n)

Le symétrique du

point

A pat rapport à la droite

A

est le point

Géométrie Cl

A

n'appartient pas à la droite

n (Ae a)

A

A

Le symétrique du point A pur rapport à la

droite

 est le Point

A' tel que

A est la médiatrice du segme nt _I,a,a'l

2.

Propriétés

o

Le symétrique d'une droite est une droite.

o

Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.

o

Le symétrique.d'un angle est un angle de même mesure.

o

Le symétrique d'un cercle de centre O est un cercle de même ravon et qui a pour centre le symétrique de O.

a)

Symétrique

d'une

figure

Par pliage autour d'une droite.d, une. figuqe

c'et

sâ symétrique

c'

^se

supperposent exactement.

Les figures C et

C'ont

donc la même forme et les mêmes dimensions.

Exemple :

L31.

b)

Configurations

Ansles a la base

3 Le triangle

isocèle

. Définition

Axe de svmetrie

Un

triangle isocèle est un triangle

qui

a deux côtés de même longueur.

Propriétes

. - -

Un triangle isocèle possède un axe de symétrie qui est la médiatrice de

la

base.

-

Ses deux angles à la base ont même mesure.

3 Le triangle équilatéral

- Un

triangle

équilatéral

s'il

a ses trois côtés de même longueur.

- C'est

un

cas particulier de triangle isocèle.

-

Il

a

trois

axes de symétrie passant par un même

point.

- Ses

trois

angles ont même mesure :60'.

3 Le

losange

Définition

Un losange est un quadrilatère qui a quatrq côtés de même longueur.

Propriétés

- Un losange possède deux axes de symétrie perpendiculaires : ses diagonales.

- Les angles opposés ont même.mesure.

- Les côtés opposés sont parallèles.

Le losange est donc un parallélogramme

particulier.

3 Le rectangle Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a

quatre angles droits.

longueur.

Propriétés

- Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

-

Il

a quatre axes de symétrie : deux d'entre eux portent ses diagonales et les deux autres sont les médiatrices de ses côtés.

- Des diagonales perpendiculaires,

qui

se coupent en leur

milieu

et de

même longueur.

Exemples :

Construire avec la

règle

et le compas, le symétrique

M'

du pgint

M

par rapport à la

droite

d.

-

Sur ladroite d

marquer

deux points

A

et

B.

Géométrie Cl

Propriétés

- Un reciangle possède deux axes de symétrie

qui

sont les médiatrices de ses côtés opposés.

- Ses diagonales ont la même longueur et se eoupent en ieur milieu.

3

Le

carré

Définition

Un carré est un quadrilatère

qui

a quatre angles droits et quatre côtés de même

- Passant par

M

On trace deux arcs de cercle de centre respectifs A et B.

-

Le

symétrique

M'

du

point M

par rapport à la

droite

d est

le point d'intersection des deux arcs de cercles.

M

133

Exercices

l.

^Par la symétrie par rapport à.la

droite

d.

-

J est le symétrique du point

I

_;

- K

^{est le} symétrique du point

H

_;

- F

est le symétrique du point E.

a)

_Quel est le symétrique.du segment

[Fil]

^{? et du segment} tHJl ^?

b)

^{E est le} point

milieu

du segment

[HI].

eue peut-on

dire

du point F ? Pourquoi ?

2-

^a)

b)

3.

Sur la figure

ci-contre

^:

- (Ar)r_(AJ)

- B

est le symétrique de A par rapport à la droite (IJ).

a)

Par la symétrie par rapporr à la

droite

(IJ) -

quel

estle symétrique de la droite

(AI)

?

- quel

est le symétrique de la droite

(AJ)

?

- que peut-on dire des droites

(BI)

et (BJ)?

b)

Compléter la phrase suivante ^:

Si

deux droites sont perpendiculaires alors ses symétriques

sont

...

Reproduire la

figure

ci-dessous, avec

AM:3cm; MN:4cm;

NP:2cm

et

d//(NA).

Avec une règle et une équerre, construire la droite d' symétrique de la droite d par rapport à la

droite

A.

Géométrie C1

4. ")

Construire un triangle PIC, isocèle en

I,

^avec

^pîC:55.

et IP :6cm

b)

^{Tracer un segm}

effi Wl

sur

quelle ligne

doit

se situer un

point T

pour que le triangle

XTY

soit isocèle en

T

?

5. Tracer

une droite d et placer quatre

points

A, B,

C et D comme la figure ci-contre

.

^C

-

Conskuire les symétriques

C'

et

D'

des points _C et

D

par rapport à la

droite

d.

- Nommer tous les triangles isocèles fabriqués avec les 6 points de la

figure.

^d

6.

Sur

la

figure ci-dessous, O et O' sont symétriques par rapport à la droite d.

I

est un poirft de d.

C est un cercle de centre O et de rayon

1,2

cm.

C'

est un cercle de entre

O'

et de

rayon 1,2

cm.

a) Par

la symétrie par rapport à la droite

d

^:

- quel

est le symétrique du point

I

?

- quel

est le symétrique du segment

[OI]

^?

- quel

est le symétrique du cercle C ?

b) Le

segment

[OI]

^{coupe le cejrcle C en F.}

Le

segment

[O'I]

^{coupe le cercle}

C'

en G.

- quel

est le symétrique du point F

?

I

-

compléter les phrases suivantes :

F

est un point de

[OI],

^son symétrique est sur le segmlnt

...,

symétrique de

[OI].

F

est un point du cercle

c,

son symétrique est sifué au cercle ... qui .D

135

7

-

Reproduire _chaque

figure

sur le papier

non

quadrillé puis construire le symétrique de la

droite

(AB) par

rapport

à la droite d.

8. Triangles

symétriques

a) Sur

le papier non quadrillé,

construire un triangle

ABC

tel que

AB:2cm, AC:9cm, BC:l

0cm.

La droite

d coupe

[AB)

^{en I et}

[AC)

^{en J.}

b)

Construire les symétriques

A',8,,

C, des

rapport

à la droite d.

A

points A, B et C par

9. Avec

la règle et le rapporteur

a)

Reproduire la

figure

ci-contre sur

le

papier non quadrillé.

b)

Construire le symétrique B du

point

A

par rapport à la droite d.

l0.a)

Reproduire la

figure

ci-dessous sur

le

papiernon quadrillé.

b) construire

le symétrique de cette

figure'par

rapport à la droite d.